Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kota 2016 (Bagian B) www.olimattohir.blogspot.com

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA

TAHUN 2016

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT 5 Maret 2016

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1. Nilai dari

3 2 9 3 .... 18 6 2 9 3 1 4 2 .... 8 4 2 4 2 1                         n n n n n n adalah .... Pembahasan: 9 4 3 2 9 3 .... 18 6 2 9 3 1 4 2 .... 8 4 2 4 2 1                         n n n n n n =









3 2 3 3 .... 16 8 1 9 3 1 .... 16 8 1 4 2 1                     n n = 3 2 9 3 1 4 2 1           = 3 2 3 3 3 2       =

 

 

3 23 3 2 3 3 2

= ₂

2 3 2 = 9 4

Jadi, nilai dari

3 2 9 3 .... 18 6 2 9 3 1 4 2 .... 8 4 2 4 2 1                         n n n n n n adalah 9 4

2. Bilangan bulat terbesar n agar 2 · 6 · 10 · 14 · 18 · ... · 198 dapat dibagi 6nadalah ....

2 · 6 · 10 · 14 · 18 · ... · 198

= (2×1) · (2×3) · (2×5) · (2×7) · (2×9) · ... · (2×99)

bilangan 2 sebanyak = 2 100

= 50

= 250 · (1 · 3 · 5 · 7 · 9 · ... · 99)

= 250 · (3 · 9 · 15 · 21 · 27 · 33 · 39 · 45 · 51 · 57 · 63 · 69 · 75 · 81 · 87 · 93 · 99) × (1 · 5 · 7 · 11 · ... · 97)

= 250 · (3×1) · (32) · (3×5) · (3×7) · (33) · (3×11) · (3×13) · (32×5) · (3×17) · (3×19) · (32×7) · (3×23) · (3×25) · (34) · (3×29) · (3×31) · (32×11) × (1 · 5 · 7 · 11 · ... · 97)

bilangan 3 sebanyak = 26

= 250 · 326 · (1 · 5 · 9 · ... · 97) = 224 · 226 · 326 · (1 · 5 · 9 · ... · 97) = 226 · 326 · 224 · (1 · 5 · 9 · ... · 97) = (2· 3)26 · 224 · (1 · 5 · 9 · ... · 97) = 626 · 224 · (1 · 5 · 9 · ... · 97)

Jadi, bilangan bulat terbesar n agar 2 · 6 · 10 · 14 · 18 · ... · 198 dapat dibagi 6n adalah 26

3. Ketika suatu segitiga siku-siku diputar pada salah satu sisi siku-sikunya, maka diperoleh kerucut dengan volume 392π cm3. Bila diputar pada sisi siku-siku lainnya, diperoleh kerucut dengan volume 1344πcm3. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah .... cm.

Pembahasan: 25 cm

Perhatikan iludtrasi gambar berikut

Vi = 3 1

π a2b dan Vii =

3 1

π b2a

Kemudian mencari pola penyelesaian dari hubungan kedua volune kerucut tersebut, yakni

sebagai berikut.

a b

b a V

V

ii i

2 3 1

2 3 1

 

 

 

1344 392

=

) (

) (

3 1

3 1

ab b

ab a

 



24 7

=

b a

Artinya bahwa nilai a = 7n dan b = 24n dengan n bilangan bulat

Kemudian mencari nilai n dengan cara mensubstutusikan kesalah satu volume gambar (i) atau (ii), yakni sebagai berikut.

Vi = 3 1

π a2b 392π =

3 1

π (7n)2 (24n)

a

b c

(i)

a

b c

 392 = (7n)2 (8n)  392 = 392n3

 n = 1

Dengan demikian, panjang a = 7(1) = 7 cm dan b = 24(1) = 24 cm. Dengan pytagoras dicapat panjang c = 25 cm

Jadi, panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 25 cm

4. Suatu balok tersusun atas kubus satuan seperti pada gambar di samping. Balok tersebut dipancung sepanjang permukaan bangun datar yang dicetak tebal. Luas permukaan balok terpancung adalah .... satuan luas.

