Bab 5. Perbandingan dan Fungsi Trigonometri. Materi Pembelajaran: Tujuan Pembelajaran:

Bab 5

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

Materi Pembelajaran:

 Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku.

 Hubungan Perbandingan Trigonometri

 Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

 Pengukuran Sudut

 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadran

 Sudut Berelasi

 Koordinat Kutub

 Identitas Trigonometri

 Grafik Fungsi Trigonometri

 Persamaan Trigonometri

 Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

 Luas Segitiga

 Menyelesaikan model Matematika yang Berhubungan dengan Trigonometri

Tujuan Pembelajaran:

Siswa diharapkan mampu:

 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan , fungsi, persamaan, dan identitasi trigonometri.

 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh.

Bab 5 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

Pengantar

Konon, ketika berada di Mesir, Thales ( 600 SM) diminta oleh raja untuk mengetahui tinggi sebuah pyramid. Thales tidak segera menjawab pertanyaan raja tersebut, tapi ia menunggu hingga saat siang ketika bayangan tubuhnya sama panjang dengan tinggi tubuhnya sendiri. Kemudian dia mengukur panjang bayangan pyramid, yang tentu saja sama dengan tinggi pyramid tersebut. Dan terjawablah pertanyaan sang raja.

Mungkin kamu bertanya-tanya, apa hubungan cerita di atas dengan trigonometri. Biar kamu semakin penasaran, simak kisah Alex dengan hobby sepak bolanya berikut:

Alex sejak kecil senang bermain sepak bola, saking gilanya dengan bola hampir setiap sore dia dengan teman-temannya bermain sepak bola di lapangan. Dan agak berbeda dengan kebanyakan teman lainnya, Alex lebih suka bermain sebagai penjaga gawang. Maka jangan heran kalau pemain favoritnya bukanlah Ronaldinho atau David beckham, tapi Peter chech, itu penjaga gawangnya Chelsea yang diarsiteki Mourinho, pelatih yang sering membuat kontroversi asal Portugal.

Nah, suatu sore ketika sedang bermain dan dia berdiri dibawah mistar gawangnya, tanpa sengaja ia memperhatikan bayangan tubuhnya sendiri dan juga ujung bayangan pohon cemara yang terletak beberapa meter disampingnya. Timbul keinginan iseng Alex untuk mengukur bayangan tubuhnya dan bayangan pohon cemara itu. Karena ia tidak membawa alat untuk mengukur, ia mengukur bayangan tubuhnya dengan panjang langkahnya.

Ternyata bayangan tubuhnya dua langkah. Ia kemudian menegok ke belakang ke arah pohon cemara yang berdiri di belakangnya. Setelah itu, ia kembali

165 cm

memperhatikan permainan di lapangan. Dan karena bola banyak berada di mulut gawang lawan dan sejauh ini boleh dibilang gawangnya sejak awal permainan tidak terancam, Alex memutuskan untuk mengukur bayangan pohon cemara itu. Ia pun melangkah dari ujung bayangan pohon sampai ke tempat pohon itu berdiri. Ternyata panjang bayangan pohon itu 30 langkahnya. Dan ketika dia masih berada di bawah pohon cemara itu, ternyata lawannya melakukan counter attack dengan sangat cepat. Alex berlari ke arah gawang, tapi bola yang ditendang lawan ternyata lebih cepat melesak dan bersarang ke gawangnya. Gol! Gawang Alex kebobolan. Dan tentu saja dia dimarahi teman- temannya, tapi sebagian malah pada tertawa. Untung itu terjadi hanya ketika latihan, tidak dalam pertandingan sungguhan.

Karena masih penasaran, sesampai di rumah Alex mengambil penggaris.

Ternyata satu langkahnya, panjangnya sama dengan 55 cm. Ia tahu tinggi badannya adalah 165 cm. Berapakah tinggi pohon cemara tersebut?

Perhatikan bahwa ketika mengukur panjang banyangan tubuhnya ia melakukannya sendiri tanpa bantuan orang lain. Bagaimana caranya? Ingat bahwa ketika Alex bergerak maka bayangannya juga akan ikut bergerak! Salah satu cara yang bisa dilakukan Alex adalah ia membuat tanda di atas rumput, misalnya dengan batu. Kemudian di berjalan ke depan mencari posisi berdiri sedemikian rupa sehingga ujung bayangan tubuhnya tepat di batu. Jarak dari posisinya berdiri ke batu merupakan panjang bayangan tubuh Alex. Apakah kamu bisa menemukan cara yang lain?

Karena panjang bayangan tubuhnya dua langkah dan diketahui satu langkah itu sama dengan 55 cm, sehingga panjang bayangannya 2 x 55 = 110 cm.

sementara bayangan pohon itu 30 langkah sama dengan 30 x 55 = 1650 cm Untuk mengukur tinggi pohon cemara Alex tidak perlu memanjat pohon itu sampai ke ujungnya yang paling atas. Selain sulit, juga akan berisiko! Ternyata yang dilakukan Alex adalah membandingkan antara panjang bayangannya dengan panjang bayangan pohon yang akan sama dengan perbandingan tinggi tubuhnya dengan tinggi pohon cemara itu.

?

Alex pohon

pohon Tinggi

pohon Bayangan

Alex Tinggi

Alex Bayangan



Misalkan tinggi pohon cemara itu = t



 t 1650 165

110 110 t = 165 x 1650 ^{ t  272250}₁₁₀ ^2475

Jadi tinggi pohon itu adalah 2.475 cm atau 24,75 m.

5.1. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Masih penasaran, apa hubungan tinggi pyramid, tinggi pohon cemara dengan trigonometri? Baiklah, sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Misalkan garis g dan l berpotongan di titik A.

C’’ g

C’

C

A B B’ B’’ l Gambar 6.1.a

Jika C adalah sembarang titik pada garis g maka proyeksi AC pada garis l adalah AB.

AC disebut proyektum (benda yang diproyeksikan) AB disebut proyeksi AC (hasil proyeksi AC pada garis l) BC disebut proyektor AC

Dari gambar di atas tampak bahwa segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku di B. Dengan cara yang sama, jika C’ dan C” adalah sembarang titik pada garis g, maka proyeksi AC’ dan AC” berturut-turut adalah AB’ dan AB”. Sehingga diperoleh segitiga segitiga AB’C’ yang siku-siku di B’ dan segitiga AB”C” yang

siku-siku di B”. Dengan demikian segitiga ABC, AB’C’ dan AB”C” sebangun.

