OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA
TAHUN 2016
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT 5 Maret 2016
BAGIAN A: PILIHAN GANDA
1. Nilai dari
1 2016 2020 2015 16 2016 2017 2 2 adalah .... A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015 Pembahasan: A
2016 1
2020 2015 16 2016 2017 2 2 =
2016 4
2016 1
1 2016 16 2016 1 2016 2 2 =
1 2016 4 2016 16 2016 1 2016 1 2016 2 2 =
1 2016 4 2016 4 2016 4 2016 1 2016 2 2 = 2016 – 4 = 2012
Jadi, nilai dari
1 2016 2020 2015 16 2016 2017 2 2 adalah 2012
2. Misalkan
x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x.Jika 1010 10 ... 1003 3 1002 2 1001 1 2
x , maka
x =....A. 35
B. 36
C. 37
Pembahasan: C
Mencari pola penyelesaian untuk menentukan nilai dari x =
1010 10 ... 1003 3 1002 2 1001 1 2 :
Pertama kita coba nilai dari
1001 10 ... 1001 3 1001 2 1001 1 2 = 1001 55 2 = 55 2002 = 36,4
Kedua kita coba nilai dari
1010 10 ... 1010 3 1010 2 1010 1 2 = 1010 55 2 = 55 2020 = 36,727
Dari dua percobaan di atas, jelas bahwa nilai dari x berada di antara nilai 36,4 dan 36,727 atau nilai dari x adalah 36,4 < x < 36,727
Dengan demikian, nilai dari
x = 37Jadi, Jika 1010 10 ... 1003 3 1002 2 1001 1 2
x , maka
x = 373. Jika n! = n · (n – 1) · (n – 2) · .... · 2 · 1, maka
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n! = .... A. (n – 1)! + 1
B. (n + 1)! – 1
C. (n + 1)! + 1
D. n! + n
Pembahasan: B
Perhatikan deret dari 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n! Pada deret tersebut dapat diubah dalam bentuk pola sebagai berikut: = (2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + ....+ n! – (n– 1)! + (n + 1)! –n!) = – 1! + 2! – 2! + 3! – 3! + 4! – 4! + .... – (n– 1)! + n! –n! + (n + 1)! = – 1! + (n + 1)!
= (n + 1)! – 1! = (n + 1)! – 1
Jadi, jumlah dari deret 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n! = (n + 1)! – 1
4. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC adalah .... cm2.
A. 74,00 B. 72,25 C. 68,00 D. 63,75
Pembahasan: D
Perhatikan Ilustrasi gambar berikut.
A B
Perhatikan segitiga BCE! Dengan pythagoras didapat panjang BE = 15 cm, sehingga panjang AE = 2 cm
Perhatikan segitiga AEF! Misalkan panjang FE = x cm, maka panjang AF = (8 –x) cm Dengan pytahgoras didapat:
x2 = (8 –x)2 + 22 = 64 – 16x + x2 + 4 0 = 68 – 16x
x = 4,25 cm
Perhatikan segiempat EFDC! Bangun tersebut merupakan layang-layang yang luasnya dua kali bangun segitiga DCF, karena panjang FE = FD = x = 4,25 cm
Sehingga luas segiempat EFDC = 2 × Luas segitiga DCF
= 2 ×
2 1
× DC × FD
= 2 ×
2 1
× 17 × 4,25
= 17 × 4,25
= 72,25
Jadi, Luas segiempat EFDC adalah 72,25 cm2
5. Diketahui dua titik A(1,1) dan B(12, –1). Garis l dengan gradien 4 3
melalui titik B. Jarak antara
titik A dan garis l adalah .... satuan panjang.
