Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2008
1. Dalam bentuk pangkat positif, 2 2 2 ) ( xy y x =…. A. ( x + y ) ( x – y ) C. ( x – y )2 E. - x( x – y ) B. - ( x + y ) ( x – y ) D. x ( x – y ) Jawab: 2 2 2 ) ( xy y x = 2 2 2 ) ( 1 1 1 xy y x = 2 2 2 2 2 ) ( 1 xy y x x y = 2 2 2 ) (xy x y . (xy)2 = y2- x2 = ( y – x ) ( y + x ) = - (-y+ x) ( y + x ) = - (x -y) ( x + y ) Jawabannya adalah B 2. Jika 5 1 2 1 5 1 2 1 = a + b 5 , maka a + b = …. A. 1 C. 3 E. 5 B. 2 D. 4 Jawab: cara 1: 5 1 2 1 5 1 2 1 = 5 1 2 1 5 1 2 1 5 1 2 1 5 1 2 1 = 5 1 4 1 5 1 5 1 2 1 5 1 2 1 4 1 = 5 1 4 1 5 1 5 1 4 1 = 20 4 5 5 1 20 4 5 = 20 1 5 1 209 = 20 1 5 20 20 5 9 = 5 20 20 5 9 . 20 = 5 20 5 9 = 9 -5 20 = 9 – ( 5 20 . 5 5 ) = 9 -5 5 20 = 9 - 4 5 = a + b 5 a = 9 ; b = -4 maka a + b = 9 – 4 = 5
cara 2: 5 1 2 1 5 1 2 1 = 5 2 2 5 5 2 2 5 = 5 2 2 5 . 2 5 5 2 = 5 2 2 5 = 2 5 2 5 . 2 5 2 5 = 4 5 4 5 2 5 2 5 = 9 - 4 5 = a + b 5 a = 9 ; b = -4 maka a + b = 9 – 4 = 5 Jawabannya adalah E
3. Garis ax + by + c = 0 melalui titik A( 1,-2 ), B(-5,2), dan C(10,-8). Jika a, b dan c tidak mempunyai factor persekutuan selain 1, maka a + b + c = ….
A. 7 C. 9 E. 11 B. 8 D. 10
Jawab:
persamaan garis melalui 2 titik:
1 2 1 y y y y = 1 2 1 x x x x
melalui titik A( 1,-2 ) dan B(-5 , 2) : x1 y1 x2 y2 2 2 2 y = 1 5 1 x -6 (y+2) = 4 (x-1) -6y – 12 = 4x – 4 4x – 4 + 6y + 12 = 0 4x + 6y + 8 = 0 dibagi 2 2x + 3y + 4 = 0 didapat a = 2, b=3 dan c = 4 maka a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9 Jawabannya adalah C bukti lain:
Jika menentukan persamaan garis melalui titik B(-5,2) dan C(10,-8) 2 y = 5 x
15 (y-2) = -10 (x+ 5) 15y – 30 = -10x – 50 15y – 30+10x +50 = 0
10x + 15y + 20 = 0 dibagi 5
2x + 3y + 4 = 0 didapat a = 2, b=3 dan c = 4 hasilnya sama
4. Parabol: y = 2x2 - 16x+ 24 memotong sumbu y di titik A, jika garis singgung di titik A pada parabol memotong sumbu x di titik (a,0), maka a = ….
