Kasus Ambigu
5.12. Luas Segitiga
Kita tahu bahwa luas segitiga dapat ditentukan jika panjang alas dan tinggi segitiga itu diketahui. Rumus luas segitiga tersebut adalah:
L= 21 a.t
dengan a = panjang sisi alas dan t = tinggi segitiga.
Pada bagian-bagian sebelumnya kita telah membahas bagimana perbandingan trigonometri digunakan untuk menentukan unsur-unsur suatu segitiga yang belum diketahui, jika beberapa unsur telah diketahui. Hal ini memungkinkan kita untuk juga menghitung luas suatu segitiga dengan menggunakan bantuan perbandingan trigonometri. Bagaimana perbandingan trigonometri digunakan untuk menentukan luas segitiga?
Perhatikan gambar berikut.
A A
c b b t t c
B a D C D B a C
Gambar 12.a Gambar 12.b
Biasanya, jika ada tiga unsur dalam suatu segitiga diketahui, maka kita bisa menghitung luas segitiga tersebut. Nah, kemungkinan ketiga unsur yang diketahui tersebut adalah:
i. Panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit kedua sisi tersebut (sisi,sudut, sisi).
ii. Besar dua sudut dan panjang satu sisi yang terletak diantara kedua sudut tersebut (sudut, sisi, sudut).
iii. Panjang ketiga sisinya.
iv. Panjang dua sisi dan besar satu sudut di depan salah satu sisi tersebut (sisi, sisi, sudut).
Kita akan meninjau satu persatu luas segitiga jika ketiga unsurnya diketahui dari kemungkinan-kemungkinan di atas.
5.12.1. Luas segitiga jika dua sisi dan satu sudut yang diapit kedua sisi itu diketahui
Perhatikan Gambar 12.a. Misalkan besar sudut A = , besar sudut B = , besar sudut C = , panjang sisi di depan sudut A = a, panjang sisi di depan sudut B = b, panjang sisi di depan sudut C= c dan garis tinggi dari titik A pada sisi BC adalah AD=t. Kita tahu bahwa luas segitiga ABC adalah L = 21 a.t.
Pada segitiga ACD berlaku:
Sin = tb.sin b
t
Dengan mensubstitusikan t=b.sin ke dalam persamaan L= 21a.t diperoleh:
L = 21 a.(b. sin ) L = 21a.b.sin Pada segitiga ABD berlaku:
Sin = ct t c.sin
Dengan mensubstitusikan t = c.sin ke dalam persamaan L = 21a.t diperoleh:
L = 21a.(c. sin ) L = 21a.c.sin
Menurut aturan sinus, pada segitiga ABC berlaku:
a sin . sin b sin
b sin
a
dengan mensubstitusikan
a sin .
sin b ke dalam persamaan L = 21a.c.sin , diperoleh: L = 21a.c.(
a sin .
b ) L = 21 b.c.sin
Dari hasil-hasil di atas, maka luas segitiga ABC jika diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit kedua sisi tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus-rumus berikut:
i. L = 21a.b.sin ii. L = 21a.c.sin iii. L = 21b.c.sin
Dalam menentukan rumus-rumus di atas tadi, kita mendasarkan diri pada segitiga ABC yang lancip (gambar 12.a). Bagimana jika segitiga ABC tumpul seperti pada gambar 12.b, apakah rumus-rumus di atas juga berlaku? Dengan cara yang serupa, tugasmu untuk menunjukkan rumus-rumus di atas juga berlaku untuk segitiga ABC yang tumpul. Selamat mencoba!
Contoh 1:
Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui a=12, b=14 dan =45°!
Jawab:
L = 21 a.b.sin L = 21.12.14.sin 45°
L = 21.12.14. 21 2 L = 42 2
Jadi, luas segitiga ABC adalah 42 2 . Contoh 2:
Diketahui jajargenjang ABCD, AB=20, AD=18 dan BAD = 30°. Tentukan luas jajargenjang tersebut!
Jawab:
D C Perhatikan gambar disamping.
Luas segitiga ABD = 21 AB.AD.sinBAD
= 21.20.18.sin 30° 18 = 21.20.18. 21
= 90
A 20 B Karena ABCD jajargenjang, maka segitiga ABD dan segitiga BCD kongruen.
Sehingga luas segitiga ABD sama dengan luas segitiga BCD.
Luas jajargenjang ABCD = Luas segitiga ABD + Luas segitiga BCD = 90 + 90
= 180
Jadi, luas jajargenjang ABCD adalah 180.
