Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kota 2015 (Bagian B) www.olimattohir.blogspot.com

(1)

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI

TINGKAT KABUPATEN / KOTA

TAHUN 2015

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT

7 Maret 2015

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1. Misalkan x adalah suatu bilangan bulat dan x2 + 5x + 6 adalah suatu bilangan prima, maka nilai x adalah ....

Pembahasan: –1 atau –4

Misalkan suatu bilangan prima = P

x2 + 5x + 6 = P  x2 + 5x + 6 – P = 0

 x2 + 5x + (6 – P) = 0

Kemudian mencari dua bilangan yang menjadi faktor dari (6 – P) dan apabila dijumlahkan sama dengan 5, misalkan dua bilangan tersebut adalah a dan b, maka didapat sebagai berikut.

a × b = 6 – P, dan a + b = 5 Sehingga a × b = 6 – P

a(5 – a) = 6 – P (b = 5 – a) Kemungkinan I a = 1 dan 5 –a = 6 –P Sehingga P–a = 1

P– 1 = 1 (a = 1) P = 2

Dengan demikian,

x2 + 5x + (6 – 2) = 0 x2 + 5x + 4 = 0 (x + 1)(x + 4) = 0 x = –1 atau x = –4

Kemungkinan II a = 6 –P dan 5 –a = 1

P + a = 6 dan a = 4 Sehingga P + a = 6

P + 4 = 6 (a = 4)

(2)

Dengan demikian,

x2 + 5x + (6 – 2) = 0

x2 + 5x + 4 = 0 (x + 1)(x + 4) = 0

x = –1 atau x = –4

Jadi, baik kemungkinan I maupun kemungkinan II nilai x adalah –1 atau –4

2. Parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–2, 6) dan mempunyai sumbu simetri x = –1. Jika a, b, dan c merupakan bilangan genap positif berurutan, maka nilai a + b + c adalah ....

Pembahasan: 12

Diketahui parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–2, 6) dan mempunyai sumbu simetri x = –1 sumbu simetri dari parabola y = ax2 + bx + c adalah x =

a b 2 

–1 = a b 2

 (x = –1)

2a = b

Sehingga karena b = 2a, titik yang dilalui parabola tersebut adalah (–2, 6), maka y = ax2 + bx + c  6 = a(–2)2 + (2a)( –2) + c

 6 = 4a – 4a + c

 c = 6

Karena a, b, dan c merupakan bilangan genap positif berurutan, maka b = 4 dan a = 2 Dengan demikian a + b + c = 2 + 4 + 6 = 12

Jadi, nilai a + b + c adalah 12

3. Perhatikan gambar berikut.

Titik P, Q, dan R masing-masing adalah titik singgung lingkaran pada sisi-sisi ACD. Diketahui

SDR = 60, panjang SR = panjang SQ = 1 cm, dan panjang RD = ₃3 cm. Jika ABC sama kaki, maka luas ABC adalah .... cm2

Pembahasan: (12 + 7 3) cm2

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

A

B

C _D

P

R

(3)

Diketahui SDR = 60, sehingga PCD = 30

ABC sama kaki, sehingga ABC = 30 dan ADB = 60

panjang RD = ₃3 cm, sehingga panjang SD = ₃2

3

dan PD = 3₃2 3

Perhatikan PCD. Dengan menggunakan konsep perbandingan sudut 30 dan 60 pada segitiga

siku-siku, maka panjang PC = 2 + 3 dan panjang DC = 6₃4 3

Sehingga karena ADC adalah segitiga sama kaki (Perhatikan gambar ADC di atas dan besar

sudut kaki-kaki), maka panjang AD = 6₃4 3 dan panjang AC = 4 + 2 3

Perhatikan ABD. Dengan menggunakan konsep perbandingan sudut 30 dan 60 pada segitiga siku-siku, maka panjang AB = 4 + 2 3

Kemudian mencari luas ABC dengan memperhatikan ACD dan ABD Luas ABC = Luas ACD + Luas ABD

4. Dua botol yang berukuran sama berisi penuh dengan larutan gula. Rasio kandungan gula dan air pada botol pertama adalah 2 : 11 dan pada botol kedua adalah 3 : 5. Jika isi kedua botol tersebut dicampurkan, maka rasio kendungan gula dan air hasil campurannya adalah ....