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Pembahasan: B
Diketahui garis l dengan gradien m =
4 3
melalui titik B(12, –1), sehingga a = 12 dan b = –1
Dicari terlebih dulu persamaan garis l, sebagai berikut
y – b = m(x – a)
sehingga m =
4 3
, a = 12 dan b = –1
y – b = m(x – a)
y –(–1) = 4 3
(x– 12)
A B
C D
E
F
G
H
8 cm 17 cm
y + 1 = 4 3 x + 9
y = 4 3 x + 8
3x + 4y– 32 = 0
Jarak antara titik yang memiliki koordinat A(1, 1) dengan garis lurus 3x + 4y– 32 = 0, adalah
Jarak =
2 2
4 3
32 ) 1 ( 4 ) 1 ( 3
= 25 25
=
5 25
= 5
Jadi, Jarak antara titik A dan garis l adalah 5 satuan panjang
6. Perhatikan gambar di samping. Jika BE = 2 cm, EF = 6 cm, dan FC = 4 cm, maka panjang DE adalah .... cm.
A.
4 6
B.
3 6
C. 4
3
D.
3 3 2
Pembahasan: D
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Perhatikan segitiga AFC dan AFB, dengan konsep kesebangunan didapat
AF FC FB AF
AF2 = FC × FB
AF2 = 4 × 8
AF2 = 32
AF = 32
AF = 4 2
Perhatikan segitiga AFC dan ABC, dengan konsep kesebangunan didapat
A
B C
D
E F
A
B C
D
E F
AC FC BC AC
AC2 = FC × BC
AC2 = 4 × 12
AC2 = 48
AC = 48
AC = 4 3
Kemudian, perhatikan segitiga BDE dan ABC, dengan konsep kesebangunan didapat
BC BE AC DE
DE =
BC BE
× AC
DE = 12
2
× 4 3
DE = 3
3 2
Jadi, panjang DE adalah 3
3 2
cm
7. Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 15 m. Di samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi 1 m yang mempunyai bayangan sepanjang 3 m. Radius bola tersebut adalah .... m.
A.
3 10
15
B.
3 10
15
C.
2 5
10
D.
2 5
10
Pembahasan: A
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, coba perhatikan segitiga AFE dan ABC!
Dengan konsep kesebangunan didapat panjang AC = 5 m, sehingga panjang OC = 5 –r,
dan berdasarkan pythagoras didapat panjang EF = 10m dan panjang BC = 5 10. Sehingga
panjang CD = 5 10 – 15
Kemudian perhatikan segitiga ODC!, dengan pytahgoras didapat
OD2 + CD2 = OC2 r2 + (5 10 – 15)2 = (5 –r)2
r2 + 250 – 150 10 + 225 = 25 – 10r + r2 O
r r
15 m
A B
C
D
15 m
1 m
3 m F
475 – 150 10 = 25 – 10r
10r = 25 + 150 10– 475
10r = 150 10– 450
r = 15 10– 45
atau
r =
3 10
3 10 3
10 15
r =
3 10
3 10 3 10 15
r =
3 10
9 10 15
r =
3 10
15 Jadi, radius bola tersebut adalah
3 10
15 m
8. Banyak bilangan real x yang memenuhi x2016–x2014 = x2015–x2013 adalah ....
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Pembahasan: D
x2016–x2014 = x2015–x2013 x2016–x2014 –x2015 + x2013 = 0
x2014(x2– 1) –x2013(x2– 1) = 0 (x2014–x2013)(x2– 1) = 0
x2013(x– 1)( x2– 1) = 0
x2013(x– 1)( x– 1)(x + 1) = 0
x2013(x– 1)2(x + 1) = 0
1) x2013 = 0 x = 0
2) (x– 1)2 = 0 x = 1 ada 3 nilai x yang memenuhi
3) (x + 1) = 0 x = –1
Jadi, banyak bilangan real x yang memenuhi x2016–x2014 = x2015–x2013 adalah 3
9. Jika sistem persamaan
mx + 3y = 21 4x – 3y = 0
memiliki penyelesaian bilangan bulat x dan y, maka nilai m + x + y yang mungkin adalah ....
