OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI
TINGKAT PROPINSI
TAHUN 2011
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
A. ISIAN SINGKAT1. Jika x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 dan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x + y = ...
SOLUSI :
Asumsi I : 99 bilangan yang dimaksud boleh sama.
Misalkan x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011, maka x = 99 . 2013= 199287
Misalkan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka y = 99 . 8= 792
Nilai x + y = 199287 + 792 = 200079
Asumsi II : 99 bilangan yang dimaksud berbeda.
Misalkan x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011, maka x = 2013 + 2015 + 2017 + ….. + U99
merupakan deret aritmetika dengan a = 2013 dan b = 2 Sn = ½ .n(2×a + (n – 1)b)
x = S99 = ½ .99(2×2013 + 98×2) x = S99 = ½ . 99 . 4222
x = S99 = 208989
Misalkan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x = 8 + 10 + 12 + ….. + U99
merupakan deret aritmetika dengan a = 8 dan b = 2 y = S99 = ½ .99(2×8 + 98×2)
y = S99 = ½ . 99 . 212 y = S99 = 10494
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
2. Jika f adalah fungsi sehingga f(xy)= f(x–y) dan f(6) =1, maka f(–2) – f(4) =….SOLUSI : f(xy)= f(x–y) Diketahui f(6) =1 f(6) = f(3.2) =f(3–2)= 1, maka f(1) = 1 f(2) = f(2.1) =f(2–1)=f(1)=1 f(3) = f(3.1) = f(3–1) = f(2) = 1 f(4) = f(4.1) = f(4–1) = f(3) = 1 Selanjutnya f(–2) = f(2(–1)) = f(2– (–1)) = f(3) = 1 Jadi f(–2) – f(4) = 1 – 1 = 0
3. Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4, maka bersisa 3. Jika bilangan x–3y dibagi 4, maka bersisa….. SOLUSI :
x dibagi 4 bersisa 3 maka x = 4m + 3 y dibagi 4 bersisa 3 maka y = 4n + 3 Sehingga : x – 3y = 4m + 3 – 3(4n + 3) x – 3y = 4m + 3 – 12n – 9 x – 3y = 4m – 12n – 6 x – 3y = 4(m – 3n) – 6 x – 3y = 4(m – 3n + 2 – 2) – 6 x – 3y = 4(m – 3n – 2) + 8 – 6 x – 3y = 4(m – 3n – 2) + 2
Ini berarti x – 3y dibagi 4 bersisa 2
4. Perhatikan gambar berikut. Suatu lingkaran berjari-jari 2 satuan berpusat di A. Suatu persegi memiliki titik sudut di A dan satu titik sudut yang lain di lingkaran. Di dalam persegi tersebut terdapat lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi. Di dalam lingkaran terdapat persegi yang keempat titik sudutnya berada di lingkaran tersebut. Di dalam persegi ini terdapat lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi. Luas daerah yang diarsir sama dengan....
SOLUSI :
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
AB = r (lingkaran besar berpusat A) = 2 AO = OG = 1
Pada segitiga AGO berlaku Teorema Pythagoras sehingga AG = AO2 +OG2
AG = 12 +12 AG = 2 Selanjutnya
OC = OD = OP = ½ AG = ½ 2
Pada segitiga CDO berlaku Teorema Pythagoras sehingga CD2 =2OC2
CD2 =2(½ 2)2 CD2 = 1
CD = 1
Berikutnya kita peroleh OE = OQ = ½CD OE = ½
Luas arsiran = L persegi AHBG – L lingkaran (r = OC) + L persegi CDIJ – L lingkaran (r = OE) Luas arsiran = AG2 – π . OC2 + CD2 –π . OE2 Luas arsiran = ( 2)2 – π . (½ 2)2 + 12 –π . (½)2 Luas arsiran = 2 – ½π + 1 – ¼π Luas arsiran = (3 – π 4 3 ) satuan luas
5. Banyak bilangan 3 digit (angka) yang terdiri dari angka-angka 0,2,3,5,7,8 yang lebih dari 243 dan kurang dari 780 adalah…..
