PEMBAHASAN SOAL OSK MATEMATIKA SMP 2016

(1)

PEMBAHASAN SOAL

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN

TAHUN 2016

BIDANG MATEMATIKA

BAGIAN A: PILIHAN GANDA

1. Nilai dari

)

1

2016

(

2020

2015

)

16

2016

(

2017

2 2









_{adalah ... .}

A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015 Jawaban: A Pembahasan:

Misalkan 2016 = x, maka

4

)

1

(

)

4

(

)

4

)(

4

(

)

1

(

)

1

(

)

4

(

)

1

(

)

16

(

)

1

(

)

1

2016

(

2020

2015

)

16

2016

(

2017

2 2 2 2 2 2













































x

Jadi nilainya 2016 – 4 = 2012

2. Misalkan

 

x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x.

Jika 1010 10 ... 1003 3 1002 2 1001 1 2     

x , maka

 

x = ...

A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 Jawaban: C Pembahasan:

Nilai minimum untuk x adalah 36,4

55 2002 1001 55 2 1001 10 ... 1001 3 1001 2 1001 1 2         x

Nilai maksimum untuk x adalah 36,73

55 2020 1010 55 2 1010 10 ... 1010 3 1010 2 1010 1 2         x

Artinya

36

,

4



x



36

,

73

.

(2)

3. Jika n! = n . (n – 1).(n – 2) . ... . 2 .1, maka

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ...+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = ... A. (n – 1)! + 1

B. (n + 1 )! – 1 C. (n + 1)! + 1 D. n! + n

Jawaban: B Pembahasan:

Perhatikan pola berikut: 1 . 1! = 1

1 . 1! + 2 . 2! =1 + 4 = 5 = 6 – 1 = 3! - 1

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! = 5 + 18 = 23 = 24 – 1 = 4! – 1

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! = 23 + 96 = 119 = 120 – 1 = 5! – 1 ...

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ...+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = (n + 1)! - 1

4. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F

adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC

adalah ... cm2

A. 74,00 B. 72,25 C. 68,00 D. 63,75

Jawaban: B Pembahasan:

Gunakan teorema Pythagoras pada segitiga BCE diperoleh BE = 15 cm, sehingga AE = 2 cm. Perhatikan bahwa segitiga AEF sebangun dengan segitiga BCE, sehingga,

4

3

8

2

15



AF

BC

AE

BE

AF

(3)

L = 17 x 8 – ½ .8.15 – ½ .2. 3 ¾ L = 72,25

Jadi luas segiempat EFDC adalah 72,25 cm2

5. Diketahui dua titik A(1,1) dan B(12, - 1). Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B. Jarak antara titik A dan garis l adalah ... satuan panjang.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Jawaban: B Pembahasan:

Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B(12, - 1) adalah

y – (-1) = – ¾ (x – 12)

y + 1 = – ¾ x + 9 4y + 4 = -3x + 36 3x + 4y – 32 = 0

Jarak titik A (1,1) terhadap garis l dicari dengan

5 5 25

4 3

32 1 . 4 1 . 3

2

2  

   

d

Jadi jarak titik A (1,1) terhadap garis l adalah 5 satuan

6. Perhatikan gambar di samping. Jika BE = 2 cm, EF = 6 cm, dan FC = 4 cm, maka panjang DE adalah ... cm

A.

4

6

B.

3

6

C.

4

3

D.

3

2

Jawaban: D Pembahasan:

Gunakan kesebangunan pada segitiga ABC dengan garis tinggi AF didapat

AF2_{= BF x CF}

(4)

AF = 32 4 2

Karena segitiga BDE dan BCA sebangun, maka

3 3 2

12 2

3 4

 

DE DE

Jadi panjang DE adalah

3

2

cm.

7. Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 15 m. Di samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi 1m yang mempunyai bayangan sepanjang 3 m. Radius bola tersebut adalah ... m.

A.

3 10

15 

B.

3 10

15 

C.

2 5

10 

D.

2 5

10 

Jawaban: A Pembahasan:

Gunakan Teorema Pythagoras pada segitiga ABC diperoleh AC = 10m



ABC sebangun dengan



EFG sehingga:

5 3 15 1

  

EF EF

BC FG AB EF

dan,

10

5

1

5

0

1



EG

AB

EF

AC

EG

Sehingga

15 10

5 



(5)

Segitiga EDO sebangun segitiga EFG, sehingga

3

10

15

3

10

1

15

3

10

9

10

15

3

10

3

10

1

3

10

15

1

3

10

15

5

15

10

5

15































r

EF

ED

FG

OD

8. Banyak bilangan real x yang memenuhi

x

2016



x

2014



x

2015



x

2013 adalah ... . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Jawaban: D Pembahasan:

0

)

)(

1

(

)

1

(

0

)

)(

1

)(

1

)(

1

(

0

)

)(

1

)(

1

(

0

)

)(

1

(

0

)

(

)

(

2013 2 2013 2013 2 2013 2015 2013 2015 2013 2015 2013 2015 2014 2016





























x

x = 1, atau x = -1, atau x = 0

Jadi ada 3 bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut.

