Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 www.olimattohir.blogspot.com

(1)

Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

http://olimattohir.blogspot.co.id/ 1

OSN SMP

Tingkat Nasional

Tahun 2013

Bidang Matematika

2. Diketahui ABC adalah segitiga lancip dengan titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran yang berpusat di titik O. Titik P terletak pada sisi BC sehingga AP adalah garis tinggi segitiga ABC. Jika ∠ABC + 300≤ ∠ACB, buktikan bahwa ∠COP + ∠CAB < 900.

3. Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang lebih besar dari 1 dan berbeda, serta memenuhi sifat bahwa abc membagi habis bc + ac + ab + 2

4. Misalkan A, B, dan P adalah paku-paku yang ditanam pada papan ABP. Panjaang AP = a satuan dan BP = b satuan. Papan ABP diletakkan pada lintasan x1x2 dan y1y2 sehingga A hanya bergerak

bebas sepanjang lintasan x1x2 dan hanya bergerak bebas sepanjang lintasan y1y2 seperti pada

gambar berikut. Misalkan x adalah jarak titik P terhadap lintasan y1y2 dan y adalah terhadap

(2)

5. Terdapat tiga buah kotak A, B, dan C masing-masing berisi 3 bola berwarna putih dan 2 bola berwarna merah. Selanjutnya dilakukan pengambilan tiga bola dengan aturan sebagai berikut :

1. Tahap ke – 1

Ambil satu bola dari kotak A 2. Tahap ke – 2

 Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke-1 berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B. selanjutnya dari kotak B diambil satu bola. Jika yang terambil adalah bola berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C, sedangkan jika yang terambil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A.

 Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke-1 berwarna merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C. selanjutnya dari kotak C diambil satu bola. Jika yang terambil adalah bola berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A, sedangkan jika yang terambil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B.

3. Tahap ke – 3

Ambil masing-masing satu bola dari kotak A, B, dan C

Berapa peluang bahwa semua bola yang terambil pada tahap ke – 3 berwarna merah?

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: [email protected]

(3)

B. HARI KEDUA

6. Apakah ada bilangan asli n sehingga n2 + 5n + 1 habis dibagi oleh 49? Jelaskan!

7. Diketahui parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–3, 4) dan (3, 16), serta tidak memotong sumbu-x. Carilah semua nilai absis yang mungkin untuk titik puncak parabola tersebut.

8. Diketahui T.ABC adalah limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk 2 cm. Titik-titik P, Q, R, dan S berturut-turut merupakan titik berat segitiga ABC, segitiga TAB, segitiga TBC, dan segitiga TCA. Tentukan volume limas segitiga beraturan P.QRS. (catatan : titik berat suatu segitiga adalah perpotongan ketiga garis berat)

9. Pada suatu acara diundang 13 orang tamu istimewa yang terdiri dari 8 orang pria dan 5 orang wanita. Khusus untuk semua tamu istimewa tersebut disediakan 13 tempat duduk pada satu baris khusus. Jika diharapkan tidak ada dua orang wanita yang duduk bersebelahan, tentukan banyak posisi duduk yang mungkin untuk semua tamu istimewa tersebut

10. Sebuah tabel yang berukuran n baris dan n kolom akan diisi dengan bilangan 1 atau –1 sehingga hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap baris dan hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap kolom adalah – 1. Berapa banyak cara berbeda untuk mengisi tabel tersebut?

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: [email protected]