www.purwantowahyudi.com Hal - 1
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA
SBMPTN/SNMPTN 2008
1. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f(x) g(x) = x2 - 3x untuk setiap bilangan real x. Jika g(1)=2, f'(1)= f(1), dan g'(1) = f(1), maka g' (1) = …
A. 2 C. 0 E. -3 B. 1 D. -1 Jawab: f(x) g(x) = x2 - 3x f(1) g(1) = 12 - 3.1 = -2 f(1) = g'(1) ; g(1)=2 g'(1) . 2 = -2 g'(1) = 2 2 = - 1 Jawabannya aadalah D
2. Jumlah akar- akar persamaan |x|2 - 2 |x| - 3 = 0 sama dengan….. A. -10 C. -1 E. 4 B. -3 D. 0
Jawab:
untuk nilai mutlak berlaku:
|x| 0 ; 0 ; x x jika x x jika
sehingga |x|2 - 2 |x| - 3 = 0 menjadi dua persamaan: 1. jika x 0 persamaannya menjadi : x2 - 2x – 3 = 0
( x - 3) (x+1) = 0 x = 3 atau x = -1
2. Jika x > 0 persamaannya menjadi (-x)2- 2(-x) - 3 = 0 x2 + 2x – 3 = 0
(x+3)(x-1) = 0 x = -3 atau x = 1
www.purwantowahyudi.com Hal - 2 3. Luas daerah yang dibatasi oleh 2 sinx, x =
2
, x = 2 3
dan sumbu x sama dengan…..
A. 1 satuan luas C. 3 satuan luas E. 5 satuan luas B. 2 satuan luas D. 4 satuan luas
Jawab: Luas = L I + L II =
2sin
2
xdx
+
2 3)
sin
2
(
xdx
=
2sin
2
xdx
2 3sin
2
xdx
= -2cos x 2 | + 2 cos x 2 3 | = -2 (-1-0) + 2 (0-(-1)) = 2 + 2 = 4 Jawabannya adalah D4. Diketahui x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan x2+ 5x + a dengan x
1 dan x2
kedua-duanya tidak sama dengan 0. Jika x1, 2x2 dan -3x1x2 masing-masing
merupakan suku pertama, suku kedua dan suku ketiga dari deret geometri dengan rasio positif, maka nilai a sama dengan….
A. -6 C. 6 E. 2 atau 3 B. 2 D. -6 dan 6 Jawab: x2+ 5x + a = 0 x1 + x2 = 1 5 = -5 x1 . x2 = 1 a = a
www.purwantowahyudi.com Hal - 3 Deret geometri: x1, 2x2, -3x1x2, … r = 1 2 2 x x = 2 2 1 2 3 x x x x2 = 2 1 4 3 x x1 + x2 = -5 x1 + ( 2 1 4 3 x ) = -5 4x1- 3 x12= -20 3 x12 - 4 x 1 - 20 = 0 (3 x1 - 10 )( x1 + 2) = 0 x1 = 3 10 atau x1 = -2 untuk x1 = 3 10 x1 + x2 = -5 x2= -5 - x1 = -5 - 3 10 = 3 10 15 = 3 25 r = 1 2 2 x x =
= - hasil negatif maka tidak berlaku
untuk x1 = -2 x2= -5 - x1 = -5 – (-2) = -3 r = 1 2 . 2 x x =
= + hasil positif maka berlaku
maka a = x1 . x2 = (-2) . (-3) = 6
Jawabannya adalah C
5. Jika f(2x+4)=x dan g(3-x)=x, maka nilai f(g(1)) + g(f(2)) sama dengan,,,, A. 2 C. 4 E. 6 B. 3 D. 5
Jawab: 1). f(2x+4)=x
www.purwantowahyudi.com Hal - 4 misal y = 2x+4 2x = y - 4 x = 2 4 y maka f(x) = 2 4 x …..(1) 2). g(3-x)=x misal y = 3 – x x = 3 – y maka g(x) = 3 – x …(2) ditanya : f(g(1)) + g(f(2)) = …? dari (1) didapat f(2) = 2 4 2 = -1 dari (2) didapat g(1) = 3 – 1 = 2 f(g(1)) = f(2) = 2 4 2 = -1 g(f(2)) = g(-1) = 3 – (-1) = 4 maka f(g(1)) + g(f(2)) = - 1 + 4 = 3 Jawabannya adalah B
6. Jika x = a, y = b dan z = c adalah penyelesaian dari sistem persamaan linear : x + y = 3
x + z = 4 y + z = 5
maka nilai a2 + b2 + c2 sama dengan …..
