x = sisi siku-siku samping sudut (proyeksi) x = sisi siku-siku samping sudut (proyeksi) y = sisi siku-siku depan sudut (proyektor) y = sisi siku-siku depan sudut (proyektor) r = sisi miring (proyektum)
r = sisi miring (proyektum) A.
A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-SikuPerbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-Siku Perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga siku
Perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga siku-siku OAB didefinisikan-siku OAB didefinisikan sebagai berikut.
sebagai berikut.
a.
a. Sinus α = sin α =Sinus α = sin α = == d.d. Cosecan α = csc α =Cosecan α = csc α = == b.
b. Cosinus α = cos α =Cosinus α = cos α = == e.e. Secan α = sec α =Secan α = sec α = == c.
c. Tangen α = tan α =Tangen α = tan α = == d.d. Cotangen α = cot α =Cotangen α = cot α = ==
B.
B. Perbandingan Trigonometri Sudut KhususPerbandingan Trigonometri Sudut Khusus
Sudut istimewa adalah sudut dengan nilai perbandingan trigonometri yang dapat Sudut istimewa adalah sudut dengan nilai perbandingan trigonometri yang dapat ditentukan nilainya tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut ditentukan nilainya tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut istimewa antara lain: 0°, 30°, 45°, 60°,
istimewa antara lain: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, dan seterusnya.90°, 120°, 135°, 150°, dan seterusnya. a.
a. Sudut 0°Sudut 0°
b.
b. Sudut 30° dan 60°Sudut 30° dan 60°
Jika sudut α = 0° maka sisi AC berimpit dengan Jika sudut α = 0° maka sisi AC berimpit dengan sumbu X dan AC = AB = 1, BC = 0. sumbu X dan AC = AB = 1, BC = 0. Sin 0° = Sin 0° = == 00 = 0= 0 Cos 0° = Cos 0° = == = 1= 1 Tan 0° = Tan 0° = == 00 = 0= 0
▸ Baca selengkapnya: besar sudut pukul 01.30
(2)Jika
JikaABC = 90° dan αABC = 90° dan α11= 30°, maka α= 30°, maka α22= 60°= 60° Dengan perbandingan Dengan perbandingan AB : BC : AC = AB : BC : AC =
√
√
: 1 : 2 diperoleh:: 1 : 2 diperoleh: c. c. Sudut 45°Sudut 45° JikaJika
∠
∠
ABC = 90° dan sudut α = 45° maka denganABC = 90° dan sudut α = 45° maka dengan memperhatikan gambar di samping diperoleh:memperhatikan gambar di samping diperoleh: AB = BC = sama panjang = 1; AB = BC = sama panjang = 1; AC = AC =
√
√
==√
√
==√
√
Diperoleh: Diperoleh: d. d. Sudut 90°Sudut 90° Diperoleh: Diperoleh: Sin 30° = Sin 30° = == Cos 30° = Cos 30° = == √ √ 33 == √
√
Tan 30° = Tan 30° = == √ √ 33== 33√
√
Sin 60° = Sin 60° = =
=
√ √ 33 == √
√
Cos 60° = Cos 60° = == Tan 60° = Tan 60° = == √ √ 33 ==√
√
Sin 45° = Sin 45° = == √ √ == √
√
Cos 45° = Cos 45° = == √ √ == √
√
Tan 45° = Tan 45° = == = 1= 1 Karena α = 90° maka ACKarena α = 90° maka AC berimpit sumbu Y.berimpit sumbu Y. Jadi AC = AB = 1 dan BC = 0. Jadi AC = AB = 1 dan BC = 0. Sin 90° = Sin 90° = == = 1= 1 Cos 90° = Cos 90° = == 00 = 0= 0 Tan 90° =
ari uraian di atas, diperoleh tabel sebagai berikut:
ari uraian di atas, diperoleh tabel sebagai berikut:
C.
C. Panjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga Siku-SikuPanjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga Siku-Siku
Dalam segitiga siku-siku, jika diketahui besar salah satu sudut lancip dan panjang salah Dalam segitiga siku-siku, jika diketahui besar salah satu sudut lancip dan panjang salah satu sisinya diketahui maka ukuran unsur-unsur yang lain dalam segitiga tersebut dapat kita satu sisinya diketahui maka ukuran unsur-unsur yang lain dalam segitiga tersebut dapat kita tentukan.
tentukan.
Dari gambar di samping, jika diketahui sudut CAB = α Dari gambar di samping, jika diketahui sudut CAB = α dan panjang sisi AB = b maka besar sudut
dan panjang sisi AB = b maka besar sudut ββ, sisi a dan sisi c, sisi a dan sisi c dapat ditentukan, dan berlaku:
dapat ditentukan, dan berlaku:
D.
