Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Provinsi 2016 (Bagian B) www.olimattohir.blogspot.com

(1)

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

http://olimattohir.blogspot.co.id/ 1

PEMBAHASAN SOAL BAGIAN B

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI

TINGKAT PROVINSI

TAHUN 2016

BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT

9 April 2016

BAGIAN B: SOAL URAIAN

1. Diberikan Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada perpanjangan HE sehingga PE = 1 cm. Tentukan jarak titik P ke bidang yang memuat segitiga AHF.

Pembahasan: 3 cm

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Karena panjang PE = 1, maka panjang VS = SF = PT = 2 2 1

cm. Sehingga panjang PS = 2 2 3

Perhatikan AVF pada gambar (i) didapat

A _B

C E

H G

D

F P

A

B C E

H G

D

F

2 cm 2 cm

1 cm

2 cm

(i) (ii)

6cm P

R

S

U

Q T

P

R

S

U

Q

T

2cm 2

2 1 _cm

2 2 1 _cm 2 cm

2 cm

(2)

http://olimattohir.blogspot.co.id/ 2

AV2 = AF2–FV2 AV2 =

 

2 2 2 –

 

2 2

AV = 6 [lihat pada gambar (ii)]

Selanjutnya perhatikan segiempat ARSV! Panjang AV = RS, sehingga panjang RS = 6 cm

Kemudian perhatikan PRS pada gambar (ii) didapat

Luas PRS =

2 1

× RS × PU

2 1

× PS × TR =

2 1

× RS × PU

2 2 3

× 2 = 6 × PU

PU = 3 6 2

PU = 3

Jadi, jarak titik P ke bidang yang memuat segitiga AHF adalah 3 cm

2. Empat orang siswa makan siang di suatu kantin. Di kantin tersebut masih tersedia 3 porsi nasi goreng, 20 porsi nasi pecel, dan 25 porsi nasi rawon, 19 gelas jus alpukat, 17 gelas jeruk panas, dan 15 gelas jus sirsak. Mereka ingin memesan 4 porsi makanan dan 3 gelas minuman. Tentukan banyak pilihan komposisi makanan dan minuman yang mungkin mereka pesan.

Pembahasan: 140 cara

Alternatif 1

Misalkan porsi makanan nasi goreng adalah g porsi makanan nasi pecel adalah p porsi makanan nasi rawon adalah r

minuman jus alpukat adalah a minuman juruk panas adalah j minuman jus sirsak adalah k

Mencari pola untuk mengetahui komposisi makanan dan minuman

Pertama mencari komposisi makanan, komposisi makanan ada 3 kemungkinan berikut.

(1) 4 porsi untuk satu jenis makanan: dalam kasus ini hanya p dan r, karena g hanya tersedia 3 porsi, sehingga ada 2 cara

(2) 4 porsi untuk dua jenis makanan: dalam kasus ini ketiga jenis makanan terpenuhi dengan masing-masing dua pasanga, yakni g + p, g + r, dan p + r. Sehingga ada 3 cara

(3) 4 porsi untuk ketiga jenis makanan: dalam kasus ini ketiga jenis makanan yang ada terpenuhi, yakni g + p + r. Sehingga ada 3 × 3 = 9 cara

Sehingga seluruhnya untuk komposisi makanan ada sebanyak 2 + 3 + 9 = 14 cara

Kedua mencari komposisi minuman, komposisi minuman juga ada 3 kemungkinan berikut. (1) 3 gelas untuk satu jenis minuman: dalam kasus ini ketiga jenis minuman terpenuhi untuk a,

j, dan k, sehingga ada 3 cara

(2) 3 gelas untuk dua jenis minuman: dalam kasus ini ketiga jenis minuman terpenuhi dengan masing-masing dua pasanga, yakni a + j, a + k, dan j + k. Sehingga ada 2 × 3 = 6 cara (3) 3 gelas untuk ketiga jenis minuman: dalam kasus ini ketiga jenis minuman yang ada

terpenuhi, yakni a + j + k. Sehingga ada 1 cara

Sehingga seluruhnya untuk komposisi minuman ada sebanyak 3 + 6 + 1 = 10 cara

Dengan demikian, komposisi makanan dan minuman yang mungkin adalah 14 × 10 = 140 cara