A. 9
B. 10
C. 11
Pembahasan: B
Dengan metode eliminasi didapat:
mx + 3y = 21 4x – 3y = 0 – (m + 4)x = 21
x =
) 4 (
21
m
karena nilai x harus merupakan bilangan bulat, maka nilai m + 4 haruslah merupakan faktor dari 21. Faktor positif dari 21 terdiri dari 1, 3, 7, 21
1) m + 4 = 1, maka nilai x = 21 (tidakmemenuhi)
2) m + 4 = 3, maka nilai x = 7 (memenuhi untuk nilai x)didapat nilai m = –1
(tapi tidak terpenuhi untuk nilai y bilangan bulat)
3) m + 4 = 7, maka nilai x = 3 (memenuhi untuk nilai x)didapat nilai m = 3 (nilai y juga memenuhi, yaitu y = 4)
4) m + 4 = 21, maka nilai x = 1 (memenuhi untuk nilai x)sehinggadidapat nilai m = 17
(tapi tidak terpenuhi untuk nilai y bilangan bulat)
Dengan demikian nilai yang memenuhi m = 3, x = 3, dan y = 4, sehingga m + x + y = 3 + 3 + 4 = 10
Jadi, nilai m + x + y yang mungkin adalah 10
10. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut:
25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut;
90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri.
Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah ....
A. 9 : 1
B. 9 : 2
C. 9 : 3
D. 9 : 4
Pembahasan: D
Misalkan banyak siswa putra adalah x
banyak siswa putri adalah y
Berdasarkan hasil survei pertama didapat
Banyak siswa yang berminat mengikuti kegiatan paskibraka = 25% x + 50% y
= 4 1
x + 2 1
y
Berdasarkan hasil survei kedua didapat
Dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri = 90%( 4 1
x + 2 1
y)
=
10 9
(
4 1
x +
2 1
Dengan demikian, didapat 10
9 (
4 1
x + 2 1
y) = 2 1
y
9(
4 1
x +
2 1
y) = 10(
2 1
y)
9(x + 2y) = 10(2y) kedua ruas dikalikan 4 9x + 18y = 20y
9x = 2y y : x = 9 : 2
Jadi, rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah 9 : 2
11. Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
ganjil x untuk x
genap x untuk x
x f
, 1 2
, 1 2
Jika a adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah ....
A. 21
B. 39
C. 61
D. 77
Pembahasan: B
Berdasarkan informasi dari soal, maka perlu kita gunakan cara coba-coba untuk mempersingkat waktu, yakni dengan menguji satu-persatu nilai f(a) yang terdapat pada pilihan berikut.
No. f(a) f(a) = 2a + 1,
untuk a genap
f(a) = 2a – 1,
untuk a ganjil Keterangan
1. 21
21 = 2a + 1 2a = 20 a = 10
- Benar untuk nilai a genap
2. 39
39 = 2a + 1 2a = 38 a = 19
(19 untuk f(a) ganjil)
39 = 2a – 1 2a = 40 a = 20
(20 untuk f(a) genap)
Tidak ada nilai yang memenuhi untuk f(a) = 39
3. 61
61 = 2a + 1 2a = 60 a = 30
- Benar untuk nilai a genap
4. 77
77 = 2a + 1 2a = 76 a = 38
- Benar untuk nilai a genap
(untuk mengetahui nilai f(a), boleh mencari satu-persatu dengan mensubstitusikan bilangan asli tersebut ke rumus fungsi yang telah ditentukan)