A. 6 C. 11 E. 19 B. 9 D. 14 Jawab: x + y = 3 …(1) x + z = 4 …(2) y + z = 5 .. .(3) substitusi (1) dan (2) x + y = 3 x + z = 4 - y – z = -1 …(4) substitusi (3) dan (4) y + z = 5 y – z = -1 - 2z = 6 z = 3 = c
www.purwantowahyudi.com Hal - 5 mencari y : y + z = 5 y = 5 – z y = 5 – 3 = 2 = b mencari x : x + y = 3 x = 3 – y x = 3 – 2 = 1 = a a2 + b2 + c2 = 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14 Jawabannya adalah D
7. Untuk 0 x 12 maka nilai x yang memenuhi persamaan cos 6 x 2 1 adalah…. A. 0 x 3 atau 6 x 9 B. 0 x 3 atau 6 x 12 C. 2 x 4 atau 8 x 10 D. 1 x 3 atau 9 x 11 E. 0 x 2 atau 10 x 12 Jawab: cos 6 x 2 1 ( cos 3 = 2 1 ) untuk 0 x 12 cos 6 x cos 3 cos 6 x = cos 3
. cos x = cos , maka x1,2= + k.360 0 atau cos x = cos , maka x1,2= + k.2
untuk x1 : 6 x = 3 + k.2 dibagi dengan 6 x = 3 1 + k.2 untuk k = 0 6 x = 3 1
www.purwantowahyudi.com Hal - 6 6 x = 6 2 x = 2 k = 1 6 x = 3 1 + .2 6 x = 3 7 6 x = 6 14
x = 14 tidak berlaku karena di luar range nilai 0 x 12 untuk x2 : 6 x = - 3 + k.2 dibagi dengan 6 x = - 3 1 + k.2
untuk k = 0 hasil x di luar range nilai | untuk k = 1 6 x = - 3 1 + 2 6 x = - 6 2 + 6 12 6 x = 6 10 x = 0
buat garis bilangan : ( masukkan nilai cos 6 x 2 1 ) ++++ -- - - + + + 0 2 10 12
Nilai x yang memenuhi : 0 x 2 atau 10 x 12 Jawabannya adalah E
* kalau ingin cepat bisa langsung dengan membuat garis bilangan dengan memasukkan nilai dari x = 0 sampai x = 12 pada cos
6 x 2 1
8. Suatu limas beraturan T.PQRS dengan TP= TQ= TR=TS= 21 cm dan PQRS adalah suatu persegi dengan panjang sisi 6 cm. Besar sudut antar bidang TQR dan bidang alas sama dengan….
