Pembahasan Osn Matematika Smp 2010

(1)

OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2010

BIDANG STUDI : MATEMATIKA

BAGIAN A : PILIHAN GANDA

1.

1. GarisGaris ll melalui titik (-4, -3) dan (3,4). melalui titik (-4, -3) dan (3,4). Jika garisJika garis ll juga melalui titik (juga melalui titik (aa,,bb), maka nilai), maka nilai aa33 _–_{– b}_b33

– 3 – 3aa22_b_{b + 3}_{+ 3ab}_ab22 _{– 3}_{– 3}33_{= …}_{= …} A A. . 223 3 BB. . 1 1 CC. . --1 1 DD. . --228 8 EE. . --3311 JAWAB JAWAB : : DD Persamaan garis Persamaan garis ll ⇒⇒ 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 + + + + = = + + + + xx y y y y + 3 =+ 3 = x x + 4+ 4 x x –– y y = -1= -1 garis

garis ll melalui (melalui (aa,,bb))⇒⇒ _a_{a -- b = -1}_{b = -1}

2.

2. Jika bJika bilangan gilangan ganjil danjil dikelompokkan ikelompokkan seperti seperti berikut berikut : {1}, : {1}, {3,5}, {7,{3,5}, {7,9,11}, {13,15,9,11}, {13,15,17,19},17,19}, maka suku tengah dari kelompok ke-11 adalah …

maka suku tengah dari kelompok ke-11 adalah … A

A. . 221 1 BB. . 331 1 CC. . 61 61 DD. . 11111 1 EE. . 112211 JAWAB : E

JAWAB : E Berdasar

Berdasarkan kelompok tersebut, maka titik tengahnya adalah : 1, 4, 9, kan kelompok tersebut, maka titik tengahnya adalah : 1, 4, 9, 16, ….,16, …., nn22

Sehingga titik tengah kelompok ke – 11

Sehingga titik tengah kelompok ke – 11 adalah 11adalah 1122_{= 121}_{= 121} 3.

3. nn adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 7 + adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 7 + 3030nn bukan bilangan prima. Nilai daribukan bilangan prima. Nilai dari 64 – 16 64 – 16nn ++ nn22 _{adalah ....}_{adalah ....} A. A. 11 BB.. 44 DD.. 99 DD..1166 EE..2255 JAWAB : B JAWAB : B Kita uji untuk

Kita uji untuk masing-masmasing-masing bilangan bulating bilangan bulat positif terkecil positif terkecil n = n = 11 →→ _{7 + 30}_{7 + 30n = 37 (prima)}_{n = 37 (prima)} n = n = 22 →→ _{7 + 30}_{7 + 30n = 67 (prima)}_{n = 67 (prima)} n = n = 33 →→ _{7 + 30}_{7 + 30n = 97 (prima)}_{n = 97 (prima)} n = n = 44 →→ 7 + 307 + 30n = 127 n = 127 (prima)(prima) n = n = 55 →→ _{7 + 30}_{7 + 30n = 157}_{n = 157 (prima)}_(prima) n =

n = 66 →→ _{7 + 30}_{7 + 30n = 187}_{n = 187 (bukan prima)}_{(bukan prima)}

4.

4. DijDijuaual l 100 lemba100 lembar r kupkupon, on, 2 2 diadiantantaranranya ya berberhahadiadiah. h. Ali membAli membeli 2 eli 2 lemlembar undibar undian.an. Peluang Ali Mendapat dua hadiah adalah ...

Peluang Ali Mendapat dua hadiah adalah ... A. A. 5 500 1 1 B. B. 1 10000 1 1 C. C. 2 20000 1 1 D. D. 4950 4950 1 1 E. E. 9900 9900 1 1 JAWAB : D JAWAB : D

Peluang 1 kupon mendapat hadiah = Peluang 1 kupon mendapat hadiah =

1 10000 2 2 = = 5 500 1 1 Pe

Peluluanang g 1 1 kukupopon n lalagi gi memendndapapat at hahadidiah ah ==

9 999

1 1

(k

(kararenena a titingnggagal l 99 99 kukupopon n dedengngan an 11 berhadiah)

berhadiah)

Maka peluang 2 kupon

Maka peluang 2 kupon Ali kedua-duanya merupakan kupon berhadiah adalahAli kedua-duanya merupakan kupon berhadiah adalah

5 500 1 1 x x 9 999 1 1 = = 4950 4950 1 1 5.

5. BilaBilangan tiga digngan tiga digit 2A3 jika ditamit 2A3 jika ditambah 326 akan mengbah 326 akan menghasihasilkan billkan bilangaangan tiga digit 5B9.n tiga digit 5B9. Jika 5B9 habis dibagi 9, maka A + B = ...

Jika 5B9 habis dibagi 9, maka A + B = ... A A.. 55 BB.. 66 CC..77 DD..88 EE.. 99 JAWAB : B JAWAB : B 2 A 3 2 A 3 3 2 6 3 2 6 5 B 9 5 B 9 a a33 _–_{– b}_b33_{– 3}_{– 3a}_a22_b_{b + 3}_{+ 3ab}_ab22 _{– 3}_{– 3}33 _{= (}_{= (a}_{a –}_{– b}_b))33 _{– 3}_{– 3}33 [( [(aa –– bb))33 ₌_{= a}_a33_–_{– b}_b33_{– 3}_{– 3a}_a22_b_{b + 3}_{+ 3ab}_ab22_]] = (-1) = (-1)33 _{– 3}_{– 3}33 = -1 – 27 = -1 – 27 = -28 = -28

Maka n yang memenuhi adalah 6, Maka n yang memenuhi adalah 6, Sehingga Sehingga 64 – 16 64 – 16nn ++ nn22 _{= 64 – 16 x 6 + 6}_{= 64 – 16 x 6 + 6}22 = 64 – 96 + 36 = 64 – 96 + 36 = 4 = 4 +

+ 5B9 habis dibagi 9, maka B 5B9 habis dibagi 9, maka B = 4, sehingga A_{= 2}_{= 2} = 4, sehingga A Maka A + B = 6

(2)

6.

