PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL (OSN) TINGKAT KABUPATEN BIDANG STUDI MATEMATIKA SMP TAHUN 2015

PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL (OSN) TINGKAT KABUPATEN

BIDANG STUDI MATEMATIKA SMP TAHUN 2015

SOAL PILIHAN GANDA (BAGIAN A)

1. Operasi * untuk himpunan bilangan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} didefinisikan sesuai tabel di bawah ini : * 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1

Jika untuk setiap bilangan bulat n yang lebih besar daripada 1 didefinisikan _{, maka 5}2015

= ... Penyelesaian :

_{5 lebih besar dari pada 1, maka harus menggunakan aturan :}

Hasil perpangkatan akan berulang setelah pangkat merupakan kelipatan 6 Maka hasil dapat ditentukan dengan membagi pangkatnya dengan 6. Jika sisa pembagian = 1, maka hasil dari

Jika sisa pembagian = 2, maka hasil dari Jika sisa pembagian = 3, maka hasil dari ₆

Jika sisa pembagian = 4, maka hasil dari Jika sisa pembagian = 5, maka hasil dari ₃

Jika sisa pembagian = 0, maka hasil dari 1 Sehingga diperoleh :

2014 : 6 = 335 sisa 4

Dapat diketahui hasil : 2. Jika A = {1, 2, 3, ..., 50}, {( ) }, dan {( ) } ,

Maka anggota dari ada sebanyak .... Penyelesaian :

Anggota dari adalah anggota T yang memenuhi S, dapat dituliskan {( ) }

Jika b = 50, maka ada 0 anggota karena tidak ada Jika b = 49, maka ada 1 anggota yaitu (50,49,50)

Jika b = 48, maka ada 2 anggota yaitu (50, 48, 50) dan(49, 48, 49)

Jika b = 47, maka ada 3 anggota yaitu (50, 47, 50), (49, 47, 49), (48, 47, 48) Dan seterusnya ...

Terlihat bahwa banyaknya anggota berdasar kemungkinan nilai b membentuk suatu barisan aritmatika yaitu :

0, 1, 2, 3, 4,, 5, ..., 49

Sehingga banyaknya anggota adalah jumlah dari barisan tersebut,yaitu : Banyak anggota ( )

= 25 . 49

= 1225

Jadi banyak anggota = 1225

3. Nilai ujian lima orang siswa, yakni: Adi, Budi, Cici, Didi, dan Eki adalah bilangan bulat dan mempunyai rata-rata yang sama dengan mediannya. Diketahui nilai tertinggi adalah 10 dan terendah adalah 4. Jika yang memperoleh nilai tertinggi adalah Adi dan yang terendah adalah Eki, maka susunan nilai yang mungkin ada ...

Penyelesaian :

Kemungkinan nilai median adalah : 5, 6, 7, 8, dan 9  Jika median = 5, maka jumlah nilai = 5 x 5 = 25

Susunan nilai adalah 4, x, 5, y, 10 Nilai x + y = 25 – ( 4+5+10) = 6

Tidak ada nilai x dan y yang memenuhi karena nilai minimal x adalah 5.

 Jika median = 6, maka jumlah nilai = 6 x 5 = 30 Susunan nilai adalah 4, x, 6, y, 10

Nilai x + y = 30 – ( 4+6+10) = 10

Nilai x dan y yang memenuhi adalah :

 x = 5 dan y = 5, hal ini tidak mungkin karena merubah nilai median

 x = 4 dan y = 6, hal ini tidak mungkin karena nilai 4 adalah terendah, jadi tidak boleh ada lebih dari satu nilai 4

 Jika median = 7, maka jumlah nilai = 7 x 5 = 35 Susunan nilai adalah 4, x, 7, y, 10

Nilai x + y = 35 – ( 4+7+10) = 14

Nilai x dan y yang memenuhi adalah :

x = 5 dan y = 9 x = 6 dan y = 8 x = 7 dan y = 7

 Untuk median = 8 dan 9 setelah dicari menggunakan cara di atas, tidak ada pasangan nilaix dan y yang memenuhi.

Sehingga diperoleh susunan nilai yang mungkin adalah 4, 5, 7, 9, 10

4, 6, 7, 8, 10 4, 7, 7, 7, 10

Dengan tidak memperhatikan nama pemilik nilai, maka didapat 3 susunan nilai yang mungkin.

4. Diketahui lingkaran dengan pusat O dan mempunyai diameter AB. Segitiga CDE siku-siku di D, DE pada diameter AB, sehingga DO = OE dan CD = DE untuk suatu titik C pada lingkaran. Jika jari-jari lingkaran adalah 1 cm, maka Luas segitiga CDE = ...cm2.

Penyelesaian :

Dibuat garis bantu CO, dimana CO merupakan jari-jari Lingkaran.

