OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA
TAHUN 2015
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
7 Maret 2015
BAGIAN A: PILIHAN GANDA
1. Operasi * untuk himpunan bilangan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} didefinisikan sesuai tabel di bawah ini
* 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1
Jika untuk setiap bilangan bulat n yang lebih besar dari pada 1 didefiniskan xn = xn-1 * x, maka 52015 = ....
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Pembahasan: D
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
setiap bilangan bulat n > 1 didefiniskan xn = xn-1 * x sehingga untuk 52015 ==> 52015 = 52015-1 * 5
==> 52015 = 52014 * 5
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Berdasarkan pola di atas maka didapat bahwa hasilnya merupakan 3 berulang, yakni selalu berulang dengan angka-angka: 6, 3, 5.
Oleh karena itu hasil dari 52015 dapat dicari dengan menentukan sisa pembagi 2015 oleh 3 Sisa pembagi 2015 oleh 3 ≡ 2015 (mod 3)
≡ 671 × 3 (mod 3) + 2 (mod 3) ≡ 0 (mod 3) + 2 (mod 3) ≡ 2 (mod 3)
3. Nilai ujian lima orang siswa, yakni Adi, Budi, Cici, Didi, dan Eki adalah bilangan bulat dan mempunyai rata-rata yang sama dengan mediannya. Diketahui nilai tertinggi adalah 10 dan terendah adalah 4. Jika yang memperoleh nilai tertinggi adalah Adi dan yang terendah adalah Eki, maka susunan nilai yang mungkin ada sebanyak ....
A. 3
B. 4
C. 13
D. 16
Pembahasan: C
Menurut infomasi dari bahwa ada 5 orang siswa yaitu Adi, Budi, Cici, Didi, dan Eki. Mereka mempunyai nilai rata-rata dan medean sama dengan syarat nilia tertinggi dimiliki oleh Adi dengan nilai 10 dan nilai terendah dimiliki oleh Eki dengan nilai 4.
Misalkan nilai Adi = a = 10 nilai Budi = b nilai Cici = c nilai Didi = d nilai Eka = e = 4
rata-rata nilai mereka = x nilai median = m
x e d c b
a
5
10 + b + c + d + 4 = 5x (a = 10 dan e = 4) 14 + b + c + d = 5x
14 + b + c + d = 5c (Karena x = m, maka x = c) 14 + b + d = 4c
b + d = 4c– 14
Kemudian mencari kemungkinan nilai c adalah {5, 6, 7, 8, 9}, dengan uraian sebagai berikut . 1) Untuk c = 5, maka nilai b + d = 6, sehingga tidak ada nilai b dan d yang memenuhi.
2) Untuk c = 6, maka nilai b + d = 10, sehingga nilai b atau d yang memenuhi adalah 5. Akan tetapi nilai c bukan lagi nilai tengah karena susunan nilainya menjadi 4, 5, 5, 6, 10
3) Untuk c = 7, maka nilai b + d = 14, sehingga (1) nilai b atau d yang memenuhi adalah 7. (2) nilai b = 5 atau d = 9.
(3) nilai b = 6 atau d = 8
4) Untuk c = 8, maka nilai b + d = 18, sehingga nilai b dan d yang memenuhi adalah 9. Akan tetapi nilai c bukan lagi nilai tengah karena susunan nilainya menjadi 4, 8, 9, 9, 10
5) Untuk c = 9, maka nilai b + d = 22, sehingga tidak ada nilai b dan d yang memenuhi.
Dengan demikian banyaknya susu nilai b, c, dan d yang mungkin adalah sebagai berikut
b c d Banyak Susunan
7 7 7 1! = 1
5 7 9 3! = 6
6 7 8 3! = 6
Total 13
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Perhatikan ilustrasi gambar berikut
Diketahui Segitiga CDE siku-siku di D, DE pada diameter AB sehingga DO = OE dan CD = DE untuk suatu titik C pada lingkaran
Misalkan CD = DE = x cm
Kemudian perhatikan DOC dengan rumus pythagoras didapat, sebagai berikut:
5. Toto dan Titi berjalan mulai dari titik A bersamaan mengelilingi lapangan berbentuk persegi yang panjang sisinya 180 meter. Diasumsikan Toto dan Titi bejalan dengan kecepatan berturut-turut 72 meter/menit dan 60 meter/menit. Jika mereka bertemu untuk pertama kalinya kembali di titik A setelah Toto berjalan n putaran dan Titi berjalan m putaran, maka nilai n + m adalah ....