Oleh karena itu berlaku hubungan:

oyektum Pr

oyektor Pr

"

AC

"

C

"

B '

AC ' C 'B AC

BC   

oyektum Pr

oyeksi Pr

"

AC

"

AB '

AC ' AB AC

AB   

oyeksi Pr

oyektor Pr

"

AB

"

C

"

B '

AB ' C 'B AB

BC   

Dengan kata lain, jika sudut yang dibentuk oleh garis g dan garis l tetap (sudut A) maka untuk sembarang titik C pada garis g, nilai perbandingan antar proyektum, proyektor, dan proyeksi selalu tetap. Dengan demikian nilai-nilai perbandingan tersebut dapat dijadikan sebagai ukuran suatu sudut. Dan sebaliknya, nilai-nilai perbandingan tersebut tergantung pada besarnya sudut.

Nilai-nilai perbandingan itu disebut nilai perbandingan trigonometri dari sudut A. Nah, sekarang kamu sudah mengerti kan hubungan Thales dan pyramid atau Alex dan pohon cemara dengan trigometri?!

Sekarang kita akan memfokuskan diri pada segitiga ABC di atas. Dengan memperhatikan letak sisi-sisi terhadap sudut A diperoleh nilai perbandingan trigonometri sebagai berikut:

oyektum Pr

oyektor Pr

AC

BC  disebut sinus sudut A dan ditulis sin A

oyektum Pr

oyeksi Pr

AC

AB  disebut cosinus sudut A dan ditulis cos A

oyeksi Pr

oyektor Pr

AB

BC  disebut tangen sudut A dan ditulis tg A

oyektor Pr

oyektum Pr

BC

AC  disebut cosecan sudut A dan ditulis cosec A

oyeksi Pr

oyektum Pr

AB

AC  disebut secan sudut A dan ditulis sec A

oyektor Pr

oyeksi Pr

BC

AB  disebut cotangen sudut A dan ditulis ctg A

Perhatikan segitiga siku-siku ABC berikut ini.

C b a

A c B Gambar 6.1.b

Misalkan: sisi di depan sudut A, yaitu sisi BC = a sisi di depan sudut B, yaitu sisi AC = b sisi di depan sudut C, yaitu sisi AB = c

Nilai-nilai perbandingan trigonometri dari sudut A adalah:

sin A =_b^a cos A =_b^c tg A =_c^a

cosec A = ^b_a sec A = ^b_c ctg A = _a^c

Catatan:

Dalam beberapa buku, istilah lain dari perbandingan trigonometri adalah nisbah trigonometri. Sisi BC=a disebut sisi di hadapan sudut A, Sisi AB=c disebut sisi di dekat sudut, dan sisi AC=b disebut hipotenusa. Sehingga perbandingan- perbandingan trigonometri sudut A didefinisikan sebagai berikut:

Sin A = ^{sisidihadapan}_hipotenusa^{sudut A} Cosec A = _{sisidihadapan}^hipotenusa_{sudut A}

Cos A = ^{sisi didekat}_hipotenusa^sudutA Sec A = _sisididekat^hipotenusa_sudutA

Tg A = ^sisi_sisi^dihadapan_{didekat sudut}^sudut_A^A Ctg A = _sisi^sisi_dihadapan^{didekat sudut}_sudut^A_A

Contoh :

Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri dari sudut B pada segitiga ABC yang siku-siku di A berikut:

A

8 B 10 C Jawab:

Karena segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku terorema phytagoras: AB² BC² AC²

2 2

2 10 8

AB   64 100 AB²  

6 36 AB 

Nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut B adalah:

sin B =

5 4 10

8 BC

AC   cosec B =

4 5 8 10 AC

BC  

cos B =_BC^{AB }₁₀^{6 } ₅³ sec B = ^BC_AB ^10₆ ^ ₃⁵

tg B =

3 4 6 8 AB

AC   ctg B =

4 3 8 6 AC AB  

5.2. Hubungan Perbandingan Trigonometri

Perhatikan bahwa cosec A = ^b_a = b a 1

=sinA

1 (ingat sin A =_b^a)

Jadi diperoleh hubungan cosec A =_sin¹_A

Bisakah kamu menunjukkan hubungan perbandingan trigonometri berikut ini?

1. sec A = _cos¹_A

2. tg A = _cos^{sin A}_A

3. ctg A = _sin^cos_A^{A } _tg¹_A

Dari apa yang sudah kita kerjakan di atas, maka kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut:

1. cosec A =_sin¹_A atau sin A = _cos¹_ecA

2. sec A = _cos¹_A atau cos A = A sec

1

3. ctg A = _tg¹_A atau tg A = _ctg¹_A

4. tg A = _cos^{sin A}_A atau ctg A = ^cos_sinA^A

Hubungan-hubungan seperti di atas memungkinkan kita untuk menentukan keenam nilai perbandingan trigonometri dengan lebih mudah, yaitu cukup dengan mempelajari dua definisi dasar perbandingan trigonometri: Sin dan Cos. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh :

Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri dari sudut C pada segitiga ABC yang siku-siku di B berikut:

C

13 5 B A

Jawab:

Soal ini bisa kita kerjakan dengan cara seperti contoh 1 sebagai berikut:

Karena segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku terorema phytagoras: AB²  AC² BC²

2 2

2 13 5

AB   25 169 AB²  

12 144

AB 

Nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut C adalah:

sin C =

13 12 AC

AB  cosec C =

12 13 AB AC 

cos C =_AC^{BC }₁₃⁵ sec C = _BC^{AC 13}₅

tg C =

5 12 BC

AB  ctg C =

12 5 AB BC 

Cara lain, kita cukup menentukan Sin C dan Cos C saja. Sementara nilai perbandingan trigonometri yang lain kita tentukan dengan menggunakan hubungan perbandingan trigonemetri di atas.

sin C =

13 12 AC

AB  cos C =

13 5 AC BC 

cosec C = 12

13 13 12 1 C sin

1  

sec C = 5

13 13

5 1 C cos

1  

tg C =

5 12 5 x 13 13 12 C

cos C sin

135 1312







tg C = 12

5 5 12

1 C ctg

1  

Latihan 1

Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada segitiga-segitiga berikut!