D. Perbandingan Trigonometri Perbandingan Trigonometri Sudut Sudut di Berbagai di Berbagai KuadranKuadran a.
a. Sudut Pada KuadranSudut Pada Kuadran
Selain sudut-sudut istimewa, menentukan nilai perbandingan trigonometri dapat Selain sudut-sudut istimewa, menentukan nilai perbandingan trigonometri dapat dilakukan dengan menggunakan daftar,
dilakukan dengan menggunakan daftar, tabel trigonometri, atau kalkulator. Tabel tabel trigonometri, atau kalkulator. Tabel β = 90°
β = 90°-- αα
tan α = tan α =
maka a = b . tan αmaka a = b . tan α
cos α = cos α = maka c =maka c =
trigonometri hanya memuat sudut-sudut di kuadran I dan selebihnya tidak. Untuk trigonometri hanya memuat sudut-sudut di kuadran I dan selebihnya tidak. Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri dengan sudut lebih dari 90° dapat dilakukan menentukan nilai perbandingan trigonometri dengan sudut lebih dari 90° dapat dilakukan dengan mengubah sudut tersebut ke kuadran I. Sumbu-sumbu pada koordinat membagi dengan mengubah sudut tersebut ke kuadran I. Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koo
bidang koordinat menjadi empat daerah yang disebut kuadran. Dengan begitu, besar sudut αrdinat menjadi empat daerah yang disebut kuadran. Dengan begitu, besar sudut α dapat dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut.
dapat dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut. Dari gambar disamping dapat ditentukan tanda (+/
Dari gambar disamping dapat ditentukan tanda (+/ – – ) nilai perbandingan trigonometri pada) nilai perbandingan trigonometri pada masing-masing kuadran.
masing-masing kuadran.
b.
b. Sudut BerelasiSudut Berelasi 1.
1. Sudut kuadran I (0°<Sudut kuadran I (0°<xx<90°)<90°)
Perhatikan
Perhatikan ∆∆OAP di kuadran I dan titik P (x,y).OAP di kuadran I dan titik P (x,y).
Dapat disimpulkan bahwa: Dapat disimpulkan bahwa:
2.
2. Sudut di Kuadran II (90°<Sudut di Kuadran II (90°< xx<180°)<180°)
Perhatikan
Perhatikan ∆∆OAP di kuadran I dan titik P (x,y).OAP di kuadran I dan titik P (x,y).
a. a. sin α =sin α = d. d. sin sin (90°-(90°- α) =α) = b. b. cos αcos α == e. e. cos cos (90°-(90°- α) =α) = c. c. tan α =tan α = f. f. tan tan (90°-(90°- α) =α) = sin α =
sin α = cos (90°-cos (90°- α) =α) = cos α
cos α= sin (90°-= sin (90°-α) =α) = tan α = tan α = (90(90 ° ° −−))= cot (90° -= cot (90° -α) = α) = Sudut
Sudut di di kuadran kuadran I I Sudut Sudut di di kuadran kuadran IIII
sin sinα =α = sin (180°-sin (180°- α) =α) = cos α cos α == cos (180°-cos (180°- α) =α) = − −
Dari beberapa rumus di atas, dapat disimpulkan: Dari beberapa rumus di atas, dapat disimpulkan:
3.
3. Sudut di Kuadran III (180°< x <270°)Sudut di Kuadran III (180°< x <270°) Perhatikan Δ OAP di kuadran I dan
Perhatikan Δ OAP di kuadran I dan titik P (x,y) dan titik P′ (– titik P (x,y) dan titik P′ (– x,x, – – y) di kuadran III.y) di kuadran III. Diperoleh relasi sebagai berikut.
Diperoleh relasi sebagai berikut. sin
(180°-sin (180°- α) =α) =sinsinαα°°
cos
(180°-cos (180°- α) =α) =- cos- cos αα°°
tan
(180°-tan (180°- α) =α) =- tan- tanαα°°
Sudut
Sudut di di kuadran kuadran I I Sudut Sudut di di kuadran kuadran IIIIII
sin α = sin α = sin (180° +sin (180° + α) =α) = − − cos α cos α == cos (180° +cos (180° +α) =α) = − − tan α = tan α = tan (180° +tan (180° + α) =α) =
Dari beberapa rumusan diatas, dapat disimpulkan: Dari beberapa rumusan diatas, dapat disimpulkan:
sin (180° + α) =
sin (180° + α) = - sin- sin α°α°
cos (180° + α) =
cos (180° + α) = - cos- cos α°α°
tan (180° + α) = tan
tan (180° + α) = tan α°α°
4.
4. Sudut di Kuadran IV (270°< x <360Sudut di Kuadran IV (270°< x <360°)°)
Perhatikan ∆ OAP, titik P (x,y) di kuadran I, ∆ Perhatikan ∆ OAP, titik P (x,y) di kuadran I, ∆ OA’P’ dan P’ (x’,y’) di kuadran IV. Diperoleh relasi OA’P’ dan P’ (x’,y’) di kuadran IV. Diperoleh relasi
sebagai berikut sebagai berikut
Dari beberapa rumusan tersebut diperoleh hubungan sebagai berikut: Dari beberapa rumusan tersebut diperoleh hubungan sebagai berikut: Sudut
Sudut di di kuadran kuadran I I Sudut Sudut di di kuadran kuadran IVIV
sin α = sin α = sin (360° -sin (360° - α) =α) = − − cos α cos α== cos (360° -cos (360° - α) =α) = tan α = tan α = tan (360° -tan (360° - α) =α) = − − sin α
sin α° = - sin (360° -° = - sin (360° - α)α)==−−
atau sin (360° -atau sin (360° - α)α) = sin (-= sin (-αα) = - sin) = - sinαα°°
cos α
cos α° = cos (360° -° = cos (360° - α) =α) =
atau cos (360° -atau cos (360° - α) =α) = coscosα°α°
tan α°
tan α°= tan (360° -= tan (360° - α)α) ==