A. 6
B. 11
C. 20
D. 22
Pembahasan: B
Perhatikan ilustrasi gambar berikut
Misalkan kecepatan Toto = V1 Waktu Toto = t1 kecepatan Titi = V2 Waktu Titi = t2
Keliling persegi atau jarak 1 putaran = K Diketahui V1 = 72 meter/menit
V2 = 60 meter/menit K = 4 × 180 = 720 meter Sehingga
t1 =
1
V K
= 72 720
= 10 menit
t2 =
2
V K
= 60 720
= 12 menit
Kemudian mencari KPK dari 10 dan 12, yaitu 60
Dengan demikian, maka
Toto berjalan sebanyak =
10 60
= 6 kali putaran
Titi berjalan sebanyak =
12 60
= 5 kali putaran
Oleh karena itu, n = 6 dan m = 5, n + m = 6 + 5 = 11
Jadi, nilai n + m adalah 11
6. Diberikan tiga bilangan asli yakni 1418, 2134, dan 2850. Jika sisa masing-masing bilangan tersebut dibagi x adalah sama yaitu y dengan y ≠ 0, maka hasil x + y yang mungkin adalah ….
A. 165
B. 179
C. 344
D. 716
A 180 m
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember Pembahasan: C
Diketahui tiga bilangan asli yakni 1418, 2134, dan 2850. Jika sisa masing-masing bilangan tersebut dibagi x adalah sama yaitu y dengan y ≠ 0
Misalkan x 1418
= a sisa y 1418 = ax + y
Misalkan x
2134
= b sisa y 2134 = bx + y
Misalkan x
2850
= c sisa y 2850 = cx + y
Perhatikan tiga bilangan ini 1418, 2134, dan 2850. Tiga bilangan tersebut mempunyai beda 716 Sehingga nilai x = 716, maka
1418 = ax + y 1418 = 716a + y sehingga a = 1 dan y = 702 2134 = bx + y 2134 = 716b + y sehingga b = 2 dan y = 702 2850 = cx + y 2850 = 716c + y sehingga c = 3 dan y = 702
Dengan demikian x + y = 716 + 702 = 1418 tidak ada dipilihan jawaban
Karena 1418 tidak ada dipilihan jawaban, maka mencoba kembali faktor dari 716 yang lebih kecil, yaitu x = 7162 = 358, maka
1418 = 358a + y sehingga a = 3 dan y = 334 2134 = 358b + y sehingga b = 5 dan y = 334 2850 = 358c + y sehingga c = 7 dan y = 334
Dengan demikian x + y = 358 + 334 = 692 tidak ada dipilihan jawaban
Karena 692 tidak ada dipilihan jawaban, maka mencoba kembali faktor dari 716 yang lebih kecil juga dari 358, yaitu x = 7164 = 179, maka
1418 = 179a + y sehingga a = 7 dan y = 165 2134 = 179b + y sehingga b = 11 dan y = 165 2850 = 179c + y sehingga c = 15 dan y = 165
Dengan demikian x + y = 179 + 165 = 334 ada dipilihan jawaban
Jadi, hasil x + y yang mungkin adalah 334
7. Dua dadu dan sekeping mata uang dilempar sekaligus, kemudian dicatat sisi yang muncul. Jika diasumsikan munculnya setiap mata dadu seimbang dan munculnya setiap mata uang seimbang, maka peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah ….