1. 2. 3.

3cm

 4cm 3cm

3 cm   1cm 2cm 4. 5.

9 cm 2cm 

4cm  15cm

Pada segitiga ABC yang siku-siku di B, panjang AB = c, panjang AC = b, dan panjang BC = a. Tentukan pertandingan trigonometri untuk sudut BAC, jika diketahui:

6. a = 2cm dan b = 3cm 7. b = 5cm dan c = 3cm 8. a = 2cm dan b = 5cm

Tentukan nilai perbandingan trigonometri yang lain jika diketahui  adalah sudut lancip!

9. sin  =₅³ 10. cos  = ₂₅⁷ 11. tg  =₁₇¹⁵

Segitiga ABC siku-siku di C dengan panjang AC = 6 cm, panjang BC = 8 cm, dan besar sudut BAC = . Tentukan:

12. sin  13. cos  14. tg  15. sec  16. cosec 

Segitiga PQR siku-siku di Q dengan panjang PQ = 12 cm, panjang QR = 9 cm, dan besar sudut QPR = . Tentukan:

17. tg  18. ctg  19. sec  20. cosec 

5.3. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah suatu sudut dimana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan tanpa menggunakan alat bantu daftar trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut istimewa tersebut adalah 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°.

Dengan menggunakan dasar-dasar geometri, kita dapat menentukan keenam nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa. Siap untuk memulainya?

Perhatikan segitiga sama sisi ABC seperti gambar di bawah berikut. Berapa besar masing-masing sudutnya? Betul, masing-masing besar sudutnya adalah 60°. Bisakah kamu menjelaskan dari mana asalnya?

B B 2a 2a

a A 60° 2a A D a 2a

C C

Gambar 6.3.a Gambar 6.3.b

Misalkan panjang sisi AB = 2a satuan, karena segitiga ABC sama sisi maka panjang sisi AC = panjang sisi BC = panjang sisi AB = 2a satuan. Garis bagi sudut A (garis AD) membagi sudut A menjadi dua bagian yang sama besar dan juga membagi sisi BC menjadi dua bagian yang sama panjang. Dengan demikian diperoleh:  BAD =  CAD = 30° dan BD = CD = a satuan.

Sekarang perhatikan segitiga ABD yang siku-siku di D.

 BAD = 30°,  ABD = 60°, AB = 2a, dan BD = a.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh:

2 2 2 2 2 2

2

2 AB BD (2a) a 4a a 3a

AD       

AD = 3a² a 3

Dengan menggunakan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh keenam nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 30° sebagai berikut:

Sin  BAD = Sin 30° = ^BD_AB ^ ₂^a_a ^ ₂¹

Cos  BAD = Cos 30° = ³

2 1 a 2

3 a AB

AD  

Dengan menggunakan hubungan perbandingan trigonometri, kita peroleh:

Tg 30°= 3 3 1 3 1 30 3

cos 30 sin

21 21





 



Cosec 30°= 1 2

30 sin

1

21 

 

Sec 30°= ²₃³

3 2 3 1 30 cos

1

21  



Ctg 30°= 3 3

30 sin

30 cos

21 2

1 

 



Dengan cara yang sama, kita peroleh keenam nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 60° sebagai berikut:

Sin  ABD = Sin 60° = ³

2 1 a 2

3 a AB

AD  

Cos  ABD = Cos 60° =^BD_AB ^ ₂^a_a ^ ₂¹

Tg 60°= 3 3

60 cos

60 sin

21 21



 



Cosec 60°= ²₃³

3 2 3 1 60 sin

1

21  

 

Sec 60°= 1 2

60 cos

1

2 1 

 

Ctg 60°=_Tg¹_60 ^{ 1}₃ ^₃^{1 3}

Sekarang, kita akan melanjutkan untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut 45°. Untuk itu perhatikan segitiga siku-siku ABC yang sama kaki berikut.

C

a A a B Gambar 6.3.c

Dari geometri bidang kita tahu bahwa besar sudut A sama dengan besar dengan sudut C yaitu 45°. Misalkan panjang sisi-sisi tegaknya, yaitu AB = BC = a satuan. Dengan menggunakan teorema Phytagoras kita akan memperoleh:

2 2 2 2 2

2 AB BC a a 2a

AC     

AC = 2a² a 2

Dengan menggunakan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh keenam nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 45° sebagai berikut:

Sin  CAB = Sin 45° =^BC_AC ^ _a^a₂ ^{ 1}₂ ^ ₂^{1 2}

Cos  CAB = Cos 45° =_AC^{AB } _a^a₂ ^{ 1}₂ ^ ₂^{1 2}

Dengan menggunakan hubungan perbandingan trigonometri, kita peroleh:

Tg 45°= 1

2 2 45

cos 45 sin

2 1 21



 



Cosec 45°=_sin¹₄₅ ¹₂ ²

21 

 

Sec 45°=_cos¹₄₅ ¹₂ ²

21 

 

Ctg 45°=_Tg¹_45 ^ ₁^11

Bagaimana cara menentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0°

dan 90°?

Kita mulai dengan cara menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0°.

Perhatikan gambar berikut:

A B = B’

g Gambar 6.3.d

Misalkan panjang AB = r satuan. AB dan garis g berimpit, sehingga AB dan garis g membentuk sudut 0°. Jika AB diproyeksikan pada garis g maka diperoleh:

Proyektum AB = r

Proyeksi AB’ = AB = r (karena proyeksi AB ke garis g adalah AB’ yang merupakan dirinya sendiri)

Proyektor = BB’ = 0.

Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh:

Sin 0° = ⁰

r 0 AB

'

BB  

Cos 0° = ^AB_AB^{' } _r^{r 1}

Tg 0° = _Cos^Sin0₀^_ ^ ₁^{0 0}

Cosec 0° = _sin¹_0 ^ ₀^{1 }~

Sec 0° =_Cos¹_0 ^₁^11

Ctg 0° = _Tg¹_0 ^ ₀^{1 }~

Untuk menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut 90°, perhatikan gambar berikut:

B

A = B’ g Gambar 6.3.e

Misalkan panjang AB = r satuan. AB tegak lurus terhadap garis g (AB dan garis g membentuk sudut 90°). Jika AB diproyeksikan ke garis g, maka diperoleh:

Proyektum = AB = r.

