Soal Latihan dan Pembahasan Trigonometri

Trigonometri

1. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B=45• dan CT garis tinggi dari titik C. Jika BC = a dan AT = ₂5_a 2 _{maka tentukan AC !}

Jawab : C

a

A 45• B 5_2a 2

T

13 )

2 ( ) 2 (

2 45

sin

2 2 1 2 2 5

2 1

a a

a AC

a CT a

CT

= +

=

= ⇔ =



2. A dan B titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat



45 =

ACB . Jika jarak CB = p dan CA = 2p 2, maka tentukan panjang terowongan ! Jawab : B

p

C ₄₅ 2p 2

A

5 5

2 . . 2 2 . 2 8

45 cos . 2

2 2

1 2

2 2

2 2 2

p AB p

p p p

p AB

BC AC BC

AC AB

= ⇒ =

− + =

− +

= 

3. _{Tentukan nilai}

 

 



225 cos . 150 sin

135 tan . 135 cos . 270 sin

Jawab :

2 ) 1 )( 1 (

) 2 .(

) 1 ).( 2 .( 1

225 cos . 150 sin

135 tan . 135 cos . 270 sin

2 1 2

1 2 1

2 1

= − − = −

− −

− =

 

 



4. _Jika sin_x= ₅1 5 _{maka tentukan cos 5cos( ) 2sin( )}

2 x x

x− π + + π −

Jawab :

5 5 9 5

5 7 5

5 2 sin 7 cos

sin 2 ) sin ( 5 cos ) sin( 2 ) cos( 5 cos

5 5 2 cos 5

5 sin

2

= +

= +

=

+ −

− =

− +

+ −

= ⇒

=

x x

x x

x x

x x

x x

5. Jika _{1dim 0} ₉₀

sec 1

tan2

< < =

+ x ana x

x

maka tentukan x !

Jawab :

) 90 0

( 180 1

cos

60 2

1 cos

0 ) 1 )(cos 1 cos 2 ( 0 1 cos cos

2

cos . cos

1 1 cos sin sec

1 tan

2

2 2

2 2

 

 

< < =

⇒ − =

= ⇒ =

= + −

⇔ = − +

+ = ⇔

+ =

x karena memenuhi

tidak x

x

x x

x x

x x

x x

x x x

x

6. Y

2 _{Tentukan persamaan kurva di samping !}

X 0 π₃ π

-2

Jawab :

x y

Jadi b a

bx a y

3 2 3

4

cos 2 3 2 2

2 2

) 2 ( 2

cos

− =

= =

= − − =

− =

π π

7. Dalam segitiga siku-siku ABC, diketahui panjang sisi BC = a dan ∠ABC = β . Tentukan panjang garis tinggi AD !

Jawab : C

D

A β B

β β β

β

β β

cos sin sin

sin

cos cos

a AB

AD AB

AD

a AB a

AB

= =

⇔ =

8. Segitiga ABC siku-siku di A. Jika BC = p, AD tegak lurus BC, DE tegak lurus AC, sudut B = β maka tentukan panjang DE !

Jawab : C

D E

β

B A

β β β

β β β

cos sin sin

sin sin

cos sin

2

p AD

DE AD

DE DAC

p AD

= =

⇔ =

= ∠

=

9. _{Untuk memperpendek lintasan A menuju C melalui B dibuat jalan pintas dari A langsung} ke C. Jika AB = a dan BC = 3a, sedangkan ∠ _ABC = ₁₂₀_{, maka tentukan panjang AC !}

Jawab :

13 13

120 cos . 3 . . 2 9 2 2

2 2 2

a AC

a AC

a a a a AC

= =

− +

= 

10. Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi AB = 10 cm, AC = 12 cm dan sin B = 4/5. Tentukan nilai cos C !

Jawab :

5 )

( 1 sin

1 cos

3 2 12

. 10 sin

sin 10 sin

12

3 1 2 3 2 2

5 4

= − = −

=

= =

⇔ =

C C

C C

B

11.Diketahui segitiga ABC dengan AC = 3, AB = 2 dan sudut A = ₆₀_{. Tentukan nilai cos C !}

Jawab :

7 7 2 7 3 1 sin

1 cos

7 3

7 3 . 2 sin sin

2 60

sin 7

7 7

60 cos 3 . 2 . 2 9 4

2

2 1 2

= − = −

=

= =

⇔ =

= ⇒ = −

+ =

C C

C C

BC BC





12. Sebuah segitiga ABC diketahui AB = 6 cm, BC = 5 cm dan AC = 4 cm.Tentukan nilai cos B Jawab :

4 3 5

. 6 . 2

4 5 6 cos

2 2 2

= − + =

13._{Pada segitiga ABC diketahui a+ b = 10, sudut A = 30} _{dan sudut B = 45}_.Tentukan sin

