Soal soal dan Pembahasan MTK Dasar SBMPTN SNMPTN 2008

(1)

Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2008

1. Dalam bentuk pangkat positif, ₂ 2

Jawabannya adalah B

(2)

cara 2:

5 1 2 1

 

=

5 2

2 5

5 2

2 5

 

= 5 2

2 5

.

2 5

5 2

 = 5 2

2 5

 

=

2 5

 

.

2 5

 

=

4 5

4 5 2 5 2 5

   

= 9 - 4 5 = a + b 5a = 9 ; b = -4 maka a + b = 9 – 4 = 5

Jawabannya adalah E

3. Garis ax + by + c = 0 melalui titik A( 1,-2 ), B(-5,2), dan C(10,-8). Jika a, b dan c tidak mempunyai factor persekutuan selain 1, maka a + b + c = ….

A. 7 C. 9 E. 11 B. 8 D. 10

Jawab:

persamaan garis melalui 2 titik:

1 2

1 y y

y y

 

=

1 2

1 x x

x x

 

melalui titik A( 1,-2 ) dan B(-5 , 2) : x₁ y₁ x₂ y₂

2 2

2  

y

=

1 5

1  



x

-6 (y+2) = 4 (x-1) -6y – 12 = 4x – 4 4x – 4 + 6y + 12 = 0 4x + 6y + 8 = 0dibagi 2

2x + 3y + 4 = 0 didapat a = 2, b=3 dan c = 4

maka a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9

Jawabannya adalah C

bukti lain:

Jika menentukan persamaan garis melalui titik B(-5,2) dan C(10,-8)

2 

y

(3)

15 (y-2) = -10 (x+ 5) 15y – 30 = -10x – 50 15y – 30+10x +50 = 0

10x + 15y + 20 = 0dibagi 5

2x + 3y + 4 = 0 didapat a = 2, b=3 dan c = 4hasilnya sama

4. Parabol: y = 2x2

- 16x+ 24 memotong sumbu y di titik A, jika garis singgung di titik A pada parabol memotong sumbu x di titik (a,0), maka a = ….

A. -1 2 1

C. 1 2 1

E. 2 2 1

B. -1 D. 2

Jawab:

menentukan titik A:

memotong sumbu y jika x = 0 ,

y = 2x2

- 16x+ 24 = 2 . 0 – 16.0 + 24 = 24

titik A adalah ( 0 , 24 )

gradien di titik A:

y'

= 0 dengan x = 0

y'

= 4x – 16

dengan x = 0 maka y'

= 4.0 – 16 = -16

persamaan garis di titik A ( 0 , 24 )dengan gradien -16:

rumus persamaan garis singgung: y – y1 = m ( x - x1 )

y – 24 = -16 ( x - 0 ) y – 24 = -16x

y = -16x + 24

memotong sumbu x di titik (a,0):

memotong sumbu x jika y= 0

(4)

a = 16 24

= 1 2 1

5. Persamaan kuadrat x2

- ax + 1 = 0 mempunyai akar x1 dan x2. Jika persamaan kuadrat

x2

+ px + q = 0, mempunyai akar 2

3 1

x x

dan 1

3 2

x x

, maka p = …

A. -a4 + 4a2

- 4 C. a4 - 4a2

- 4 E. a4

+ 4a2 + 4 B. -a4

+ 4a2

- 4 D. a4 + 4a2

- 4

Jawab:

ax2+ bx + c = 0

x₁ + x₂ =

-a b

dan x₁ . x₂ =

a c

x2

- ax + 1 = 0 mempunyai akar x1 dan x2maka:

x1 + x2 = - (-a) = a ; x1 . x2 = 1

x2

+ px + q = 0, mempunyai akar 2

3 1

x x

dan 1

3 2

x x

;

misal α = 2

3 1

x x

dan β = 1

3 2

x x

maka

α + β = - p

2 3 1

x x

+ 1

3 2

x x

= -p

1 2

4 2 4 1

x x

x

x 

= -p ; x₁ x₂ = 1

x₁4

+ x₂ 4 = - p (x₁2

+ x₂ 2 )2

- 2 (x₁ x₂)2 = - p

{(x₁ + x₂)2

-2 x₁ x₂}2

-2 (x₁ x₂)2 = - p {(a)2

-2 }2

-2 (1)2 = - p a4

- 4a2

+ 4 – 2 = -p a4

- 4a2

+ 2= -p p = -a4

(5)

