Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kota 2014 (Bagian B) www.olimattohir.blogspot.com

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI

TINGKAT KABUPATEN / KOTA

TAHUN 2014

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT

8 Maret 2014

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1. Bentuk paling sederhana dari

5

Pembahasan:

Alternatif (1)

5

Jadi, bentuk paling sederhana dari

5

Alternatif (2)

2. Banyak persegi pada gambar berikut adalah ….

Pembahasan:

Banyak persegi pada ukuran 1 × 1 adalah 22 Banyak persegi pada ukuran 2 × 2 adalah 3 Banyak persegi pada ukuran 3 × 3 adalah 8 Banyak persegi pada ukuran 4 × 4 adalah 2

Dengan demikian banyak persegi seluruhnya = 22 + 3 + 8 + 2 = 35

Jadi, Banyak persegi pada gambar yang dimaksud adalah sebanyak 35

3. Berikut adalah gambar sebuah persegi panjang yang terdiri dari beberapa persegi yang dibuat dari batang korek api. Sebagai contoh, bentuk 1× 5 memerlukan 16 batang korek api, bentuk 2 × 5 memerlukan 27 batang korek api, seperti gambar berikut.

Bentuk 1 × 5

Bentuk 2 × 5

Banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat persegi panjang dengan bentuk 51 × 5 adalah ….

Pembahasan:

Diketahui banyak korek api pada bentuk 1 × 5 = 16 banyak korek api pada bentuk 2 × 5 = 27

dengan cara yang sama akan diperoleh: banyak korek api pada bentuk 3 × 5 = 38 banyak korek api pada bentuk 4 × 5 = 49 ....

.... ....

Bila kita perhatikan dengan seksama, banyaknya korek api tersebut membentuk deret aretmatika, yakni: 16, 27, 38, 49, ..., Un dengan beda 11

Dengan demikian untuk mengetahui banyaknya korek api pada bentuk 51 × 5, cukup mencari suku ke-51, yaitu sebagai berikut

Un = a + (n– 1)b U51 = 16 + (51 – 1)×11

= 16 + (50)×11 = 16 + 550 = 566

4. Jika_{}

Pembahasan:

Diketahui _{}

Kemudian mencari pola untuk mengetahui digit satuan dari penjumlahan tersebut, yaitu dengan cara 2 × 2014 = 4028, yakni 8

Berikutnya mencari pola untuk mengetahui digit puluhan dari penjumlahan tersebut, yaitu dengan cara 2 × 2013 + 402= 4428, yakni 8

Selanjutnya mencari pola untuk mengetahui digit ratusan dari penjumlahan tersebut, yaitu dengan cara 2 × 2012 + 442 = 4466, yakni 6

Jadi, tiga angka terakhir dari M adalah 688

Pembahasan:

 

 

₁ Sehingga cukup menggunakan



 

0

6. Jika bilangan 2014 dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan – bilangan asli berurutan, maka bilangan asli terbesar yang mungkin adalah ….

Pembahasan:

Untuk mengetahui bilangan-bilangan asli berurutan yang jumlahnya 2014, sebagai berikut:

Pertama: bilangan 2014 di bagi 2, yakni

2 2014

= 1007

Kedua: bilangan 1007 juga dibagi 2, yakni

2 1007

= 503 sisa 1

Artinya dua bilangan berurutan yang apabila dijumlahkan sama dengan 1007 adalah 503 + 504 Kemudian menntukan bilangan-bilangan kurang 503 dan lebih 504 yang apabila dijumlahkan

sama dengan 2014, yakni: 502 + 503 + 504 + 505 = 2014

Jadi, bilangan asli terbesar yang mungkin adalah 505

7. Delapan pensil dengan warna berbeda akan diletakkan dalam dua kotak mini untuk kepentingan promosi. Banyak cara yang mungkin untuk meletakkan pensil – pensil tersebut sehingga tidak ada kotak yang kosong adalah ….

Pembahasan:

Untuk mengetahui cara mengatur 8 pensil pada 2 kotak sehingga tidak ada yang kosong adalah sebagai berikut:

Jika diasumsikan 2 kotak mini tersebut bentuk dan jenisnya sama, maka pasangan yang mungkin adalah (1,7), (2,6), (3,5), (4,4).

Sehingga banyak cara seluruhnya, sebagai berikut

8C1 × 7C7 + 8C2 × 6C6 + 8C3 × 5C5+ 8C4 × 4C4

= 8 + 28 + 56 + 70 = 162

Jadi, banyak cara yang mungkin untuk meletakkan pensil – pensil tersebut sehingga tidak ada kotak yang kosong adalah 162 cara

Akan tetapi jika diasumsikan 2 kotak mini tersebut bentuk dan jenisnya berbeda, maka pasangan yang mungkin adalah (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1).