A. 300 C. 600 E. 900 B. 450 D. 750
www.purwantowahyudi.com Hal - 7 Jawab: T 21 S R O 3 A P 6 Q perhatikan TAO : cos = TA OA OA = 2 1 PQ = 3 TA = 2 2 AR TR TR = 21 ; AR = 2 1 QR = 3 TA = 2 2 3 ) 21 ( = 219 = 12 = 2 3 cos = 3 2 3 = 2 3 3 1 3 = 3 2 1 = 300 Jawabannya adalah A 9. Jika cos a = 3 1 untuk 2 3 < a < 2, dan sin b = 3 2 untuk 2 < b < , maka b a b a tan tan ) sin( sama dengan….. A. 7 9 1 C. 3 4 1 E. 2 6 1 B. 7 9 1 D. 3 4 1 Jawab: cos a = 3 1 untuk 2 3
< a < 2, berada di kuadran IV maka cos a bernilai positif = 3 1 sin b = 3 2 untuk 2
< b < , berada di kuadran II maka sin b bernilai positif dan cos b bernilai negatif
www.purwantowahyudi.com Hal - 8 sin b = 3 2 = r y = miring panjang vertikal panjang _ _ cos b = r x = miring panjang datar panjang _ _ x = 2 2 ) 2 ( 3 = 92 = 7 cos b = 3 7
karena berada di kuadaran II maka nilainya negatif: cos b = - 3 7 3 2 x b a b a tan tan ) sin( = b b a a b a b a cos sin cos sin cos cos cos sin = b a b a b a b a b a cos cos sin cos cos sin sin cos cos sin
= (sin a cos b+ cos a sin b) .
b b a b a sin cos cos sin cos cos = cos a cos b = 3 1 . - 3 7 = - 9 7 = - 7 9 1 Jawabannya adalah A
10. Diketahui segitiga ABC, dengan AB= 1 cm, BC = 2 cm dan AC = k cm. Jika adalah sudut ACB, maka nilai-nilai k yang memenuhi cos <
8 7 adalah…. A. 2 2 3 k C. 1 2 1 k E. 2 3 0k B. 2 2 3 k atau k < 0 D. 1 2 1 k atau k < 0 Jawab: B 1 cm 2 cm A C k cm
Gunakan aturan cosinus:
www.purwantowahyudi.com Hal - 9 12 = k2 + 22 - 2 . k . 2 . cos 4 k cos = k2 + 4 – 1 cos = k k 4 3 2 cos < 8 7 maka k k 4 3 2 < 8 7 k k2 3 < 2 7 k k2 3 - 2 7 < 0 k k k 2 7 6 2 2 < 0 k k k 2 ) 2 )( 3 2 ( < 0
nilai uji coba k = 2 3
; k = 2 dan k = 0 buat garis bilangan:
- - - - ++++ ++++++++ - - - + + + 0 3/2 2 hasilnya adalah k < 0 atau
2 3
< k < 2
nilai k harus > 0 maka nilai yang benar adalah 2 3 < k < 2 Jawabannya adalah A 11. Diketahui matriks A = 1 0 1 2 dan I = 1 0 0 1
. Bilangan yang maemenuhi | A -I | = 0 adalah …..
A. -1 atau 0 C. -1 atau 2 E. -1 atau 3 B. 1 atau 3 D. 2 atau 3 Jawab: 0 1 0 1 . 1 0 1 2 = 0
www.purwantowahyudi.com Hal - 10 0 0 . 1 0 1 2 = 0 . 1 0 1 2 = 0 ad – bc = 0 determinan (2 - ) (-1-) - 0 = 0 = 2 atau = - 1 Jawabannya adalah C
12. Jumlah nilai-nilai m yang mengakibatkan persamaan kuadrat mx2- (3m+1)x + (2m+2) = 0 mempunyai akar-akar dengan perbandingan 3:4 adalah….
A. 6 7 C. 3 11 E. 6 5 B. 5 13 D. 2 3 Jawab: x1 : x2 = 3 : 4 x1 = 4 3 x2 x1 + x2 = a b = m m 1 3 4 3 x2 + x2 = m m 1 3 4 7 x2 = m m 1 3 x2 = 7 4 m m 1 3 x1. x2 = a c = m m 2 2 4 3 x2 2 = m m 2 2 4 3 x2 2 = m m 2 2 4 3 2 7 4 3 1 2 m m = m m 2 2 4 3 49 16 2 2 ) 1 3 ( m m = m m 2 2
www.purwantowahyudi.com Hal - 11 49 12 (3m+1)2 = m (2m+2) 12 ( 9m2+ 6m + 1) = 49 ( 2m2 + 2m) 108m2 + 72m + 12 = 98 m2 + 98m (108 – 98)m2+ (72 – 98) m + 12 = 0 10m2 - 26 m + 12 = 0 dibagi 2 5m2 - 13 m + 6 = 0 m1 + m2 = a b = 5 13 Jawabannya adalah B
13. Nilai m+n yang mengakibatkan x4 - 6ax3+ 8a2x2 - ma3x +na4 habis dibagi (x-a)2
adalah….