5.12.2. Luas segitiga jika dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut itu diketahui
Pada bagian berikut ini, kita akan menentukan rumus luas segitiga, jika diketahui besar dua sudut dan panjang satu sisi yang terletak diantara dua sudut tersebut. Rumus-rumus tersebut sebenarnya hanya kita turunkan dari rumus-rumus luas segitiga yang sudah kita bahas sebelumnya pada bagian 12.1. Rumus-rumus tersebut adalah:
i. L = 21a.b.sin ii. L = 21a.c.sin iii. L = 21b.c.sin
Menurut aturan sinus, pada segitiga ABC berlaku:
sin
sin . b a sin atau
sin . a b sin
b sin
a
Jika b asin.sin disubstitusikan ke dalam persamaan L = 21a.b.sin maka diperoleh: L = 21 a. asin.sin.sin
L = a .sin2sin.sin
2
Jika a b.sinsin disubstitusikan ke dalam persamaan L = 21a.b.sin maka diperoleh: L = 21 b.sinsin.b.sin
L = b .sin2sin.sin
2
Menurut aturan sinus, pada segitiga ABC berlaku:
sin
sin . b c sin
c sin
b
Jika b csin.sin disubstitusikan ke dalam persamaan L = 21 b.c.sin maka diperoleh:
L = 21 csin.sin.c.sin L = c .sin2sin.sin
2
Dari hasil-hasil di atas, maka luas segitiga ABC jika diketahui besar dua sudut dan panjang satu sisi yang terletak diantara dua sudut tersebut dapat
ditentukan dengan menggunakan rumus-rumus berikut:
i. L = a .sin2sin.sin
2
ii. L = b .sin2sin.sin
2
iii. L = c .sin2sin.sin
2
Contoh :
Diketahui segitiga ABC, A= 37°, C= 62°, dan panjang sisi AC=6 cm.
tentukan luas segitiga ABC!
Jawab:
A+B+C=180°
B=180°-(A+C)
B=180°-(37°+62°)=180°-99°=81°
Luas segitiga ABC:
Jadi luas segitiga ABC adalah 9,69 cm2
5.12.3. Luas segitiga jika panjang ketiga sisinya diketahui
Luas segitiga ABC jika panjang ketiga sisinya diketahui dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:
L = s(sa)(sb)(sc)
dengan s adalah setengah keliling lingkaran atau s=21(abc)
Rumus di atas dikenal dengan nama Rumus Luas Hero’s (Rumus Luas Heron’s).
Untuk membuktikan rumus di atas, ingat kembali identitas trigonometri 1
(a + b - c) = (a + b + c - 2c) = 2s - 2c = 2(s - c)
substitusikan hasil-hasil di atas ke dalam persamaan )2
Diketahui segitiga ABC, panjang sisi a = 5 cm, panjang sisi b = 6 cm, dan panjang sisi c = 7cm. hitunglah luas segitiga ABC!
Jawab:
Keliling segitiga ABC = a + b + c = 5 + 6 + 7 = 18 Sehingga s = 9 (setengah keliling segitiga ABC)
Dengan menggunakan rumus L = s.(sa).(sb).(sc), maka Luas segitiga ABC adalah: L = 9.(95).(96).(97)
L = 9.(4).(3).(2) L = 6 6
Jadi, luas segitiga ABC adalah 6 6 cm2
5.12.4. Luas Segitiga jika panjang dua sisi dan sebuah sudut
di depan salah satu sisi diketahui.
Jika suatu segitiga diketahui panjang dua sisinya dan sebuah sudut di depan salah satu sisi tersebut, maka luas segitiga tersebut dapat ditentukan dengan cara:
1. Gunakan aturan sinus untuk menentukan besar sudut-sudut yang belum diketahui.
2. Setelah semua sudut diketahui, hitunglah luas segitiga dengan menggunakan rumus pada bagian 12.1 atau 12.2.
Contoh:
Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui panjang sisi b = 4 cm, panjang sisi c = 6 cm dan B = 40°!
Jawab:
Menurut aturan sinus:
B bsin C c C sin
sin c B
sin
b
9642 , 0 C sin 40
4sin C 6
sin
C = 74,6° atau C = (180°-74,6°) = 105,4°
Untuk C = 74,6° maka A = 180°-(40°+74,6°) = 65,4°
Untuk C = 105,4° maka A = 180°-(40°+105,4°) = 34,6°
Dengan menggunakan rumus L = 21 b.c.sin A, maka luas segitiga ABC dapat ditentukan, sebagai berikut:
Untuk A = 65,4°
L = 214.6.sin 65,4°
L = 10,9
Untuk A = 34,6°
L = 214.6.sin 34,6°
L = 6,8
Jadi, luas segitiga ABC adalah 10,9 cm2 atau 6,8 cm2
Latihan 11
1. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui panjang sisi a =12 cm, panjang sisi b = 14 cm dan C = 45°!
2. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui A = 30°, panjang sisi b = 4 cm, dan panjang sisi c = 6 cm!
3. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui B = 145°, panjang sisi a = 16 cm, dan panjang sisi c = 12 cm!
4. Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui A =30°, B = 45° dan panjang sisi a = 8 cm!
5. Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui A = 60°, C = 45° dan panjang sisi c = 5 cm!
6. Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui B = 60°, C = 75° dan panjang sisi a = 12 cm!
7. Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui A = 30°, panjang sisi a = 8 cm dan panjang sisi b =10 cm!
8. Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui B = 120°, panjang sisi b = 8 cm dan panjang sisi a = 6 cm!
9. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui a = 3 cm, b = 6 cm dan c = 7 cm!
10.Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui a = 11 cm, b = 16 cm dan c = 13 cm!
11.Dalam jajaran genjang ABCD diketahui panjang AB =13 cm, panjang AD = 12 cm dan panjang BD =15 cm. Hitunglah luas jajaran genjang ABCD!
12.Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi a sama dengan 7 cm lebih
panjang dari setengah kali panjang sisi b dan panjang sisi c sama dengan 1 cm lebih pendek dari 45 panjang sisi a. keliling segitiga ABC sama dengan 36 cm. Hitunglah panjang ketiga sisinya dan luas segitiga tersebut!