9. Jika sistem persamaan

mx + 3y = 21 4x – 3y = 0

Memiliki penyelesaian bilangan bulat x dan y, maka nilai m + x + y yang mungkin adalah ... .

(6)

Jawaban: B Pembahasan:

mx + 3y = 21

4x – 3y = 0 y =

x

3

4

Kedua persamaan di atas dijumlahkan diperoleh (m + 4) x = 21

Dengan memperhatikan x dan y bilangan bulat, dan faktor 21 = 1, 3, 7, 21,

Untuk m = 17, maka x = 1, sehingga y =

3

4

1

.

3

4



, dan m + x + y bukan bilangan bulat

Untuk m = 3, maka x = 3, sehingga y =

.

3

4

3

4



, dan m + x + y = 3 + 3 + 4 = 10

Jadi nilai m + x + y yang mungkin adalah 10

10. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut:

 25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut;

 90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri.

Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah ... .

A. 9 : 1 B. 9 : 2 C. 9 : 3 D. 9 : 4

Jawaban: B Pembahasan:

Misalkan banyaknya siswa peminat paskibra adalah N, maka

 Siswa putri peminat paskibra adalah 90%N, dan ini merupakan 50% = ½ dari total siswa putri. Ini berarti total siswa putri = 2 x 90%N=180%N

 Siswa putra peminat paskibra adalah 10%N, dan ini merupakan 25% = ¼ dari total siswa putra. Ini berarti total siswa putra = 4 x 10%N = 40%N

Total siswa putri : total siswa putra = 180%N : 40%N = 9 : 2 Jadi rasionya adalah 9 : 2

11. Suatu fungsi ditentukan dengan rumus













ganjil

untuk

,

1

2

genap

untuk

,

1

2

)

(

x

f

Jika a adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah ... . A. 21

(7)

Jawaban: B Pembahasan:

Andaikan untuk a bilangan asli f(a) = 39.

Kasus 1: jika agenap, maka 2a + 1 = 39a=17 merupakan bilangan ganjil Kasus 2: jika aganjil, maka 2a – 1 = 39 a = 20 merupakan bilangan genap

Dari kasus 1 dan 2 tidak mungkin ada bilangan asli a yang merupakan bilangan ganjil dan sekaligus bilangan genap.

Jadi nilai f(a) tidak mugkin 39

12. Banyak bilangan bulat k > - 20 sehingga parabola y = x2_{+ k}_{tidak berpotongan dengan lingkaran} x2_{+ y}2_{= 9 adalah ... .}

A. 20 B. 19 C. 11 D. 10

Jawaban: D Pembahasan:

Ralat : menurut saya kalimat “bilangan bulat k > - 20” perlu diganti “ bilangan bulat negatif k > - 20”. Coba amati untuk semua bilangan bulat k >3 parabola jelas tidak memotong lingkaran. Jadi ada tak hingga nilai k yang memenuhi.

y = x2_{+ k}_x2_{= y - k}

Subtitusikan x2_{= y - k}_{ke persamaan lingkaran}_x2_{+ y}2_{= 9, diperoleh:} y – k + y2₌₉

y2_{+ y – (k}_{+ 9) = 0} a = 1, b = 1, c = -(k+9)

Syarat kedua grafik tidak berpotongan nilai diskriminan D < 0.

D = b2_{– 4 a c}_{< 0}

12_{– 4 . 1 . (-(}_k_{+9)) < 0}

1 + 4k + 36 <0 4k < - 37

k < -9,25

Ini berarti -20 < k < -9,25, dengan k bilangan bulat k = -19, -18, ..., -10

(8)

13. Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari tahun 2012 sampai dengan 2015 disajikan pada gambar berikut.

Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut. Tahun 2012 2013 2014 2015 Produk A 1200 2400 2400 3600 Rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah ... .

A. 1000 B. 1340 C. 1350 D. 1500

Jawaban: C Pembahasan:

Penjualan produk B dapat dihitung dari prosentasenya dibandingkan produk A sbb:

Tahun 2012 :

1200

800

%

60

%

40





Tahun 2013 :

2400

600

%

80

%

20





Tahun 2014 :

2400

3600

%

40

%

60





Tahun 2015 :

3600

400

%

90

%

10





Rata-rata penjualannya =

1350

4

400

3600

600

800





Jadi rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah 1350

14. Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ... .