A. -1 2 1 C. 1 2 1 E. 2 2 1 B. -1 D. 2 Jawab: menentukan titik A:
memotong sumbu y jika x = 0 , y = 2x2 - 16x+ 24 = 2 . 0 – 16.0 + 24 = 24 titik A adalah ( 0 , 24 ) gradien di titik A: y'= 0 dengan x = 0 y'= 4x – 16 dengan x = 0 maka y' = 4.0 – 16 = -16
persamaan garis di titik A ( 0 , 24 )dengan gradien -16: rumus persamaan garis singgung: y – y1 = m ( x - x1 ) y – 24 = -16 ( x - 0 )
y – 24 = -16x y = -16x + 24
memotong sumbu x di titik (a,0): memotong sumbu x jika y= 0 0 = -16. a + 24
a = 16 24 = 1 2 1 Jawabannya adalah C
5. Persamaan kuadrat x2 - ax + 1 = 0 mempunyai akar x1 dan x2. Jika persamaan kuadrat x2+ px + q = 0, mempunyai akar 2 3 1 x x dan 1 3 2 x x , maka p = … A. -a4 + 4a2 - 4 C. a4 - 4a2 - 4 E. a4 + 4a2 + 4 B. -a4 + 4a2 - 4 D. a4 + 4a2 - 4 Jawab: ax2+ bx + c = 0 x1 + x2 = -a b dan x1 . x2 = a c x2
- ax + 1 = 0 mempunyai akar x1 dan x2maka: x1 + x2 = - (-a) = a ; x1 . x2 = 1 x2+ px + q = 0, mempunyai akar 2 3 1 x x dan 1 3 2 x x ; misal = 2 3 1 x x dan = 1 3 2 x x maka + = - p 2 3 1 x x + 1 3 2 x x = -p 1 2 4 2 4 1 x x x x = -p ; x1 x2 = 1 x1 4 + x2 4 = - p (x1 2 + x2 2 )2- 2 (x1 x2) 2 = - p {(x1 + x2)2 -2 x1 x2}2 -2 (x1 x2)2 = - p {(a)2 -2 }2 -2 (1)2 = - p a4 - 4a2 + 4 – 2 = -p a4- 4a2+ 2= -p p = -a4 + 4a2 - 2
6. Nilai maksimum dari P = 2x + 3y pada daerah 3x + y 9 , 3x + 2y 12, x 0 dan y 0 adalah ….. A. 6 C. 13 E. 27 B. 12 D. 18 Jawab: membuat grafik: daerah: 3x + y 9 3x + y = 9 ….(1)
titik potong dengan sumbu x jika y = 0 3x + 0 = 9
x = 3
didapat titik (3, 0)
titik potong dengan sumbu y jika x = 0 3.0 + y = 9
y = 9
didapat titik (0, 9) daerah:
3x + 2y 12 3x + 2y = 12 ….(2) titik potong dengan sumbu x jika y = 0 3x + 0 = 12
x = 4
didapat titik (4, 0)
titik potong dengan sumbu y jika x = 0 3.0 +2y = 12 y = 6 didapat titik (0, 6) Perpotongan (1) dan (2) eliminasi x: 3x + y = 9 3x + 2y = 12 -- y = --3 y = 3 3x+ y = 9 3x + 3 = 9 3x = 6 x = 2
Didapat titik potong ( 2, 3) grafiknya sbb:
daerah yang diarsir adalah 3x + y 9 dan 3x + 2y 12
titik pojok P = 2x + 3y (3, 0) 6 (4, 0) 8
( 2, 3) 4 + 9 = 13 didapat nilai maksimum adalah 13
Jawabannya adalah C
7. Jika garis g menyinggung kurva y= sin x + cos x di titik yang absisnya 2 1
, maka garis g memotong sumbu y di titik ….