(3)

http://olimattohir.blogspot.co.id/ 3

Alternatif 2

Misalkan porsi makanan nasi goreng adalah g porsi makanan nasi pecel adalah p porsi makanan nasi rawon adalah r

minuman jus alpukat adalah a minuman juruk panas adalah j minuman jus sirsak adalah k

Mencari pola untuk mengetahui komposisi makanan dan minuman 1) Mencari komposisi untuk makanan:

g + p + r = 4

Banyaknya solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaan g + p + r = 4 sama dengan banyaknya cara terpendek untuk mencapai ujung kanan atas grid dari ujung kiri bawah grid yaitu sebanyak 6 langkah dari tabel 2 baris

6C2 =





! 2 !. 2 6

! 6

 = 3 × 5 = 15

Akan tetapi perlu diketahui bahwa banyak porsi nasi goreng maksimal 3, sehingga harus dikurangi pada saat g = 4, dimana banyak pasangan p + r = 0 sehingga (p, r) ada 1 cara Oleh karena itu, banyak kombinasi untuk makanan sebanyak (q, p, r) = 15 – 1 = 14

2) Mencari komposisi untuk minuman: a + j + k = 3

Banyaknya solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaan a + j + k = 3 sama dengan banyaknya cara terpendek untuk mencapai ujung kanan atas grid dari ujung kiri bawah grid yaitu sebanyak 5 langkah dari tabel 2 baris

5C2 =





! 2 !. 2 5

! 5

 = 5 × 2 = 15

Sehingga banyak kombinasi untuk minuman sebanyak (a, j, k) = 5C2 = 10

Dengan demikian, komposisi makanan dan minuman yang mungkin adalah 14 × 10 = 140 cara

Jadi, banyak pilihan komposisi makanan dan minuman yang mungkin mereka pesan ada sebanyak 140 cara

3. Fungsi f didefinisikan pada bilangan bulat yang memenuhi f

 

1 2016 dan

   

f f

 

n n f

 

n

f 1  2 ....  2 untuk semua n >1. Hitunglah nilai f



2016



.

Pembahasan:

2017 2

Diketahui f(1) + f(2) + f(3) + .... + f(n–1) + f(n) = n2f(n)

Mencari pola untuk mengetahui nilai dari masin-masing fungsi, yakni sebagai berikut.

0 1 2 3

j k

a

0 1 2 3 4 p

r

(4)

http://olimattohir.blogspot.co.id/ 4

f(1) + f(2) + f(3) + .... + f(n–1) + f(n) = n2f(n) f(1) + f(2) + f(3) + .... + f(n–1) = (n–1)2f(n–1)

f(n) = n2f(n) – (n–1)2f(n–1) n2f(n) –f(n) = (n–1)2f(n–1)

(n2–1)f(n) = (n–1)2f(n–1)

f(n) =





1 1 2 2   n n

f(n–1)

f(n) =







1 1 1 1     n n n n

f(n–1)

f(n) =







1



1   n n

f(n–1)

Diketahui f(1) = 2016 f(1) =

1 2016

Untuk n = 2 f(2) =





1 2 1 2  

f(2–1) f(2) = 3 1

f(1) f(2) = 3 2016

Untuk n = 3 f(2) =





1 3 1 3  

f(3–1) f(3) =

4 2

f(2) f(3) =

6 2016

Untuk n = 4 f(4) =







4 1



1 4

 

f(4–1) f(4) =

5 3

f(3) f(4) =

10 2016

Untuk n = 5 f(5) =

6 4

f(4) f(5) = 15 2016

Untuk n = 6 f(6) =

7 5

f(5) f(6) =

21 2016

... ...

Untuk n f(n) =





1 1   n n

f(n–1) f(n) = n U

2016

Perhatikan penyebut dati masing-masing nilai fungsi, yakni berupa barisan barisan segitiga seperti berikut.

1, 3, 6, 10, 15, 21, .... Un

Sedangkan untuk rumus suku ke-n barisan segitiga tersebut adalah Un =

2 n

(n + 1)

Sehingga untuk fungsi f didapat sebagai berikut.

f(n) = n U

2016 _

f(n) =



1



2 2016

 n

n f(n) = 2016





_     1 2 n n Dengan demikian, untuk f(2016) didapat sebagai berikut.

f(n) = 2016





_      1 2 n

n f(2016) = 2016





_

    2017 2016 2

f(2016) =

2017 2

Jadi, nilai f(2016) adalah

2017 2