45 sin ) 10 ( 30 sin

45 sin 45

sin 30 sin

) sin 30 sin

2 sin 30

sin 90 sin

90

15. Suatu segitiga dengan panjang sisi-sisinya 2, 3 dan 4 satuan. Tentukan luasnya ! Jawab :

16.Diketahui luas segitiga ABC 24 2

cm . Jika AC = 8 cm dan AB = 12 cm, maka tentukan cos

∠ A ! Jawab :

3 30

cos cos

30 sin

sin .

sin . sin 3 8 . 8 . sin

.

sin 120 sin

3 8

30 ) 30 120 ( 180

cm A

AC AB ABC

Luas

18.Tentukan nilai

 

 

 

60 tan . 30 tan

60 cos . 45 cos 60 sin . 45

sin2 2 + 2 2

Jawab :

2 1 3

. 3

) .( ) 2 ( ) 3 .( ) 2 (

3 1

2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

= +

19._{Tentukan nilai cos}2₃₀− _sin2₁₃₅ + _8sin45_.cos135

Jawab :

4 3 2

1 2

1 2 2 1 2 2

1 _{3) ( 2) 8.( 2)( 2) 3}

( − + − = −

20.Jika tan x = - ₃ dan x sudut tumpul, maka tentukan cos x ! Jawab :

2 1 120 cos cos

) (

120 3

tan

− = =

= ⇒ − =





x

tumpul x

karena x

x

21.Jika sinθ = − ₄1 _dan tanθ > 0 _{maka tentukan} θ

cos !

Jawab :

Karena sin θ < 0 dan tanθ > 0 maka θ di kuadran III sehingga

0

0 <

< dan y x

15 4 1 cos

15 4

1 sin

− = =

− = ⇒ = − =

r x

x r y

θ θ

22.Jika tan x = ₂1 maka tentukan 2 sin x + sin (x + π₂)+ cos (π -x) Jawab :

5 5 2

5 1 . 2 sin 2 cos cos

sin 2 ) cos( ) sin( sin

2

5 2 cos 5

1 sin 2 1 tan

2 + − = + − = = =

+ +

= =

⇒ =

x x

x x

x x

x

x dan

x x

π π

23.Jika π₂ < x< π dantanx= a _{maka tentukan nilai} 2 ) cos (sinx+ x

Jawab :

1 1 2

1 1

1 )

cos (sin

1 1 cos

1 sin

tan

2 2 2

2 2

2

2 2

+ + + =   



+ + + =

+

+ = +

= →

=

a a a

a a

a x

x

a x dan a

a x

24._Jika 2 2 cos 1 sin

1 cos

cos 1

cos cos cos

sin 1

tan

a sin 5 sin sin cos

cos ) ( cos

25 24 cos

25 7 sin

5 4 cos 5

3 sin

=

26.Dalam segitiga ABC, jika

3 4 tan 4 sin cos cos

sin

) sin( )) (

180 sin( sin

5 3 cos 5

4 sin 3 4 tan

5 4 cos 5

3 sin 4 3 tan

= dan

B B

A dan

A sin . cos 5

4 2 sin

5 2 sin cos 5

2 sin ) 90 ( sin 5

2 sin sin

90 cos ) 90

( sin 5 cos

sinα α = . Tentukan

α α cos

1 sin

1

− !

Misal − = x

α α cos

1 sin

1 cos (sin

cos sin 2 1

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

2

29.Sederhanakan

b a

b a

tan tan

) ( sin

−

cos cos

) sin cos cos

sin

cos cos )(

sin cos cos

(sin sin

cos cos

sin

cos sin cos sin =

30.Jika α ,β danγ menyatakan besar sudut-sudut segitiga ABC dengan 1

tan 3

tan tan 1

tan tan

) ( tan ))

( 180 ( tan tan

= cos sin 2 2 sin

q cos

sin 2 sin

1 1 cos

1 sin

tan

2 dan t

t x t

33._Diketahui (0 90 ) 3

4

tanx=  < x<  . Tentukan nilai cos 3x + cos x !

