Pembahasan Soal SBMPTN 2016 Matematika IPA kode 252 (Sampel Version Unfinished)

(1)

Pembahasan Soal

SBMPTN 2016

SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI

Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS

Matematika IPA

(MATEMATIKA TKD SAINTEK)

Disusun Oleh :

Pak Anang

(2)

Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 1

Jari-jari lingkaran dapat dihitung menggunakan jarak titik pusat ke garis singgung lingkaran. Misal lingkaran berpusat di dan garis singgung lingkaran dapat singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah sama dengan besar gradien dari garis yang melalui kedua pusat lingkaran.

(3)

Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 2 Titik adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran dengan sumbu- , maka persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran yang dimaksud adalah persamaan garis lurus dengan gradien yang melalui adalah:

Jari-jari lingkaran yaitu dapat dihitung menggunakan jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung , yaitu:

(4)

Pada suatu segitiga seperti pada gambar di samping berlaku aturan kosinus:

Sekarang perhatikan segitiga , berlaku aturan kosinus,

(5)

Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 4 Cara 2: Rumus Pengurangan Dua Sudut Sinus

Ingat,

Rumus pengurangan dua sudut sinus:

Perhatikan segitiga dan serta sudut dan ,

Maka diperoleh nilai-nilai trigonometri berikut,

Perhatikan baik-baik bahwa .

Sehingga,

Nilai dapat diperoleh dengan mengkuadratkan nilai ,

(6)

Daerah yang memenuhi dapat dicek dengan menguji nilai pada garis bilangan berikut

(7)

Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 6 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:

Sampai disini, kita harus dapat menemukan pola dari transformasi tersebut, karena akan ribet banget kalau sampe f . H .

Mari kita periksa,

Perhatikan, ternyata transformasi adalah berulang setiap 4 kali, sehingga hasil transformasi ke-24 terhadap transformasi adalah:

Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali,

ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik

tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap

di titik semula. Jadi, bayangan titik adalah tetap .

(8)

Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 2 Cara 2: Matriks Transformasi

Ingat,

Apabila suatu titik dicerminkan terhadap garis , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:

Sehingga, matriks transformasi pencerminan terhadap garis :

Apabila suatu titik dicerminkan terhadap sumbu , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:

Sehingga, matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu :

Misal,

Perhatikan, apabila transformasi terdiri dari pencerminan terhadap garis , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:

Jadi, apabila titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah:

Sampai disini, kita harus dapat menemukan nilai .?

Mari kita periksa terlebih dahulu,

Perhatikan, karena , maka nilai adalah berulang setiap 4 kali, sehingga:

Maka, bayangan titik terhadap transformasi sebanyak 24 kali adalah:

(9)

Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Sifat komposisi pencerminan dua garis saling berpotongan)

Ingat,

Operasi dua pencerminan berurutan terhadap dua garis yang saling berpotongan akan menghasilkan rotasi, dengan:

 Pusat rotasi adalah titik potong kedua garis.

 Sudut rotasi sebesar dua kali sudut yang dibentuk oleh garis pertama dengan garis kedua.

Perhatikan sketsa grafik di bawah,

 Titik potong antara garis dan sumbu ( adalah titik .  Sudut yang dibentuk antara garis dengan sumbu adalah .

Perhatikan lagi sketsa grafik di bawah,

Sehingga, komposisi dua pencerminan berurutan oleh garis dilanjutkan oleh sumbu akan menghasilkan rotasi dengan pusat sebesar .

Nah, karena transformasi sebanyak 24 kali, maka sama artinya dengan dikenakan sebanyak 24 kali rotasi tersebut. Namun, coba perhatikan:

;

Dan mengingat sifat sudut rotasi , maka:

Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap di titik semula.

Jadi, bayangan titik adalah tetap .

(10)

(11)

Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 2 Kita menggunakan alternatif jawaban pada cara (ii) b), yaitu menggeser bidang MNP menjadi bidang ACH.

Perhatikan gambar berikut,

Sudut adalah sudut antara garis dan bidang .

Jadi,

Nah, berarti kita tinggal mencari panjang adalah panjang rusuk kubus, dan merupakan sisi miring pada segitiga siku-siku .

Misalkan terlebih dahulu panjang rusuk kubus adalah . Maka panjang .

Perhatikan, titik merupakan titik potong antara diagonal dan diagonal , maka .

