OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2013
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
A. HARI PERTAMA
1. Diketahui f adalah suatu fungsi sehingga f(x) + 2
mengenolkan fungsi dari f
, fungsi ini bisa dienolkan terjadi apabila dibuat fungsi kebalikan
dari nilai x; artinya adalah mensubstitusi nilai kebalikan dari x ke persamaan tersebut sehingga di dapat dua persamaan, yaitu:
Untuk nilai x = x f(x) + 2 f
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
f(x) + 2 f
Kemudian mencari nilai x yang memenuhi f(x) = f(–x), dari persamaan (3), diperoleh:
2. Diketahui ABC adalah segitiga lancip dengan titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran yang berpusat di titik O. Titik P terletak pada sisi BC sehingga AP adalah garis tinggi segitiga ABC. Jika ∠ABC + 300≤ ∠ACB, buktikan bahwa ∠COP + ∠CAB < 900.
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar baerikut!
Misalkan OAB = a, OAC = b, dan OBC = c.
Diketahui ∠ABC + 300≤ ∠ACB artinya bahwa a + 300≤ b,
jadi b > a (terlihat jelas pada gambar)
Perhatikan ABC dan segitiga sama kaki AOB, AOC, dan BOC. Segitiga tersebut mempunyai hubungan sebagai berikut: ABC = AOB + AOC + BOC
Kemudian perhatikan persegi PQOR dan CPO,
sehingga diperoleh besar CPO = 900 + 450 = 1350 CPO = 1350 besar COP = 1800– (c + CPO)
= 1800– (c + 1350)
COP = 450– c ...(1)
Selanjutnya untuk besar CAB = 1800– (ABC + ACB) a + b = 1800– (a + c + c + b)
= 1800– (a + b + 2c) a + b + c = 900
sehingga CAB = 900– c ...(2) dari persamaan 1) dan 2) diperoleh:
COP + CAB = 450– c + 900– c COP + CAB + 2c – 450 = 900 ...(3) Dari persamaan 3) jelas bahwa COP + CAB < 900
Jadi, terbukti bahwa ∠COP + ∠CAB < 900.
3. Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang lebih besar dari 1 dan berbeda, serta memenuhi sifat bahwa abc membagi habis bc + ac + ab + 2
Pembahasan:
Menurut informasi dari soal dapat dimisalkan bahwa terdapat pertidaksamaan 1 < a < b < c. Karena abc membagi habis bc + ac + ab + 2 itu berarti terdapat bilangan asli k sedemikian sehingga; bc + ac + ab + 2 = k⋅abc ⋯⋯⋯(1)
Dari persamaan (1) diperoleh
k = a 1
+ b 1
+ c 1
+ abc
2
Padahal 1 < a < b < c sehingga diperoleh
A B
C
O P
Q R
a a
b b
k ≤ 2 1
+ 3 1
+ 4 1
+
4 . 3 . 2
2 =
12 14
< 2
Sehingga nilai k yang mungkin hanya k = 1. Selain itu jika a ≥ 3 diperoleh
k ≤ 3 1
+ 4 1
+ 5 1
+ 5 . 4 . 3
2 =
60 49
< 1
Hal ini jelas tidak mungkin karena k bilangan asli. Sehingga, diperoleh a = 2. Kemudian substitusikan nilai k = 1 dan a = 2 pada persamaan (1) diperoleh bc + ac + ab + 2 = k⋅abc ⋯⋯⋯(1)
bc + 2b + 2c + 2 = 2bc 2b + 2c + 2 = bc bc – 2b – 2c = 2 bc – 2b – 2c + 4 = 2 + 4
(b − 2)(c − 2) = 6 Sehingga, untuk nila b dan c ada dua yang mungkin, yaitu b – 2 = 1 dan c – 2 = 6 sehingga diperoleh b = 3 dan c = 8. b – 2 = 2 dan c – 2 = 3 sehingga diperoleh b = 4 dan c = 5.