6. Sebuah mata uang dan sebuaSebuah mata uang dan sebuah dadu dilantunkan bersamah dadu dilantunkan bersama-sama, maka peluan-sama, maka peluangg munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah ...

munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah ... A. A. 6 6 1 1 B. B. 4 4 1 1 C. C. 8 8 3 3 D. D. 3 3 2 2 E. E. 8 8 5 5 JAWAB : D JAWAB : D

Peluang muncul mata dadu lebih

Peluang muncul mata dadu lebih dari 2 (3,4,5,6) adalahdari 2 (3,4,5,6) adalah

6 6 4 4 = = 3 3 2 2 7.

7. Diberikan dua buah bilangan bulat berbeda yang berjumlah 37. Apabila bilangan yangDiberikan dua buah bilangan bulat berbeda yang berjumlah 37. Apabila bilangan yang lebih besar dibagi bilangan yang lebih kecil, maka hasilnya baginya adalah 3 dan sisanya 5. lebih besar dibagi bilangan yang lebih kecil, maka hasilnya baginya adalah 3 dan sisanya 5. selisih kedua bilangan tersebut adalah

selisih kedua bilangan tersebut adalah ... A

A. . 221 1 BB. . 222 2 CC. . 223 3 DD. . 224 4 EE. . 2255 JAWAB : A

JAWAB : A

Misalkan kdua bilangan itu adalah A dan B (A > Misalkan kdua bilangan itu adalah A dan B (A > B)B) A + B = 37 A + B = 37 A = 3B + 5 A = 3B + 5 Maka Maka 3B + 5 + B = 37 3B + 5 + B = 37 →→ 4B = 324B = 32 →→ B = 8B = 8 dan A = 37 – 8 dan A = 37 – 8 →→ _{A = 29}_{A = 29} S Seelliissiihhnnyya a = = 2211 8.

8. Jika x : y = 3 : 4, maka nilaiJika x : y = 3 : 4, maka nilai 22 22 2 2 y y x x x x y y x x x x + + − − − − adalah ...adalah ... A. A. 2 255 8 844 − − B.B. 2 255 6 666 − − C.C. 2 255 8 844 D. D. 2 255 6 666 E. E. 2 255 1 11155 JAWAB : A JAWAB : A x = x = 4 4 3 3 y y →→ ₂₂ ₂₂ 2 2 y y x x x x y y x x x x + + − − − − == 2 2 2 2 2 2 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 y y y y y y y y y y y y

++

























−−

= = 1 166 2 255 1 166 9 9 4 4 1 1 4 4 3 3 − − − − = = 2 255 9 9 3 3−− − − == 2 255 8 844 − − 9.

9. Roda A dengan jari-jari 40 cm dan roda B dengan jari-jari 10 cm dihubungkan denganRoda A dengan jari-jari 40 cm dan roda B dengan jari-jari 10 cm dihubungkan dengan sebuah tali yang melingkari keduanya. Jika jarak pusat kedua roda adalah 60 cm, maka sebuah tali yang melingkari keduanya. Jika jarak pusat kedua roda adalah 60 cm, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah ... cm

panjang tali yang dibutuhkan adalah ... cm A. 60 ( A. 60 ( 33 ₊₊ ππ ₎_{) B.}_{B. 56}₅₆₍₍ 33 ₊₊ππ ₎₎ _C_C._.₅₅₀₀₍₍ 33 ₊₊ππ ₎₎ _D._D_{. 4}₄₀₀₍₍ 33 ₊₊ ππ ₎₎ E. 38( E. 38( 33 ₊₊ππ ₎₎ JAWAB : A JAWAB : A Ilustrasi soal Ilustrasi soal P P Q Q 60 60 cm cm P P R R 30 30 cm cm M M P P N N P P S S P P T T Perhatikan

Perhatikan ∆∆ _{PQR (siku-siku di P)}_{PQR (siku-siku di P)}

PQ = PQ = 22 22 3 300 6 600 −− = 30= 30 33 cmcm ∠ ∠ PRQ =PRQ = ∠∠PMN = 60PMN = 6000_{(karena PQ/RQ = ½}_{(karena PQ/RQ = ½} ₃₃ ₎₎

Maka panjang tali busur besar PS =

Maka panjang tali busur besar PS = 22 4040 36 3600 24 2400 0 0 0 0 × × × × × × π π = = π π 3 3 1 16600 ∠ ∠_{MRQ =}_{MRQ =} ∠∠_{MNQ = 120}_{MNQ = 120}00_,,

maka panjang tali busur kecil QT =

maka panjang tali busur kecil QT = 22 1010 36 3600 12 1200 0 0 0 0 × × × × π π == π π 3 3 2 200

maka panjang tali = 2 x 30

(3)

Ilustrasi soal Ilustrasi soal

11.

11. Jika diberikan Sn = 1 – 2 + 3 – 4 + ... + (-1)Jika diberikan Sn = 1 – 2 + 3 – 4 + ... + (-1)n-1n-1_{n, dengan n bilangan asli, maka nilai S}_{n, dengan n bilangan asli, maka nilai S} 17 17++ S S88+S+S4545adalah ...adalah ... A A. . --5 5 BB. . 0 0 CC. . 17 17 DD. . 228 8 DD. . 3300 JAWAB : D JAWAB : D S S1717 = 1 – 2 + 3 – 4 + ....+ 15 – 16 + 17 == 1 – 2 + 3 – 4 + ....+ 15 – 16 + 17 = (( 11)) (( 11)) ... (( 11)) 1717 8 8 + + − − + + + + − − + + − −           kali kali = -8 + 17 = 9 = -8 + 17 = 9 S S88 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 = - 4= 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 = - 4 S S4545 = 1 – 2 + 3 – 4 + .... + 43 – 44 + 45 == 1 – 2 + 3 – 4 + .... + 43 – 44 + 45 = 4 455 )) 1 1 (( .... .... )) 1 1 (( )) 1 1 (( .. 22 22 + + − − + + + + − − + + − −           kali kali = - 22 + 45 = 23 = - 22 + 45 = 23 S S1717+ S+ S88 +S+S4545= 9 – 4 + 23 = 28= 9 – 4 + 23 = 28 12.