A.

(9)

B.

26

8

C.

52

19

D.

104

31

Jawaban: B Pembahasan:

Misalkan A = Kejadian terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13

P(A) = P(merah) + P(bernomor 13) – P(merah dan bernomor 13)

26

8

52

16

52

1

52

4

52

13

52

1

13

1

4

1

)

(

A















P

15. Terdapat lima bilangan bulat positif dengan rata-rata 40 dan jangkauan 10. Nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah ... .

A. 50 B. 49 C. 48 D. 45

Jawaban: C Pembahasan:

Misalkan bilangan itu a< b<c<d<e

Jangkauan : e – a = 10

Rata-rata 40 , berarti a + b + c + d + e = 40 x 5 = 200

a + b + c + d + e a e b+c+d

b min =

3

d

c

b



Keterangan

200 40 50 110 36,7 b<a (Tidak Memenuhi)

200 39 49 112 37,3 b<a (Tidak Memenuhi)

200 38

48

114 38 b=c=d=a (Memenuhi)

(10)

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1. Nilai dari

3 2 9 . 3 . ... 18 . 6 . 2 9 . 3 . 1 4 . 2 . ... 8 . 4 . 2 4 . 2 . 1        

   n n n

n n n

adalah ... .

JAWAB :

3

4

Pembahasan:

9

4

3

2

3

2

)

...

3

2

1

(

27

)

...

3

2

1

(

8

....)

...

27

8

1

(

9

.

3

.

1

....)

...

27

8

1

(

4

.

2

.

1

9

.

3

.

...

18

.

6

.

2

9

.

3

.

1

4

.

2

.

...

8

.

4

.

2

4

.

2

.

1

3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2



































































n

2. Bilangan bulat terbesar n agar 2 . 6. 10 .14 . 18 . ... . 198 dapat dibagi

6

n adalah ... .

JAWAB : 26 Pembahasan:

2 . 6. 10 .14 . 18 . ... . 198 = (2.1)x(2.3)x(2.5)x(2.7)x(2.9)x ... x(2.99) = 249(1357...99)

= 249(39152127333945515763697581879399)(15711...97)

= 249(315213339515769758793) (92745638199)(15711...97)

= 249311(1571113171923252931)(3233325327343211) ) 97 ... 11 7 5 1 (      

= 249311315(1571113171923252931)(5711)



(

1



5



7



11



...



97

)

= 249326(1571113171923252931)(5711)



(

1



5



7



11



...



97

)

= 626223(1571113171923252931)(5711)(15711...97)

Jadi bilangan bulat terbesar n yang dimaksud adalah 26

3. Ketika suatu segitiga siku-siku diputar pada salah satu sisi siku-sikunya, maka diperoleh kerucut dengan volume 392



cm3_{. Bila diputar pada sisi siku-siku lainnya, diperoleh kerucut dengan}

volume 1344



cm3_{. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah ... cm.}

(11)



.

392

3

1

2



a

b

V

_i



.

1344

3

1

2



b

a

V

ii



1344

392

.

3

1

.

3

1

2 2



a

b

a

V

ii i

24

7



b

a

Kita coba subtitusikan a = 7, dan b = 24 diperoleh:



.

7

24

392



3

1

2



i

V

Ini berarti panjang a = 7 cm dan b = 24 cm. Dengan teorema Pythagoras diperoleh c = 25 cm Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 25 cm

4. Suatu balok tersusun atas kubus satuan seperti pada gambar di samping. Balok tersebut dipancung sepanjang permukaan bangun datar yang dicetak tebal. Luas permukaan balok terpancung adalah ... satuan luas.

JAWAB : 216 Pembahasan:

Luas permukaan balok terpacung dapat dihitung sbb:

L = L. Balok –L Permukaan pemancung + L persegipanjang miring

L = 2(11.6+11.3+6.3) – (2. ½.3.4+3.4+3.3) +(3x5)

L = 2(66+33+18) –33+15

L = 234 – 18

L = 216

5. Diketahui barisan fungsi f₁(x), f₂(x), f₃(x),...sedemikian hingga

f

₁

(

x

)



x

dan

)

(

1

)

(

1

x

f

x

f

n n







untuk bilangan bulat n1. Nilai dari f₂₀₁₆(2016)....

