Soal OSN Matematika SMP

1. Perbandingan Panjang kaki sudut siku-siku sebuah segitiga siku-siku adalah 2 : 3. Jika Panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 5

√

¹³ , maka luas segitiga siku-siku tersebut adalah…

Penyelesaian:

Misalkan a dan b adalah Panjang kaki sudut siku-siku segitiga di samping.

Diketahui :

 a : b = 2 : 3

 Panjang sisi miring = 5

√

¹³

Ditanya : luas segitiga = …?

a : b = 2 : 3 a

b=2 3 a=2

3b

√

^a2+b2=5

√

¹³

Karena a=2

3b , maka

√ ⁽

^23b

⁾

^2+b2=5

^√

¹³

√

^49b2+b2=5

^√

¹³

√

^49b2+99b2=5

^√

¹³

√

^{139 b2=5}

^√

¹³

√

¹³

√

^b2

√

^{9 =5}

√

¹³

b

√

¹³

3 =5

√

13 a

b

b

√

^{13 = 15}

√

¹³

b=15 a=2

3b a=2

3 x15 a=10

Luas segitiga=1

2x a x b=1

2x10x15=5x15=75

2. Diketahui n adalah bilangan 3 digit yang jika dibagi 7 dan 9 masing-masing memberikan sisa 1 dan 2. Jumlah nilai maksimum dan minimum dari n adalah…

Penyelesaian:

n adalah bilangan 3 digit yang jika dibagi 7 dan 9 masing-masing memberikan sisa 1 dan 2, artinya:

 n = 7a + 1, sehingga n - 1 = 7a

 n = 9b + 2, sehingga n – 2 = 9b

Bilangan tiga digit kelipatan 7 Bilangan tiga digit kelipatan 9

105 108

112 117

119 126

133 135

140 153

154 162

… …

973 972

980 981

987 990

994 999

Dari table diatas cari bilangan tiga digit kelipatan 7 yang jika dijumlahkan dengan 1 hasilnya sama dengan bilangan tiga digit kelipatan 9 yang dijumlahkan dengan 2.

Untuk nilai minimum, bilangan tiga digit kelipatan 7 dan kelipatan 9 yang memenuhi 7a + 1 = 9b + 2 berturut-turut adalah 154 dan 153. (154 + 1 = 155 = 153 + 2). Jadi nilai n minimum adalah 155.

Untuk nilai maksimum, bilangan tiga digit kelipatan 7 dan kelipatan 9 yang memenuhi 7a + 1 = 9b + 2 berturut-turut adalah 973 dan 972. (973 + 1 = 974 = 972 + 2). Jadi nilai n maksimum adalah 974.

Jumlah nilai maksimum dan minimum dari n = 974 + 155 =1129.

3. Pada ∆ABC, ∠ACB = 120^o. Titik E dan F berturut-turut berada pada sisi AB dan AC.

Jika AF = FE = EC = CB, maka ∠ABC = … Penyelesaian:

Misalkan ∠ECF = x^o Maka:

 ∠ECB = ∠ACB - ∠ECF = (120^o – x^o)

 ∠CEB =∠CBE = 180^o–∠E CB

2 = ¹⁸⁰

o–(120^o– x^o)

2 = 60^o+x^o 2 =

30^o +

(

2^x

)

^o

 ∠CFE = ∠ECF = x^o

 ∠CEF = 180^o - ∠CFE - ∠ECF =180^o – x^o – x^o = 180^o – 2x^o

 ∠AFE = 180^o - ∠CFE = 180^o – x^o

 ∠FEA = ∠FAE = 180^o–(180^o– x^o)

2 = x^o

2 180^o = ∠CEB + ∠CEF + ∠FEA

180^o = 30^o +

(

2^x

)

^{o + 180o – 2xo +}

(

2^x

)

^o

180^o = 210^o – x^o B

E

F A

C

x^o = 30^o

∠ABC = ∠CBE = 30^o +

(

2^x

)

^{o = 30o +}

(

³⁰2

)

^{o = 30o + 15o = 45o}

4. Suatu system pencatat kuantitas stok otomatis mengalami gagal desain yang cukup fatal, yaitu tidak terdefinisinya angka 4 dan 6 di system tersebut. Jadi, setelah menampilkan 3, system akan menampilkan 5, dan setelahnya 7. Hal ini terjadi untuk seluruh nilai tempat. Sehingga, setelah menampilkan 399, system akan menampilkan 500 sebagai nilai selanjutnya. Jika system tersebut menyampaikan bahwa tersedia stok sebanyak 1578 bungkus, maka banyak stok tepung yang sesungguhnya tersedia adalah … bungkus.

