PEMBAHASAN SOAL BAGIAN A
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI
TINGKAT PROVINSI
TAHUN 2016
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
9 April 2016
BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT
1. Misalkan x1, x2, x3, .... , x2016 adalah 2016 bilangan asli ganjil berurutan yang jumlahnya
merupakan bilangan kuadrat. Nilai x2016 terkecil yang mungkin adalah ....
Pembahasan: 4031
Diketahui x1 + x2 + x3 + .... + x2016 = k2, dimana x bialangan asli ganjil dan k bilangan asli
Karena hasil jumlah n bilangan ganjil adalah bilangan k2, maka nilai x2016 terkecil = 2n – 1
= 2(2016) – 1 = 4032 – 1 = 4031
Jadi, nilai x2016 terkecil yang mungkin adalah 4031
2. Jika ab + ab + ab = cbb dan setiap huruf yang berbeda menyatakan angka yang berdeda juga,
maka nilai a, b, dan c adalah ....
Pembahasan: a = 8, b = 5, dan c = 2
Diketahui ab + ab + ab = cbb ab + ab + ab = cbb
3×ab = cbb
30a + 3b = c100 + 10b + b
30a + 3b = c100 + 11b
30a = c100 + 8b Dengan demikian, nilai b yang memenuhi adalah 5.
Sehingga didapat a = 8 dan c = 2
3. Pada gambar berikut diketahui DP : PB = DN : NC = AM : MB = 1 : 2 serta NQ = QM.
Jika diketahui panjang AC = 6 cm, maka panjang AE adalah .... cm.
Pembahasan: 2 cm
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Diketahui DP : PB = DN : NC = AM : MB = 1 : 2 serta NQ = QM, maka didapat panjang DP = PR = RB = a
dan didapat panjang NP = x , SR = 2x, dan BC = 3x serta didapat juga panjang QS = y dan MC = 2y
NQ = QM, maka panjang NP = EM = x Dengan demikian,
MB AM
= 2 1
y x
AM
2
3 = 2 1
AM =
2 1
(3x + 2y)
Kemudian diketahui AC = 6 cm AC = AM + MC
6 = 2 1
(3x + 2y) + 2y
6 = 2 1
(3x + 2y) + 2 1
(4y)
12 = 3x + 6y
4 = x + 2y (EC = x + 2y = 4) Dengan demikian, AE = AC – EC AE = 6 –EC
AE = 6 – 4
AE = 2 Jadi, panjang AE adalah 2 cm
A E M C B
P
Q D
N
A E M C B
P
Q D
N
a
2 a
a
1 2
x
2x
3x
y
2y
6 cm
R S
1
4. Pada gambar berikut terdapat lima persegi sepusat (semua diagonal persegi berpotongan di satu
titik): P1, P2, P3, P4, dan P5. Titik-titik sudut P2 terletak pada sisi-sisi P1 dan membaginya dengan
perbandingan 1 : 4. Dengan cara yang serupa titik-titik sudut Pk terletak pada sisi-sisi Pk–1 untuk
k {3, 4, 5}. Perbandingan luas P1 dan P5 adalah ....
Pembahasan: 254 : 174
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
5. Banyak cara mendapatkan empat bilangan asli ganjil (dengan urutan tidak diperhatikan) yang
berjumlah 22 adalah ....