A. (0, 2 1 ) C. (0, 1 - 2 1 ) E. (0, ) B. (0 , 1) D. (0, 1 + 2 1 ) Jawab:
garis g menyinggung kurva y= sin x + cos x di x = 2 1
y = sin 2 1 + cos 2 1 = 1 + 0 = 1
menyinggung kurva di titik ( 2 1 , 1) gradien di titik ( 2 1 , 1) : y' = 0 dengan x = 2 1 y' = cosx – sinx dengan x = 2 1 maka y' = cos 2 1 – sin 2 1 = 0 – 1 = -1
persamaan garis di titik ( 2 1 , 1)dengan gradien -1 y – b = m ( x – a ) y – 1 = -1 ( x – 2 1 ) y – 1 = -x + 2 1 y = -x +1+ 2 1
garis g memotong sumbu y jika x = 0 y = 0 + 1+
2 1
jadi garis g memotong sumbu y di titik ( 0, 1+ 2 1
)
Jawabannya adalah D
8. Jika sin + cos = 2 1 , maka sin3 + cos3 = … A. 2 1 C. 16 9 E. 16 11 B. 4 3 D. 8 5
Jawab: sin + cos = 2 1 …..(1) sin3 + cos3 = (sin + cos )3
- 3 sin cos (sin + cos ) …..(2)
(sin + cos )2 =
4 1
sin2 + cos2 + 2 sin cos = 4 1 1 + 2 sin cos = 4 1 2 sin cos = 4 1 - 1 2 sin cos = 4 3 sin cos = 8 3 ….(3)
masukkan nilai (1) dan (3) ke persamaan (2) :
sin3 + cos3 = ( 2 1 )3 - 3 ( 8 3 ) ( 2 1 ) = 8 1 + 16 9 = 16 9 2 = 16 11 Jawabannya adalah E
9. Jika BC = 16, AC = 10, dan luas ABC = 40 3 , maka AB = … A. 11 C. 13 E. 15 B. 12 D. 14 Jawab: Cara 1 : A ? 10 B C 16 L ABC = 2 1 BC. AC. sin
40 3 = 2 1 . 16 . 10 . sin sin = 160 3 80 = 2 1 3 = 600 aturan cosinus: AB2 = BC2 + AC2 - 2.BC. AC cos = 162 + 102 - 2.16 . 10. cos 600 = 256 + 100 – 320. 2 1 = 356 - 160 = 196 AB = 196 = 14 Cara 2: A ? 10 D B C 16 L ABC = 2 1 alas x tinggi = 2 1 BC. AD 40 3 = 2 1 16. AD AD = 16 3 80 = 5 3 DC = 2 2 AD AC = 2 2 ) 3 5 ( 10 = 10075 = 25 = 5 BD = 16 – 5 = 11 AB = BD2 AD2 = 112 (5 3)2 = 12175 = 196 = 14 Jawabannya adalah D
10. x x x x x sin cos cos sin 2 1 4 1 lim =… A. 2 1 C. 1 E. -1 B. 2 1 2 D. 0 Jawab:
Cara 1 : Dengan menggunakan metoda L’Hospital
x x x x x sin cos cos sin 2 1 4 1 lim = x x x x sin cos 2 sin 1 4 1 lim = x x x x cos sin 2 cos 2 4 1 lim
; pembilang dan penyebut didifferensialkan
= 4 1 sin 4 1 cos 4 1 . 2 cos 2 = 2 2 1 2 2 1 0 . 2 = 0 Cara 2 : faktorisasi x x x x x sin cos cos sin 2 1 4 1 lim = x x x x x x x sin cos cos sin 2 cos sin 4 1 lim 2 2 = x x x x x sin cos ) cos (sin 4 1 lim 2 = x x x sin cos 4 1 lim = 21 221 2 = 0 Jawabannya adalah D
11. 1 4 3 1 lim x x x x x = …. A. 6 C. 8 E. 10 B. 7 D. 9 Jawab:
hasilnya adalah bentuk tak tentu 0 0 gunakan metoda L’Hospital:
1 4 3 1 lim x x x x x = 1 ) ( 4 ) ( 3 1 lim 2 1 2 1 x x x x x = x x x x x 2 1 2 3 1 lim = 1 2 1 1 2 1 1 3 = 2 1 2 1 1 3 = 2 9 . 2 = 9 Jawabannya adalah D
12. Volum balok terbesar yang luas semua bidang sisinya 96 cm2
dan alasnya persegi adalah…. A. 54 cm3 C. 74 cm3 E. 94 cm3 B. 64 cm3 D. 84 cm3 Jawab: t s s Luas Balok = 2 s2 + 4 s.t 96 = 2 s2 + 4 s.t 4.s.t = 96 – 2s2
2st = 48 - s2 t = s 24 -2 s Volume balok = s2 . t = s2 .( s 24 -2 s ) = 24s -2 1 s3 Volum balok terbesar apabila V'
= 0 ; V' = 24 -2 3 s2 = 0 24 = 2 3 s2 s2 = 3 48 = 16 s = 16 = 4 t = s 24 -2 s = 4 24 -2 4 = 6 – 2 = 4