12. Tersedia tujuh gambar berbeda yang akan dipilih empat gambar yang akan dipasangTersedia tujuh gambar berbeda yang akan dipilih empat gambar yang akan dipasang membentuk barisan memanjang. Banyaknya cara yang dapat

membentuk barisan memanjang. Banyaknya cara yang dapat dilakukan jika sebuah gambardilakukan jika sebuah gambar yang terpilih harus selalu dipasang di ujung adalah ...

yang terpilih harus selalu dipasang di ujung adalah ... A

A. . 44220 0 BB. . 55004 4 CC. . 52520 0 DD. . 77220 0 EE. . 771100 JAWAB : A

JAWAB : A

Misalkan ketujuh gambar diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5, Misalkan ketujuh gambar diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 76, 7 Akan dipilih empat gambar dari tujuh

Akan dipilih empat gambar dari tujuh gambar tersebut.gambar tersebut. Cara-carn

Cara-carnya ya adalah adalah : : 1,2,3,4 1,2,3,4 ; ; 1,2,3,5 1,2,3,5 ; ; 1,2,3,6 1,2,3,6 ; ; 1,2,3,7 1,2,3,7 ; ; 1,2,4,5 1,2,4,5 ; ; 1,2,4,6 1,2,4,6 ; ; 1,2,4,7 1,2,4,7 ;; 1,2,5,6 ; 1,2,5,7 ; 1,2,6,7 ; 1,3,4,5 ; 1,3,4,6 ; 1,3,4,7 ; 1,3,5,6 ; 1,2,5,6 ; 1,2,5,7 ; 1,2,6,7 ; 1,3,4,5 ; 1,3,4,6 ; 1,3,4,7 ; 1,3,5,6 ; 1,3,5,7 ; 1,3,6,7 ; 1,4,5,6 ; 1,4,5,7 ; 1,4,6,7 ; 1,5,6,7 ; 2,3,4,5 ; 1,3,5,7 ; 1,3,6,7 ; 1,4,5,6 ; 1,4,5,7 ; 1,4,6,7 ; 1,5,6,7 ; 2,3,4,5 ; 2,3,4,6 ; 2,3,4,7 ; 2,3,5,6 ; 2,3,5,7 ; 2,3,6,7 ; 2,4,5,6 ; 2,4,5,7 ; 2,3,4,6 ; 2,3,4,7 ; 2,3,5,6 ; 2,3,5,7 ; 2,3,6,7 ; 2,4,5,6 ; 2,4,5,7 ; 2,4,6,7 ; 2,5,6,7 ; 3,4,5,6 ; 2,4,6,7 ; 2,5,6,7 ; 3,4,5,6 ; 3,4,5,7 ; 3,4,6,7 ; 3,5,6,7 ; 3,4,5,7 ; 3,4,6,7 ; 3,5,6,7 ; 4,5,6,74,5,6,7 Ada 35 cara Ada 35 cara Dar

Dari i salsalah ah sasatu tu cacara ra yayang ng dipdipiliilih h haharus rus ditditetaetapkapkan n 1 1 gamgambar bar untuntuk uk dildiletaetakan kan diudiujunjung g ,, misalnya pada pilihan 1,2,3,4 ditetapkan 1 sebagai yang diletakan diujung, maka banyak misalnya pada pilihan 1,2,3,4 ditetapkan 1 sebagai yang diletakan diujung, maka banyak cara penyusunan gambar adalah : 1,2,3,4 ; 1,2,4,3 ; 1,3,2,4 ; 1,3,4,2 ; 1,4,2,3 ; 1,4,3,2 ; cara penyusunan gambar adalah : 1,2,3,4 ; 1,2,4,3 ; 1,3,2,4 ; 1,3,4,2 ; 1,4,2,3 ; 1,4,3,2 ; 2,3,4,1 ; 2,4,3,1 ; 3,2,4,1; 3,4,2,1 ;

2,3,4,1 ; 2,4,3,1 ; 3,2,4,1; 3,4,2,1 ; 4,3,2,1 ; 4,2,3,1. ada 12 cara4,3,2,1 ; 4,2,3,1. ada 12 cara Banayak caranya adalah 35 x 12 cara = 420 cara

Banayak caranya adalah 35 x 12 cara = 420 cara

13. 13. Diketahui 3x,Diketahui 3x, x x 3 3 , dan , dan x x 1 155

adalah bilangan bulat. Manakah dari ketiga bentuk di bawah adalah bilangan bulat. Manakah dari ketiga bentuk di bawah ini yang juga merupakan bilangan bulat untuk nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk di ini yang juga merupakan bilangan bulat untuk nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk di atas? atas? I. I. 3 3 1 1 2 2 + + x x II.

II. 2x 2x III. III. 6x6x A

A. . I I BB. . III I CC. . IIIII I DD. . I I ddaan n III I DD. . III I ddaan n IIIIII JAWAB : C

JAWAB : C

3x bulat, maka x = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... dan x =

3x bulat, maka x = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... dan x = ⅓⅓

, -

⅓⅓

x x 3 3 bulat, maka x = -3, -6, -9, ..., x = 3, 6, 9, ..., x = -1, 1, bulat, maka x = -3, -6, -9, ..., x = 3, 6, 9, ..., x = -1, 1, ... -... - ⅓⅓, -½, ½,, -½, ½, ⅓⅓, ..., ... x x 1 155 bulat, maka x = 3, 3, 5, 5, 1, 1, -bulat, maka x = -3, 3, -5, 5, -1, 1, - ⅓⅓, -½, ½,, -½, ½, ⅓⅓

, .... -1/6, -1/5, -¼, ¼, 1/5, 1/6,...