6. Nilai maksimum dari P = 2x + 3y pada daerah 3x + y  9 , 3x + 2y  12, x  0 dan y  0 adalah …..

A. 6 C. 13 E. 27 B. 12 D. 18

Jawab:

membuat grafik:

daerah:

3x + y  9 3x + y = 9 ….(1)

titik potong dengan sumbu x jika y = 0 3x + 0 = 9

x = 3

didapat titik (3, 0)

titik potong dengan sumbu y jika x = 0 3.0 + y = 9

y = 9

daerah:

3x + 2y  12  3x + 2y = 12 ….(2)

titik potong dengan sumbu x jika y = 0 3x + 0 = 12

x = 4

titik potong dengan sumbu y jika x = 0 3.0 +2y = 12

y = 6

Perpotongan (1) dan (2)

eliminasi x:

3x + y = 9 3x + 2y = 12

-- y = --3 y = 3 3x+ y = 93x + 3 = 9

(6)

Didapat titik potong ( 2, 3)

grafiknya sbb:

daerah yang diarsir adalah 3x + y  9 dan 3x + 2y  12

titik pojok P = 2x + 3y

(3, 0) 6 (4, 0) 8

( 2, 3) 4 + 9 = 13

didapat nilai maksimum adalah 13

7. Jika garis g menyinggung kurva y= sin x + cos x di titik yang absisnya π 2 1

, maka garis g memotong sumbu y di titik ….

A. (0, π 2 1

) C. (0, 1 - π 2 1

) E. (0, π)

B. (0 , 1) D. (0, 1 + π 2 1

)

Jawab:

(7)

y = sin π 2 1

+ cos π 2 1

= 1 + 0 = 1

menyinggung kurva di titik ( π 2 1

, 1)

gradien di titik ( π 2 1

, 1) :

y'

= 0 dengan x = π 2 1

y'

= cosx – sinx

dengan x = π 2 1

maka y'

= cos π 2 1

– sin π 2 1

= 0 – 1 = -1

persamaan garis di titik ( π 2 1

, 1)dengan gradien -1

y – b = m ( x – a ) y – 1 = -1 ( x – π

2 1

)

y – 1 = -x + π 2 1

y = -x +1+ π 2 1

garis g memotong sumbu y jika x = 0 y = 0 + 1+ π

2 1

jadi garis g memotong sumbu y di titik ( 0, 1+ π 2 1

)

Jawabannya adalah D

8. Jika sin θ + cos θ = 2 1

, maka sin3θ

+ cos3θ = …

A. 2 1

C. 16

9

E. 16 11

B. 4 3

(8)

Jawab:

sin θ + cos θ = 2 1

…..(1) sin3θ

+ cos3θ

= (sin θ + cos θ)3

- 3 sin θ cos θ (sin θ + cos θ) …..(2)

(sin θ + cos θ)2 =

4 1

sin2_θ

+ cos2 _θ

+ 2 sin θ cos θ = 4 1

1 + 2 sin θ cos θ = 4 1

2 sin θ cos θ = 4 1

- 1

2 sin θ cos θ = 4 3 

sin θ cos θ = 8 3

 ….(3)

masukkan nilai (1) dan (3) ke persamaan (2) :

sin3θ

+ cos3θ = (

2 1

)3 - 3 (

8 3  ) (

2 1 )

= 8 1

+ 16

9 =

16 9 2

= 16 11

9. Jika BC = 16, AC = 10, dan luas ABC = 40 3, maka AB = …

A. 11 C. 13 E. 15 B. 12 D. 14

Jawab:

Cara 1 :

A

? 10

α

B C 16

L ABC = 2 1

(9)

40 3 = 2 1

. 16 . 10 . sinα

sinα = 160

3 80

= 2 1

3

α = 600

aturan cosinus:

AB2

= BC2

+ AC2

- 2.BC. AC cos α = 162 _{+ 10}2 _{- 2.16 . 10. cos 60}0 = 256 + 100 – 320.

2 1

= 356 - 160 = 196 AB = 196

= 14

Cara 2:

A

? 10

D

B C

16

L ABC = 2 1

alas x tinggi = 2 1

BC. AD

40 3 = 2 1

16. AD

AD = 16

3 80

= 5 3

DC = 2 2

AD AC 

= 2 2

) 3 5 ( 10 

= 10075 = 25 = 5

BD = 16 – 5 = 11

AB = 2 2

AD

BD 

= 2 2

) 3 5 ( 11 

= 12175 = 196 = 14

(10)

10.