Pembahasan: 55 : 153

Misalkan kandungan gula pada botol pertama = g1 kandungan air pada botol pertama = a1

(4)

kandungan gula pada botol kedua = g2 kandungan air pada botol kedua = a2 kandungan gula hasil campuran = g kandungan air hasil campuran = a

sehingga g1 : a1 = 2 : 11  g1 =

Dengan demikian hasil campurannya

g = g1 + g2 =

Jadi, rasio kendungan gula dan air hasil campurannya adalah 55 : 153

5. Misalkan f(x) = 209 – x2. Jika terdapat dua bilangan bulat positif a dan b dengan a < b sehingga adalah 690, maka suku ke-2015 barisan tersebut adalah ....

Pembahasan: 10080

Diketahui Jika jumlah 4 suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 70 dan jumlah 12 suku berikutnya adalah 690, maka dapat di uraikan seperti permisalan berikut:

(5)

2. Deret ke-12 suku berikutnya: a + 4b, a + 5b, a + 6b, .... , a + 14b, a + 15b

Sehingga jumlahnya (a + 4b) + (a + 5b) + (a + 6b) + .... (a + 14b) + (a + 15b) = 690 12a + 114b = 690

2a + 19b = 115 .... (2) Berdasarkan persamaan (1) dan (2), didapat

2a + 3b = 35 2a + 19b = 115 – 16b = –80

b = 5, sehinga a = 10

Dengan demikian U2015 = a + (n – 1)b = 10 + (2015 – 1)5 = 10 + (2014)5 = 10 + 10070 U2015 = 10080

Jadi, suku ke-2015 barisan tersebut adalah 10080

7. Diketahui sebuah prisma yang dibentuk oleh bidang-bidang sisi berupa: dua trapesium yang kongruen ABFE dan DCGH. Jika AB sejajar EF, panjang AE = panjang BF, panjang AB = 2 kali panjang EF, panjang AP = panjang PB = panjang DQ = panjang QC, AD  AB dan EH  EF, maka perbandingan volume prisma APE.DQH dan prisma PBFE.QCGH adalah ....

Pembahasan: 1 : 2

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Misalkan AP = PB = EF = a dan BC = FG = b Perhatikan prisma APE.DQH.

B P

A

C G

F E

D Q

H

B P

A

C G

F E

D Q

H

a a

b b

a

b

(6)

Volume prisma APE.DQH = Luas alas × tinggi

= ( 2 1

a × t) × b

= 2 1

abt

Perhatikan prisma PBFE.QCGH.

Volume prisma PBFE.QCGH = Luas alas × tinggi = (a × b) × t

= abt

Dengan demikian

QCGH PBFE

Volume

DQH APE Volume

. .

= abt

abt

2 1

= 2 1

Jadi, perbandingan volume prisma APE.DQH dan prisma PBFE.QCGH adalah 1 : 2

8. Mulai tahun ini materi OSN SMP bidang Fisika dan Biologi digabung menjadi satu, yaitu IPA, sehingga wakil dari setiap sekolah tahun ini maksimum 3 orang. Diketahui bahwa di Sekolah Teladan terdapat 6 calon siswa yang siap dikirim untuk mengikuti lomba OSN SMP dengan kemampuan sebagai beriku.

Siswa A : Siap mewakili bidang lomba Matematika, IPA, atau IPS Siswa B dan C : Siap mewakili bidang lomba Matematika atau IPA Siswa D : Siap mewakili bidang lomba Matematika atau IPS Siswa E : Siap mewakili bidang lomba IPA atau IPS

Siswa F : Siap mewakili bidang lomba IPS

Siswa A dan B merupakan saudara kandung, sehingga sekolah mengambil kebijakan yakni tidak mengijinkan dua orang yang bersaudara untuk mewakili sekolah (artinya jika A terpilih maka B tidak terpilih, begitu pula sebaliknya). Jika Sekolah Teladan memutuskan untuk mengirimkan 3 siswa untuk mengikuti semua bidang lomba, maka cara yang mungkin untuk memilih wakil sekolah tersebut ke OSN SMP tahun ini ada sebanyak ....