A. 161
B. 181
C. 361
D. 721
Pembahasan: B
1) Mata uang memiliki dua sisi, yakni sisi angka dan sisi gambar, sehingga peluang sisi angka
pada mata uang =
2 1
2) Dua mata dadu yang berjumlah 5 ada sebanyak 4, yakni 1 dan 4, 2 dan 3, 4 dan 1, 3 dan 2
sebanyak dua klai, sehingga Peluang kedua mata dadu berjumlah 5 = 36
4 =
9 1
Dikarenakan kejadian 1) dan 2) adalah saling berkaitan, maka peluang akan didapatkan sisi angka
pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah 2 1
× 9 1
=
18
1
Jadi, Peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah
5 adalah adalah
18
1
8. Nilai n yang memungkinkan agar 213 + 210 + 2n merupakan kuadrat sempurna adalah ….
A. 5
B. 7
C. 12
D. 14
Pembahasan: D
Misalkan m = kuadrat sempurna, maka 213 + 211 + 2n = m2
2n = m2– 210 (23 + 1) = m2– 210 × 9 = m2– (25 × 3)2 = m2– (96)2
2n = (m – 96)(m + 96)
Menurut teorema Faktorisasi Tunggal, maka ada bilangan bulat tidak negatif s dan t sehingga; m – 96 = 2s dan m + 96 = 2t, s + t = n
m = 2s + 96 dan m = 2t – 96
Sehingga menjadi:
2s + 96 = 2t– 96 2t– 2s = 192
2s (2t–s– 1) = 26 × 3 2s = 26 dan (2t–s– 1) = 3 2t–s = 4 2t . 2–s = 4
2t . 2– 6 = 4 (s = 6) 2t = 4. 26
2t = 28 Sehingga di dapat s = 6 dan t = 8
Dengan demikian n = s + t = 6 + 8 = 14
11. Suatu taman kota dibatasi oleh lintasan lari berbentuk lingkaran (seperti pada gambar) dan tepat di titik pusat taman dibangun tugu (T) yang dihiasi lampu. Di sepanjang tepi bagian dalam taman, diletakkan 12 bangku permanen (B) secara berurutan, sebut B1, B2, B3, ...., B12. Jarak antara dua
bangku yang berurutan dibuat sama (termasuk dari B12 ke B1). Jarak tugu ke lintansan lari adalah
50 meter. Bakri, Bima dan Budi berlari pada lintasan lari mulai di depan bangku B1. Bakri dan
Bima belari searah perputaran jarum jam (dari B1 ke arah B2), sedangkan Budi berlari mengambil
arah yang berlawanan. Jika setelah 20 menit posisi Bakri di depan bangku B7, Bima di depan B6,
dan Budi di depan bangku B4, maka jarak total yang telah ditempuh tiga orang ini mendekati ....
meter (gunakan = 3,14)
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Misalkan Bakri = i Bima = a Budi = d
Diketahui jarak tugu ke lintansan lari adalah 50 meter berlari selama 20 menit
Jarak yang ditempuh Bakri, Bima dan budi = (jarak i + jarak a + jarak d) × keliling lingkaran
=
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 12. Dikatehui ABCD adalah trapesium, AB sejajar CD, dan AB + CD = BC.
Jika panjang AD = 12, maka AB × CD adalah …
A. 46
B. 42
C. 38
D. 36
Pembahasan: D
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Misalkan AB = a, DC = b Perhatikan BCE!
BE2 + CE2 = BC2 (a – b)2 + 122 = (a + b)2 a2
+ b2– 2ab + 144 = a2 + b2 + 2ab
144 = 4ab
ab = 36
Jadi, AB × CD adalah 36
13. Anton dan kakaknya berulang tahun pada tanggal 1 januari. Pada tahun 2015, umur Anton dan
kakanya sama dengan jumlah angka-angka tahun kelahirannya masing-masing. Jika orang tua
mereka menikah 25 tahun yang lalu, maka jumlah umur anton dan kakaknya pada tahun 2015
yang mungkin adalah …. tahun
A. 22
B. 24
C. 26
D. 30
Pembahasan: C
Diketahui Anton dan kakaknya berulang tahun pada tanggal 1 januari
Pada tahun 2015, umur Anton dan kakanya sama dengan jumlah angka-angka tahun kelahirannya masing-masing dan orang tua mereka menikah 25 tahun yang lalu
A B
C D
A B
C D
a b
a + b
a – b E
Perhatikan tabel berikut
Tahun Umur Jumlah Angka-Angka Tahun Keterangan
2015 0 8
2014 1 7
2013 2 6
2012 3 5
2011 4 4 Saat Anton Lahir
2010 5 3
... ... ...
