Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014 Bagian B www.olimattohir.blogspot.com

(1)

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI

TINGKAT PROVINSI

TAHUN 2014

BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT

B. SOAL URAIAN

1. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan 2x2

Pembahasan:

Diketahui 2x2

2

2x  2 –x > 22

 2 –x > 4

 –x > 4 – 2

 –x > 2

 x < – 2

Jadi, semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan 2x2adalah x < – 2

2. Diketahui jumlah n buah bilangan bulat positif ganjil berurutan adalah 5929. Tentukan n terkecil yang mungkin.

Pembahasan:

Menurut informasi dari soal bahwa terdapat jumlah n buah bilangan bulat positif ganjil berurutan sama dengan 5929. Hal ini berarti bahwa karena jumlah bilangan ganjil sama dengan bilangan ganjil, yaitu 5929, maka n akan bernilai ganjil juga. Untuk mengetahui nilai n, maka kita bagi bilangan 5929 dengan bilangan bulat ganjil positif mulai yang terkecil sehingga mendapatkan hasil bilangan bulat ganjil positif, yakni

1. 1 5929

 hal ini tidak mungkin, karena n buah “bilanganbulat positif ganjilberurutan” maka artinya, bahwa nilai n semestinya: n > 1

2. 2 5929

 hal ini tidak mungkin, karena angka satuannya tidak habis membagi 2

3. 3 5929

 hal ini tidak mungkin, karena 5 + 9 + 2 + 9 tidak habis dibagi 3

4. 7 5929

 hal ini mungkin, 592 – 9(2) = 574 dan 57 – 4(2) = 49 serta 49 : 7 = 7

Sehingga 7 5929

(2)

Dengan demikian nilai n = 7, yaitu hasil dari jumlah 3 angka < 847 dan 3 angka > 847 dengan 847 itu sendiri, yakni:

841 + 843 + 845 + 847 + 849 + 851 + 853 = 5929

Jadi, n terkecil yang mungkin adalah 7

3. Diberikan kerangka limas ABCD dengan alasnya adalah daerah segitiga siku-siku ABC. Diketahui sisi siku-sikunya adalah AB dan AC dengan panjang AB = a 3dan panjang AC = 4a, rusuk BD tegak lurus dengan bidang ABC, dan panjang BD = 6a. Jika pada rusuk CD terdapat titik P sehingga sebuah bola dengan DP sebagai diameternya menyinggung bidang alas ABC, hitung jari-jari bola tersebut.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

Dibuat garis bantu OQ, titik pusat O dan r adalah jari-jari bola

Perhatikan segitiga ABC! Adalah segitiga siku-siku di titik A, diperoleh

BC =

 

4a 2 

 

a 3 2 = 16a23a2 = a 19

Kemudian perhatikan segitiga BCD! Juga merupakan segitiga siku-siku di titik A, diperoleh

CD =

 

6a 2

 

a 19 2 = 36a219a2 = a 55

Selanjutnya segitiga BCD (gambar sebelah kanan)! Didapat perbandingan dua segitiga yang

kongruen, yaitu segitiga QCD dan segitiga ACD, sehingga diperoleh

CD CO BD QO

 

55

6 a

r PC a

r 

 (PC = CD– 2r PC = a 55 – 2r)



55 2 55

6 a

r r a

a

r  





55 55

6 a

r a

a

r 



r

 

a 55 = 6a



a 55r



 ar 55 = 6a2 556ar

 r 55 = 6a 556r (dibagi dengan a) a

4

r

C D

A B

3 a

a 6

P O

r

C D

B

P

Q O

(3)

 r 556r = 6a 55

 r



556



= 6a 55

 r



6 55



= 6a 55

r =





55 6

 a

Jadi, jari-jari bola yang dimaksud adalah





55 6

 a

4. Sebuah kode rahasia terdiri dari dua huruf dan satu bilangan antara 100 dan 600. Aturan yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut.

(i) Semua angka dan huruf harus saling berbeda,

(ii) Jika tiga angka membentuk bilangan genap maka kedua huruf yang dipilih adalah vokal, (iii) Jika tiga angka membentuk bilangan ganjil maka kedua huruf yang dipilih adalah konsonan. Tentukan banyak kode rahasia yang mungkin dibuat.

Pembahasan:

Menurut informasi dari soal bahwa terdapat: sebuah kode rahasia terdiri dari dua huruf dan satu bilangan antara 100 dan 600.

Misalkan: huruf pertama: x huruf kedua: y

satu bilangannya: abc

Menurut informasi soal Semua angka dan huruf harus saling berbeda, sehingga terdapat dua kemungkinan untuk kode xyabc atau abcxy, yaitu:

Kemungkinan I:

Jika tiga angka membentuk bilangan genap maka kedua huruf yang dipilih adalah vokal, dimana huruf fokal sebanyak 5 huruf: a, i, u, e, o. Diperoleh sebagai berikut.