Pembahasan: sebanyak 18 cara
Misalkan empat bilangan asli ganjil tersebut adalah a, b, c, dan d Sehingga didapat a + b + c + d = 22
Kemudian kita mencari pola untuk mengetahui nilai-nilai dari a, b, c, dan d 1) Apabila nilai dari a, b, c, dan d semuanya berbeda:
1 + 3 + 5 + 13 = 22
1 + 3 + 7 + 11 = 22 ada sebanyak 3 1 + 5 + 7 + 9 = 22
2) Apabila nilai dari a = b. Sedangkan nilai c dan d berbeda: Apabila a = b = 1 1 + 1 + 3 + 17 = 22
1 + 1 + 5 + 15 = 22
1 + 1 + 7 + 13 = 22 ada sebanyak 4
1 + 1 + 9 + 11 = 22 ada sebanyak 11
Apabila a = b = 3 dengan cara yang sama, didapat sebanyak 3 Apabila a = b = 5 dengan cara yang sama, didapat sebanyak 2 Apabila a = b = 7 dengan cara yang sama, didapat sebanyak 1 Apabila a = b = 9 dengan cara yang sama, didapat sebanyak 1 3) Apabila nilai dari a = b = c. Sedangkan nilai d berbeda:
Apabila a = b = c = 1 1 + 1 + 1 + 19 = 22 ada sebanyak 1 Apabila a = b = c = 3 3 + 3 + 3 + 13 = 22 ada sebanyak 1
Apabila a = b = c = 5 5 + 5 + 5 + 7 = 22 ada sebanyak 1 ada sebanyak 4 Apabila a = b = c = 7 7 + 7 + 7 + 1 = 22 ada sebanyak 1
Dengan demikian, semuanya ada sebanyak 3 + 11 + 4 = 18
Jadi, banyak cara mendapatkan empat bilangan asli ganjil (dengan urutan tidak diperhatikan) yang berjumlah 22 adalah sebanyak 18 cara
6. Garis y = mx + 1 dengan m > 0 memotong parabola y = x2– 2x + 1 di titik A dan B. Jika C adalah
titik puncak parabola tersebut sehingga luas segitiga ABC sama dengan 6 satuan luas, maka nilai
m adalah ....
Pembahasan: m = 2
Diketahui persamaan garis y = mx + 1 dan persamaan parabola y = x2– 2x + 1 Karena kedua persamaan tersebut saling berpotongan, sehingga didapat
mx + 1 = x2– 2x + 1 x2– (m + 2)x = 0
x1.2 =
22 2 2
m
m
x1.2 =
2 2 2
m
m
x1 =
2 2 2
m
m
x1 = 0
x2 =
22 2
m
m
x2 = m + 2
Kemudian, berdasarkan kedua persamaan tersebut didapat ilustrasi gambar sebagai berikut.
Perhatikan segiempat PQBR, ABC, APC, CQB, dan ARB
Luas segirmpat PQBR = Luas ABC + luas APC + luas CQB + luas ARB
PQ × QB = 6 + 2 1
× AP × PC + 2 1
× CQ × QB + 2 1
× AR × RB
x2 × (mx2 + 1) = 2 1
× 12 +
2 1
× 1 × 1 +
2 1
× (x2– 1) × (mx2 + 1) + 2 1
× mx2 × x2
2x2 × (mx2 + 1) = 12 + 1 + (x2– 1)(mx2 + 1) + mx22 2mx22 + 2x2 = 13 + mx22 + x2– mx2– 1 mx22 2mx22 + 2x2 = 12 + 2mx22 + x2– mx2
mx2 +x2 = 12
(m + 1)x2 = 12 ...(2)
Berdasarkan persamaan (2) dan (1), didapat sebagai berikut (m + 1)x2 = 12 dan x2 = m + 2 (m + 1)(m + 2) = 12
m2 + 3m + 3 = 12
m2 + 3m – 10 = 0
(m + 5)(m – 2) = 0 m = –5 atau m = 2 diketahui m > 0, maka yang memenuhi adalah m = 2
Jadi, nilai m adalah 2
7. Diberikan persamaan (x– 3y)2 + 203(x– 3)(y– 1) – 191xy = 9. Jika x dan y adalah bilangan Asli,
maka jumlah dari semua nilai x yang mungkin adalah ....