Volume balok terbesar = s2
. t = 42
. 4 = 16 .4 = 64 cm3
Jawabannya adalah B
13. Nilai minimum dari fungsi y = (x-3) x adalah….
A. -2 C. 0 E. 2 B. -1 D. 1
Jawab:
nilai minimum jika y' = 0 y = u. v y' = u' v + v' u u = (x-3) ; v = x y'= x + (x-3) x 2 1 = 0 x = -x x 2 ) 3 ( x 3
2x = 3 – x 3x = 3 x = 1 titik minimum di x = 1 y = (x-3) x = (1-3) 1 = -2 Jawabannya adalah A
14. Turunan pertama dari fungsi y =
x x x x sin cos sin cos adalah…. A. 2 ) sin (cos 1 x x C. 2 ) sin (cos 3 x x E. 2 2 sin cos 2 x x B. 2 ) sin (cos 2 x x D. 2 2 sin cos 1 x x Jawab: y = v u y' = ' 2 ' v u v v u
u = cos x – sin x u'= -sinx – cosx = -(sin x + cos x) v = cos x + sin x v'
= -sin x + cos x = cos x – sin x
y' = 2 ) sin (cos ) sin )(cos sin (cos ) cos )(sin cos (sin x x x x x x x x x x = 2 2 2 ) sin (cos ) sin (cos ) cos (sin x x x x x x = 2 2 2 2 2 ) sin (cos ) cos sin 2 sin (cos ) cos sin 2 cos (sin x x x x x x x x x x = 2 ) sin (cos ) cos sin 2 1 ( ) cos sin 2 1 ( x x x x x x = 2 ) sin (cos ) cos sin 2 1 cos sin 2 1 x x x x x x = 2 ) sin (cos 2 x x Jawabannya adalah E
15. Nilai x yang memenuhi persamaan ` 8 4 3 5 x `= 2 1 2 1 x adalah….. A. 4 C. -2 1 E. 2 B. -1 D. 4 1 Jawab: 8 4 3 5 x `= 2 1 2 1 x 3 3 2(5 ) 2 2 x `= 2 x2 1 3 3 2 10 2 . 2 x `= 2 x2 1 . 2 3 2 9 10 x `= 2 x2 1 3 2 1 x = -2x – 1 1 – 2x = -6x – 3 -2x+ 6x = -1 – 3 4x = - 4 x = - 1 Jawabannya adalah B
