Pembahasan Soal Hari Pertama
OSN SMP
Tingkat Nasional
Tahun 2016
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
HARI PERTAMA
1. Tentukan semua bilangan real yang memenuhi persamaan
(1 + x2 + x4 + .... + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015.
Pembahasan: x = 1
Diketahui (1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015
Kemudian mencari pola penyelesaiannya, yakni sebagai berikut:
(1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015
Ruas kiri dan kanan dikalikan 20151
x , didapat:
(1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014)(x2016 + 1)
2015
1
x = 2016x
2015
2015
1 x
(1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014)
20151 x
x = 2016
(x + x3 + x5 + .... + x2013 + x2015) +
x x x
x x
1 1 .... 1 1
1
3 2011
2013
2015 = 2016
x
x 1 +
3 13
x
x +
5 15
x
x + .... +
2013 2013 1
x
x +
2015 2015 1
x
x = 2016
Perhatikan persamaan aljabar di atas, terlihat jelas bahwa persamaan tersebut akan terpenuhi jika
dan hanya jika terjadi
x
x1, 3 13
x
x , 5 15
x
x , .... , 2013 20131
x
x , 2015 20151
x x
Dengan demikian didapat
x
x1 x2 = 1 x = ± 1,
Akan tetapi untuk nilai x < 0 pada persamaan awal mengakibatkan ruas kiri bernilai positif dan ruas kanan bernilai negatif, sehingga nilai x yang memenuhi hanyalah x > 0, yaitu x = 1
2. Misalkan A adalah suatu bilangan bulat dan
A = 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + .... +
angka
40
2016 .... 20162016
Tentukan tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan satuan.
Pembahasan: 2.402.230
Penjumlahan dari 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + .... +
angka
40
2016 .... 20162016
Sama seperti penjumlahan bersusun berikut:
.... Sebanyak 1 angka .... 2
.... Sebanyak 2 angka .... 2 0
.... Sebanyak 3 angka .... 2 0 1
.... Sebanyak 4 angka .... 2 0 1 6
.... Sebanyak 5 angka .... 2 0 1 6 2
.... Sebanyak 6 angka .... 2 0 1 6 2 0 .... Sebanyak 7 angka .... 2 0 1 6 2 0 1 .... Sebanyak 8 angka .... 2 0 1 6 2 0 1 6 .... Sebanyak 9 angka .... .... 0 1 6 2 0 1 6 2 .... Sebanyak 10 angka .... .... 1 6 2 0 1 6 2 0 .... Sebanyak 11 angka .... .... 6 2 0 1 6 2 0 1 .... Sebanyak 12 angka .... .... 2 0 1 6 2 0 1 6
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .... Sebanyak 37 angka .... .... 0 1 6 2 0 1 6 2 .... Sebanyak 38 angka .... .... 1 6 2 0 1 6 2 0 .... Sebanyak 39 angka .... .... 6 2 0 1 6 2 0 1 .... Sebanyak 40 angka .... .... 2 0 1 6 2 0 1 6
.... jutaan ratusan ribu puluham ribu ribuan ratusan puluhan satuan
.... 74 75 81 83 83 84 90
Setelah dijumlahkan berurut, maka angka-angkanya menjadi seperti berikut:
.... 2 4 0 2 2 3 0
Jadi, tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan satuan adalah 2.402.230
9 × 10 = 90
9 × 10 – 6 = 84 9 × 10 – 7(1+6) = 83
9 × 10 – 7(0+1+ 6) = 83
9 × 10 – 9(2+0+1+6) = 81
9 × 10 – 15(6+2+0+1+6) = 75
9 × 10 – 16(1+6+2+0+1+6) = 74
angka
2016 se
b
anya
k 10
ka
li
da
n jum
lah da
ri a
ngka
-a
n
ga
nya
ada
lah
2 +
0
+
1 +
6
=
3. Pada segitiga ABC, Titik P dan Q berada pada sisi BC sehingga panjang BP sama dengan CQ,
BAP = CAQ dan APB lancip.
Apakah segitiga ABC sama kaki? Tulis alasan Anda.