Proyeksi = AB’ = 0. (karena proyeksi B ke garis g adalah B’ = A atau B’ berimpit dengan A, sehingga AB’ = AA = 0).

Proyektor = BB’ = AB = r.

Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh:

Sin 90°=_Pr^Pr_oyektum^{oyektor BB}_AB^{' } _r^{r 1}

Cos 90°= _Pr^Pr_oyektum^{oyeksi  AB}_AB^{'  0}_r ^0

Tg 90° = _Cos^Sin90₉₀^_ ^ ₀^{1 }~

Cosec 90° = _sin¹_90 ^ ₁^11

Sec 90° = _Cos¹_90 ^ ₀^{1 }~

Ctg 90° = ⁰

1 0 90 sin

90

cos  





Secara ringkas nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa disajikan dalam tabel berikut:

Tabel. 6.3. Nilai-nilai perbandingan Trigonometri sudut-sudut Istimewa

0° 30° 45° 60° 90°

sin 0

2

1 2

2

1 3

2

1 1

cos 1 3

2

1 2

2 1

2

1 0

tan 0 ¹₃ ³ 1 ³ ~

cosec ~ 2 2 3

3

2 1

sec 1 ₃^{2 3} 2 2 ~

ctg ~ ³ 1 ₃^{1 3} 0

Cara praktis untuk mengingat nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa 30°, 45°, dan 60° dengan menggunakan segitiga-segitiga berikut:

2 60°

2 1 30° 1 45°

1 ³

Dari segitiga-segitiga di atas kemudian kita tentukan nilai perbandingan trigonometrinya.

Contoh 1:

Hitunglah!

a. sin 30° + cos 60° + tg 45°

b. sin 45° x cos 45° - sin 30° x cos 60° + cos 90°

Jawab:

a. sin 30° + cos 60° + tg 45° = ₂¹ ₂¹12

b. sin 45° x cos 45° - sin 30° x cos 60° + cos 90° = ₂¹ 2 x ₂¹ 2  ₂¹x₂¹ 0 = ₂¹ -¹₄ = ¹₄

Contoh 2:

Jika koordinat titik A(3,0) dan B(3,4), tentukan tangen sudut AOB!

Jawab:

B(3,4)

O(0,0) A(3,0)

Perhatikan segitiga AOB pada gambar di atas. Panjang OA=3 dan panjang AB=4.

tg  AOB = _OA^{AB } ₃⁴ Contoh 3:

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, besar sudut A = 30° dan panjang sisi BC = 8 cm. Hitung panjang sisi AB dan AC!

Jawab:

Perhatikan gambar di bawah.

C 8 cm

30°

A B

Sin  BAC = ^BC_AC tg  BAC = ^BC_AB

Sin 30° = _AC⁸ tg 30° = _AB⁸

AC 8 2

1  AB

8 3 1 

AC = 2.8 AB = 8 . 3

AC = 16 AB = 8 ³

Jadi panjang AC = 16 cm Jadi, panjang AB = 8 ³cm.

Contoh 4:

Diketahui segitiga ABC yang siku-siku di B, panjang AC = 2 cm, panjang BC = 1 cm. tentukan besar sudut A dan besar sudut C!

Jawab:

Perhatikan gambar di bawah!

C 2 cm

1 cm A B

Sin A = AC BC =

2

1, maka besar sudut A = 30°.

Dalam segitiga ABC berlaku: A + B + C = 180°. Sehingga:

30°+90°+ C = 180°

120°+ C = 180°

C = 180° - 120°

C = 60°

Jadi, besar sudut C adalah 60°.

Dari contoh 3 dan 4 di atas, tampak bahwa perbandingan trigonometri dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur segitiga siku-siku jika dua unsurnya sudah diketahui (salah satu sudut dan salah satu sisi, atau dua sisinya diketahui).

Latihan 2

Hitunglah!

1. cos 45° + sin 45° + tg 45°

2. sin 90° –sin 30° – sin 60°

3. sin 60° + ctg 60° – cos 60°

4. cos 30° x sin 45° + cos 45°

5. sin 60° x tg 60° x cos 30°

6. 



 60 sin

30 cos x 30 sin

7. _cos45^sin_x⁶⁰_sin^ _30 Tunjukkan bahwa:

8. sin 45° x (cos 60° + sin 30°) = cos 45°

9. (cos 30° + sin 60°) x tg 30° = 3

10. ³

60 sin

30 cos 60

cos x 45 sec

45 ec cos x 60

sec 



 









11. ¹

45 sin

30 xcos 45 cos x 60 sin

30

sin 











12. Diketahui segitiga PQR siku-siku di Q dengan panjang QR = 5 cm dan besar sudut R = 60°, tentukan unsur-unsur segitiga PQR yang lain!

13. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AC = 10 cm dan panjang AB = 5 cm. tentukan unsur-unsur segitiga ABC yang lain!

14. Keliling segitiga siku-siku adalah 48 cm dan besar salah satu sudutnya 30°.

Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut!

15. Salah satu sudut suatu belah ketupat adalah 60° dan panjang diagonal terpanjangnya adalah 40 cm. hitunglah panjang sisi belah ketupat tersebut!

5.4. Pengukuran Sudut

Berapakah besar sudut yang diapit oleh jarum panjang dan jarum pendek suatu jam, jika jam tersebut menunjukkan pukul 10.10? Diskusikan dengan teman bagaimana cara mengukur besar sudut tersebut!

Kita perlu mendefinisikan ukuran sudut secara lebih umum dari sekedar titik sudut pada suatu segitiga. Sehingga tidak hanya bisa digunakan pada pengukuran segitiga saja, tetapi juga yang lain.

Misalkan A dan B adalah titik-titik yang berbeda, ruas garis berarah yang dimulai dari titik A dan diteruskan melalui titik B sampai tak terbatas disebut sinar garis dengan titik pangkal A. suatu sudut ditentukan dengan memutar sinar garis tersebut pada titik pangkalnya. Titik pangkal dari sinar garis yang diputar tersebut dinamakan titik sudut (vertex). Posisi sinar garis sebelum diputar disebut sisi awal (inisitial side) dari sudut, dan posisi sinar garis sesudah diputar disebut sisi akhir (terminal side). Sudut seringkali dinotasikan dengan huruf kecil Yunani, seperti sudut ^, sudut ^ dan lain sebagainya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.

sisi akhir A.