Maka nilai x yang memenuhi ketiga bentuk tersebut adalah : 1, -1,

Maka nilai x yang memenuhi ketiga bentuk tersebut adalah : 1, -1, ⅓⅓, -, -⅓⅓, 3, -3, 3, -3 Perhatikan tabel pengecekan berikut :

Perhatikan tabel pengecekan berikut :

3 3 1 1 2 2 + + x x

2 2x

x

6 6x

x

1

⅔⅔

2

6

A A C C QQ P P B B 3 3 5 5 8 8 PQ = 4 (tripel phitagoras 3,4,5) PQ = 4 (tripel phitagoras 3,4,5) B BC C P PQQ A AC C A AQQ = = →→ 8 8 4 4 3 3 = = A

AC C →→AC = AC = 6 6 (konsep ke(konsep kesebangunan)sebangunan) maka luas

(4)

-1

⅔⅔

--2

2 --6

6

⅓ ⅓ 1010

//

33 ⅔⅔

2

2 --

⅓⅓

--

1010

_//

3 3

--

⅔⅔

-2

3

1010

_//

3 3

2

18

18 -3

-3

1010

_//

3 3

--2

2 --1

18

8

Berarti yang memenuhi ketiganya adalah 6x (III) Berarti yang memenuhi ketiganya adalah 6x (III)

14.

14. Bilangan ratusan yang berupa bilangan prima dimana perkalian ketiga angka penyusunBilangan ratusan yang berupa bilangan prima dimana perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut adalah 10 ada sebanyak ... buah bilangan

bilangan tersebut adalah 10 ada sebanyak ... buah bilangan A

A.. 66 BB.. 55 CC..44 DD..33 EE.. 22 JAWAB : E

JAWAB : E

10 adalah perkalian dari 1 x 2 x 5, maka bilangan prima dengan menggunakan angka 1, 2, 10 adalah perkalian dari 1 x 2 x 5, maka bilangan prima dengan menggunakan angka 1, 2, dan 5 adalah 521, 251

dan 5 adalah 521, 251 (2 bilangan)(2 bilangan)

15.

15. Sebuah prisma segiempat berukuran 15 cm x 15 cm x 10 cm, terbuat dari baja. PrismaSebuah prisma segiempat berukuran 15 cm x 15 cm x 10 cm, terbuat dari baja. Prisma tersebut setiap rusuknya diberi kerangka terbuat dari kawat

tersebut setiap rusuknya diberi kerangka terbuat dari kawat dan setiap sisi dicat. dan setiap sisi dicat. Harga bajaHarga baja tiap 1 cm

tiap 1 cm22 _{adalah Rp800,00; setiap 4 cm kawat harganya Rp1.300,00; dan setiap 10 cm}_{adalah Rp800,00; setiap 4 cm kawat harganya Rp1.300,00; dan setiap 10 cm}22

membutuhkan cat seharga Rp1.600,00. Biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut membutuhkan cat seharga Rp1.600,00. Biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut adalah ... adalah ... A A. . RRpp22..002200..000000,,000 0 B. B. RRpp11..116600..000000,,000 0 CC.. Rp1.060.000,00 Rp1.060.000,00 D D. . RRpp11..005500..000000,,000 0 EE. . RRpp11..003300..000000,,0000 JAWAB : C JAWAB : C Luas

Luas PerPermukamukaan an PrisPrisma ma = = 2 2 (pl (pl + + lt lt + + pt) pt) = = 2 2 (15 (15 x x 15 15 + + 15 15 x x 10 10 + + 15 15 x x 10)10) = 2 (225 + 150 + 150) = 2 (225 + 150 + 150) = 2 (525) = 1050 cm2 = 2 (525) = 1050 cm2 P Paannjjaanng g kkeerraannggkka a = = 44p p + + 44l l + + 44t t = = 4 4 x x 115 5 + + 4 4 x x 115 5 + + 4 4 x x 1100 = 60 + 60 + 40 = 160 cm = 60 + 60 + 40 = 160 cm K

Keebbuuttuuhhaan n BBaajja a KKeebbuuttuuhhaan n CCaat t KKeebbuuttuuhhaann Kawat Kawat 8 8000 0 x x 1100550 0 = = RRpp848400..00000 0 10105 5 x x 1166000 0 = = RRpp116688..00000 0 440 0 x x 113300 00 = = RRpp5252..000000 TOTAL KEBUTUHAN = Rp840.000 + Rp168.000 + TOTAL KEBUTUHAN = Rp840.000 + Rp168.000 + Rp52.000 = Rp1.060.000Rp52.000 = Rp1.060.000 16.

16. Jika P(x) = Q(x)(x-a), dimana P(x) dan Q(x) polinom, maka :Jika P(x) = Q(x)(x-a), dimana P(x) dan Q(x) polinom, maka : A. P(a)

A. P(a) ≠≠ 00

B. x – a bukan factor dari P(x) B. x – a bukan factor dari P(x)

C. kurva y = P(x) memotong sumbu x di titik (a,0) C. kurva y = P(x) memotong sumbu x di titik (a,0) D. kurva y = P(x) memotong sumbu x di titik (-a,0) D. kurva y = P(x) memotong sumbu x di titik (-a,0) E. titik potong terhadap sumbu x

E. titik potong terhadap sumbu x tidak dapat ditentukantidak dapat ditentukan JAWAB : C

JAWAB : C

P(x) = Q(x)(x-a), memotong sumbu x jika P(x) = 0, maka Q(x) = 0 atau x – a = 0 P(x) = Q(x)(x-a), memotong sumbu x jika P(x) = 0, maka Q(x) = 0 atau x – a = 0 Maka salah satu titik potong sumbui x adalah (a,0)

Maka salah satu titik potong sumbui x adalah (a,0)

17.