Pembahasan: iya
Diketahui Pada segitiga ABC, Titik P dan Q berada pada sisi BC sehingga panjang BP sama dengan CQ, BAP = CAQ
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Berdasarkan ilustrasi gambar a), b), dan c), maka gambar yang sesuai berdasarkan kondisi soal adalah pada gambar c) yaitu bahwa APB lancip.
Kemudian, perhatikan ilustrasi gambar berikut
Diketahui panjang BP = CQ dan BAP = CAQ, maka besar BPA = CQA. Sehingga segitiga BAP kongruen dengan segitiga CAQ.
Hal ini berakibat, bahwa besar ABP = ACQ atau dapat ditulis besar ABC = ACB
Dengan demikian, segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan kaki-kaki sudutnya terletak pada titik B dan C
Jadi, benar bahwa segitiga ABC adalah segitiga sama kaki
4. Ayu akan membuka koper tetapi dia lupa kuncinya. Kode koper tersebut terdiri dari Sembilan
angka yakni empat angka 0 (nol) dan lima angka 1. Ayu ingat bahwa tidak ada empat angka
sama yang berurutan.
Berapa banyak kode yang mungkin harus dicoba sehingga dipastikan koper tersebut terbuka?
Pembahasan: ada 99 kode A
B C
t
Q D P
* *
(c)
Panjang BP > BD dan panjang CQ > CD, maka berturut-turut besar APB dan AQC lancip
A
B C
t
P,D,Q
(b)
Panjang BP = BD =CQ, maka besar
APB = AQC = 90
A
B C
t
P D Q
(a)
Panjang BP < BD dan panjang CQ < CD, maka berturut-turut besar APB dan AQC tumpul
A
B C
t
Banyaknya susunan 9 angka yang diambil dari 4 angka 0 (nol) dan 5 angka 1, permasalahan ini merupakan permasalahan permutasi berulang tanpa syarat.
misalkan q1 = munculnya huruf 1, yaitu q1 = 5
q2 = munculnya huruf 0, yaitu q2 = 4
sehingga
k q q
q n P
.... ! !
!
2 1
! !
! 9
2 1 q
q P
! 4 ! 5
! 9
P
P = 9 × 2 × 7 P = 126
Akan tetapi, ada syaratnya yakni “bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan” Ada tiga kemungkinan yang terdapat empat angka sama yang berurutan, yaitu
1) Lima angka 1 berurutan 111110000
011111000
001111100 ada 1
2) Empat angka 1 berurutan 111100001
111100010 111100100 111101000 011110001 011110010 011110100 001111001 001111010 000111101
Atau banyak cara empat angka 1 seperti halnya menempatkan empat angka 1 dan satu angka satu dari lima angka 1 yang ada di antara angka 0, yaitu sebanyak 5P2= 20
3) Empat angka 0 berurutan selain yang terdapat pada kemungkinan 1) dan 2) 111000011 ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 2
Sehingga, banyak empat angka sama yang berurutan ada sebanyak 5 + 20 + 2 = 27
Dengan demikian, Banyaknya susunan 9 angka yang diambil dari 4 angka 0 (nol) dan 5 angka 1 dengan syarat bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan sebanyak 126 – 27 = 99
Jadi, banyak kode yang mungkin harus dicoba sehingga dipastikan koper tersebut terbuka adalah ada 99 kode
5. Fulan memelihara 100 kalkun dengan bobot kalkun ke- i adalah xi untuk i {1, 2, 3, .... , 100}.
Bobot kalkun ke-i dalam gram diasumsikan mengikuti fungsi xi(t) = Sit + 200 – i dengan t
menyatakan waktu dalam satuan hari dan Si merupakan suku ke-i suatu barisan aritmatika
dengan suku pertama adalah bilangan positif a dengan beda b = 5 1
. Diketahui rata-rata data
bobot seratus kalkun tersebut pada saat t = a adalah 150,5 gram.
Hitunglah median data bobot kalkun tersebut pada saat t = 20 hari.
ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 4 ada sebanyak 5
Pembahasan: 349,5 gram
Diketahui fungsi xi(t) = Sit + 200 –i
Si merupakan suku ke-i suatu barisan aritmatika
S1 = a, b = Dengan demikian,
100
Sehingga mediannya
2
Jadi, median data bobot kalkun tersebut pada saat t = 20 hari adalah 349,5 gram
Dibahas oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
