Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 (Hari Kedua) www.olimattohir.blogspot.com

(1)

OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2013

Bidang Matematika

Waktu: 2×90 Menit

B. HARI KEDUA

1. Apakah ada bilangan asli n sehingga n2 + 5n + 1 habis dibagi oleh 49? Jelaskan!

Pembahasan:

(1)Jika n = 49a

n2 + 5n + 1  (49a)2 + 5(49a) + 1

 49a(a + 5) + 1

Karena 49a(a + 5) habis dibagi 49, maka 49a(a + 5) + 1 tidak habis dibagi 49

(2)Jika n = 49a + 1

n2 + 5n + 1  (49a + 1)2 + 5(49a + 1) + 1

 2401a2 + 98a + 1 + 343a + 5 + 1

 2401a2 + 343a + 343a + 7

 343a(a + 1) + 7

Karena 343a(a + 1) habis dibagi 49, maka 343a(a + 1) + 7 tidak habis dibagi 49

(3)Jika n = 49a – 1

n2 + 5n + 1  (49a – 1)2 + 5(49a – 1) + 1

 2401a2– 98a + 1 + 343a – 5 + 1

 2401a2 + 147a – 3

 49a(a + 3) – 3

Karena 49a(a + 3) habis dibagi 49, maka 49a(a + 3) – 3 tidak habis dibagi 49

Jadi, dapat disimpulkan tidak ada bilangan asli n_sehinggan2_{+ 5}n _{+ 1 habis dibagi oleh 49}

2. Diketahui parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–3, 4) dan (3, 16), serta tidak memotong sumbu-x. Carilah semua nilai absis yang mungkin untuk titik puncak parabola tersebut.

Pembahasan:

Diketahui persamaan parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–3, 4) dan (3, 16), diperoleh: Untuk (–3, 4)  4 = a(–3)2 + b(–3) + c

 4 = 9a – 3b + c ...(1) Untuk (3, 16)  16 = a(3)2 + b(3) + c

(2)

9a – 3b + c = 4 dari persamaan 3) dan 1) diperoleh

9a – 3b + c = 4  9a – 3(2) + c = 4  c = 10 – 9a ...(4)

Karena diketahui persamaan parabola tersebut tidak memotong sumbu-x, maka berakibat nilai dari a > 0 dan diskrimannya: D < 0,

Untuk D < 0:

b2– 4ac < 0  22– 4ac < 0  4 – 4ac < 0  ac > 1 ...(5) Dari persamaan 4) dan 5) diperoleh

c = 10 – 9a  a(10 – 9a) > 1  10a – 9a2 > 1

 9a2– 10a + 1 < 0

 (9a – 1)(a – 1) < 0  (9a – 1)(a – 1) = 0

Sehingga diperoleh a = 9

Selanjutnya: mencari nilai absis dari titik puncak 



Dengan demikian diperoleh 9 1

< a < 1 – 9 < x < –1

Jadi, semua nilai absis yang mungkin adalah {x_|–_{9 <}x_<–_1}

3. Diketahui T.ABC adalah limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk 2 cm. Titik-titik P, Q, R, dan S berturut-turut merupakan titik berat segitiga ABC, segitiga TAB, segitiga TBC, dan segitiga TCA. Tentukan volume limas segitiga beraturan P.QRS. (catatan : titik berat suatu segitiga adalah perpotongan ketiga garis berat)

Pembahasan:

Perhatikan gambar ilustrasi berikut!

Diketahui T.ABC adalah limas segitiga beraturan, sehingga akan berlaku beberapa hal berikut ini!

(3)

Perhatikan gambar (b) Garis AU adalah garis berat pada segitiga ABT sama sisi, sehingga  AUB adalah siku-siku di U dan pada garis berat berlaku perbandingan AQ : QU = 2 : 1 ...(1) Selanjutnya mencari panjang AQ dengan mencari terlebih dulu panjang AU (Pythagoras)

AU2 = AB2– BU2 AU2 = 22– 12  AU = BD = 3 Sehingga AQ + QU = 3 ...(2)

Dari persamaan 1) dan 2) diperolah

AQ + QU = 3  AQ + Perhatikan gambar (c) Kemudian mencari tinggi limas (Pythagoras)

TP2 = TA2– AP2  TP2 = 22–

Sehingga volume limas segitiga beraturan T. ABC yaitu

Volume Limas T.ABC = 3

Selanjutnya perhatika gambar c) pada segitiga TPA, dengan persamaan 1) diperoleh

TS = BP = AQ = 3

Kemudian perhatikan limas T.ABC dengan P.QRS pada gambar a), keduanya adalah sebangun, sehingga diperoleh:

xVolume Limas T.ABC

=

Jadi, volume limas segitiga beraturan P.QRS adalah 2

81 2

(4)