CO = 1 cm dan CO merupakan sisi miring dari segitiga CDO. maka berlaku teorema phytagoras:

OD2 = CO2 – CD2 (diketahui CD = 2OD), maka: OD2 = CO2 – (2OD)2 OD2 = 12 – 4OD2 OD2 + 4OD2 = 1 5OD2 = 1 OD2 = OD = √ B C A _D O E

Dapat diketahui : CD = DE = 2 OD = 2√

5. Toto dan Titi berjalan mulai dari titik A bersamaan mengelilingi lapangan berbentuk persegi yang panjang sisinya 180 meter. Diasumsikan Toto dan Titi berjalan dengan kecepatan berturut-turut 72 meter/menit dan 60 meter/menit. Jika mereka bertemu untuk pertama kalinya kembali di titik A setelah Toto berjalan n putaran dan Titi berjalan m putaran, maka nilai n + m adalah ....

Penyelesaian :

Keliling lapangan = 4 x 180 meter =720 meter

Waktu yang dibutuhkan Toto untuk 1 putaran = 720 : 72 = 10 menit Waktu yang dibutuhkan Titi untuk 1 putaran = 720 : 60 = 12 menit

Toto dan Titi akan bertemu kembali di titik A apabila waktu tempuh untuk n dan m putaran sama. Artinya merupakan KPK dari waktu tempuh untuk 1 putaran, yaitu KPK dari 10 dan 12. 10 = 10, 20, 30, 40, 50, 60,70,...

12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72,...

Terlihat bahwa KPK dari 10 dan 12 adalah 60.

Banyak Putaran yang keduanya lakukan sehingga bertemu kembali di titik A : Toto = n putaran = 60 : 10 = 6 putaran

Titi = m putaran = 60 : 12 = 5 Putaran

Sehingga diperoleh nilai n + m = 6 + 5 = 11

6. Diberikan tiga bilangan asli yakni 1418, 2134, dan 2850. Jika sisa masing-masing bilangan tersebut dibagi x adalah sama yaitu y dengan y , maka hasil x + y yang mungkin adalah ... Penyelesaian :

Misal :

hasil pembagian 1418 dengan x adalah m bersisa y, dituliskan 1418 = mx + y ...i)

hasil pembagian 2134 dengan x adalah n bersisa y, dituliskan 2134 = nx + y ...ii)

hasil pembagian 2850 dengan x adalah p bersisa y, dituliskan 2850 = px + y ...iii)

1418 = mx + y

y = 1418 – mx ...subtitusikan ke persamaan ii) 2134 = nx + y

2134 = nx + 1418 – mx 2134 – 1418 = nx – mx 716 = nx – mx

716 = (n – m)x ...iv)

Sehingga Luas segitiga CDE = 𝐷𝐸×𝐶𝐷

= √ 1 5 × √ 1 5 = × √ × √ = ×

=

𝟐 𝟓

y = 1418 – mx ...subtitusikan ke persamaan iii) 2850 = px + y 2850 = px + 1418 – mx 2850 – 1418 = px – mx 1432 = (p – m)x × ( ) ( ) ....v)

Dari persamaan iv) dan v) terlihat bahwa x merupakan faktor dari 716

Faktor dari 716 = 1, 2, 4, 179, 358, 716

Ujicoba setiap faktor dari 716 pada persamaan i, ii, dan iii, sehingga diperoleh : Jika x = 179

1418 : 179 = 7 sisa 165 2134 : 179 = 11 sisa 165 2850 : 179 = 15 sisa 165

Sehingga diperoleh nilai x = 179 dan y = 165

Maka nilai x + y = 179 + 165 = 344

7. Dua dadu dan sekeping mata uang dilempar sekaligus, kemudian dicatat sisi yang muncul. Jika diasumsikan munculnya setiap mata dadu seimbang dan munculnya setiap mata uang seimbang, maka peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah ...

Penyelesaian :

Banyak titik sampel untuk pelemparan sekeping mata uang = 2 Banyak kejadian muncul sisi angka = ada 1 kejadian.

Peluang muncul sisi angka =

Banyak titik sampel untuk pelemparan dua mata dadu = n2 = 62 = 36

Banyak kejadian mata dadu berjumlah 5 = (1,4);(2,3);(3,2);(4,1) = ada 4 kejadian. Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 =

Sehingga peluang didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah :

= Peluang muncul sisi angka x Peluang muncul mata dau berjumlah 5 =

×

8. Nilai n yang memungkinkan agar 213 + 210 +2n merupakan kuadrat sempurna adalah .... Penyelesaian :

Merupakan kuadrat sempurna apabila 213 + 210 +2n dapat dinyatakan dalam perkalian a x a. 213 + 210 +2n = 210(23 + 20 + 2n – 10 )

= 210(8 + 1 +2n – 10 ) =210(9 +2n – 10 )

akan menjadi kuadrat sempurna apabila nilai (9 +2n – 10 ) merupakan kuadrat sempurna.

