Pembahasan Soal Hari Kedua
OSN SMP
Tingkat Nasional
Tahun 2016
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
HARI KEDUA
1. Diketahui f(x) =
1 untuk semua bilangan rasional
positif p dan q. Perhatikan barisan a1, a2, a3, .... dengan
Mencari pola untuk menentukan barisan an dan f(an), sebagai berikut:
Polanya didapat dari fungsi
Polanya adalah jumlah dari bilangan asli berdasarkan ketentuan berikut:
1) Untuk n ganjil bernilai positif,
2) sedangkan untuk n genap bernilai negatif
a222 = a221224 =
Berdasarkan uraian pada tabel di atas, didapat nilai a223 =
1
2. Diketahui a dan b adalah bilangan bulat positif dengan a > b > 2.
Apakah
merupakan bilangan bulat? Tulis alasan Anda.
Pembahasan: bukan merupakan bilangan bulat
Diketahui a dan b adalah bilangan bulat positif dengan a > b > 2. Dari pernyataan ini ada 2
Akan tetapi untuk bilangan 2 tidak habis dibagi oleh 2b– 1, karena syaratnya b > 2
Dengan demikian, 1
bukan merupakan bilangan bulat.
=
1 21 2 1 2 2
b c bn
c
=
1 2
1 2 1 2
1 2 2
b
c
b bn c
Agar dihasilkan bilangan bulat maka 2b – 1 haruslah pembagi bulat dari 2c(2bn – 1) dan (2b + 1).
Untuk 2c(2bn– 1) habis dibagi oleh 2b– 1, karena
2c × (2bn– 1) = 2c×(2b– 1)(2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + .... 22 + 2 + 1)
Akan tetapi untuk 2c + 1 tidak habis dibagi oleh 2b – 1, karena sudah dibuktikan seperti pada point (i) di atas.
Dengan demikian,
1 2
1 2
b c bn
bukan merupakan bilangan bulat.
Jadi,
1 2
1 2
b a
bukan merupakan bilangan bulat
3. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 1 dm. Terdapat persegi PQRS pada bidang
diagonal ABGH dengan titik P pada HG dan Q pada AH seperti ditunjukkan pada gambar di
bawah. Titik T adalah titik pusat persegi PQRS. Garis HT diperpanjang sehingga memotong garis
diagonal BG di N. Titik M adalah proyeksi N terhadapat BC.
Tentukan volume prisma terpancung DCM.HGN.
Pembahasan:
12 1
(3 2 – 1) dm3
Perhatikan ilustrasi gambar berikut. A
B
C D
E F
G H P
R S
Q
N
M T
Diketahui segiempat PQRS adalah persegi, sehingga besar PQT = QPT = 45 dan besar PTQ = 90.
Selanjutnya perhatikan segiempat tali busur PHQT atau segiempat siklis, didapat besar PQT = PHT = PHN = 45.
Berikutnya perhatikan segitiga GHN! Merupakan segitiga siku-siku di titik G, sehingga karena besar PHN = 45, maka segitiga GHN merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Dengan demikian panjang GN = 1 dm, karena GH = 1 dm
A B
C D
E F
G H P
R S
Q
N
M T
Ditarik sebuah garis tegak lurus dari titik N ke garis FG sehingga memotong di titik K, ilustrasi gambarnya seperti berikut. Dikarenakan segitiga GHN merupakan segitiga siku-siku sama kaki dan panjang GN = 1, maka segitiga OKN merupakan segitiga siku-siku sama kaki di titik K.
Sehingga panjang GK = NK = MC = 2 2 1
dm
Berdasarkan ilustasi gambar di atas, didapat:
Volume prisma terpancung DCM.HGN = volume prisma DCM.HGK– volume Limas GNK.H
= L.aprisma × CG– 3 1
L.alimas × GH
= ( 2 1
× 2 2 1
× 1) × 1 – 3 1 (
2 1
× 2 2 1
× 2 2 1
) × 1
= 2 4 1
– 12
1
= 12
1 2
3
= 12
1
(3 2 – 1)
Jadi, volume prisma terpancung DCM.HGN adalah
12 1
(3 2 – 1) dm3
4. Sembilan pasang suami istri ingin berfoto dalam posisi tiga baris dengan latar belakang Jembatan
Ampera Palembang. Terdapat 4 orang di baris depan, 6 orang di baris tengah, dan 8 orang di
baris belakan. Mereka sepakat bahwa setiap pasang suami istri harus dalam baris yang sama,
serta setiap dua orang yang bersebelahan haruslah pasangan suami istri atau berjenis kelamin
sama.
Tentukan banyak susunan posisi berbeda yang mungkin dilakukan.
Pembahasan: 12.0960
Misalkan suami ke-n: Sn istri ke-n: In
Diketahui terdapat 4 orang di baris depan, 6 orang di baris tengah, dan 8 orang di baris belakan. Mereka sepakat bahwa setiap pasang suami istri harus dalam baris yang sama, serta setiap dua orang yang bersebelahan haruslah pasangan suami istri atau berjenis kelamin sama.