JAWAB : 2016 2015 ) 2016 ( 2016  f Pembahasan:

2016

)

2016

(

1



f

2015

1

2016

1

)

2016

(

1

)

(

1

2











f

x

f

2015

1

2016

1

)

2016

(

1

)

(

1

2











f

x

f

2016 2015 2015 2016 1 2015 1 1 1 ) 2016 ( 1 1 ) ( 2

3   

(12)

2016

2016 1 1

2016 2015 1

1 )

2016 ( 1

1 )

(

3

4  

  



f x

f

Seterusnya akan berulang dengan periode 3 suku. 2016 : 3 = 672 (habis terbagi)

Jadi ₂₀₁₆

2015 )

2016 (

2016 

f

6. Jika akar-akar persamaan



2016x

 

2  20152017



x10adalah

m

dan

n

dengan

m



n

, serta akar-akar persamaan

x

2



2015

x



2016



0

adalah

a

dan bdengan a b, maka mb...

JAWAB : 2017 Pembahasan:

Misalkan 2016 = a, maka



2016x

 

2 20152017



x10_{bisa ditulis,}

0 1 ) 1 )( 1 ( 2

2     

x a a x a

0 1 ) 1 ( 2 2

2    

x a x a

0 ) 1 )( 1

(a2x x 

1 1

2  

x atau x

a

Artinya 2

2016

1





x

_atau_x_{= 1}

Jika m,n merupakan akar-akar persamaan kuadrat dan m > n maka m = 1 Selanjutnya,

0

2016

2015

2







x

0

)

1

)(

2016

(

x



x





1

2016







atau

x

Jika a,b merupakan akar-akar persamaan kuadrat dan a > b, maka b = - 2016

m – b = 1 – (-2016)

m – b = 2017

7. Diketahui suatu barisan dengan suku ke-n adalah andengan













k

n

k

k-n

k

a

_n

2

untuk

,

51

1;

2

untuk

,

3

Jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah ... .

JAWAB : 5100 Pembahasan:

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 dst

k=1 k=1 k=2 k=2 k=3 k=3

a=3 a=50 a=6 a=49 a=9 a=48

Jumlah 100 suku pertama dapat dibagi dua kasus:

i. Untuk 50 suku ganjil jumlahnya 3 + 6 + 9 + ... =25(6 + 49.3) = 25 x 153

ii. Untuk 50 suku genap jumlahnya 50 + 49 + 48 + ... =25(100 + 49.(-1)) = 25 x 51 Jumlah seluruhnya 25 (153 +51) = 25 x 204 = 5100

(13)

8. Misalkan x dan y merupakan bilangan asli berbeda yang memenuhi 4x + 7y = 2016. Banyak pasangan (x,y) yang mungkin adalah ... .

JAWAB : 71 Pembahasan:

4x + 7y = 2016 4x = 2016 – 7y

x = 504 -

4

7 y

Karena x dan y merupakan bilangan asli maka y harus merupakan kelipatan 4

y = 4, 8, 12, ... ,284 (karena

284

4

2016



)

banyaknya y adalah

71

4

284











Selanjutnya kita selidiki apakah ada x dan y yang sama.

Andaikan x = y, maka 4x + 7x = 2016  11x=2016, menghasilkan x bukan bilangan asli. Jelas bahwa x



y. Jadi banyak pasangan (x,y) yang mungkin adalah 71

9. Delapan buku yang berbeda akan dibagikan kepada tiga orang siswa A, B, dan C sehingga berturut-turut mereka menerima 4 buku, 2 buku, dan 2 buku. Banyak cara pembagian buku tersebut adalah ... .

JAWAB : 420 Pembahasan:

Banyak cara pembagian buku = 8C4 x 4C2 x 2C2 =

420

2

3

.

4

.

2

.

3

.

4

5

.

6

.

7

.

8

!

0

!

2

!

2

!

2

!

2

!

4

!

4

!

4

!

8





Jadi Banyak cara pembagian buku tersebut adalah 420

10. Di kelas VIII terdapat 11 siswa. Pada saat ulangan Matematika, ada satu orang siswa yang sakit sehingga harus mengikuti ulangan susulan. Nilai 10 siswa yang mengikuti ulangan pada

waktunya adalah 20, 10, 40, 80, 50, 60, 40, 70, 90, dan 30. Jika nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan diperhitungkan, maka rata-rata nilai yang diperoleh sama dengan median. Nilai terbesar yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah ... .

JAWAB : 60 Pembahasan:

Jika 10 data diurutkan adalah: 10,20,30,40,40,

50

,60,70,80,90 ,dan jumlahnya 490

Untuk 11 data maka median terletak pada urutan ke-6

Dengan rata-rata = median, dan misalkan nilai susulannya x, maka

Me

x





11

490

50

11

490





x

490 + x = 550

x= 60

11 data terurutnya menjadi 10,20,30,40,40,

50

,60,60,70,80,90, memiliki median 50 dan rata-rata 50