A. 2 C. 0 E. -2 B. 1 D. -1
Jawab:
Gunakan metoda Horner:
* (x-a)2 = (x-a) (x-a)
* habis dibagi berarti sisanya adalah 0
x =a 1 -6a 8a2 - ma3 na4 a -5a2 3a3 (3a4-m a4) + 1 -5a 3a2 (3 a3-m a3) (3 a4-m a4+n a4) = sisa = 0 …(1) x =a 1 -5a 3a2 (3 – m)a3 a -4a2 -a3 1 -4a -a2 (3 a3-m a3 - a3) = sisa = 0 …(2) dari (2) didapat: 3 a3-m a3 - a3 = 2 a3 - m a3 = 0 2 a3 = m a3 m = 2
www.purwantowahyudi.com Hal - 12 masukkan nilai m = 2 ke dalam (1)
3 a4- m a4+n a4= 0 3 a4- 2 a4+n a4= 0 a4 + n a4= 0 - a4 = n a4 n = -1 maka m + n = 2 – 1 = 1 Jawabannya adalah B
14. Perhatikan kurva y = ax + bx2, a dan b konstan. Jika garis singgung kurva ini pada titik (1,0) sejajar dengan garis 2x – y + 3 = 0, maka a + 3b sama dengan….
A. - 2 C. 4 E. 8 B. 2 D. 6
Jawab:
Kurva y = ax + bx2 sejajar dengan garis 2x – y + 3 = 0
2x – y + 3 = 0 y = 2x + 3 didapat gradien = m = 2 karena sejajar maka gradien garis = gradien kurva Gradien kurva = 2 = dx dy = a + 2bx di titik (1,0) 2 = a + 2b.1 2 = a + 2b ……(1)
kurva y = ax + bx2 melalui titik (1,0) maka: 0 = a. 1 + b . 12 0 = a’ + b a = -b ….(2) substitusi (1) dan (2) 2 = -b + 2b 2 = b mencari a: masukkan nilai b ke (1) 2 = a + 2b 2 = a + 4 a = -2 maka a + 3b = -2 + 3.2 = 4 Jawabannya adalah C
www.purwantowahyudi.com Hal - 13 15. Jika a2 dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - (b2-1)x + b = 0. Himpunan
nilai-nilai a+b adalah….
A. {-3,0,1,2} C. {-1,0,2,3} E. {-2,-1,0,3} B. {-2,0,1,3} D. {0,1,2,3}
Jawab:
karena a2 dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat maka:
a2 + b = a b = b2-1 b2-b - a2- 1 = 0 …(1) a2. b = a c = b a2. b = b a2 = 1 a = 1 …(2) masukkan nilai a = 1 ke (1) untuk a = 1 : b2-b - a2- 1 = 0 b2 - b - 2 = 0 (b + 1) (b – 2) = 0 b = -1 atau b = 2 untuk a = -1 b2-b - a2 - 1 = 0 b2 - b - 2 = 0 (b + 1) (b – 2) = 0 b = -1 atau b = 2 nilai-nilai a + b untuk a = 1 1 + (-1) = 0 dan 1+ 2 = 3 untuk a = -1 -1 + (-1) = -2 dan -1 + 2 = 1
jadi himpunan nilai-nilai a + b = { -2, 0, 1 , 3 } Jawabannya adalah B