1 dm
K
A B
C D
E
G H
N
M
Perhatikan ilustrasi susunan berikut:
S1 I1 I2 S2 ada 2 × 7
S3 I3 I4 S4 S5 I5 ada 4 × 3 × 6
S6 I6 I7 S7 S8 I8 I9 S9 ada 6 × 4 × 5
Dengan demikian, banyak susunan posisi berbeda yang mungkin dilakukan dalam konsisi seperti pada soal = (2 × 7) × (4 × 3 × 6) × (6 × 4 × 5) = 14 × 72 × 120 = 12.0960
Jadi, banyak susunan posisi berbeda yang mungkin dilakukan adalah ada 12.0960
5. Suatu hotel menyediakan empat jenis kamar dengan kapasitas, tarif, dan banyak kamar seperti
disajikan pada tabel berikut.
Jenis Kamar Kapasitas/Kamar Tarif/hari (Rp) Banyak Kamar
A 1 orang 250.000 3
B 2 orang 400.000 3
C 3 orang 550.000 4
D 4 orang 700.000 2
Satu rombongan yang terdiri dari empat keluarga ingin menginap semalam di hotel tersebut.
Masing-masing keluarga terdiri dari suami-sitri dan anak-anak mereka yang belum menikah.
Banyak anggota keluarga menurut jenis kelamin disajikan pada tabel berikut.
Keluarga Laki-laki Perempuan Total
I 6 2 8
II 2 3 5
III 3 3 6
IV 3 1 4
Ketua rombongan memberlakukan ketentuan sebagai berikut.
(i) Setiap pasang istri harus sekamar dan tidak boleh sekamar dengan pasangan
suami-istri lainnya.
(ii) Laki-laki dan perempuan tidak boleh sekamar kecuali mereka berasal dari satu keluarga.
(iii) Paling sedikit ada satu kamar yang ditempati oleh semua perwakilan keluarga (“kamar
perwakilan”)
(iv) Setiap keluarga menempati paling banyak 3 jenis kamar.
(v) Tidak ada kamar yang ditempati oleh lebih dari satu keluarga kecuali kamar perwakilan.
Anda diminta mengatur kamar untuk rombongan tersebut agar total biaya penginapan semurah
mungkin.
Berikan dua alternatif kemungkinan pengaturan kamar untuk setiap keluarga dan tentukan total
Pembahasan:
Alternatif Pertama
Keluarga Banyak keluarga Jenis kamar Tarif/hari (Rp)
I Laki-laki = 6 Perempuan = 2
a. Suami-Istri ada, 2 anak laki-lakinya dan 1 anak perempuannya di kamar D b. 4 anak laki-lakinya ada di
kamar D
Rp700.000,00 Rp700.000,00 --- + Rp1.400.000,00
II Laki-laki = 2 Perempuan = 3
a. Suami-Istri ada di kamar B b. 1 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di kamar C
Rp400.000,00 Rp550.000,00 --- +
Rp950.000,00
III Laki-laki = 3 Perempuan = 3
a. Suami-Istri dan 1 anak laki-lakinya ada di kamar C
b. 1 anak laki-lakinya dan 2 anak perempuannya ada di kamar C
Rp550.000,00 Rp550.000,00 --- +
Rp1.100.000,00
IV Laki-laki = 3 Perempuan = 1
a. Suami-Istri ada di kamar B b. 2 anak laki-lakinya ada di
kamar B
Rp400.000,00 Rp400.000,00 --- +
Rp800.000,00
Total biaya seluruhnya = Rp1.400.000,00 + Rp950.000,00 + Rp1.100.000,00 + Rp800.000,00
= Rp4.250.000,00
Alternatif Kedua
Keluarga Banyak keluarga Jenis kamar Tarif/hari (Rp)
I Laki-laki = 6 Perempuan = 2
a. Suami-Istri ada di kamar B b. 3 anak laki-lakinya ada di
kamar C
c. 2 anak laki-lakinya dan 1 anak perempuannya ada di kamar C
Rp400.000,00 Rp550.000,00 Rp550.000,00 --- + Rp1.500.000,00
II Laki-laki = 2 Perempuan = 3
a. Suami-Istri ada di kamar B b. 1 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di kamar C
Rp400.000,00 Rp550.000,00 --- +
III Laki-laki = 3 Perempuan = 3
a. Suami-Istri ada di kamar B b. 2 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di kamar D
Rp400.000,00 Rp700.000,00 --- +
Rp1.100.000,00
IV Laki-laki = 3 Perempuan = 1
Keluar IV ini berada di kamar
yang sama, yaitu di kamar D Rp700.000,00
Total biaya seluruhnya = Rp1.500.000,00 + Rp950.000,00 + Rp1.100.000,00 + Rp700.000,00
= Rp4.250.000,00
Dibahas oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