Jawab :

125 42 )

5 3 ( 2 ) 5 3 ( 4

cos 2 cos 4 cos ) 1 cos 2 ( 2 cos 2 cos 2 cos 3 cos

5 3 cos 5

4 sin 3 4 tan

3

3 2

− = −

=

− =

− =

= +

= =

⇒ =

x x

x x

x x x

x

x dan x

x

34._Jika θ _{sudut lancip yang memenuhi 2cos}2θ = ₁+ _2sin2θ _{maka tentukan tan}θ _! Jawab :

2 5 tan

0 1 tan 4 tan

2 1 tan

1 tan 2 2

1 2 tan 2

sin 2 2 cos

2

2 − = ⇒

= − +

= −

⇔ = ⇔

=

θ θ

θ

θ θ θ

θ θ

35._Jika 3cos22x+ 4sin(π₂ − 2x)− 4= 0 maka tentukan cos x ! Jawab :

30 cos

3 2 1 cos 2 3 2 2 cos

0 ) 2 2 )(cos 2 2 cos 3 (

6 1

2 − = ⇔ = ±

⇔ =

= + −

x x

x

x x

36._Bila sinx− cosx = p _{maka tentukan sin 2x !}

Jawab :

2 2

2 2

1 2 sin 2

sin 1 )

cos

(sinx− x = p ⇔ − x= p ⇔ x= − p

37. Diketahui segitiga ABC siku-siku di C. Jika cos (A+ C) = k maka tentukan sin A + cos B Jawab :

Karena _C = ₉₀ _{maka :}

cos (A+C) = -sin A = k atau sin A = -k

cos (A+C) = cos(180_{-B) = -cos B = k atau cos B = -k}

sin A + cos B = -k – k = -2k

38.Jika α danβ _{sudut lancip,}

2 1 cos cos 3

) (

cos α − β = ₂1 _dan α β = _{maka tentukan}

) ( cos

) ( cos

β α

β α

− +

1 cos

) ( cos

3 sin sin cos

cos ) ( cos

2 1 3 2 1 sin sin 3

2 1 sin sin 2 1 sin sin cos

cos

3 2 1 ) ( cos

2 tan

1 sin

2 1 cos

2 tan

cos sin

cos 2 3 sin 2 2

) sin sin cos (cos 5 sin cos cos

sin _{4 4 4 4} cos 50 cos 1

40 sin 50 cos 1

) 30 sin 40 (sin ) 10 cos 50 (cos 10

cos 60 cos

= cos

sinα + α = dan ≤ α ≤ . Tentukan nilai sinα − cosα !

cos sin 2 1 )

cos (sin

: cos

sin

25 24 cos

sin 2 25

1 cos sin 2 1 25

1 ) cos (sin

2

maka x Misal

43._{Jika p – q = cos A dan} 2pq = sinA maka tentukan 2 2

q

p + !

Jawab :

1 cos sin

cos 2

cos )

(p− q 2 = 2A⇔ p2 + q2 = pq+ 2A= 2A+ 2A=

44._{Jika 2sin}2 + _3cos = _{0 0} ≤ ≤ ₁₈₀ x dan x

x maka tentukan x !

Jawab :

120 2

1 cos

0 ) 2 )(cos 1 cos 2 ( 0 cos 3 ) cos 1 (

2 2

= ⇒ − =

= − +

⇔ = +

−

x x

x x

x x

45._{Jika x memenuhi} 2(sinx)2+ 3sinx− 2= 0dan− π₂ < x< π₂ maka tentukan cos x ! Jawab :

3 2 1 cos 30

2 1 sin

0 ) 2 )(sin 1 sin 2 (

= ⇒

= ⇒ =

= + −

x x

x

x x



46._Jika 0< x< π dan x memenuhi persamaan tan2x− tanx− 6= 0 maka tentukan sin x ! Jawab :

5 5 2 sin 2 tan

10 10

3 sin 3 tan

0 ) 2 )(tan 3 (tan

= ⇒

− =

= ⇒

=

= + −

x x

x x

x x

47.Nyatakan 3cosx− sinx dengan kcos(x− α ) !

Jawab :

) (

cos 2 sin cos 3

6 11

3 1 tan

2 ) 1 ( ) 3 (

6 11 2

2

π π

α α

− =

− = ⇒ − =

= − + =

x x

x Jadi

k

48.Tentukan nilai x antara ₀ _{dan 360} _{yang memenuhi persamaan 3cosx}+ _sinx= ₂

Jawab :

345 1

75 0

360 . 15 360

. 75

360 . 45 30 360

. 45 30

45 cos ) 30 ( cos 2

) 30 ( cos 2

= ⇒ =

= ⇒ =

+ − = +

=

+ − = − +

= −

= − ⇔

= −

x k

x k

k x

atau k

x

k x

atau k

x

x

49.Jika tanxsinx− cosx= sinx maka tentukan tan x !

Jawab :

2 5 1 tan

0 1 tan tan

cos ) 1 (tan

sin 2

± =

= − −

⇔ =

−

x

x x

x x

x

50. Tentukan persamaan kurva di bawah ini ! Y

2

0 3 π

2π X

-2

Jawab :

x x

x x

x