Panjang dapat dicari pada segitiga siku-siku , yaitu:

Jadi,

A _B

C D

E F

G H

P

M

N

�

(12)

Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 3 6. Jika sisa pembagian oleh adalah , dan sisa pembagian

oleh adalah , maka = .... A. 33

B. 43 C. 53 D. 63 E. 73

Pembahasan:

Cara 1: R S B B

Ingat,

Rumus pembagian suku banyak, dimana,

yang dibagi; pembagi; hasil bagi; sisa pembagian

Perhatikan,

Sisa pembagian oleh adalah , maka:

Perhatikan juga bahwa yang akan dicari adalah sisa pembagian oleh dalam bentuk , maka kita harus dapat menemukan bentuk terlebih dahulu. Perhatikan uraian berikut:

Perhatikan bentuk berikut,

Jadi, sisa pembagian oleh sama artinya juga dengan mencari sisa pembagian oleh . Oleh karena itu, mari kita jabarkan terlebih dahulu bentuk sehingga diperoleh:

Sehingga, sisa pembagian dapat diperoleh dengan pembagian bersusun :

TRIK SUPERKILAT:

dibagi oleh bersisa

Karena dibagi bersisa ,

(13)

Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 4 Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:

Jadi, nilai

Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Horner Modifikasi)

S sisa pembagian oleh pembagi derajat berapapun, khususnya pembagi yang tidak bisa difaktorkan, juga dapat diperoleh dengan Horner Modifikasi.

Caranya adalah perhatikan bentuk pembagi berikut:

Maka,

Angka kita susun dari bawah ke atas di bagian kiri bagan Horner Modifikasi. Lalu koefisien dari fungsi yang dibagi ditulis seperti biasa pada Horner Biasa.

Hasil sisa pembagian oleh dapat dilihat pada perhitungan Horner Modifikasi berikut:

Hasil Sisa Pembagian

Jadi,

Sisa pembagian oleh adalah

Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:

Jadi, nilai

Langkah-langkah Horner Modifikasi:

Kolom pertama dijumlahkan, hasilnya 9.

9 dikalikan dengan 0, 3, masing-masing hasilnya 0, 27, .

Kolom kedua dijumlahkan, hasilnya 6.

6 dikalikan dengan 0, 3, masing-masing hasilnya 0, 18, .

(Perkalian berhenti kalau kolom terakhir sudah terisi, yaitu .)

Kolom ketiga dijumlahkan, hasilnya 16.

Kolom keempat dijumlahkan, hasilnya .

(14)

(15)

Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Cek Interval Pilihan Jawaban)

Karena batas interval di pilihan jawaban hanya memuat , , dan . Tidak terlalu banyak dan rumit untuk diperiksa satu per satu untuk menguji jawaban mana yang benar.

Nah, waktu yang diperlukan mungkin bisa lebih singkat ketimbang membuktikan jawaban benar dengan menguraikan menggunakan sifat pertidaksamaan eksponen.

Oke, mari kita coba.

Ada dua alternatif cara TRIK SUPERKILAT yang bisa dilakukan pada soal ini.

Jadi, sebenarnya kita cukup mengecek hal berikut:

 Pertama, cek nilai setiap interval yang disediakan pilihan jawaban.

Ambil sebarang nilai pada setiap interval, lalu substitusikan dan periksa interval

mana saja yang menyebabkan bernilai benar.

Dari pengujian nilai setiap interval, jelas diperoleh interval yang menyebabkan _adalah_.

 Kedua, cek apakah , , dan pada pilihan jawaban menyebabkan nilai .

Lihat pada Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban) di bawah ini:

Cara 3: TRIK SUPERKILAT (Cek Batas Interval Pilihan Jawaban)

(16)

(17)

Rumus suku ke- dan jumlah suku pertama barisan geometri adalah:

S

Perhatikan,

(18)

Cara 2: TRIK SUPERKILAT (Feeling dan Cek Angka pada Pilihan Jawaban)

Ingat,

Rumus suku ke- dan jumlah suku pertama barisan geometri adalah:

S

Perhatikan,

Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250, yang tak lain adalah nilai dari rasio .

.

S . .

Jadi,

(19)

Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 10 atau minimum dengan syarat stasioner serta menentukan nilai fungsinya.

(iii)Membandingkan nilai fungsi pada langkah (i) dan (ii), lalu dipilih sesuai yang diinginkan. Apakah mencari nilai maksimum atau nilai minimum.

Perhatikan,

Kemudian menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua .

(20)

Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 11 Untuk sementara 10 soal dulu ya... Hehe nanti kalau sempat dilanjutin lagi...

Pembahasan soal ini selalu diupdate setiap saat, jadi selalu kunjungi

http://pak-anang.blogspot.com untuk mendapatkan update terbaru pada pembahasan soal ini.

Untuk pembahasan soal-soal SBMPTN dan SNMPTN yang lain silahkan kunjungi

http://pak-anang.blogspot.com.

Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam menghadapi SBMPTN dan SNMPTN serta kumpulan pembahasan soal SBMPTN dan SNMPTN yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi http://pak-anang.blogspot.com.

Terimakasih,