Dengan demikian a = 2, b = 3, c = 8 ada sebanyak 3! = 6 dan a = 2, b = 4, c = 5 ada sebanyak 3! = 6
Jadi, semua bilangan asli a, b, dan c yang memenuhi adalah sebanyak 6 + 6 = 12
4. Misalkan A, B, dan P adalah paku-paku yang ditanam pada papan ABP. Panjaang AP = a satuan dan BP = b satuan. Papan ABP diletakkan pada lintasan x1x2 dan y1y2 sehingga A hanya bergerak bebas sepanjang lintasan x1x2 dan hanya bergerak bebas sepanjang lintasan y1y2 seperti pada gambar berikut. Misalkan x adalah jarak titik P terhadap lintasan y1y2 dan y adalah terhadap
lintasan x1x2. Tunjukkan bahwa persamaan lintasan titik P adalah 2 1 2
2 2
a y b x
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar baerikut! A B
P
1
x x2
1 y
2 y
A B
P
1
x x2
y 2 y x
y
C
Diketahui AP = a satuan dan BP = b satuan
Untuk menunjukkan bahwa persamaan lintasan titik P adalah 2 1 2
2 2
a y b x
, maka perhatikan
△ADP dan △BCP! Kedua segitiga tersebut adalah sebangun, sehingga diperoleh:
BP BC AP DP
b x b a
y 2 2
2
2 2
2 2
b x b a
y
2 2 2
2 2
x b a y
b
2 2 2 2 2 2
x a b a y
b
2 2 2 2 2 2
b a y b x
a
2 1
2
2 2
a y b
x
Jadi, terbukti bahwa persamaan lintasan titik P adalah 2 1 2
2 2
a y b
x
5. Terdapat tiga buah kotak A, B, dan C masing-masing berisi 3 bola berwarna putih dan 2 bola berwarna merah. Selanjutnya dilakukan pengambilan tiga bola dengan aturan sebagai berikut :
1. Tahap ke – 1
Ambil satu bola dari kotak A 2. Tahap ke – 2
Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke-1 berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B. selanjutnya dari kotak B diambil satu bola. Jika yang terambil adalah bola berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C, sedangkan jika yang terambil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A.
Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke-1 berwarna merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C. selanjutnya dari kotak C diambil satu bola. Jika yang terambil adalah bola berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A, sedangkan jika yang terambil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B.
3. Tahap ke – 3
Ambil masing-masing satu bola dari kotak A, B, dan C
Berapa peluang bahwa semua bola yang terambil pada tahap ke – 3 berwarna merah?
Pembahasan:
Diketahui Kotak A, Kotak B, dan Kotak C
Menurut informasi dari soal, maka terdapat 4 kemungkinan yang akan terjadi pada pengambilan warna bola, yaitu:
Kemungkinan (I)
Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke-1 berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B. selanjutnya dari kotak B diambil satu bola. Jika yang terambil adalah bola berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C
Kotak/Tahap Tahap I Tahap II Tahap III
Banyak Peluang
5
Kemungkinan (II)
Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke-1 berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B. selanjutnya dari kotak B diambil satu bola. jika yang terambil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A
Kotak/Tahap Tahap I Tahap II Tahap III
Banyak Peluang
5
Kemungkinan (III)
Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke-1 berwarna merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C. selanjutnya dari kotak C diambil satu bola. Jika yang terambil adalah bola berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A
Kotak/Tahap Tahap I Tahap II Tahap III
Banyak Peluang
Kemungkinan (IV)
Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke-1 berwarna merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C. selanjutnya dari kotak C diambil satu bola. jika yang terambil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B
Kotak/Tahap Tahap I Tahap II Tahap III
A C A B C
Warna bola terambil M M M M M
Peluang
3P, 2M 3P, 3M 3P, 1M 3P, 3M 3P, 2M
M = 5 2
P = 6 3
M = 4 1
M = 6 3
M = 5 2
Banyak Peluang
5 2
× 6 3
× 4 1
× 6 3
× 5 2
= 100
1
Karena dari ke-4 kemyngkinan duatas saling lepas, maka banyaknya Peluang seluruhnya adalah
75 2
+ 625
6 +
625 6
+ 100
1 =
7500 419
Jadi, peluang 3 bola yang terambil pada tahap ke – 3 berwarna merah adalah 7500
419