SOLUSI :
Kitaakan menghitung banyaknya bilangan 3 digit (angka) yang terdiri dari angka-angka
0,2,3,5,7,8 yang lebih dari 243 dan kurang dari 780 . Asumsikan bilangan yang dimaksud boleh menggunakan angka berulang.
A C E O F D B G H J I P Q
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
Untuk angka ratusan 2Angka puluhan {5,7,8} Angka satuan {0,2,3,5,7,8} Banyak bilangan 3 6 3 x 6 = 18
Untuk angka ratusan 3 atau 5 Angka ratusan {3,5} Angka puluhan {0,2,3,5,7,8} Angka satuan {0,2,3,5,7,8} Banyak bilangan 2 6 6 2 x 6 x 6 = 72
Untuk angka ratusan 7 Angka puluhan {0,2,3,5,7} Angka satuan {0,2,3,5,7,8} Banyak bilangan 5 6 5 x 6 = 30
Jadi banyaknya bilangan seluruhnya 18 + 72 + 30 = 120 bilangan
6. Diketahui Budi adalah siswa laki-laki dan Wati adalah seorang siswa perempuan. Saat ini mereka duduk di kelas IX pada suatu sekolah. Mereka mencatat banyak siswa kelas IX di sekolah mereka. Wati mencatat, 3/20 dari total siswa di kelas IX adalah laki-laki, sedangkan menurut catatan Budi, 1/7 dari total siswa dikelas IX selain dirinya adalah laki-laki. Banyak siswa laki-laki kelas IX di sekolah mereka adalah…
SOLUSI :
Misalkan x adalah banyak seluruh siswa, dan p adalah banyak siswa laki-laki di kelas IX. 20
3
dari total siswa dikelas IX adalah laki-laki
20 3 x = p Menurut Budi 7 1
dari total siswa dikelas IX selain dirinya adalah laki-laki
7 1 (x – 1) = p – 1 7 1 (x – 1) + 1= p 20 3 x = 7 1 (x – 1) + 1
Kedua ruas dikalikan 140 diperoleh : 21x = 20(x – 1) + 140 21x = 20x – 20 + 140 x = 120 p = 20 3 x = 20 3 . 120 = 18
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
7. Diketahui luas persegi ABCD adalah 25 m2. Jika E, F, dan G masing-masing adalah titik tengah AB, AD, dan CD seperti pada gambar berikut, maka luas trapesium BHFE adalah.... m2 .
SOLUSI :
Perhatikan gambar di bawah: Luas persegi ABCD = 25 m2 Maka panjang sisi persegi = 5 m
Karena E, F, dan G masing-masing adalah titik tengah AB, AD, dan CD maka gambar dapat kita lengkapi sebagai berikut:
Gambarlah titik I yang merupakan titik tengah BD. Selanjutnya tarik garis GI // AD, dan garis FI // DC. Perhatikan bahwa DGIF berupa persegi sehingga ∠DHF siku-siku Luas Trapesium BHFE = L∆ABD – L∆AEF – L∆DHF
Luas Trapesium BHFE = ½×AB×AD – ½×AE×AF – ¼ L.DGIF Luas Trapesium BHFE =
2 1 ×5×5 – 2 1 × 2 5 × 2 5 – 4 1 × 2 5 × 2 5
Luas Trapesium BHFE = 2 25 – 8 25 – 16 25
Luas Trapesium BHFE = 7.8125 16 125 16 25 50 200 = = − −
Jadi Luas Trapesium BHFE adalah 7,8125 m2
A E B C G D H F A E B C G D H F I 5 5 , 2 5 , 2 5 , 2 5 , 2 2,5