Pembahasan: 28 cara

Misalkan Siswa A = A Siswa B = B Siswa C = C Siswa D = D Siswa E = E Siswa F = F

Diketahui Siswa A dan B merupakan saudara kandung, sehingga sekolah mengambil kebijakan yakni tidak mengijinkan dua orang yang bersaudara untuk mewakili sekolah, dengan demikian perjatikan tabel berikut:

No.

Bidang Lomba

Keterangan

Matematika IPA IPS

A, B, C, D A, B, C, E A, D, E, F

1 A C D ada 3 cara

2 A C E ada 3 cara

(7)

No.

Bidang Lomba

Keterangan

Matematika IPA IPS

A, B, C, D A, B, C, E A, D, E, F

4 A E D ada 3 cara

5 A E F ada 1 cara

6 B C D ada 2 cara

7 B C E ada 2 cara

8 B C F ada 2 cara

9 B E D ada 2 cara

10 B E F ada 1 cara

11 C E D ada 2 cara

12 C E F ada 1 cara

13 D A F ada 1 cara

14 D B F ada 1 cara

15 D C F ada 1 cara

16 D E F ada 1 cara

Total ada 28 cara

Jadi, cara yang mungkin untuk memilih wakil sekolah tersebut ke OSN SMP tahun ini ada sebanyak 28 cara

9. Sebuah ABC dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian dicerminkan lagi terhadap garis y = 3 sehingga hasil pencerminannya adalah A’B’C’. Jika koordinat titik-titik A’(8,0), B’(8,–4), dan C’(4,0), maka koordinat titik-titik A, B, dan C berturut-turut adalah ....

Pembahasan: A(–8,6), B(–8,10), dan C(–4,6)

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Diketahui koordinat titik-titik A’(8,0), B’(8,–4), dan C’(4,0)

Dimisalkan koordinat titik-titik sebelum dicerminkan pada garis y = 3, yakni titik-titik A2(8,6), B2(8,10), dan C2(4,6)

Sehingga koordinat titik-titik sebelum dicerminkan pada garis sumbu y adalah titik-titik A(–8,6), B(–8,10), dan C(–4,6)

(8)

10. Tini ingin membuat gelang dari bahan manik-manik berwarna-warni yang terdiri dari masing-masing 3 butir manik-manik berwarna merah, kuning, hijau, biru, dn putih. Ia ingin menyusun manik-manik tersebut sedemikian rupa sehingga di antara 2 manik-manik berwarna putih selalu terdapat 4 manik-manik berwarna selain putih. Banyak susunan gelang yang mungkin untuk dibuat adalah ....

Pembahasan: 61608 cara

Perhatikan ilustrasi gambar gelang berikut ini.

Misalkan Putih = P = 3 Merah = M = 3 Kuning = K = 3 Hijau = H = 3 Biru = B = 3

Dikatahui di antara 2 manik-manik berwarna putih selalu terdapat 4 manik-manik berwarna selain putih. Sehingga yang dicari aadalah susunan warna manik-manik yang berwarna selalin putih, yaitu sebanyak M + K + H + B = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Kemudian kita perhatikan, susunan warna manik-manik pada lokasi I, II, dan III memiliki unsur yang sama, sehingga susunan warna manik-manik tersebut membentuk permutasi berulang, karena ada 12 unsur dengan 3 unsur yang muncul.

Perhatikan susunan warna manik pada lokasi I, II, dan III. Apabila susunan warna manik-manik pada lokasi I di pindah ke lokasi II, dan susunan warna manik-manik-manik-manik pada lokasi II di pindah ke lokasi III serta susunan warna manik-manik pada lokasi III di pidah ke lokasi I, maka

perputaran warna tersebut dianggap sama dan warnanya dibolak-balikpun juga sama, sehingga permutasi siklis tersebut harus dibagi 6 (diagi 3 dan dibagi 2). Akan tetapi masih ada satu susunan lagi yang harus ditambahkan yaitu susunan warna berbeda pada ke-3 lokasi tersebut,

yakni

_{ }

3 ! 4 6 ! 3 ! 3 ! 3 ! 3

! 12

   

 = 61600 + 8 = 61608

Jadi, banyak susunan gelang yang mungkin untuk dibuat adalah 61608 cara

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com

Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://olimattohir.blogspot.co.id/

I