Pembahasan: 216 satuan luas

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Dengan pytahgoras didapat panjang bangun datar yang dicetak tebal (persegipanjang) = 5 dan lebarnya = 3. Sehingga luasnya = 5 × 3 = 15 satuan luas.

Balok terpancung terdapat pada gambar (c), sehingga luas permukaannnya sebagai berikut.

Luas gambar (c) = Luas gambar (a) – Luas gambar (b) tanpa luas persegi panjang + Luas persegipanjang

= 2(11×3 + 11×6 + 3×6) – (2×

2 1

×3×4 + 3×3 + 3×4) + (3×5)

= 2(33 + 66 + 18) – (12 + 9 + 12) + (15) = 234 – 33 + 15

= 216

Jadi, Luas permukaan balok terpancung adalah 216 satuan luas

5. Diketahui barisan fungsi f₁

     

x,f₂ x ,f₃ x,.... sedemikian sehingga f₁

 

x xdan

 

 

x f x

f

n n

  

1 1

1 untuk bilangan n≥ 1. Nilai dari f2016



2016



....

Pembahasan: 2016 2015

Diketahui f₁

 

x x dan

 

 

x

f x

f

n

n  _

1 1

1 untuk bilangan n≥ 1

Kemudian mencari pola dari deret fungsi f, sebagai berikut.

 

x x

f₁ 

 

 

x x

f x

f

  



1 1 1

1

1 2

 

 

x x

x x

f x

f 1

1 1 1

1 1

1

2 3

     



 

 

x

x x x

f x

f 

   



1 1

1 1

1

3 4

... ... ..

dan seterusnya akan berulang setiap 3 suku..

Sehingga untuk f₂₀₁₆



2016



, cukup 2016 : 3 = 672 (habis dibagi 3)

Dengan demikian, f₂₀₁₆



2016



terdapat pada suku ke-3 yaitu f₂₀₁₆



2016



=

2016 1 2016

=

2016 2015

Jadi, nilai dari





2016 2015 2016

2016 

f

6. Jika akar-akar persamaan



2016x

 

2  20152017



x10 adalah m dan n dengan m > n, serta akar-akar persamaan x22015x20160 adalah a dan b dengan a > b, maka m–b = ....

Pembahasan: 2017



2016x

 

2 20152017



x10 



2016x

 

2 20161



20161



x1= 0





2016x



2



201621



x1 = 0  20162x2



201621



x1 = 0 



20162x1





x1



= 0

 sehingga x = ₂

2016 1

 atau x = 1

Diketahui m dan n merupakan akar-akar persamaan kuadratnya dan m > n, maka m = 1

0 2016 2015

2  

x

x 



x2016



x1



= 0

 sehingga x = –2016 atau x = 1

Diketahui a dan b merupakan akar-akar persamaan kuadratnya dan a > b, maka b = –2016 Dengan demikian, m–b = 1 – (– 2016) = 1 + 2016 = 2017

Jadi, maka m – b = 2017

7. Diketahui suatu barisan dengan suku ke-n adalah a n dengan

  

 

  

k n untuk k

k n untuk k

a_n

2 51

1 2 3

Jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah ....

Pembahasan: 5100

n = 3, k = 2 a3 = 6 n = 4, k = 2 a4 = 49 n = 5, k = 3 a5 = 9 n = 6, k = 3 a6 = 48

... ... ...

dan seterusnya

Berdasarkan pola di atas, terdapat dua kelompok barisan dengan beda tetap, yaitu a) 3, 6, 9, ..., 3n

b) 50, 49, 48, ...., 51 –n

Sehingga untuk mengetahui jumlah 100 suku pertama, cukup mengetahui jumlah 50 suku pertama dari masing-masing deret tersebut.

a) 3 + 6 + 9 + ... + 150 = 25(6 + 49×3) = 25(153) = 3825 b) 50 + 49 + 48 + .... + 1 = 25[100 + 49×(–1)] = 25(51) = 1275

Dengan demikian total jumlah 100 suku pertama = 3825 + 1275 = 5100

Jadi, jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah 5100

8. Misalkan x dan y merupakan bilangan asli berbeda yang memenuhi 4x + 7y = 2016. Banyak pasangan (x, y) yang mungkin adalah ....