Cara 1 : Dengan menggunakan metoda L’Hospital

x

 π ; pembilang dan penyebut didifferensialkan

=

Cara 2 : faktorisasi

x

(11)

11.

1 4 3

1 lim

  

 x

x x x

x = ….

A. 6 C. 8 E. 10 B. 7 D. 9

Jawab:

hasilnya adalah bentuk tak tentu 0 0

gunakan metoda L’Hospital:

1 4 3

1 lim

  

 x

x x x x

=

1 ) (

4 ) ( 3 1 lim

2 1

  



x x x x x

=

x x x x

x

2 1

2 3

1

lim  



=

1 2

1 1 2

1 1 3 

=

2 1

2 1 1 3 

= 2 9

. 2 = 9

12. Volum balok terbesar yang luas semua bidang sisinya 96 cm2 _{dan alasnya persegi adalah….}

A. 54 cm3 _{C. 74 cm}3 _{E. 94 cm}3

B. 64 cm3

D. 84 cm3

Jawab:

t

s s

Luas Balok = 2 s2 _{+ 4 s.t} 96 = 2 s2

(12)

2st = 48 - s2 t =

s

24

-2

s

Volume balok = s2_{. t} = s2

.(

s

24

-2

s

)

= 24s -2 1

s3 Volum balok terbesar apabila V'

= 0 ;

V'

= 24 -2 3

s2 = 0

24 = 2 3

s2

s2 =

3 48

= 16

s = 16 = 4

t =

s

24

-2

s

= 4 24

-2 4

= 6 – 2 = 4

Volume balok terbesar = s2

. t = 42

. 4 = 16 .4 = 64 cm3

13. Nilai minimum dari fungsi y = (x-3) x adalah….

A. -2 C. 0 E. 2 B. -1 D. 1

Jawab:

nilai minimum jika y' _{= 0}

y = u. v  y' = u'

v + v' u

u = (x-3) ; v = x y'

= x + (x-3) x 2

1 = 0

x =

-x x

2 ) 3 ( 

(13)

2x = 3 – x

Jawabannya adalah A

14. Turunan pertama dari fungsi y =

x

(14)

15. Nilai x yang memenuhi persamaan `

x adalah….. A. 4 C.

-Jawabannya adalah B

16. Jika 7

(15)

17. Adi selalu membelanjakan 3 1

bagian dari uang yang masih dimilikinya dan ia tidak mempunyai

penghasilan lagi. Jika pada saat belanja terakhir sisanya kurang dari 243

32

uang semula, maka Adi paling sedikit sudah membelanjakan uangnya,,,,

A. 4 kali C. 7 kali E. 14 kali B. 5 kali D. 10 kali

Jawab:

misal:

uang yang masih dimiliki adalah x : Pengeluaran untuk belanja pertama :

3 1

x maka sisa uangnya x -3 1

x = 3 2

x

Pengeluaran untuk belanja kedua : 3 1

3 2

x = 9 2

x maka sisa uangnya:

3 2

x -9 2

x = 9

2 6

x = 9 4

x

Pengeluaran untuk belanja ketiga : 3 1

9 4

x = 27

4

x maka sisa uangnya:

9 4

x -27

4 x =

27 4 12

x = 27

8 x cara 1:

terlihat bahwa sisa setiap belanja dapat dirumuskan dengan : ( 3 2

)n x

saat belanja terakhir sisanya kurang dari 243

32

uang semula = 243

32 . x

( 3 2

)n x =

243 32

. x

( 3 2

)n =

243 32

( 3 2

)n = (

3 2

)5 didapat n = 5

Cara 2:

Sisa belanja membentuk baisan geometri:

3 2

x, 9 4

x, 27

8

x, …

a = 3 2

x ; r = x x

3 2 9 4

(16)

U_n= arn1

Un = sisa belanja terakhir = 243

32 . x

243 32

. x = 3 2

x . ( 3 2

)n1

243 32

= 3 2

. ( 3 2

)n1

243 32

= ( 3 2

)n

( 3 2

)5 = (

3 2

)n n = 5

18. Jika 2p + q, 6p + q dan 14p + q adalah tiga suku deret geometri yang berurutan, maka rasio deretnya adalah….

A. 2 1

C. 3 2

E. 3

B. 3 1

D. 2

Jawab:

Deret geometri:

2p + q, 6p + q , 14p + q

r = 1



n n U

U =

q p

  2 6

=

q p

  6 14

r =

q p q p

  

6 2

14 6

= p p 4 8  

= 2

(17)

19. Jumlah n suku pertama deret: 5

log

a

1 + 5

log

a b

+ 5 log

a b2

+ ….

adalah…..