.B titik .  pangkal

sisi awal

Gambar 6.4.a Gambar 6.4.b

Sudut yang berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam disebut sudut positif, dan sudut yang searah dengan arah perputaran jarum jam disebut sudut negatif. Pada gambar dibawah ini sudut ^ adalah sudut positif, sedangkan sudut  adalah sudut negatif.

^sudut positif sisi awal

sisi akhir sisi awal sisi akhir  sudut negatif

titik pangkal

Gambar 6.4.c Gambar 6.4.d

Satu putaran penuh dari suatu sinar garis pada pangkalnya disebut satu putaran (360°), setengah putaran disebut sudut lurus (180°), dan seperempat putaran disebut sudut siku-siku (90°).

Ada beberapa satuan ukuran sudut. Yang paling dikenal adalah ukuran sudut dengan satuan derajat. Satu derajat (1°) adalah ukuran dari suatu sudut yang dibentuk oleh

360

1 dari satu putaran searah perputaran jarum jam. Ukuran dalam satuan derajat dapat dibagi lagi dalam menit dan detik. Satu menit (1’) didefinisikan sebagai ₆₀¹ derajat dan satu detik(1’’) didefinisikan sebagai ₆₀¹ menit.

Meskipun ukuran sudut dalam derajat paling sering digunakan, khususnya dalam penerapan dasar trigonometri, untuk penerapan yang lebih luas seringkali digunakan ukuran sudut dalam radian. Untuk memahami ukuran sudut dalam radian perhatikan gambar lingkaran di bawah ini.

B r r

P. r A Gambar 6.4.h

Misalkan pusat lingkaran P, jari-jarinya r, dan panjang busur AB adalah r. Besar sudut APB disebut satu radian.

Kita tahu bahwa satu putaran besar sudutnya 360°. Hal ini berarti bahwa sudut 360° menghadap busur sepanjang keliling lingkaran (2r), sehingga sudut sebesar ³⁶⁰_2^menghadap busur sepanjang r. Padahal sudut yang menghadap sepanjang jari-jari lingkaran besarnya 1 radian. Dari penjelasan di atas diperoleh hubungan ukuran sudut dalam derajat dan radian sebagai berikut:

AB = ^{.2 r}

360 APB 





Karena panjang busur AB = r, maka r = ^₃₆₀^APB_ ^.2r

1 = ^₃₆₀^APB_ ^.2

 APB = ³⁶⁰_2^ =



 180

Karena  APB = 1 rad, maka:

1 rad =



 180 .

Jika   3,14 maka 1 radian  57,32°

 radian = 180°

1°=₁₈₀^ radian.

Contoh :

Ubahlah sudut dibawah ini ke dalam satuan radian!

a. 80°

b. 200°

c. 345°

Jawab:

a. 80°=80.1°= ₁₈₀^80radian=⁴₉^ radian.

b. 200°= _^ 180

200 radian = ^ 9

10 radian.

c. 345° = 



 180

345 radian =  12

23 radian.

Coba kamu perhatikan kembali, ukuran sudut dalam radian diperoleh dari perbandingan antara panjang busur dengan jari-jari lingkaran yang hasilnya merupakan suatu bilangan real. Hal ini memungkinkan kita menentukan perbandingan trigonometri dari sembarang bilangan real yang merupakan nilai perbandingan trigonometri sudut dalam satuan radian. Bagaimana caranya?

Mudah! Ubahlah sudut dalam satuan radian menjadi sudut dalam satuan derajat. Kemudian tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut dalam satuan derajat tersebut.

Contoh :

Sin 2 = sin (2 radian) = sin (2x57,32°) = sin 114,64°=0,909 Bandingkan dengan sin 2°= 0,035

Jadi sin 2  sin 2°.

Contoh :

Tentukan nilai perbandingan trigonometri di bawah ini!

a. sin  6 1

b. cos  3 1

c. tg  4 1

Jawab:

a. sin  6

1 = sin .180 6

1 = sin 30° =

2 1

b. cos ₃^1 = cos ₃^1.180= cos 60° =

2 1

c. tg  4

1 = tg .180 4

1 = tg 45° = 1

Latihan 3

Nyatakan sudut-sudut di bawah ini dalam satuan radian!

1. 50°

2. 130°

3. 250°

4. 340°

Nyatakan sudut-sudut di bawah ini dalam satuan radian!

5. ₅¹ radian 6. ¹³₆  radian 7. ¹⁵₈ radian 8. ₁₂⁵ radian

Tentukan nilai perbandingan trigonometri di bawah ini!

9. cos  4 1 10. ctg ₃^1

5.5. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadran

Sejauh ini kita sudah mendefinisikan perbandingan trigonometri untuk sudut- sudut lancip dan sudut siku-siku pada segitiga. Muncul pertanyaan bagaimana perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut yang lebih besar dari 90°?

Bagaimana perbandingan trigonometri untuk sudut 245°?

Kita perlu mendefinisikan kembali perbandingan trigonometri agar dapat digunakan untuk semua sudut, bukan hanya untuk sudut-sudut lancip saja.

Untuk ini, kita hanya perlu mengubah sudut pandang pembahasan, kalau sebelumnya kita menggunakan pembahasan geometri pada bidang datar (segitiga siku-siku), sekarang kita menggunakan pembahasan geometri analitis pada bidang Cartesius (Sistem Koordinat Cartesius) dalam mendefinisikan perbandingan trigonometri. Bagaimana geometri analitis digunakan untuk mendefinisikan perbandingan trigonometri, perhatikan gambar di bawah.

Y

A P(x,y) jarak

y (ordinat)

O x(absis) X Gambar 6.5.a

Sinar garis OA dapat diputar terhadap titik asal O, sehingga besar sudut XOA dapat berubah dari 0° sampai dengan 360°. Untuk  XOA = , maka sinar garis OA berada pada posisi tertentu. Dengan demikian, pada sinar garis OA dapat ditempatkan sebarang titik P(x,y). Misalkan jarak OP = r, sehingga antara absis (x), ordinat (y) dan r dipenuhi hubungan: r = ^x2y2 .