... ... ...
1995 20 24
1994 21 23
1993 22 22 Saat Kakaknya Anton Lahir
1992 23 21
1991 24 20
1990 25 19 Saat orang tua mereka menikah
Jadi, berdasarkan tabel di atas jumlah umur anton dan kakaknya pada tahun 2015 yang mungkin adalah 22 + 4 = 26 tahun
14. Penyedia jasa pengasuh bayi usia dibawah tiga tahun, memberlakukan tarif upah pengasuh bayi sebagai berikut. Upah setiap jam sebesar Rp40.000,00 untuk tiga jam pertama. Selanjudnya diberlakukan aturan sebagai berikut. Untuk setiap satu jam berikutnya di siang hari (mulai pukul 06 sampai dengan pukul 18.00), dikenakan upah sebesar 20% lebih banyak daripada upah satu jam sebelumnya. Adapun upah untuk malam hari di atas tiga jam pertama dikenakan tetap sebesar Rp30.000,00 setiap jam. Jika keluarga Adang menitipkan bayinya pada pukul 16.00 sampai pukul 09.00 hari berikutnya, maka keluarga Adang harus membayar biaya penitipan bayi tersebut sebesar Rp ....
A. 571.040,00
B. 581.040,00
C. 585.600,00
D. 595.600,00
Pembahasan: B
Diketahui keluarga Adang menitipkan bayinya pada pukul 16.00 sampai pukul 09.00 hari berikutnya. Berdasarkan ketentuan yang ada pada soal, dapat diuraikan sebagai berikut:
1. Upah setiap jam sebesar Rp40.000,00 untuk tiga jam pertama
Sehingga upah untuk jam 16, 17, dan 18 sebesar 3 × 40.000 = Rp120.000,00
2. Adapun upah untuk malam hari di atas tiga jam pertama dikenakan tetap sebesar Rp30.000,00 setiap jam
Sehingga upah untuk jam 19 sampai dengan jam 6 sebesar 11×30.000 = Rp330.000,00
3. Untuk setiap satu jam berikutnya di siang hari (mulai pukul 06 sampai dengan pukul 18.00), dikenakan upah sebesar 20% lebih banyak daripada upah satu jam sebelumnya
Sehingga upah untuk jam 6, 7, 8, dan 9 sebesar 30.000 × 20% = 6000 menjadi 36.000.
36.000 × 20% = 7200 menjadi 43.200 sehingga jumlahnya = Rp131.040,00 43.200 × 20% = 8640 menjadi 51.840
Dengan demikian total upah seluruhnya = 120.000 + 330.000 + 131.040 = Rp581.040,00
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember 15. Suatu kardus polos dari kertas berbentuk kubus. Volume kardus adalah 64.000 cm3. Fitri memotong tepat pada rusuk kubus dan mengambil dua sisi bagian samping kardus tersebut. Fitri melakukan garis pada satu potong sisi kardus dan diperolah satu segitiga siku-siku yang perbandingan dua sisi siku-siku adalah 1 : 2. Pada satu potongan sisi kardus yang lain dilukis satu segitiga sama kaki (lihat gambar). Jika ternyata dua segitiga ini sama luasnya, maka panjang sisi yang sama pada segitiga sama kaki adalah .... cm
A. 10
B. 10 2
C. 20
D. 20 2
Pembahasan: D
Perhatika ilustrasi gambar berikut
Diketahui Volume kardus adalah 64.000 cm3
Perbandingan dua sisi siku-siku adalah 1 : 2, Volume kardus = rusuk kubus3
64000 = PR3 PR = 40
Karena QR : PR = 1 : 2, maka panjang RQ = 20 dan panjang PR = 40
Perhatikan PQR, maka Luasnya = 400. Sehingga luas ABC = 400 dan panjang CD = 20 Perhatikan BCD dengan pythagoras didapat.
s2 = 202 + 202 s = 20 2
Jadi, panjang sisi yang sama pada segitiga sama kaki adalah 20 2 cm
Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://olimattohir.blogspot.co.id/
20
40
20 s
A B
C
D
P