17. Empat kubus identik dengan panjang rusuk 5 cm disusun menjadi suatu bangun ruangEmpat kubus identik dengan panjang rusuk 5 cm disusun menjadi suatu bangun ruang deng

dengan an cara cara menemenempelmpelkan kan sisisisi-sis-sisinyainya. . BanyBanyak ak bangbangun un ruaruang ng berbberbeda eda yang yang terbterbentuentukk adalah ... adalah ... A A.. 1100 BB.. 88 CC..66 DD..55 EE.. 33 JAWAB : D JAWAB : D

Beberapa variasi susunan Beberapa variasi susunan

18.

(5)

Grafik fungsi g(x) = x

Grafik fungsi g(x) = x22 _{+ ax + 5}_{+ ax + 5}

JAWAB : E JAWAB : E Kare

Karena 5 na 5 bukabukan n bilabilangan kuadrngan kuadrat at dan adan a ≠≠ 0, 0, maka grafimaka grafik k fungfungsi si kuadkuadrat tersebut akanrat tersebut akan memotong sumbu-x pada dua titik berbeda

memotong sumbu-x pada dua titik berbeda

19. Terdapat 3 orang Indonesia, 4 orang Belanda, dan 2 orang Jerman akan duduk dalam 19. Terdapat 3 orang Indonesia, 4 orang Belanda, dan 2 orang Jerman akan duduk dalam bangku memanjang. Banyaknya susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok menurut bangku memanjang. Banyaknya susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok menurut kewarganegaraannya adalah ... kewarganegaraannya adalah ... A A. . 224 4 BB. . 448 8 CC. . 22888 8 DD. . 55336 6 EE. . 11772288 JAWAB : E JAWAB : E Susunan

Susunan kelompok kelompok kewargakewarganegaraan negaraan : : IBJ, IBJ, IJB, IJB, BIJ, BIJ, BJI, BJI, JIB, JIB, JBI JBI = = 6 6 caracara Susun

Susunan an oranorang g indoindonesinesia a daladalam m kelokelompokmpoknya nya : : 123, 123, 132, 132, 231, 231, 213, 213, 312, 312, 321 321 = = 6 6 carcaraa Susunan

Susunan orang Borang Belanda elanda dalam dalam kelompoknya kelompoknya : 1234, : 1234, 1243, 1243, 1324, 1342, 1324, 1342, 1423, 1431423, 1432, 2134,2, 2134, 2143, 2341, 2314, 2413, 2431, 3124, 3142, 2143, 2341, 2314, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4 4223311, , 44331122, , 4433221 1 = = 224 4 ccaarraa S

Suussuunnaan n oorraanng g JJeerrmmaan n ddaallaam m kkeelloommppookknnyya a : : 1122, , 221 1 = = 2 2 ccaarraa Total cara = 6 x 6 x 24

Total cara = 6 x 6 x 24 x 2 = 1728 carax 2 = 1728 cara

20.

20. AntAnto o memmempunpunyai yai 20 20 lemlembabar r serseribuibuan, an, 4 4 lemlembabar r lilima ma ribribuauan n dadan n 2 2 lemlembar bar sesepulpuluhuh ribuan. Jika x, y, dan

ribuan. Jika x, y, dan z adalah banyaknya seribuan, lima ribuan, dan sepuluh ribuan, makaz adalah banyaknya seribuan, lima ribuan, dan sepuluh ribuan, maka banykanya cara berbeda sehingga jumlahnya dua puluh ribu adalah ...

banykanya cara berbeda sehingga jumlahnya dua puluh ribu adalah ... A

A.. 66 BB.. 77 CC..88 DD..99 EE.. 1100 JJAAWWAAB B : : CC



 2 x sepuluh ribu2 x sepuluh ribu 

 1 x sepuluh ribu + 2 x lima ribu1 x sepuluh ribu + 2 x lima ribu 

 1 x sepuluh ribu + 1 x lima ribu + 5 x 1 x sepuluh ribu + 1 x lima ribu + 5 x seribuseribu



 1 x sepuluh ribu + 10 x seribu1 x sepuluh ribu + 10 x seribu



 4 x lima ribu4 x lima ribu 

 3 x lima ribu + 5 x seribu3 x lima ribu + 5 x seribu 

 2 x lima ribu + 10 x seribu2 x lima ribu + 10 x seribu



 1 x lima ribu + 15 x seribu1 x lima ribu + 15 x seribu



 20 x seribu20 x seribu Jumlah : 9 cara Jumlah : 9 cara BAGIAN B : ISIAN SINGKAT BAGIAN B : ISIAN SINGKAT 1.

1. SebuahSebuah ∆∆ _ABC_{ABC sam}_sama_{a kak}_kaki_{i dip}_dipoto_otong_{ng men}_menjad_jadi_{i dua}_{dua bua}_buah_{h seg}_segiti_itiga_{ga sam}_sama_{a kak}_kaki_{i (ti}_(tida_dak_{k har}_harus_us

kongruen) dengan membagi dua sama besar salah satu sudut alasnya. Ukuran sudut yang kongruen) dengan membagi dua sama besar salah satu sudut alasnya. Ukuran sudut yang terkecil dari

terkecil dari ∆∆ _{ABC adalah ...}_{ABC adalah ...}

JAWAB : JAWAB : Ilustrasi Soal Ilustrasi Soal M Muuhhaammmmaad d YYuussuuff, , SS..PPdd. . SSMMP P NNeeggeerri i 3 3 BBoollo o 55

((aa,0),0) ((aa,0),0) B. B. ((aa,0),0) C C ((aa,0),0) D. D. ((aa,0),0) E. E. A. A. B B _C_C A A D D ∆