Berdasarkan penjelasan di atas, maka perbandingan-perbandingan trigonometri dapat didefinisikan dengan menggunakan absis (x), ordinat (y) dan jarak (r) sebagai berikut:

Sin  = ^ordinat_jarak ^ _r^y Cosec  = _ordinat^{jarak } _y^r Cos  = _jarak^{absis  x}_r Sec  = ^jarak_absis ^ _x^r Tg  = ^ordinat_absis ^ _x^y Ctg  = _ordinat^{absis } _y^x

Berdasar definisi di atas, nilai perbandingan trigonometri untuk semua sudut dapat ditentukan. Hal itu dapat dilakukan dengan cara memutar sinar garis OA sehingga  XOA =  dengan 0° 360 atau  XOA =  terletak di berbagai kuadran (kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV).

Apa itu kuadran?

Letak sudut yang besarnya antara 0° sampai dengan 360° dapat dikelompokkan menjadi 4 wilayah atau kuadran, yaitu:

Sudut-sudut yang terletak di Kuadran I : sudut-sudut yang besarnya antara 0°

sampai dengan 90°.

Sudut-sudut yang terletak di Kuadran II : sudut-sudut yang besarnya antara 90°

sampai dengan 180°.

Sudut-sudut yang terletak di Kuadran III : sudut-sudut yang besarnya antara 180° sampai dengan 270°.

Sudut-sudut yang terletak di Kuadran IV : sudut-sudut yang besarnya antara 270° sampai dengan 360°.

5.5.1. Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri Sudut- sudut di Semua Kuadran

Pada bagian terdahulu sudah kita bahas bahwa nilai perbandingan trigonometri tergantung pada besar sudut . Dengan kata lain, tanda-tanda positif atau negatif nilai perbandingan trigonometri ditentukan oleh letak sudut , apakah

 terletak di kuadran I, di kuadran II, di kuadran III, atau di kuadran IV. Ini berarti bahwa tanda-tanda tersebut ditentukan oleh tanda-tanda dari absis dan ordinatnya (jarak r tidak berpengaruh karena r selalu bernilai positif).

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut!

Y Y

 di kuadran I  di kuadran II x > 0, y > 0, r > 0 x < 0, y > 0, r > 0 Sin  > 0 Sin  > 0

Cos  > 0 Cos  < 0

P(x,y) Tg  > 0 Tg  < 0 P(x,y) Cosec  > 0 Cosec  > 0

Sec  > 0 Sec  < 0 r r y Ctg  > 0 Ctg  < 0 y

x X x X

Gambar 6.5.b Gambar 6.5.c

Y Y

x X x X

 di kuadran III  di kuadran IV

x < 0, y < 0, r > 0 y r r y x > 0, y < 0, r > 0

Sin  < 0 Sin  < 0

Cos  < 0 P(x,y) P(x,y) Cos  < 0 Tg  > 0 Tg  > 0

Cosec  < 0 Cosec  < 0

Sec  < 0 Sec  < 0

Ctg  > 0 Ctg  > 0

Gambar 6.5.d Gambar 6.5.e

Secara ringkas tanda-tanda perbandingan trigonometri di berbagai kuadran disajikan dalam tabel berikut.

Tabel 6.5 Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran Perbandingan

Trigonometri Kuadran

I II III IV

Sin + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Cosec + + - -

Sec + - - +

Ctg + - + -

Contoh:

Di antara perbandingan trigonometri berikut ini, manakah yang bertanda positif dan manakah yang bertanda negatif?

a. sin 130

b. cos 97

c. cosec 278°

d. sec 321°

e. tg 142°

f. ctg 184°

Jawab:

a. sin 130° bertanda positif karena 130° sudut yang terletak di kuadran II b. cos 97° bertanda negatif karena 97° sudut yang terletak di kuadran II c. cosec 278° bertanda negatif karena 278° sudut yang terletak di kuadran IV d. sec 321° bertanda positif karena 321° sudut yang terletak di kuadran IV e. tg 142° bertanda negatif karena 142° sudut yang terletak di kuadran II f. ctg 184° bertanda positif karena 184 sudut yang terletak di kuadran III

5.6. Rumus-Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut- sudut Berelasi

Berdasarkan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa pada bagian sebelumnya, dapat kita ketahui bahwa Sin 30° =

2

1 dan Cos 60° =

2 1, sehingga Sin 30° = Cos 60°. Dalam hal demikian dikatakan bahwa sudut 30°

berelasi dengan sudut 60°.

Definisi Sudut-sudut berelasi

Misalkan suatu sudut besarnya . Sudut-sudut yang besarnya -, (90°  ), (180°  ), (270°  ), (360°  ) dikatakan berelasi dengan sudut  dan sebaliknya.

Perbandingan trigonometri dua sudut yang berelasi memiliki hubungan yang khas. Hubungan khas yang seperti apa? Marilah kita tinjau bersama-sama.

Y

P(x,y)

r 

- X r

P1(x,-y) Gambar 6.7

5.6.1 Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Negatif (-)

Perhatikan gambar 6.7 di atas. Dalam sistem koordinat Cartesius titik P dinyatakan sebagai P(x,y). Perbandingan trigonometri sudut  adalah:

Sin  =

r

y Cosec  = _y^r Cos  =

r

x Sec  =

x r

Tg  =

x

y Ctg  = _y^x

Jika titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X, hasil pencerminannya adalah titik P1(x,-y). Sehingga perbandingan trigonometrinya adalah:

Sin  =

r

y = -

r

y = -Sin  Cosec  = _^r_y = - _y^r = - Cosec



Cos  =

r

x = Cos  Sec  =

x

r = Sec  Tg  =

x

y = -

x

y = -Tg  Ctg  = _^x_y = - _y^x = - Ctg 

Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut - berelasi dengan sudut  dapat dirangkum sebagai berikut:

Sin - = -Sin  Cosec - = -Cosec  Cos - = Cos  Sec - = Sec  Tg - = -Tg  Ctg  = -Ctg 

Contoh:

Sin (-60°) = -sin 60° = -(₂^{1 3})= -₂^{1 3} Cos (-50°) = cos 50° = 0,643

Tg (-45°) = - tg 45° = -1

5.6.2 Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (90°  ) 5.6.2.1. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (90° - )

Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut (90° - ), perhatikan gambar berikut. Misalkan segitiga ABC siku-siku di B,  adalah besar sudut A, dan  adalah besar sudut C.