Jadi, nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah 39
12. Banyak bilangan bulat k > –20 sehingga parabola y = x2 + k tidak berpotongan dengan lingkaran x2 + y2= 9 adalah ....
A. 20
B. 19
C. 11
Pembahasan: D
Diketahui: y = x2 + k dan x2 + y2= 9
Untuk menentukan titik potong, maka persamaan keduanya harus sama, yakni Terlebih dulu persamaan dari y = x2 + k diubah menjadi x2= y – k
x2 + y2= 9 diubah menjadi x2 = 9 –y2, sehingga
y – k = 9 –y2 y2+ y– (k + 9) = 0
kemudian kita selidiki nikai k dengan deskriminan D = 0 b2– 4ac = 0
(1)2– 4(1)[– (k + 9)] = 0
1 + 4k + 36 = 0
4k = –37
k = –9,25
Artinya parabola y = x2 + k akan berpotongan dengan lingkaran x2 + y2= 9 pada daerah nilai k
adalah –9,25 < k≤ 3. Sehingga, selain dari daerah nilai k tersebut kedua persamaan yang dimaksud tidak akan berpotongan, yakni nilai k < –9,25 dan k > 3
Karena diketahui bilangan bulat k > –20, maka kedua persamaan tersebut tidak akan pernah berpotongan ketika nilai k > 3
Jadi, tidak ada pilihan jawaban yang tersedia pada nomor soal 12 ini
Akan tetapi, jika yang diketahui bilangan bulat negatif k > –20, maka kedua persamaan tersebut tidak akan pernah berpotongan ketika nilai –20 < k < –9,25; yaitu {–19, –18, –17, –16, –15, –14,
–13, –12, –11, –10}. Dengan demikian ada 10 nilai k yang memenuhi
Coba perhatikan ilustrasi gambar berikut:
13. Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari tahun 2012 sampai dengan 2015 disajikan pada gambar berikut.
Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.
Tahun 2012 2013 2014 2015
Produk A 1200 2400 2400 3600
Rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah ....
A. 1000
B. 1340
C. 1350
D. 1500
Pembahasan: C
Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.
Tahun 2012 2013 2014 2015
Produk A 1200 60% 2400 80% 2400 40% 3600 90%
Produk B a 40% b 20% c 60% d 10%
a =
% 60
% 40
× 1200 = 800 c =
% 40
% 60
× 2400 = 3600
b =
% 80
% 20
× 2400 = 600 d =
% 90
% 10
× 3600 = 400
Dengan demikian, rata-ratanya =
4
d c b
a
=
4
400 3600 600
800
= 4 5400
= 1350
Jadi, rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah 1350 0%
20% 40% 60% 80% 100%
2012 2013 2014 2015
14. Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ....
A.
13 5
B.
26 8
C. 52 19
D.
104 31
Pembahasan: B
Menurut informasi pada soal bahwa Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna
berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1
sampai dengan 13, maka banyak masing-masing kartu ada 26 dan total semua kartu sebanyak 104
Banyak kartu berwarna merah ada 26, maka peluang terambil kartu berwarna merah = 104
26
Banyak kartu bernomor 13 ada 8 – 2 = 6, maka peluang terambil kartu bernomor 13 = 104
6
Dengan demikian, peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 = 104
26 +
104 6
= 104
32
= 26
8
Jadi, Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah
26 8
15. Terdapat lima bilangan bulat positif dengan rata-rata 40 dan jangkauan 10. Nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah ....
A. 50
B. 49
C. 48
D. 45
Pembahasan: C
Misalkan lima bilangan tersebut adalah a, b, c, d, dan e
Bilangan terbesar e dan bilangan terkecil a
Maka 40
5
b c d e a
a + b + c + d + e = 200
a + b + c + d + e = 200 b + c + d + e + a = 200
e–a = 10 + b + c + d + 2e = 210
e =
2 210 bcd
Jika dianggap kelima bilangan sama, maka masing-masing bilangannya adalah 40 sehingga untuk (b + c + d) = 40×3 = 120
oleh karena itu, e = 2
120
210
=
2 90
= 45 maka e = 45 dan a = 35
Akan tetapi jika (b + c + d) = 39×3 = 117 e = 2
117
210
=
2 93
= 46,5 (tidak memenuhi)
Coba kita cek lagi untuk (b + c + d) = 38×3 = 114 e = 2
114
210
=
2 96
= 48
maka e = 48 dan a = 38
Jadi, nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah 48
Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