∆ _{ABC sama kaki dengan AB = AC dan}_{ABC sama kaki dengan AB = AC dan} ∠∠_{ABC =}_{ABC =} ∠∠_ACB_ACB ∆

∆ _{ABD sama kaki dengan AD = BD}_{ABD sama kaki dengan AD = BD dan}_dan ∠∠_{ABD =}_{ABD =} ∠∠_BAD_BAD ∆

∆ _{BCD sama kaki dengan BD = BC}_{BCD sama kaki dengan BD = BC dan}_dan ∠∠_{BCD =}_{BCD =} ∠∠_BDC_BDC

Jika

Jika∠∠_{BAC = a,}_{BAC = a,} ∠∠_{ABC = b, dan}_{ABC = b, dan} ∠∠_{BCA = c, maka}_{BCA = c, maka}   a + b + c = 180a + b + c = 18000_{atau a +2b = 180}_{atau a +2b = 180}00   ∠∠_b_b₁₁₌_{= a}_a _m_ma_ak_ka_{a b}_{b =}_{= 2}_2a_a   ∠∠_b_b₂₂_{= a}_{= a} Sehingga Sehingga : : a + a + 2b = 2b = 18018000 _→_→ _{a + 4a = 180}_{a + 4a = 180}00 _→_→_{a = 36}_{a = 36}00 0 0 b b_b_b11 2 2

(6)

2.

2. SebuSebuah kotak berisi bola meraah kotak berisi bola merah dan h dan hijahijau. Jika empat bola merah dikeu. Jika empat bola merah dikeluarluarkan dari kotak,kan dari kotak, maka sepersepuluh sisanya adalah bola merah. Akan tetapi jika empat bola hijau maka sepersepuluh sisanya adalah bola merah. Akan tetapi jika empat bola hijau dikeluarkan dari kotak, maka seperlima sisanya adalah bola merah. Banyak bola merah yang dikeluarkan dari kotak, maka seperlima sisanya adalah bola merah. Banyak bola merah yang semula berada di dalam kotak tersebut

semula berada di dalam kotak tersebut adalah ...adalah ... JAWAB :

JAWAB :

Misalkan banyak bola merah dalam kotak =

Misalkan banyak bola merah dalam kotak = mm dan banyak hijau =dan banyak hijau = hh Jika 4 bola

Jika 4 bola merah dikeluarkanmerah dikeluarkan, maka bola , maka bola merah yang tersisa =merah yang tersisa =

10 10 1 1

dari semua yang tersisa dari semua yang tersisa Artinya

Artinya jika jika tersisa tersisa 1 1 merah, merah, maka maka banyak banyak bola bola hijau hijau = = 99 →→_m_{m = 5 dan}_{= 5 dan h}_{h = 9}_{= 9}

jika tersisa 2 merah, maka banyak bola hijau = 18

jika tersisa 2 merah, maka banyak bola hijau = 18 →→_m_{m = 6 dan}_{= 6 dan h}_{h =}₌

18 18

jika tersisa 3 merah, maka banyak bola hijau = 27 →→mm = 7 dan= 7 dan hh == 27

27

jika tersisa 4 merah, maka banyak bola hijau = 36 →→_m_{m = 8 dan}_{= 8 dan h}_{h =}₌

36 36

hubunganya

hubunganya hh = = 99mm – 36– 36 Jika 4 bola hijau dikeluarkan, maka banyak bola merah = Jika 4 bola hijau dikeluarkan, maka banyak bola merah =

5 5 1 1

dari semua yang tersisa dari semua yang tersisa Artinya

Artinya jika jika ada ada 1 1 merah, merah, maka maka bola bola hijau hijau yang yang tersisa tersisa = = 44 →→_m_{m = 1 dan}_{= 1 dan h}_{h =}₌

8 8

jika ada 2 merah, maka bola hijau yang tersisa = 8

jika ada 2 merah, maka bola hijau yang tersisa = 8 →→_m_{m = 2 dan}_{= 2 dan h}_{h =}₌

12 12

16 16

20 20 hubunganya hubunganya hh = = 44mm + 4+ 4 maka 9 maka 9mm – 36 = 4– 36 = 4mm + 4+ 4 →→55m =m = 4040 →→m =m = 88 maka banyak bola merah dalam kotak = 8 buah maka banyak bola merah dalam kotak = 8 buah 3.

3. Sebuah perahu motor menSebuah perahu motor meninggalkan kapainggalkan kapal induk ke arah utal induk ke arah utara menuju suatu targra menuju suatu target denganet dengan kece

kecepatapatan n 80 80 km/jkm/jam. Kapal am. Kapal induinduk k bergbergerak ke erak ke araarah h timutimur r dengdengan an kecekecepatapatan n tetatetap p 4040 km/jam. Apabila perahu motor tersebut hanya mempunyai bahan bakar yang cukup untuk km/jam. Apabila perahu motor tersebut hanya mempunyai bahan bakar yang cukup untuk berjalan 4 jam saja, maka jarak maksimum target yang akan ditujunya agar ia dapat kembali berjalan 4 jam saja, maka jarak maksimum target yang akan ditujunya agar ia dapat kembali ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah ... km

ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah ... km JAWAB :

JAWAB : Ilustrasi soal : Ilustrasi soal :

4.

4. Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh Anto dan Dini dapat diselesaikan dalam waktu 6 jam.Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh Anto dan Dini dapat diselesaikan dalam waktu 6 jam. Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh Dini sendirian akan selesai lima jam

Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh Dini sendirian akan selesai lima jam lebih lambat dibandinglebih lambat dibanding Anto. Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto

Anto. Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendiriasendirian dalam waktu ... n dalam waktu ... jam.jam. JAWAB :

JAWAB :

Misalkan waktu yang dibutuhkan Dini untuk

Misalkan waktu yang dibutuhkan Dini untuk menyelesamenyelesaikan pekerjaan seorang diri = x,ikan pekerjaan seorang diri = x, Maka waktu yang dibutuhkan Anto untuk menyelesaikan pekerja

Maka waktu yang dibutuhkan Anto untuk menyelesaikan pekerjaan seorang diri = x – an seorang diri = x – 55 Dan

Dan ketika ketika mereka mereka bekerja bekerja bersama-sama, bersama-sama, maka maka x x + + x x – – 5 5 = = 6 6 jamjam 2x = 11 jam

2x = 11 jam x = 5,5 jam x = 5,5 jam

Maka waktu yang diperlukan Anto untuk menyelesaikan sendiri adalah

Maka waktu yang diperlukan Anto untuk menyelesaikan sendiri adalah 5,5 – 5 = 0,5 jam5,5 – 5 = 0,5 jam 5.

5. Diketahui jajargenjang ABCD;Diketahui jajargenjang ABCD; ∠∠ _{A =}_{A =} ∠∠_{C = 45}_{C = 45}00_{. Lingkaran K dengan pusat C melalui B dan D.}_{. Lingkaran K dengan pusat C melalui B dan D.}

Kapal Induk Kapal Induk 40 km/jam 40 km/jam Perahu Motor Perahu Motor 80 km/jam 80 km/jam b b a a

Dalam waktu 4 jam Kapal Induk telah bergerak sejauh 160 Dalam waktu 4 jam Kapal Induk telah bergerak sejauh 160 km, sedangkan Perahu Motor telah menempuh jarak 320 km, sedangkan Perahu Motor telah menempuh jarak 320 jam,jam, Maka a + b = 320 dan c =

Maka a + b = 320 dan c = 160160 Dengan tripel phytagoras

Dengan tripel phytagoras, maka a = , maka a = 120 km dan c 120 km dan c = 200 km= 200 km Artinya :

Artinya :

Jarak maksimum target yang dapat di

Jarak maksimum target yang dapat di tuju oleh Kapaltuju oleh Kapal Motor tanpa masalah adalah 120 km

Motor tanpa masalah adalah 120 km c

c

∠

∠_{BCD = 45}_{BCD = 45}00_{, maka}_{, maka} ∠∠_{BCF = 45}_{BCF = 45}00_{. Sehingga}_{. Sehingga} ∠∠_{DCE = 90}_{DCE = 90}00

Karena DE // BC, maka

Karena DE // BC, maka ∆∆ _{BCH dan}_{BCH dan} ∆∆ _{EHD sebangun.}_{EHD sebangun.}

Sehingga

Sehingga DE DE : : BC BC = = DH DH : : CHCH DE = CD

DE = CD 22 (dengan teorema phytagoras pada(dengan teorema phytagoras pada

∆

∆ _CDE)_CDE)

Sehingga DH : CH =

Sehingga DH : CH = 22( karena BC = CD)( karena BC = CD)

Demikian pula dengan perbandingan tinggi kedua segitiga Demikian pula dengan perbandingan tinggi kedua segitiga

(7)

6.

6. Jika jumlah k bilangan bulat positif berurutan adalah 2010, dengan k > 1, maka k terkecilJika jumlah k bilangan bulat positif berurutan adalah 2010, dengan k > 1, maka k terkecil yang mungkin adalah ....

yang mungkin adalah .... JAWAB :

JAWAB :

Misalkan urutan bilangan itu adalah :

Misalkan urutan bilangan itu adalah : ++(( ++11))++(( ++22))++(( ++33))++... ++(( ++ −−11))==20102010

− −                               bilangan bilangan k k k k a a a a a a a a a a Jumlah

Jumlah semua semua bilangan bilangan = = 20102010 ½ ½ k k [2[2aa + (+ (k k --11))] ] = = 22001100 2 2ak ak ++k k 22 _–_{– k}_k _{= 4020}_{= 4020} k k 22 _{+ (2}_{+ (2a}_{a – 1)}_{– 1)k}_{k – 4020 = 0}_{– 4020 = 0}

Untuk mencari penyelesaian persamaa

Untuk mencari penyelesaian persamaan tersebut, maka n tersebut, maka harus dicari faktor-faktor dari 4020.harus dicari faktor-faktor dari 4020. dan diperoleh (1 x 4020), (2 x 2010), (3 x 1340), (4 x 1005), (5 x 804), (10 x 402), (15 x dan diperoleh (1 x 4020), (2 x 2010), (3 x 1340), (4 x 1005), (5 x 804), (10 x 402), (15 x 268), 268), (20 x 201), (30 x 134), dan (60 x (20 x 201), (30 x 134), dan (60 x 67)67) Pen

Pengecgecekaekan n (1 (1 x x 4024020) 0) tidak tidak dipdipakakai, ai, karkarena ena k k > > 11

((2 2 x x 22001100) ) mmaakka a ((22aa – 1) = 2008– 1) = 2008 →→_{a = ½ x 2009 (tidak dipakai)}_{a = ½ x 2009 (tidak dipakai)}

((3 3 x x 11334400) ) mmaakka a ((22aa – 1) = 1337– 1) = 1337 →→_{a = 669}_{a = 669}

Maka bilangan dengan k terkecil tersebut adalah 669,

Maka bilangan dengan k terkecil tersebut adalah 669, 670, 671670, 671 Jadi nilai

Jadi nilai k k terkecil yang mungkin adalah 3terkecil yang mungkin adalah 3 7.