C Jumlah sudut  dan sudut  adalah 90°. Dari mana? Betul,  karena ABC 180 dan karena sudut B siku-siku, maka AC90 atau +=90°. Sehingga  = 90°-  b a  dan  dikatakan saling komplementer.

  adalah komplemen dari , dan sebaliknya.

A c B Gambar 6.7.2

Perhatikan bahwa perbandingan trigonometri untuk sudut adalah sebagai berikut:

sin  = b a

cos  = b c

tg  = c

a

cosec  = a

b

sec  = ^b_c ctg  = _a^c

Sekarang perhatikan perbandingan trigonometri untuk sudut ^ . sin ^ =

b c

cos ^ =

b a

cosec ^ =

c b

sec ^ = _a^b

tg ^ =

a

c ctg ^ = _c^a

Dari perbandingan trigonometri untuk sudut dan sudut ^ diperoleh hubungan:

i. sin  = cos ^ ii. cos  = sin ^ iii. tg = ctg ^

Sin  = cos (90°-) cos  = sin (90°-) tg = ctg (90°-) cos (90°-) = Sin  sin (90°-) = cos  ctg (90°-) = tg  iv. cosec  = sec ^ v. sec  = cosec ^ vi. ctg  = tg ^ cosec  = sec(90°-) sec  = cosec(90°-) ctg  = tg (90°-) sec(90°-)= cosec  cosec(90°-)= sec  tg (90°-)= ctg  Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90°-) yang berelasi dengan sudut  dapat dirangkum sebagai berikut:

sin (90°-) = cos  cosec(90°-)= sec  cos (90°-) = Sin  sec(90°-)= cosec  tg (90°-)= ctg  ctg (90°-) = tg 

Berdasar rumus di atas, perhatikan bahwa:

Sinus suatu sudut = Cosinus sudut komplemennya, dan sebaliknya.

Tangent suatu sudut = Cotangent sudut komplemennya, dan sebaliknya.

Secan suatu sudut = Cosecan sudut komplemennya, dan sebaliknya.

Contoh:

Nyatakan perbandingan trigonometri berikut menjadi perbandingan trigonometri sudut komplemennya!

a. sin 63°

b. cos 76°

c. ctg 36°

d. sec 43°

e. tg 24°

f. cosec 57°

Jawab:

a. sin 63° = sin (90-27)° = cos 27°

b. cos 76°= cos (90-14)° = sin 14°

c. ctg 36° = ctg (90-54)° = tg 54°

d. sec 43° = sec (90-47)° = cosec 47°

e. tg 24° = tg (90-66)° = ctg 66°

f. cosec 57° = cosec (90-33)° = sec 33°

5.6.2.2. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (90° + )

Kita akan mengembangkan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90°-

) yang berelasi dengan sudut  untuk menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut rumus (90°+) yang berelasi dengan sudut . Perhatikan bahwa (90° + ) = (90° - (-)), sehingga : sin (90°+°)= sin (90°-(-)) Dari rumus sebelumnya kita tahu bahwa sin (90°-) = cos . Dengan mengganti  dengan -, kita peroleh: sin (90°-(-))=Cos (-)= Cos  Jadi, sin (90°+)= Cos 

Dengan cara serupa, kita peroleh perbandingan-perbandingan trigonometri yang lain untuk sudut (90°+) yang berelasi dengan sudut  sebagai berikut:

Cos (90°+)= Cos (90°-(-))= Sin(-)=-Sin Tg (90°+)= Tg (90°-(-))=Ctg(-)=-Ctg

Cosec (90°+)= Cosec (90°-(-))=Sec(-)= Sec Sec (90°+)= Sec (90°-(-))= Cosec(-)=-Cosec Ctg (90°+)= Ctg (90°-(-))= Tg(-)=-Tg

Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90°+°) yang berelasi dengan sudut ° dapat dirangkum sebagai berikut:

sin (90°+) = Cos  Cosec (90°+) = Sec Cos (90°+) = -Sin Sec (90°+) = -Cosec Tg (90°+) = -Ctg Ctg (90°+) = -Tg

Contoh 1:

Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan trigonometri sudut lancip!

a. sin 107°

b. cos 123°

c. tg 157°

d. cosec 168°

e. sec 178°

f. ctg 114°

Jawab:

a. sin 107° = sin (90 + 17)° = cos 17°

b. cos 123° = cos (90 + 33)° = -sin 33°

c. tg 157° = tg (90 + 67)° = -ctg 67°

d. cosec 168° = cosec (90 + 78)° = sec 78°

e. sec 178° = sec (90+88)° = -cosec 88°

f. ctg 114° = ctg (90 + 24)° = -tg 24°

Contoh 2:

Sin 120° = sin(90 + 30)° = cos 30° = ₂^{1 3} Cos 135° = cos (90+45)° = - sin 45° = -₂^{1 2} Tg 150° = tg (90+60)° = -Ctg 60° = -31 ³

5.6.3 Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (180°  ) 5.6.3.1. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (180°- )

Perhatikan gambar berikut:

Y

P2(-x,y) P(x,y) r r

 

X

Gambar 6.7.4

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y, hasil pencerminannya adalah P2(-x,y), yang dalam koordinat kutub dapat dinyatakan sebagai P2(r, (180°-)). Maka perbandingan trigonometrinya adalah:

Sin (180°-)=

r

y =Sin  Cosec (180°-)= _y^r = Cosec  Cos (180°-)=

r x r

x  

 =-Cos  Sec (180°-)=

x r x r  

 =-Sec



Tg (180°-)=

x y x y 

 =-Tg  Ctg (180°-)=^_y^{x  }_y^x =-Ctg 

Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (180°-) yang berelasi dengan sudut  dapat dirangkum sebagai berikut:

Sin (180°-) = Sin  Cosec (180°-) = Cosec  Cos (180°-) = -Cos  Sec (180°-) = -Sec  Tg (180°-) = -Tg  Ctg (180°-) = -Ctg 

Perhatikan bahwa jumlah sudut  dengan sudut 180°- sama dengan 180°.