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
8. Tiga bilangan a, b, dan c dipilih sehingga ketika setiap bilangan ditambahkan ke rata-rata dua bilangan lainnya maka berturut-turut hasilnya adalah 80,90, dan 100. Rata-rata dari a, b, dan c adalah ... SOLUSI : 80 ) ( 2 1 + = + b c a ⇔ 2a+b+c=160………(1) 90 ) ( 2 1 + = + a c b ⇔ 2b+a+c=180………(2) 100 ) ( 2 1 + = + a b c ⇔ 2c+a+b=200………(3) Kedua ruas persamaan (1) + (2) + (3) menghasilkan : 4a + 4b + 4c = 540 4(a + b + c) = 540 a + b + c = 135 Rata-rata a ,,b cadalah ( ) .135 31.135 45 3 1 3 1 a+b+c = = =
9. Sebuah bilangan bulat x diambil secara acak dari {x−5≤x≤10, x bilangan bulat }. Peluang bahwa x adalah penyelesaian pertidaksamaan x2−3x ≤2
adalah…. SOLUSI :
Sebuah bilangan bulat x diambil secara acak dari {x−5≤x≤10, x bilangan bulat } Banyaknya seluruh kemungkinan x adalah 16
Selanjutnya kita cari banyaknya penyelesaian bulat dari x2 −3x≤2 sbb: 2 3 2− ≤ x x x2–3x≤4 x2 – 3x – 4≤0 (x– 4)(x + 1) ≤0 4 1≤ ≤ − x ……….. (1)
Disamping itu syarat lain x2 – 3x > 0 juga harus dipenuhi sehingga x(x – 3) > 0
x< 0 atau x > 3………..(2)
Irisan antara (1) dan (2) adalah – 1< x < 0 atau 3< x < 4
Untuk x bilangan bulat maka yang memenuhi adalah – 1, 0, 3, 4 . Artinya ada 4 penyelesaian bulat Jadi nilai peluang yang dimaksud adalah 4/16 = ¼
10. Misalkan n adalah suatu bilangan asli dan x adalah bilangan riil positif.
Jika 2 3 2 0 2 = − + −n n x x , maka nilai 4 1 2 + n x sama dengan .... SOLUSI :
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
0 2 3 2 2 = − + −n n x x 0 2 3 2 + 2 − = n n x x 0 2 ) ( 3 ) ( 2 2 1 = − + n n x x Misalkan : xn =a, maka 0 2 3 2 2 1 = − + a a a a 2 2 3 2 1 − =Kedua ruas dikuadratkan diperoleh 9a = 4 – 8a + 4a2 4a2 – 17a + 4 = 0 (4a – 1)(a – 4) = 0 4a = 1 atau a = 4 a = ¼ atau a = 4 4 4 1 = = n n x atau x
Selanjutnya kita lakukan pengujian ke persamaaan: 0 2 3 ) ( 2 0 2 ) ( 3 ) ( 2 2 1 = − + ⇔ = − + n n n n x x x x untuk xn =14 , maka 2 0 4 1 3 ) 4 1 ( 2 + − = (Memenuhi) untuk xn =4, maka 2(4)+3 4−2≠0(Tidak memenuhi)
Jadi nilai 4 2 1 2 4 1 4 1 2 4 1 2 = = + = + n x B. SOAL URAIAN
1. Saat ini umur Agus dan umur Fauzan kurang dari 100 tahun. Jika umur Agus dan umur Fauzan ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat digit (angka) yang merupakan kuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun kemudian, jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, maka diperoleh bilangan empat digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna. Jika umur mereka diasumsikan merupakan bilangan bulat positif, berapakah umur mereka saat ini?