7. Diketahui ABCD adalah persegi. Titik E merupakan perpotongan AC dan BD pada persegiDiketahui ABCD adalah persegi. Titik E merupakan perpotongan AC dan BD pada persegi AB

ABCD CD yayang ng memembmbenentutuk k pepersrsegegi i babaru ru EFEFGHGH. . EF EF beberprpototonongagan n dedengngan an CD CD di di I I dadan n EHEH berpotongan dengan AD di J. Panjang sisi ABCD adalah 4 cm dan

berpotongan dengan AD di J. Panjang sisi ABCD adalah 4 cm dan panjang sisi EFGH adalapanjang sisi EFGH adalah 8h 8 cm. Jika

cm. Jika ∠∠ _{EID = 60}_{EID = 60}00_{, maka luas segiempat EIDJ adalah ...cm}_{, maka luas segiempat EIDJ adalah ...cm}22

JAWAB : JAWAB : Ilustrasi soal : Ilustrasi soal :

8.

8. KereKereta penumpata penumpang ng berpberpapasapasan dengan kereta baraan dengan kereta barang. Laju kereta penumpng. Laju kereta penumpang 40 ang 40 km/jakm/jamm sedangkan laju kereta barang adalah 20 km/jam.

sedangkan laju kereta barang adalah 20 km/jam. Seorang penumpang di kereta penumpangSeorang penumpang di kereta penumpang menc

mencatat atat bahwbahwa a kerekereta ta berpberpapasapasan an selaselama ma 15 15 detidetik. k. PanjPanjang ang rangrangkaiakaian n kerekereta ta barbarangang adalah ...m

adalah ...m JAWAB : JAWAB : Ilustrasi Soal :

Ilustrasi Soal : _{Kereta Penumpang}_{Kereta Penumpang} (40 km/jam) (40 km/jam) Kereta Barang Kereta Barang (20 km/jam) (20 km/jam) P P C C B B D D A A E E F F G G H H 4 cm 4 cm 8 cm 8 cm ∠

∠ _{EDI =}_{EDI =} ∠∠ _{EDJ = 45}_{EDJ = 45}00_{, karena diagonal persegi membagi}_{, karena diagonal persegi membagi}

dua sudut sama besar. Akibatnya

dua sudut sama besar. Akibatnya ∠∠IED = 75IED = 7500_..

∠

∠_{CED = 90}_{CED = 90}00_{, maka akibatnya}_{, maka akibatnya} ∠∠_{CEI = 15}_{CEI = 15}00

Sehingga

Sehingga∆∆ _{CEI memiliki sudut-sudut 15}_{CEI memiliki sudut-sudut 15}00_{, 120}_{, 120}00_{, dan 45}_{, dan 45}00

Karena

Karena ∠∠_{JEI = 90}_{JEI = 90}00_{, maka}_{, maka} _∠_∠_{JED = 15}_{JED = 15}00

Sehingga

Sehingga∆∆ _{JED memiliki sudut-sudut 15}_{JED memiliki sudut-sudut 15}00_{, 120}_{, 120}00_{, dan 45}_{, dan 45}00

Akibatnya

Akibatnya∆∆ _JED_JED _≅_≅ ∆∆ _CEI,_CEI,

Sehingga

Sehingga luas luas EIDJ EIDJ = = luas luas CDE CDE = = ¼ ¼ luas luas ABCDABCD = ¼ x 16 cm = ¼ x 16 cm22 = 4 cm = 4 cm22 II II 6060 0 0 A A _B_B D D HH CC F F

(8)

Titik P adalah tempat penumpang yang mencatat lama kereta berpapasan di dalam Kereta Titik P adalah tempat penumpang yang mencatat lama kereta berpapasan di dalam Kereta Penumpang

Penumpang Dalam

Dalam 15 15 detik detik Kereta Kereta Penumpang Penumpang telah telah bergerak bergerak sejauh sejauh = = 5/1200 5/1200 x x 4040 ((55//1122000 0 jjaamm) ) = = 550000//3 3 mmeetteerr

K

Keerreteta a BaBarraang ng ttelelaah h bbererggereraak k sesejjaauh uh = = 5/5/1120200 0 x x 2020 = 250/3 meter

= 250/3 meter Maka

Maka panjang panjang kereta kereta barang barang = = 500/3 500/3 + + 250/3250/3 = 250 meter

= 250 meter Jadi panjang Kereta Barang = 250 meter

Jadi panjang Kereta Barang = 250 meter 9.

9. Jika operasiJika operasi ∗∗ _{tehadap bilangan rasional positif didefinisikan sebagai}_{tehadap bilangan rasional positif didefinisikan sebagai a}_a ∗∗ _b_{b =}₌

b b a a a abb + + , maka, maka 3 3∗∗₍₃₍₃∗∗₃₎_{3) =}_{= ...}_... JAWAB : JAWAB : 3 3 ∗∗ _{3 =}_{3 =} 6 6 9 9 = = 2 2 3 3 3 3 ∗∗ ₍₃₍₃ ∗∗ _{3) =}_{3) =} 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 + + × × = =

2

9

2

9

= 1 = 1 Maka 3 Maka 3 (3(3 3) = 13) = 1 10.

10. Sebuah kubus diberi warna sedemikiSebuah kubus diberi warna sedemikian sehingga setiap dua sisi berdekatan (yaknan sehingga setiap dua sisi berdekatan (yakni dua sisii dua sisi yan

yang g dipdipisaisahkahkan n oleoleh h teptepat at sasatu tu rurusuksuk) ) dibdiberi eri wawarna rna berberbedbeda. a. JikJika a dibdiberierikan kan 5 5 wawarnarna berbeda, maka banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah ...

berbeda, maka banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah ... JAWAB :

JAWAB :

Karena ada 5 warna yang akan digunakan, maka ada 2 sisi dengan warna yang sama, dua Karena ada 5 warna yang akan digunakan, maka ada 2 sisi dengan warna yang sama, dua sisi tersebut terletak berseberangan.

sisi tersebut terletak berseberangan. Banya

Banyak k cara mewarnacara mewarnai i kubukubus s tersebtersebut ut adaladalah 5 ah 5 cara yaitu cara yaitu masinmasing-mag-masing warnasing warna berkesempatan menempati dua sisi berseberangan dengan warna sama