4. Pada suatu acara diundang 13 orang tamu istimewa yang terdiri dari 8 orang pria dan 5 orang wanita. Khusus untuk semua tamu istimewa tersebut disediakan 13 tempat duduk pada satu baris khusus. Jika diharapkan tidak ada dua orang wanita yang duduk bersebelahan, tentukan banyak posisi duduk yang mungkin untuk semua tamu istimewa tersebut

Pembahasan:

Menurut informasi dari soal bahwa Pada suatu acara diundang 13 orang tamu istimewa yang terdiri dari 8 orang pria dan 5 orang wanita, sehingga mengatur tempat duduk 8 pria dalam satu baris yaitu ada 8! cara. Sedangkan untuk kelima wanita tersebut dapat ditempatkan di sela - sela tempat duduk laki - laki, yaitu ada 9 pilihan tempat duduk yang dapat dipilih oleh kelima wanita tersebut, seperti pada tabel berikut

x L x L x L x L x L x L x L x L x

Keterangan: adalah tempat duduk Pria

adalah pilihan tempat duduk yang mungkin bagi Wanita

Sehingga cara mengatur tempat duduk kelima wanita tersebut dapat menggunakan aturan

permutasi, yakni: Prn =

)! (

! r n

n

 

9 5 P =

)! 5 9 (

! 9

 = 9 x 8 x 7 x 6 x 5= 15120

Jadi, total banyak posisi duduk yang mungkin dari ketiga belas tamu istimewa tersebut

adalah 15120 × 8! cara.

5. Sebuah tabel yang berukuran n baris dan n kolom akan diisi dengan bilangan 1 atau –1 sehingga hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap baris dan hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap kolom adalah – 1. Berapa banyak cara berbeda untuk mengisi tabel tersebut?

Pembahasan:

Berdasarkan informasi dari soal ada Sebuah tabel permainan angka berukuran n _x n akan diisi dengan bilangan 1 atau –1 sehingga hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap baris dan hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap kolom adalah – 1. Untuk itu kita mencari pola penyelesaiannya mukalia dari ukuran minimum, yakni sebagai berikut:

Untuk ukuran 1 × 1:

Untuk ukuran 2 _x 2: –1 ada 1 cara

1 –1

–1 1

1 –1

ada 2 cara L

(5)

Untuk ukuran 3 _x 3:

Perhatikan polanya:

Untuk ukuran 1 _x 1  ada 1 cara  20  2(1-1)x2  ₂ 112

. . . .

Untuk ukuran n _x n  ada ... cara  2...  2...  2 n12

Untuk pola 1: pola ini masih belum nampak jelas, walaupun bilangan pokoknya sudah sama,

Untuk pola 2: untuk pangkatnya polanya sudah sama, tapi pada ukuran 2_x2 mengakibatkan hasil yang salah, yakni 2(2-1)x2_{= 2}2_dan₂2≠₂1_{. Sehingga pola ini masih kurang tepat.}

Untuk pola 3: coba perhatikan polanya! Pola ini masing-masing sudah sama, baik bilangan pokoknya mapun pangkatnya. Sehingga polanya ‘sudah benar’, yakni ₂ n12

Kemudian kita buktikan bahwa setiap cara pengisian dari tabel (n – 1)_x(n – 1) yang pertama, agar selalu bisa mengisi bilangan - bilangan pada kolom ke-n dan baris ke-n terpenuhi, yaitu adalah: Jika hasil kali dari (n – 1) bilangan pada suatu baris (atau kolom) adalah 1 maka bilangan terakhir pada baris (atau kolom) tersebut adalah –1.

1 1 –1

1 –1 1

–1 1 1

1 –1 1

1 1 –1

1 –1 1

–1 –1 –1

1 –1 1

–1 –1 –1

1 1 –1

–1 1 1

1 –1 1

–1 1 1

1 1 –1

1 –1 1

–1 –1 –1

–1 1 1

–1 –1 –1

–1 1 1

1 –1 1

–1 1 1

1 1 –1

1 –1 1

1 1 –1

–1 1 1

–1 –1 –1

1 –1 1

1 1 –1

–1 –1 –1

1 1 –1

–1 –1 –1

1 1 –1

–1 –1 –1

–1 1 1

–1 –1 –1

1 1 –1

–1 –1 –1

ada 16 cara

1

(6)

Sedangkan jika hasil kali dari (n – 1) bilangan pada suatu baris (atau kolom) adalah –1 maka bilangan terakhir pada baris (atau kolom) tersebut adalah 1.

Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa untuk menghitung banyak cara berbeda pada pengisian tabel tersebut cukup kita menghitung banyaknya mengisi tabel (n – 1)_x(n – 1) yaitu

sebanyak 2 n12 (karena hanya dapat diisi dengan 1 atau –1).

Jadi, banyak cara berbeda untuk mengisi tabel tersebut adalah ada 2 n12

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com