Dalam hal demikian, sudut  dikatakan pelurus sudut 180°- dan sebaliknya.

Contoh:

Nyatakan perbandingan trigonometri berikut sebagai perbandingan trigonometri sudut pelurusnya!

a. sin 130°

b. cos 110°

c. tg 165°

d. cosec 172°

e. sec 112°

f. ctg 128°

Jawab:

a. sin 130° = sin (180-50)° = sin 50°

b. cos 110°= cos (180-70)° = -cos 70°

c. tg 165° = tg (180-15)° = -tg 15°

d. cosec 172° = cosec (180-8)° = cosec 8°

e. sec 112° = sec (180-68)° = -sec 68°

f. ctg 128° = ctg (180-52)° = -ctg 52°

5.6.3.2. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (180°+)

Untuk menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut (180°+) yang berelasi dengan sudut , kita akan menggunakan hasil perbandingan trigonometri untuk sudut (180°-) di atas.

Perhatikan bahwa (180°+) = (180°-(-)), sehingga:

Sin (180°+) = Sin (180°-(-)) = Sin (-) = -Sin Cos (180°+) = Cos (180°-(-)) = -Cos (-) = -Cos

Tg (180°+) = Tg (180°-(-)) = -Tg (-) =-(-Tg ) = Tg  Cosec (180°+) = Cosec (180°-(-)) = Cosec (-) = -Cosec Sec (180°+) = Sec (180°-(-)) =-Sec (-) =-Sec 

Ctg (180°+) = Ctg (180°-(-)) = -Ctg (-) =-(-Ctg°) = Ctg 

Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (180°+) yang berelasi dengan sudut  dapat dirangkum sebagai berikut:

Sin (180°+) = -Sin Cosec (180°+) = -Cosec Cos (180°+) = -Cos Sec (180°+) = -Sec  Tg (180°+) = Tg  Ctg (180°+) = Ctg 

Contoh:

Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut lancip!

a. sin 199°

b. cos 222°

c. tg 246°

d. cosec 258°

e. sec 217°

f. ctg 261°

Jawab:

a. sin 199° = sin (180+19)° = -sin 19°

b. cos 222°= cos (180+42)° = -cos 42°

c. tg 246° = tg (180+66)° = tg 66°

d. cosec 258° = cosec (180+78)° = -cosec 78°

e. sec 217° = sec (180+37)° = -sec 37°

f. ctg 261° = ctg (180+81)° = ctg 81°

5.6.4 Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (270°   )

5.6.4.1 Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (270° -  )

Untuk menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut (270° - ), perhatikan gambar di bawah ini.

Y

P(x,y)

 r

X r 

Q(-y,-x) y=-x Gambar 6.7.6

Perbandingan trigonometri untuk sudut  adalah:

Sin =

r

y Cosec = _y^r Cos =

r

x Sec =

x r

Tg =

x

y Ctg = _y^x

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=-x, hasil pencerminannya adalah titik Q(-y,-x). Sehingga perbandingan trigonometrinya:

Sin (270°-  =     r x r

x Cos  Cosec (270°-)=    

 x

r x r

Sec 

Cos (270°- )=      r y r

y Sin  Sec (270°-)= _^r_y ^_y^{r } Cosec 

Tg (270°- )= _^x_y ^ _y^{x } Ctg  Ctg (270°- )=  



 x y x

y Tg 

Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (270°-) yang berelasi dengan sudut  dapat dirangkum sebagai berikut:

Sin (270°- )= - Cos  Cosec (270°-)= - Sec  Cos (270°- )= - Sin  Sec (270°-)= - Cosec  Tg (270°- )= Ctg  Ctg (270°- )= Tg 

Contoh:

Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini sebagai perbandingan trigonometri sudut lancip!

a. sin 234°

b. cos 212°

c. tg 255°

d. cosec 229°

e. sec 267°

f. ctg 250°

Jawab:

a. sin 234° = sin (270-36)° = -cos 36°

b. cos 212°= cos (270-58)° = -sin 58°

c. tg 255° = tg (270-15)° = ctg 15°

d. cosec 229° = cosec (270-41)° = -sec 41°

e. sec 267° = sec (270-3)° = -sec 3°

f. ctg 250° = ctg (270-20)° = tg 20°

5.6.4.2. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (270°+)

Untuk menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut (270°+) yang berelasi dengan sudut , kita akan menggunakan hasil perbandingan trigonometri untuk sudut (270°-) di atas.

Perhatikan bahwa (270°+) = (270°-(-)). Sehingga:

Sin (270°+) = Sin (270°-(-)) = -Cos (-) = -(Cos ) = -Cos Cos (270°+ )= Cos (270°-(-)) = -Sin (-) = -(-Sin) = Sin Tg (270°+) = Tg (270°-(-)) = Ctg (-) = -Ctg 

Cosec (270°+) = Cosec (270°-(-)) = -Sec (-) = -(Sec ) = -Sec Sec (270°+) = Sec (270°-(-)) = -Cosec (-) = -(-Cosec ) = Cosec Ctg (270°+) = Ctg (270°-(-)) = Tg (-) = -Tg 

Jadi, rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (270°+) yang berelasi dengan sudut ° dapat dirangkum sebagai berikut:

Sin (270°+)=-Cos Cosec (270°+)=-Sec

Cos (270°+)= Sin Sec (270°+)= Cosec Tg (270°+)= -Ctg  Ctg (270°+)=-Tg 

Contoh:

Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini sebagai perbandingan trigonometri sudut lancip!

a. sin 325°

b. cos 333°

c. tg 299°

d. cosec 355°

e. sec 285°

f. ctg 345°

Jawab:

a. sin 325° = sin (270+55)°=-cos 55°

b. cos 333° = cos (270+63)° = sin 63°

c. tg 299° = tg (270+29)° = -ctg29°

d. cosec 355° = cosec (270+85)° = -sec 85°

e. sec 285° = sec (270+15)° = cosec 15°

f. ctg 345° = ctg (270+75)° = -tg 75°

5.6.5 Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (360°  ) 5.6.5.1. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (360°- )

Untuk menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut (360°-), perhatikan gambar di bawah ini.

Y

P(x,y) r



 X r

P3(x,-y) Gambar 6.7.8