Banyak huruf yang mungkin pada huruf x adalah sebanyak 5 dan banyak huruf yang mungkin pada huruf y adalah sebanyak 4 (karena x dan y harus berbeda)

Sedangkan banyak angka genap untuk c yang mungkin adalah sebanyak 5 (0, 2, 4, 6, 8)

dan bilangan untuk a sebanyak 5 (1, 2, 3, 4, 5) serta banyak bilangan b sebanyak 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: bilangan-bilangan ini sebanyak 10 akan tetapi nilai salah satu dari 1, 2, 3, 4, 5 sudah digunakan oleh a, sehingga banyak nilai b ada 9).

Sehingga banyak kode yang mungkin pada kondisi ini adalah xyabc = 5 × 4 × 5 × 9 × 5 = 4500 Akan tetapi karena bilangannya antara 100 dan 600, maka harus dikurangi dengan 1 angka 100, yaitu menjadi 4500 – 1 = 4499

Kemungkinan II:

Jika tiga angka membentuk bilangan ganjil maka kedua huruf yang dipilih adalah konsonan, dimana huruf konsonan sebanyak 21 huruf. Diperoleh sebagai berikut.

Banyak huruf yang mungkin pada huruf x adalah sebanyak 21 dan banyak huruf yang mungkin pada huruf y adalah sebanyak 20 (karena x dan y harus berbeda)

Sedangkan banyak angka ganjil untuk c yang mungkin adalah sebanyak 5 (1, 3, 5, 7, 9)

dan bilangan untuk a sebanyak 5 (1, 2, 3, 4, 5) serta banyak bilangan b sebanyak 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: bilangan-bilangan ini sebanyak 10 akan tetapi nilai salah satu dari 1, 2, 3, 4, 5 sudah digunakan oleh a, sehingga banyak nilai b ada 9)

Sehingga banyak kode yang mungkin pada kondisi ini: xyabc = 21 × 20 × 5 × 9 × 5 = 94500

Dengan demikian banyak total kode rahasia seluruhnya yang mungkin dibuat baik xyabc atau abcxy adalah sebanyak (4499 + 94500) + (4499 + 94500) = 197998

(4)

5. Untuk x bilangan real, dirumuskan suatu fungsi

 

x x

f 4 2 2  

Maka hitunglah hasil penjumlahan berikut.

                     2014 2013 .... 2014 2 2014 1 f f f Pembahasan:

Diketahui f

 

x _x 4 2

2 

 ,

Mencari pola untuk menemuknan hasil dari 

                    2014 2013 .... 2014 2 2014 1 f f

f , yakni sebagai

berikut.

Perhatikan fungsi pertama dengan fingsi terakhir, yaitu

      2014 1

f dan 

     2014 2013 f atau       2014 1

f dan 

      2014 1 2014

f = 

      2014 1 2014

f = 

      2014 1 1 f

Sehingga jika dimisalkan x = 2014

1

, maka menjadi f

 

x dan f

 

1x

Kemudian kita perhatikan hasil penjumlahan dari f

 

x dan f

 

1x , sebagai berikut:

   

x f x

f  1 =

 

x

4 2

2

 +

 

x

 1

4 2

2

=



 





x



x



x x        1 1 4 2 4 2 4 2 2 4 2 2 =

 

      

x x x x x x     

 1   1

1 4 4 4 2 4 2 4 4 2 4 4 2 4 =

   

x x



x  x



x x      

 1  1

1 4 4 2 4 2 4 4 2 4 2 8 =

   

     

1 1 1 4 4 2 4 2 4 4 2 4 2 8        x x x x =

   

4 24 4 2 4 4 2 4 2 8 1 1       x x x x

=



   

x x



x x

4

2

4

2

8

4

2

4

2

8

1 1



 

   

x f x

(5)

Olehkarena itu, hasil penjumlahan untuk fungsi ke-1 dengan fungsi-2013, fungsi ke-2 dengan fungsi ke-2012, fungsi ke-3 dengan fungsi ke-2011dan seterus diperoleh sebagai berikut:

             2014 2013 2014 1 f

f = 1

             2014 2012 2014 2 f

f = 1

             2014 2011 2014 3 f

f = 1

... ... ...              2014 1010 2014 1004 f

f = 1

             2014 1009 2014 1005 f

f = 1

             2014 1008 2014 1006 f

f = 1

dan       2014 1007

f =

2014 1007 4 2 2  = 2 1 4 2 2  = 4 2 2

 = 2 2

2

 = 4

2 =

2 1

Dengan demikian total seluruhnya = 1(1006) + 2 1 = 2 1 1006

Jadi, hasil penjumlahan dari 

                    2014 2013 .... 2014 2 2014 1 f f

f adalah

2 1 1006

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com

Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://olimattohir.blogspot.co.id/