SOLUSI :
Kejadian saat ini :
Misalkan: umur Agus = [pq] < 100 , dan umur Fauzan = [rs] < 100 ,dengan [pq] = 10p + q, dan [rs] = 10r + s
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
[pqrs] = x2, sehingga1000p + 100q + 10r + s = x2……….(1) Yang terjadi 23 tahun kemudian :
umur Agus = 10(p+2)+ (q+3) < 100 , dan umur Fauzan = 10(r+2)+ (s+3) < 100
Jika umur keduanya ditulis secara berurutan maka diperoleh bilangan 4 digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna, sehingga:
1000(p+2) + 100(q + 3) + 10(r + 2) + (s + 3) = y2 1000p + 2000 + 100q + 300 + 10r + 20 + s + 3 = y2 1000p + 100q + 10r + s + 2323= y2………(2)
Jika kedua ruas persamaan (2) dikurangi persamaan (1) diperoleh : y2 – x2 = 2323
(y + x)(y – x) = 101×23
Karena 101 dan 23 relatif prima maka nilai x dapat dicari sbb: y + x = 101
y – x = 23 – 2x = 78 x = 39
[pqrs] = [x2] = [392] = [1521]
umur Agus = [pq] = [15] dan umur Fauzan = [rs] = [21] Jadi umur mereka saat ini adalah 15 tahun dan 21 tahun.
2. Pada sebuah segiempat ABCD, sudut ABC dan sudut DAC adalah sudut siku-siku. Jika keliling segi empat ABCD adalah 64 cm, keliling ABC adalah 24 cm, dan keliling ACD adalah 60 cm,
berapakah luas segiempat ABCD? SOLUSI : Keliling ABCD = 64 p + q + r + s = 64……….(1) Keliling ABC = 24 p + q + t = 24 ………..(2) Keliling ACD = 60 r + s + t = 60 ………...(3)
Kedua ruas persamaan (2) + (3) – (1) menghasilkan: 2t = 24 + 60 – 64 p t q r s A B C D
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
t = 10p + q + t = 24 p + q + 10 = 24
p + q = 14 ………(4)
Pada segitiga ABC berlaku teorema Pythagoras: p2 + q2 = t2
p2 + q2 = 102………..(5)
Dari persamaan (4) dan (5) , maka diperoleh nilai p = 6 dan q = 8 r + s + t = 60
r + s + 10 = 60
r + s = 50 ………(6)
Pada segitiga ACD berlaku teorema Pythagoras: s2 + t2 = r2
s2 + 102 = r2………..(7)
Dari persamaan (6) dan (7) , maka diperoleh nilai s = 24 dan r = 26 Luas segiempat ABCD = L. ABC + L. ACD
Luas segiempat ABCD = ½ .p.q + ½ .s.t Luas segiempat ABCD = ½ .6.8 + ½ .24.10 Luas segiempat ABCD = 24 + 120 = 144 Jadi luas segiempat ABCD adalah 144 cm2
3. Diketahui bil.bulat positif n memiliki sifat-sifat berikut.
2 membagi n, 3 membagi n+1, 4 membagi n+2, 5 membagi n+3, 6 membagi n+4, 7 membagi n+5, 8 membagi n+6. Bilangan bulat positif pertama yang memiliki sifat-sifat ini adalah 2. Tentukan bilangan bulat positif ke-5 yang memenuhi sifat-sifat diatas.
SOLUSI :
Berdasar informasi pada soal maka n dapat dituliskan sbb: n = 2a n + 1 = 3b⇔n = 3b – 1⇔n = 3(b–1) + 3 –1⇔n = 3(b–1) + 2⇒n = 3p + 2 n + 2 = 4c⇔n = 4c – 2⇔n = 4(c–1) + 4 –2⇔n = 4(c–1) + 2⇒n = 4q + 2 n + 3 = 5d⇔n = 5d – 3⇔n = 5(d–1) + 5 –3⇔n = 5(d–1) + 2⇒n = 5r + 2 n + 4 = 6e⇔n = 6e – 4⇔n = 6(e–1) + 6 –4⇔n = 6(e–1) + 2⇒n = 6s + 2 n + 5 = 7f⇔n = 7f – 5⇔n = 7(f–1) + 7 –5⇔n = 7(f–1) + 2⇒n = 7t + 2 n + 6 = 8g⇔n = 8g – 6⇔n = 8(g–1) + 8 –6⇔n = 8(g–1) + 2⇒n = 8u + 2
Bilangan bulat positif pertama n yang memiliki sifat-sifat ini adalah 2 . Selanjutnya n dapat dinyatakan sbb:
n = k × KPK (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) + 2 n = 840k + 2 , dengan k = 0,1,2,3,….