Penyelesaian:

Untuk angka satu digit terdapat 7 stok

Untuk angka dua digit terdapat 7 x 8 = 56 stok Untuk angka tiga digit terdapat 7 x 8 x 8 = 448 stok

Untuk angka 4 digit itu terdapat (1 x 4 x 8 x 8) + (1 x 1 x 5 x 8) + (1 x 1 x 1 x 7) = 256 + 40 + 7 = 303 stok

Jadi jumlah stok tepung sesungguhnya adalah 7 + 56 + 448 + 303 = 814 stok

5. Misalkan (p, q, r, s) adalah pasangan 4 bilangan dari himpunan {2, 3. 4. 5} yang tidak harus berbeda sehingga p x q – r x s adalah bilangan ganjil. Banyaknya pasangan bilangan yang memenuhi adalah…

Penyelesaian :

Untuk mendapatkan hasil ganjil maka salah satu dari p x q dan r x s harus ganjil

 Kemungkinan 1 : p x q ganjil, r x s genap

p ganjil q ganjil r genap s genap

Banyak Kemungkina

n

2 2 2 2 16

p ganjil q ganjil r genap s ganjil

Banyak Kemungkina

n

2 2 2 2 16

p ganjil q ganjil r ganjil s genap

Banyak Kemungkina

n

2 2 2 2 16

 Kemungkinan 2: p x q genap, r x s ganjil

p genap q genap r ganjil s ganjil

Banyak Kemungkina

n

2 2 2 2 16

p ganjil q genap r ganjil s ganjil

Banyak Kemungkina

n

2 2 2 2 16

p genap q ganjil r ganjil s ganjil

Banyak Kemungkina

n

2 2 2 2 16

Jadi, banyaknya pasangan bilangan yang memenuhi adalah 16 x 6 = 96

6. Sebuah bilangan bulat yang terdiri atas empat digit akan disusun sedemikian sehingga berupa bilangan genap dengan digit pertama (paling kiri) bernilai genap serta tidak ada angka yang berulang. Banyaknya cara menyusun bilangan tersebut adalah…cara.

Penyelesaian:

Diketahui bilangan tersebut berupa bilangan genap dengan digit pertama genap serta tidak ada angka yang berulang.

Karena digit pertama harus genap maka terdapat 4 kemungkinan angka, yaitu 2, 4, 6 , dan 8.

 Kemungkinan 1: angka pada digit 2 dan 3 adalah ganjil.

Maka banyak cara menyusun bilangan = 4 x 5 x 4 x 4 = 320 cara

 Kemungkinan 2: angka pada digit 2 adalah genap dan pada digit 3 adalah ganjil

Maka banyak cara menyusun bilangan = 4 x 4 x 5 x 3 = 240 cara

 Kemungkinan 3: angka pada digit 2 adalah ganjil dan pada digit 3 adalah genap

Maka banyak cara menyusun bilangan = 4 x 5 x 4 x 3 = 240 cara

 Kemungkinan 1: angka pada digit 2 dan 3 adalah genap.

Maka banyak cara menyusun bilangan = 4 x 4 x 3 x 2 = 96 cara Jadi, total banyak cara menyusun bilangan = 320 + 240 + 240 + 96 = 896.

7. Tenda A dan tenda B seperti dalam gambar memiliki lebar 3 m dan tinggi 2 m. Luas bahan yang digunakan untuk membuat tenda A dan tenda B sama. Jika Panjang tenda A adalah 6 cm, maka nilai p sama dengan….

Penyelesaian:

Diketahui luas bahan tenda A = luas bahan tenda B

Luas bahan tenda A = (2 x 6 x 0,5) + (2 x 3 x 0,5) + (2 x ½ x 3 x 1,5) +(2 x 6 x 1,5

√

^2¿

= 6 + 3 + 4,5 + 18

√

²

= 13,5 + 18

√

^{2 m}

Luas bahan tenda B = (2 x ½ x 3 x 2) + (2 x p x 2,5)

= 6 + 4,5p

Luas bahan tenda A = luas bahan tenda B 13,5 + 18

√

² m = 6 + 4,5p

4,5p = 7,5 + 18

√

²

p = 5/3 + 4

√

²

8. Sebuah lantai berbentuk persegi dilapisi dengan ubin berbentuk persegi dengan Panjang sisi p satuan sebanyak n buah. Untuk n = 4 dapat terlihat seperti gambar berikut.

Diketahui q adalah jarak antar ubin pada satu baris dan kolom serta jarak ubin terluar dengan sisi lantai. Jika n = 81 maka persentase luas seluruh ubin dibandingkan luas lantai adalah 64%. Perbandingan nilai p dan q adalah…

Penyelesaian:

cv

Banyak ubin = 81

Luas 1 buah ubin = Panjang sisi ubin x Panjang sisi ubin = p x p = p² Luas seluruh ubin = banyak ubin x luas 1 buah ubin = 81 x p² = 81p²

q

p

Panjang sisi lantai = 9 x Panjang sisi ubin + 10 x jarak antar ubin = 9 x p + 10 x q

= 9p + 10q

Luas seluruh lantai = (9p + 10q)² = 81p² + 180pq + 100q² Persentase luas seluruh ubin = luas seluruh ubin

luas seluruhlantaix100 %

64% = 81p²

81p²+180pq+100q²x100 % 64

100 = 81p²

81p²+180pq+100q² 64

100 = 81p² (9p+10q)²

(

10⁸

)

²⁼

(

9p+10^9p q

)

²

8

10= 9p 9p+10q 72p + 80q = 90p 80q = 18p

8 0 18=p

q p q=40

9

9.