16. Jika 7log 2 = a dan 2log 3 = b, maka 6log 98 = ….
A. b a a C. ( 1) 2 b a a E. ) 1 ( 2 a b a B. 1 2 b a D. 2 1 b a Jawab: 6 log 98 = 6 log 98 log 2 2 = 3 . 2 log 49 . 2 log 2 2 = 3 log 2 log 7 log 2 log 2 2 2 2 2 = b 1 7 log . 2 1 2 = b 1 2 log 2 1 7 = b a 1 2 1 = b a a 1 2 = ) 1 ( 2 b a a Jawabannya adalah C
17. Adi selalu membelanjakan 3 1
bagian dari uang yang masih dimilikinya dan ia tidak mempunyai penghasilan lagi. Jika pada saat belanja terakhir sisanya kurang dari
243 32
uang semula, maka Adi paling sedikit sudah membelanjakan uangnya,,,,
A. 4 kali C. 7 kali E. 14 kali B. 5 kali D. 10 kali
Jawab: misal:
uang yang masih dimiliki adalah x : Pengeluaran untuk belanja pertama :
3 1
x maka sisa uangnya x -3 1 x = 3 2 x Pengeluaran untuk belanja kedua :
3 1 3 2 x = 9 2
x maka sisa uangnya:
3 2 x -9 2 x = 9 2 6 x = 9 4 x Pengeluaran untuk belanja ketiga :
3 1 9 4 x = 27 4
x maka sisa uangnya:
9 4 x -27 4 x = 27 4 12 x = 27 8 x cara 1:
terlihat bahwa sisa setiap belanja dapat dirumuskan dengan : ( 3 2
)n
x
saat belanja terakhir sisanya kurang dari 243 32 uang semula = 243 32 . x ( 3 2 )n x = 243 32 . x ( 3 2 )n = 243 32 ( 3 2 )n = ( 3 2 )5 didapat n = 5 Cara 2:
Sisa belanja membentuk baisan geometri:
3 2 x, 9 4 x, 27 8 x, … a = 3 2 x ; r = x x 3 2 9 4 = 3 2
Un= ar
1
n
Un = sisa belanja terakhir =
243 32 . x 243 32 . x = 3 2 x . ( 3 2 )n1 243 32 = 3 2 . ( 3 2 )n1 243 32 = ( 3 2 )n ( 3 2 )5 = ( 3 2 )n n = 5 Jawabannya adalah B
18. Jika 2p + q, 6p + q dan 14p + q adalah tiga suku deret geometri yang berurutan, maka rasio deretnya adalah…. A. 2 1 C. 3 2 E. 3 B. 3 1 D. 2 Jawab: Deret geometri: 2p + q, 6p + q , 14p + q r = 1 n n U U = q p q p 2 6 = q p q p 6 14 r = q p q p q p q p 6 2 14 6 = p p 4 8 = 2 Jawabannya adalah D
19. Jumlah n suku pertama deret: 5 log a 1 + 5 log a b + 5 log a b2 + …. adalah….. A. 5 log n n n a b 1)2 ( C. 5 log 2 2 1 ) ( n n n a b E. 5 log n n n a b 2 2 ) ( B. 5 log 2 2 ) ( n n n a b D. 5 log n n n a b 2 2 1 ) ( Jawab:
Deret merupakan deret aritmetika : beda = Un - Un1 = 5log a b - 5log a 1 = 5log a b2 - 5log a b = 5 log a a b 1 = 5 log a b a b2 = 5 log b = 5 log b U1= 5 log a 1 Sn = 2 n (2a +(n-1) b) = 2 n (2U1 +(n-1) b) = 2 n (2 5log a 1 +(n-1) 5log b) = 2 n (5log ( a 1 )2+5log bn1 ) = 2 n (5log ( a 1 )2. bn1 )
= 2 n (5log 2 1 a bn ) = 5log ( 2 1 a bn )2 n = 5log 2 2 2 1 ) ( ) ( n n n a b = 5log n n n a b 1 2 ) ( Jawabannya adalah A 20. Jika P = 1 2 1 1 dan I = 1 0 0 1 , maka -p4 + 2p3 + 3p2 + 4 I = …. A. - P C. 2P E. I B. P D. – 2P Jawab: P = 1 2 1 1 ; I = 1 0 0 1 P2 = P . P = 1 2 1 1 . 1 2 1 1 = ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 2 ). 1 ( 1 . 2 ) 1 ).( 1 ( ) 1 .( 1 2 ). 1 ( 1 . 1 = 1 0 0 1 = - 1 0 0 1 = - I P3 = P2.P = 1 0 0 1 . 1 2 1 1 = 1 2 1 1 = - 1 2 1 1 = - P P4 = P3 .P = 1 2 1 1 . 1 2 1 1 = 1 0 0 1 = I -p4+ 2p3+ 3p2+ 4 I = - I + 2 (-P)+ 3 (-I)+ 4 I = - I – 2P – 3 I + 4 I = -2P Jawabannya adalah D
21. Transpos dari matriks A ditulis AT
. Jika matriks A = 2 0 2 1 , B = 3 2 1 2 , dan X memenuhi AT
= B + X, maka invers dari X adalah…..