Pembahasan: 6567
Diketahui, persamaan (x – 3y)2 + 203(x – 3)(y – 1) – 191xy = 9 (x – 3y)2 + 203(x – 3)(y – 1) – 191xy = 9
x2– 6xy + 9y2 + 203(xy– x – 3y + 3) – 191xy = 9 x2– 6xy + 9y2 + 203xy – 191xy – 203(x + 3y – 3) = 9 x2 + 6xy + 9y2 – 203(x + 3y – 3) = 9 (x + 3y)2 – 203(x + 3y – 3) = 9
(x + 3y)2 – 9 = 203(x + 3y – 3) (x + 3y)2 – 32 = 203(x + 3y – 3)
x y
C(1,0) A(0,1)
B(x2, mx2 + 1)
Q(x2,0)
R(0, mx2 + 1)
P(0,0)
(mx2 + 1) – 0 = mx2 + 1 (mx2 + 1) – 1 = mx2
(x + 3y + 3)(x + 3y – 3) = 203(x + 3y – 3) (x + 3y + 3) = 203
x + 3y = 200
Dengan demikian, nilai ymaksimal = 66 yang mengakibatkan nilai xminimal = 2
dan nilai yminimal = 1 yang mengakibatkan nilai xmaksimal = 197
sehingga darisan nilai x nya adalah 2 + 5 + 8 + .... + 191 + 194 + 197 = S66
S66 =
2 66
[2×2 + (65)3]
= 33(4 + 195) = 33(199) S66 = 6567
Jadi, jumlah dari semua nilai x yang mungkin adalah 6567
8. Pada gambar berikut, segitiga sama sisi terletak di dalam sebuah persegi. Perbandingan luas
segitiga dan persegi adalah ....
Pembahasan: 3 : (2 3 + 3)
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Perhatikan EBF dan FCD.
a2 = 2(1 – x)2 dan a2 = x2 + 12 2(1 – x)2 = x2 + 12
2 – 4x + 2x2 = x2 + 1
x2– 4x + 1 = 0
x1,2 = 2 ± 3 yang memenuhi x = 2 – 3
Kemudian perhatikan EFD.
Luas EFD =
4 1
a2 3
= 4
3
(x2 + 1)
= 4
3
2 3 2 1
x
a a
a
1 – x
x 1 – x
A B
C D
E
=
Jadi, perbandingan luas segitiga dan persegi adalah 3 : (2 3 + 3)
9. Dito mencatat bahwa semester ini dia telah mengikuti delapan ulangan harian pelajaran
Matematika. Nilai ulangan diberikan pada skala 100. Catatan Dito menunjukkan bahwa rata-rata
nilai setelah ulangan ke-7 naik 2 poin dibandingkan rata-rata nilai sampai ulangan ke-6.
Sedangkan rata-rata nilai sampai ulangan ke-8 juga naik 2 poin dibanding rata-rata nilai sampai ulangan ke-7. Selisih nilai ulangan ke-8 dan ke-7 adalah .... poin
Pembahasan: 4 Poin
Misalkan rata-rata nilai sampai ulangan ke-6 adalah a nilai ulangan ke-7 adalah b
nilai ulangan ke-8 adalah c
Diketahui (1) catatan Dito menunjukkan bahwa rata-rata nilai setelah ulangan ke-7 naik 2 poin dibandingkan rata-rata nilai sampai ulangan ke-6.
Rata-rata nilai setelah ulangan ke-7: 7 6ab
= (a + 2)
(2) sedangkan rata nilai sampai ulangan ke-8 juga naik 2 poin dibanding rata-rata nilai sampai ulangan ke-7
Rata-rata nilai sampai ulangan ke-8:
8 2 7 a c
= (a + 4)
Dari pernyataan (1) dan (2) didapat
(1)
10. Diketahui banyak suku suatu barisan aritmetika adalah genap. Jumlah suku-suku dengan nomor
ganjil adalah 32 dan jumlah suku-suku dengan nomor genap adalah 50. Jika selisih suku terakhir
dan suku pertamanya adalah 34, maka banyak suku pada barisan tersebut adalah ....
Pembahasan: 18 suku
Diketahui U1 + U2 + U3 + .... + Un dengan n genap Un– a = 34
a + (n – 1)b – a = 34 (n – 1)b = 34 bn – b = 34
b = bn – 34 ... (1)
kemudian U2 + U4 + U6 + .... + Un = 50 U1 + U3 + U5 + .... + Un-1 = 32
(U2 – U1) + .... + (Un– Un-1) = 18
b + b + b + ....+ b = 18
2 n
(b) = 18
bn = 36 ... (2)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2) didapat: b = bn – 34 dan bn = 36 b = 36 – 34
b = 2 sehingga n = 18 Jadi, banyak suku pada barisan tersebut adalah 18 suku
Dibahas oleh: Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://olimattohir.blogspot.co.id/