Nilai kuadrat sempurna yang mendekati adalah 25, sehingga diperoleh: 9 +2n – 10 = 25 2n – 10 = 25 – 9 2n – 10 = 16 2n – 10 = 24 Maka : n – 10 = 4 n = 4 + 10 n = 14

Pengecekan :

213 + 210 +2n = 210(9 +2n – 10 ) =210(9 +214 – 10 ) = 210(9 +24) = 210(9 +16) = 210(25) = 25.25.5.5 = (25.5) .( 25.5)

merupakan bentuk a x a dengan a = 25_{.5 jadi terbukti kuadrat sempurna}

apabila nilai

n = 14

9.

Didefinisikan fungsi

f (n) = 2

n – 1

+ 2

n

– 2

n + 1

untuk setiap bilangan asli n.

Nilai

f (1) + f(2) + ... + f(5)

adalah ...

Penyelesaian :

f(1) = 2

1 – 1

+ 2

1

– 2

1 + 1

=

2

0

+ 2

1

– 2

2

= 1 + 2 – 4

= 3 – 4

= – 1

f(2) = 2

2 – 1

+ 2

2

– 2

2 + 1

=

2

1

+ 2

2

– 2

3

= 2 + 4 – 8

= 6 – 8

= – 2

f(3) = 2

3 – 1

+ 2

3

– 2

3 + 1

=

2

2

+ 2

3

– 2

4

= 4 + 8 – 16

= 12 – 16

= – 4

f(4) = 2

4 – 1

+ 2

4

– 2

4 + 1

=

2

3

+ 2

4

– 2

5

= 8 + 16 – 32

= 24 – 32

= – 8

f(5) = 2

5 – 1

+ 2

5

– 2

5 + 1

=

2

4

+ 2

5

– 2

6

= 16 + 32 – 64

= 48 – 64

= – 16

Sehingga diperoleh :

Nilai f (1) + f(2) + ... + f(5)

= (– 1)+(– 2)+ (– 4)+(– 8)+( – 16)

= – 31

10. Nilai

√ 15 √ 15 _√ 1

adalah ...

Penyelesaian :

√ √ _√

√ _× √ _{× √}

√ 1 × √ √ 1 _{× √ √} 1

_{√ 1} √ _{× √} 1 × √ _{√ 1}

√

×

√

_(√

₎

_{(√ )}

11. Suatu taman kota dibatasi oleh lintasan lari berbentuk lingkaran (seperti pada

gambar) dan tepat di titik pusat taman dibangun Tugu (T) yang dihiasi lampu. Di

sepanjang tepi bagian dalam taman, diletakkan 12 bangku permanen (B) secara

berurutan, sebut B

1

, B

2

, B

3

, ..., B

12

. Jarak antara du a bangku yang berurutan dibuat

sama (termasuk dari B

12

ke B

1

). Jarak tugu ke lintasan lari adalah 50 meter. Bakri,

Bima, dan Budi berlari pada lintasan lari mulai di depan bangku B

1

. Bakri dan Bima

berlari searah perputaran jarum jam (dar B

1

ke B

2

), sedangkan Budi berlari

mengambil arah yang berlawanan. Jika setelah 20 menit posisi Bakri di depan Bangku

B

7

, Bima di depan bangku B

6

dan Budi di depan bangku B

4

, maka jarak total yang

telah ditempuh tiga orang ini mendekati ... meter. (gunakan

)

.

Penyelesaian :

Jarak T ke B

1

= Jari-jari lingkaran = r = 50 m

Panjang Lintasan = Keliling lingkaran

K = 2

=

× ×

K = 314 meter.

Jarak B

1

ke B

2

= Jarak antar bangku

=

=

= 26,17 meter

Jarak yang ditempuh Bakri = Jarak B

1

ke B

7

= 6

×

=

×

= 157,02 meter

Jarak yang ditempuh Bima = Jarak B

1

ke B

6

= 5

×

=

×

= 130,85 meter

Jarak yang ditempuh Budi = Jarak B

1

ke B

12

ke B

4

(berlawanan perputaran jarum jam)

= 9

×

= 9

×

= 235,53 meter

Total jarak yang ditempuh Bakri, Bima dan Budi adalah = 157, 02 + 130, 85 + 235,53

= 523, 04

B2 B3 B1 T

12. Diketahui ABCD adalah trapesium, AB sejajar CD, dan AB + CD = BC. Jika panjang

AD=12, maka nilai

×

adalah ...

Penyelesaian :

Dibuat garis bantu CF yang sejajar AD

CF = AD = 12

Perhatikan segitiga BCF,

Segitiga BCF merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku teorema pythagoras.