A. 7 1 1 4 1 3 C. 4 1 4 3 1 1 E. 2 1 2 4 1 1 1 1 1 1 1 2
Jawab: A = 2 0 2 1 AT = 0 2 2 1 X = d c b a AT= B + X 0 2 2 1 = 3 2 1 2 + d c b a d c b a = 0 2 2 1 - 3 2 1 2 a = 1 – 2 = -1 b = -2 – (-1) = -1 c = 2 – (-2) = 4 d = 0 – 3 = -3 X = d c b a = 3 4 1 1 X1 = bc ad 1 a c b d = ) 4 ( 3 . 1 1 4 1 3 = 7 . 1 1 4 1 3 Jawabannya adalah A
22. Pada percobaan melempar dua buah dadu sekaligus, peluang munculnya dua mata dadu tidak lebih dari 6 adalah…..
A. 18 5 C. 12 5 E. 3 2 B. 3 1 D. 2 1 Jawab: P(A) = ) ( ) ( S n A n
p(A) = peluang kejadian
n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A
1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
jumlah kemungkinan mata dadu tidak berjumlah lebih dari enam terlihat pada tabel di atas berjumlah = 15 = n(A)
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 6 x 6 = 36
P(A) = ) ( ) ( S n A n = 36 15 = 12 5 Jawabannya adalah C
23. Dari tabel hasil ujian matematika di bawah, jika nilai rata-ratanya adalah 6, maka x = ….
A. 0 C. 10 E. 20 B. 5 D. 15 Jawab: Rata-rata = x =
f fx = 10 70 40 20 10 . 10 8 . 6 . 70 5 . 40 4 . 20 x x = x x 140 . 8 800 = 6 6 (140+x) = 800 + 8x 840 + 6x = 800 + 8x 840 – 800 = 8 x – 6x 40 = 2x x = 20 Jawabannya adalah E 24. Persamaan kuadrat x2- 6x + a = 0 mempunyai akar x1 dan x2. Jika x1, x2 dan x1 + x2 adalah tiga suku pertama deret aritmetika, maka konstanta a = ….
A. 2 C. 6 E. 10 B. 4 D. 8 Jawab: x2 - 6x + a = 0 x1 + x2 = -1 6 = 6 x1= 6 - x2 x1. x2 = 1 a = a Nilai Ujian 4 5 6 8 10 Frekuensi 20 40 70 x 10
Tiga suku pertama deret aritmetika: x1, x2, x1 + x2 beda deret = x1 + x2 - x2 = x2 - x1 x1 = x2 - x1 2 x1 = x2 ; x1= 6 - x2 2(6 - x2) = x2 12 - 2 x2 = x2 12 = 3 x2 x2 = 4 x1= 6 - x2 = 6 – 4 = 2 a = x1. x2 = 2 . 4 = 8 Jawabannya adalah D
25. Deret geometri tak hingga : (log(x-5))2
+ (log(x-5))3
+ (log(x-5))4 + ….. Mempunyai jumlah untuk x yang memenuhi…..
A. -1 <x < 1 C. 5 <x < 6 E. 5,1 <x < 15 B. 4 <x < 6 D. 5,1 <x < 6 Jawab: Rasio deret (r) = 1 2 U U = 1 n n U U = 4 3 )) 5 (log( )) 5 (log( x x = log(x-5)
Syarat deret tak hingga mempunyai nilai (konvergen) bila : |r| < 1 atau -1 < r < 1 Sehingga -1<log(x-5)<1 log 101 < log(x-5)<log 10 101 < x-5< 10 0,1 < x-5< 10 0,1+ 5 < x< 10 +5 5,1 < x< 15 Jawabannya adalah E