Pembahasan: 71

4x + 7y = 2016 4x + 7y = 2016

7y = –4x + 2016 4x = –7y + 2016

y =

7 4

 x + 288 x =

4 7

 y + 504

Karena x dan y merupakan bilangan asli berbeda, maka nilai x harus kelipatan 7 dan nilai y harus kelipatan 4. Kemudian, berdasarkan kedua persamaan di atas, dapat ditentukan juga bahwa nilai

x maksimal adalah 504 – 7 = 497 dan nilai y maksimal adalah 288 – 4 = 284

Dengan demikian, banyak nilai x =

7 497

= 71 atau banyak nilai y =

4 284

= 71

Akan tetapi, perlu kita selidiki apakah ada nilai x yang sama dengan nilai y, misalkan x = y maka 4x + 7x = 2016  11x = 2016  x = 183,27 (bukan bilangan asli), oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa x≠ y

Jadi, Banyak pasangan (x, y) yang mungkin adalah 71

9. Delapan buku yang berbeda akan dibagikan kepada tiga orang siswa A, B, dan C sehingga berturut-turut mereka menerima 4 buku, 2 buku, dan 2 buku. Banyak cara pembagian buku tersebut adalah ....

Pembahasan: 420 cara

Diantara 8 buku berbeda masing-masing anak A, B, dan C sudah ditentukan banyak buku yang

akan mereka dapatkan, yaitu masing-masing akan mendapatkan 4 buku, 2 buku, dan 2 buku.

Sehingga banyak cara pembagian buku yang akan mereka dapatkan dari delapan buku tersebut

sebanyak = 8C4 × 4C2 × 2C2 = ! 4 ! 4

! 8

×

! 2 ! 2

! 4

×

! 2 ! 0

! 2

= 70×6×1 = 420

10. Di kelas VIII terdapat 11 siswa. Pada saat ulangan Matematika, ada satu orang siswa yang sakit sehingga harus mengikuti ulangan susulan. Nilai 10 siswa yang mengikuti ulangan pada waktunya adalah 20, 10, 40, 80, 50, 60, 40, 70, 90, dan 30. Jika nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan diperhitungkan, maka rata-rata nilai yang diperoleh sama dengan median. Nilai terbesar yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah ....

Pembahasan: 60

Diketahui nilai 10 siswa yang mengikuti ulangan pada waktunya adalah 20, 10, 40, 80, 50, 60, 40, 70, 90, dan 30.

Jika data tersebut diurutkan: 10, 20, 30, 40, 40, 50, 60, 70, 80, 90

Diketahui juga nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan diperhitungkan, maka rata-rata nilai yang diperoleh sama dengan median.

Misalkan nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan adalah a

Sehingga, median = nilai rata-rata

Total jumlah dari 10 + 20 + 30 + 40 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 490

11 490 

a

= Median (Me)

11 490 

a

= Me

a + 490 = 11Me

a = 11Me– 490

Dengan mempehatikan data yang ada, maka kemungkinan nilai Mediannya 49 ≤ Me≤ 50 Selanjutnya, kita selidiki satu-persatu apakah mediannya sama dengan rata-ratanya

Untuk Me = 49 a = 11Me– 490 a = 11(49)– 490 a = 539– 490 a = 49

Sehingga urutan datanya: 10, 20, 30, 40, 40, 49, 50, 60, 70, 80, 90 Median = rata-rata = 49 dan a = 49

Untuk Me = 50 a = 11Me– 490 a = 11(50)– 490 a = 550– 490 a = 60

Sehingga urutan datanya: 10, 20, 30, 40, 40, 50, 60, 60, 70, 80, 90 Median = rata-rata = 50 dan a = 60

Karena yang diminta oleh soal merupakan nilai terbesar untuk nilai a, maka a yang digunakan adalah a = 60

Jadi, nilai terbesar yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah 60