Sehingga banyak cara seluruhnya, sebagai berikut

8C1 × 7C7 + 8C2 × 6C6 + 8C3 × 5C5+ 8C4 × 4C4 + 8C4 × 4C4 + 8C5 × 3C3+ 8C6 × 2C2+ 8C7 × 1C1 = 8 + 28 + 56 + 70 + 70 + 56 + 28 + 8

= 324

Jadi, banyak cara yang mungkin untuk meletakkan pensil – pensil tersebut sehingga tidak ada kotak yang kosong adalah 324 cara

8. Jika hasil penjumlahan empat dari enam pecahan

20 1 , 16

1 , 8 1 , 4 1 , 2 1

dan 40

1

adalah 10

9

, maka hasil

Pembahasan:

Untuk mengetahui hasil penjumlahan empat bilangan pecahan adalah

10 9

dan hasil kali dua

pecahan lainnya, terlebih dulu disamakan penyebutnya, yaitu

20 1 , 16

1 , 8 1 , 4 1 , 2 1

dan

40 1



80 4 , 80

5 , 80 10 , 80 20 , 80 40

dan

80 2

Kemudian didapat juga

10 9



80 72

.

Selanjutnya mencari 4 pecahan dari 6 pecahan tersebut sehingga apabila dijumlahkan sama

dengan

80 72

, yaitu

80 2 80 10 80 20 80 40

 

 =

80 72

Dengan demikian hasil kali dua pecahan lainnya =

320 1 20

1 16

1 80

4 80

5

   

Jadi, hasil kali dua pecahan lainnya adalah 320

1

9. Perhatikan gambar di bawah ini. ABC adalah segitiga sama sisi. PQ tegak lurus AB, PS tegak lurus AC, dan PR tegak lurus BC.

Jika PQ = 1, PR = 2, dan PS = 3, maka AB= ….

Pembahasan:

Perhatikan kembali gambar segitiga ABC sama sisi berikut

Dengan menggunakan teorema pythagoras didapat tinggi ABC: t = AB 2

3

Kemudian perhatikan luas ABC, luas APB, luas BPC dan luas APC, yakni

Luas ABC = Luas APB + luas BPC + luas APC

2 1

× AB × t_ =

2 1

× AB × QP +

2 1

× BC × RP +

2 1

× AC × SP

AB ×

2 3

AB = AB × 1+ AB × 2 + AB × 3

2 3

AB = 6

AB =

3 12

AB = 4 3 Jadi, AB = 4 3

10. Diberikan dua segitiga dan delapan persegi dengan sifat – sifat berikut.

(i) Dua segitiga siku – siku berukuran sama. Panjang sisi tegaknya 2 dan 4 satuan. Kedua segitiga tersebut berwarna berbeda, satu berwarna biru, dan lainnya berwarna ungu.

(ii) Delapan persegi berukuran sama. Panjang sisi – sisinya 1 satuan. Tiga persegi berwarna merah, tiga persegi berwarna kuning, dan lainnya berwarna hijau.

Dua segitiga dan delapan persegi tersebut akan disusun berimpitan sehingga membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan yang akan dipakai sebagai hiasan dinding. Dengan memperhatikan komposisi warna yang berbeda, banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan di atas adalah ….

Pembahasan:

Diketahui dua segitiga siku-siku berwarna berbeda, sehingga untuk mengatur susunan warnanya adalah 2! = 2.

Diketahui juga 8 persegi dengan 3 persegi berwarna merah, 3 persegi berwarna kuning, dan 2 persegi berwarna hijau, sehingga untuk mengatur ke-8 persegi tersebut adalah dengan

menggunapan formula permutasi berulang,

P =

! 2 ! 3 ! 3

! 8



 = 8 × 7 × 5 × 2 = 560

Selanjutnya kita mencari pola untuk model susunan 2 segitiga dan 8 persegi agar membentuk persegi dengan ukuran 4 × 4, yakni sebagai berikut

Sehingga banyak model susunan yang terbentuk adalah ada 2 model

Dengan demikian banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan = 2 × 560 × 2

= 1120 × 2

= 2240

Jadi, banyak cara membentuk persegi berukuran 4 × 4 satuan sesuai dengan aturan yang dimaksud adalah 2240 cara

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com

Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/