Bilangan bulat positif pertama adalah n = 2 diperoleh untuk k = 0.
Bilangan bulat positif kedua adalah n = 840×1 + 2 = 840+ 2 = 842, diperoleh untuk k = 1 ………..
Bilangan bulat positif kelima adalah n = 840×4 + 2 = 3360+ 2 = 3362, diperoleh untuk k = 4 Jadi Bilangan bulat positif kelima yang bersifat seperti tersebut adalah 3362.
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
4. Tiga garis lurus l1, l2, dan l3 mempunyai gradien berturut-turut 3, 4, dan 5. Ketiga garis tersebut memotong sumbu -Y dititik yang sama. Jika jumlah absis titik potong masing-masing garis dengan sumbu -X adalah
60 47
, tentukan persamaan garis l1 SOLUSI :
l1bergradien 3 melalui (r,0) dan (0,k), sehingga
3 3 r k r k − = ⇔ = −
l2bergradien 4 melalui (q,0) dan (0,k), sehingga
4
4 q k
q
k = ⇔ =−
− l3bergradien 5 melalui (p,0) dan (0,k), sehingga
5
5 r k
p
k = ⇔ =−
−
Karena jumlah absis titik potong masing-masing garis dengan sumbu -X adalah
60 47 ,maka 60 47 = + +q r p 60 47 5 4 3 = − + − + −k k k 60 47 60 12 60 15 60 20 = − + − + − k k k 60 47 60 47 = − k 1 − = k
Sehingga persamaan garis l1 bergradien 3 melalui (0,k) = (0, –1) adalah : y – y1 = m (x – x1)
y – (–1) = 3(x – 0) y + 1 = 3x
y = 3x – 1
5. Data akhir suatu kompetisi yang diikuti oleh tiga tim sepakbola, masing-masing tim saling berhadapan, dituliskan pada berikut.
Tim Menang Kalah Seri Gol (Memasukkan-Kemasukan)
Elang 1 0 1 5 2
Garuda 1 0 1 4 3
Merpati 0 2 0 3 7
Berapakah skor pertandingan antara Tim Garuda melawan Tim Merpati?
k p qr x y 3 l 2 l 1 l
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
SOLUSI :Perhatikan diagram skor dan tabel di bawah
Tim Menang Kalah Seri Gol(Memasukkan-Kemasukan)
Elang 1 0 1 5-2
Garuda 1 0 1 4-3
Merpati 0 2 0 3-7
Elang dan Garuda bertanding seri dan keduanya menang atas Merpati.
Total Elang dan Garuda memasukkan gol 5 + 4 = 9. Sedangkan total Merpati kemasukan gol dari Elang dan Garuda adalah 7. Artinya selisih 2 gol terjadi saat Elang dan Garuda bertanding seri atau dengan skor 1 - 1 . Pada tabel diketahui jumlah Gol (Memasukkan-Kemasukan) Garuda 4 – 3. Karena 1 gol memasukkan ke Elang maka sisanya (4 – 1 = 3 gol) pastimemasukkan ke Merpati. Disamping itu Garuda juga kemasukan 1 gol dari Elang, maka sisanyakemasukan (3 – 1=2 gol) dari Merpati.
Jadi skor akhir Garuda melawan Merpati adalah 3 – 2. Elang Garuda Merpati b a− d c− x x− seri menang menang