A. 5

log _n

n n

a b 1₎2 ( 

C. 5 log

2 2 1

) (

n n n

a b 

E. 5

log _n

n n

a b

2 2 ) (

B. 5 log

2 2 ) (

n n n

a b

D. 5

log _n

n n

a b

2 2 1

) ( 

Jawab:

Deret merupakan deret aritmetika :

beda = Un - Un1

= 5 log

a b

- 5 log

a

1 = 5

log a b2

- 5 log

a b

= 5_log

a a b

1 = 5_log

a b a b2

= 5_{log b =} 5_{log b}

U1= 5

log

a

1

Sn = 2

n

(2a +(n-1) b)

= 2

n

(2U₁ +(n-1) b)

= 2

n

(2 5log

a

1

+(n-1) 5log b)

= 2

n

(5log (

a

1

)2+5log bn1 )

= 2

n

(5log (

a

1

(18)

=

20. Jika P = _

21. Transpos dari matriks A ditulis AT

. Jika matriks A = _

, dan X memenuhi

(19)

Jawab:

22. Pada percobaan melempar dua buah dadu sekaligus, peluang munculnya dua mata dadu tidak lebih dari 6 adalah…..

A.

p(A) = peluang kejadian

n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A

(20)

jumlah kemungkinan mata dadu tidak berjumlah lebih dari enam terlihat pada tabel di atas berjumlah = 15 = n(A)

n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 6 x 6 = 36

P(A) = ) (

) (

S n

A n

= 36 15

= 12

5

23. Dari tabel hasil ujian matematika di bawah, jika nilai rata-ratanya adalah 6, maka x = ….

A. 0 C. 10 E. 20 B. 5 D. 15

Jawab:

Rata-rata = x =



f fx

=

10 70

40 20

10 . 10 8 . 6 . 70 5 . 40 4 . 20

   

x x

=

x x

  140

. 8 800

= 6

6 (140+x) = 800 + 8x 840 + 6x = 800 + 8x 840 – 800 = 8 x – 6x

40 = 2x x = 20

24. Persamaan kuadrat x2

- 6x + a = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂. Jika x₁, x₂ dan x₁ + x₂ adalah tiga suku pertama deret aritmetika, maka konstanta a = ….

A. 2 C. 6 E. 10

B. 4 D. 8

Jawab:

x2

- 6x + a = 0

x₁ + x₂ = -1

6 

= 6 x₁= 6 - x₂

x1. x2 = 1

a

= a

Nilai Ujian 4 5 6 8 10

(21)

Tiga suku pertama deret aritmetika:

x₁, x₂, x₁ + x₂

beda deret = x1 + x2 - x2 = x2 - x1

x₁ = x₂ - x₁

2 x₁ = x₂ ; x₁= 6 - x₂ 2(6 - x₂) = x₂

12 - 2 x₂ = x₂ 12 = 3 x2 x₂ = 4

x1= 6 - x2 = 6 – 4 = 2

a = x1. x2 = 2 . 4 = 8

25. Deret geometri tak hingga : (log(x-5))2

+ (log(x-5))3

+ (log(x-5))4 + ….. Mempunyai jumlah untuk x yang memenuhi…..

A. -1 <x < 1 C. 5 <x < 6 E. 5,1 <x < 15 B. 4 <x < 6 D. 5,1 <x < 6

Jawab:

Rasio deret (r) = 1 2 U U

= 1



n n U

U

= ₄

3

)) 5 (log(

  x x

= log(x-5)

Syarat deret tak hingga mempunyai nilai (konvergen) bila :

|r| < 1 atau -1 < r < 1

Sehingga

-1<log(x-5)<1 log 101

< log(x-5)<log 10 101

< x-5< 10 0,1 < x-5< 10 0,1+ 5 < x< 10 +5 5,1 < x< 15