Karena CF = 12, maka tripel pythagoras yang mungkin adalah :

5, 12, 13 dengan FB = 5, CF = 12 dan BC = 13

Diketahui : AB + CD = BC

AB = AF + FB dan AF = CD

Diperoleh :

AB + CD = BC

AF + FB + CD = BC

AF + CD + FB = BC

2AF + FB = BC

Maka :

AB = AF + FB

AB = 4 + 5

AB = 9

dan

CD = AF

CD = 4

Sehingga nilai

× ×

13. Anton dan kakaknya berulang tahun pada tanggal 1 januari. Pada tahun 2015, umur

Anton dan kakaknya sama dengan jumlah angka-angka tahun kelahirannya

masing-masing. Jika orang tua mereka menikah 25 tahun yang lalu, maka jumlah umur Anton

dan kakaknya pada tahun 2015 yang mungkin adalah ...

12

D

C

B

F

Penyelesaian :

Perkiraan maximal tahun lahir = 2015 – (25 + 1) = 2015 – 26 = 1989

Perhatikan tabel berikut :

Perkiraan

Tahun

Lahir

Jumlah

angka-angka

tahun lahir

Umur pada

tahun 2015

Perkiraan

Tahun

Lahir

Jumlah

angka-angka

tahun lahir

Umur pada

tahun 2015

1989

27

26

2008

10

7

1990

19

25

2009

11

6

1991

20

24

2010

2

5

1992

21

23

2011

4

4

1993

22

22

2012

5

3

1994

23

21

2013

6

2

Dst...

Dst...

Dst...

2014

7

1

Berdasarkan tabel terlihat bahwa tahun lahir dan umur yang memenuhi aturan

adalah :

Tahun lahir kakak 1993 dengan umur 22 tahun

Tahun lahir Anton 2011 dengan umur 4 tahun

Sehingga jumlah umur Anton dan kakaknya pada tahun 2015 yang mungkin adalah :

= 22 + 4

=

26

14. Penyedia jasa pengasuh bayi usia di bawah tiga tahun, memberlakukan tarif upah

pengasuh bayi sebagai berikut. Upah setiap jam sebesar Rp40.000,00 untuk tiga jam

pertama. Selanjutnya diberlakukan aturan sebagai berikut. Untuk setiap satu jam

berikutnya di siang hari (mulai pukul 06.00 sampai dengan pukul 18.00), dikenakan

upah sebesar 20% lebih banyak daripada upah satu jam sebelumnya. Adapun upah

untuk malam hari di atas tiga jam pertama dikenakan tetap sebesar Rp. 30.000,00

setiap jam. Jika keluarga Adang menitipkan bayinya pada pukul 16.00 sampai pukul

09.00 hari berikutnya, maka keluarga Adang harus membayar biaya penitipan bayi

tersebut sebesar Rp ...

Penyelesaian :

a.

Tarif 3 jam pertama (16.00 s/d 19.00) = Rp. 40.000,00

×

3 = Rp. 120.000,00

b.

Tarif malam (19.00 s/d 06.00)

= Rp. 30.000,00

×

11 = Rp. 330.000,00

c.

Tarif siang (06.00 s/d 07.00) = Rp.30.000

×

= Rp. 36.000,00

d.

Tarif siang (07.00 s/d 08.00) = Rp.36.000

×

= Rp. 43.200,00

e.

Tarif siang (07.00 s/d 08.00) = Rp.43.200

×

= Rp. 51.840,00

15. Suatu kardus polos dari kertas berbentuk kubus. Volume kardus adalah 64.000 cm

3

.

Fitri memotong tepat pada rusuk kubus dan mengambil dua sisi bagian samping

kardus tersebut. Fitri melukis garis pada satu potongan sisi kardus dan diperoleh satu

segitiga siku-siku yang perbandingan dua sisi siku-siku adalah 1 : 2. Pada satu

potongan sisi kardus yang lain dilukis satu segitiga sama kaki (lihat gambar). Jika

ternyata dua segitiga ini sama luasnya, maka panjang sisi yang sama pada segitiga

sama kaki adalah ... cm.

Penyelesaian :

Panjang Sisi Kardus = AB

AB =

√

AB = 40 cm

Perhatikan Segitiga AIB :

AI : AB = 1 : 2

AI : 40 = 1 : 2

AI =

×

AI = 20 cm

Luas segitiga AIB =

× ×

cm

2

Perhatikan segitiga JKL

Luas segitiga JKL = Luas segitiga AIB = 400 cm

2

Luas segitiga JKL =

× ×

400 =

×

(

karena segitiga JKL sama kaki yaitu JL = KL

)

400

×

=

√

√ ×

√

Jadi panjang sisi yang sama pada segitiga sama kaki (segitiga JKL)

adalah √

C B A I D K J E H G F L