Makalah Metode Numerik

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LANJAR  SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LANJAR 

MAKALAH MAKALAH Disusun untuk Memenuhi Salah

Disusun untuk Memenuhi Salah Satu TugasSatu Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 

Mata Kuliah Metode Numerik 

Disusun oleh: Disusun oleh:

IIiinng g SSuukkaarrddii 131322115511111144 C

Ceeccee  !!aamm""aamm 11442211551111##$$ %

%iinna a &&eerrddiiaannaa 1414221155111111'' (

(iiaah h ))uurrnnaa**aattii 141422115511114433 S

Saahhaal l SS++uukkrriiaa**aan n ,,aahhmmaat t )) 11442211551111''55 Santi

Santi Mar+ani Mar+ani 1421511'$1421511'$ IIllhhaam m --uurrhhaannuuddiinn 11442211551111..'' D

Diiaanna a ))eerrmmaattaa 11442211551111//33 Kelas 0I

Kelas 0I

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS

UNIVERSITAS SILIWASILIWANGINGI TASIKMALAYA

TASIKMALAYA 2017

KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR

Pu

Puji ji dan dan sysyukukur ur penpenyuyusun sun panpanjatjatkakan n kekehadhadirairat t AllAllah ah SWTSWT, , ataatass limp

limpahan ahan rahmrahmat at dan dan karkarunia-unia-Nya Nya penyupenyusun sun dapat dapat menymenyelesaelesaikanikan m

makakalalah ah ddenengagan n jujududul l ““SOSOLLUUS S SSSSTT!" !" PP!#!#SASA"A"AAAN N LALAN$N$AA#%#%&& "akalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah "akalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah "et'de Numerik&

"et'de Numerik& (

(e)ee)erhrhasiasilan lan penpenyusyusun un daldalam am penpenyelyelesaesaian ian mamakakalah lah ini ini tidtidakak terlepas dari )im)ingan dan d'r'ngan dari )er)agai pihak& Untuk itu terlepas dari )im)ingan dan d'r'ngan dari )er)agai pihak& Untuk itu dalam kesempatan ini penyusun mengu*apkan terimakasih kepada dalam kesempatan ini penyusun mengu*apkan terimakasih kepada yang terh'rmat +

yang terh'rmat + 1&

1& !li!lis s NurNurhayhayatiati, , S&PS&Pd& d& selselakaku u d'sd'sen en penpengamgampu pu "et"et'de Nume'de Numerikrik yang telah mem)erikan arahan dalam penulisan makalah ini&

yang telah mem)erikan arahan dalam penulisan makalah ini& &

& ((ededua ua 'r'ranang g tutua a yayang ng tetelalah h mememm)e)eri ri dudukkunungagan n )a)aik ik m'm'ririll maupun materil&

maupun materil& &

& ##ekan . rekan . rekan seekan seperjuperjuangan yaangan yang turung turut mem)at mem)antu&ntu&

Penyusun menyadari )ah/a dalam penyusunan makalah ini masih Penyusun menyadari )ah/a dalam penyusunan makalah ini masih )anyak kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan& Oleh karena )anyak kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan& Oleh karena itu penyusun menerima kritik dan saran yang si0atnya mem)angun itu penyusun menerima kritik dan saran yang si0atnya mem)angun dari semua pihak& Sem'ga makalah ini )erman0aat )agi siapa saja dari semua pihak& Sem'ga makalah ini )erman0aat )agi siapa saja yang mem)a*anya, khususnya )agi penyusun dan umumnya untuk yang mem)a*anya, khususnya )agi penyusun dan umumnya untuk kepentingan pendidikan&

kepentingan pendidikan&

 T

1 1 KATA PENGANTAR

KATA PENGANTAR

Pu

Puji ji dan dan sysyukukur ur penpenyuyusun sun panpanjatjatkakan n kekehadhadirairat t AllAllah ah SWTSWT, , ataatass limp

limpahan ahan rahmrahmat at dan dan karkarunia-unia-Nya Nya penyupenyusun sun dapat dapat menymenyelesaelesaikanikan m

makakalalah ah ddenengagan n jujududul l ““SOSOLLUUS S SSSSTT!" !" PP!#!#SASA"A"AAAN N LALAN$N$AA#%#%&& "akalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah "akalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah "et'de Numerik&

"et'de Numerik& (

(e)ee)erhrhasiasilan lan penpenyusyusun un daldalam am penpenyelyelesaesaian ian mamakakalah lah ini ini tidtidakak terlepas dari )im)ingan dan d'r'ngan dari )er)agai pihak& Untuk itu terlepas dari )im)ingan dan d'r'ngan dari )er)agai pihak& Untuk itu dalam kesempatan ini penyusun mengu*apkan terimakasih kepada dalam kesempatan ini penyusun mengu*apkan terimakasih kepada yang terh'rmat +

yang terh'rmat + 1&

1& !li!lis s NurNurhayhayatiati, , S&PS&Pd& d& selselakaku u d'sd'sen en penpengamgampu pu "et"et'de Nume'de Numerikrik yang telah mem)erikan arahan dalam penulisan makalah ini&

yang telah mem)erikan arahan dalam penulisan makalah ini& &

& ((ededua ua 'r'ranang g tutua a yayang ng tetelalah h mememm)e)eri ri dudukkunungagan n )a)aik ik m'm'ririll maupun materil&

maupun materil& &

& ##ekan . rekan . rekan seekan seperjuperjuangan yaangan yang turung turut mem)at mem)antu&ntu&

Penyusun menyadari )ah/a dalam penyusunan makalah ini masih Penyusun menyadari )ah/a dalam penyusunan makalah ini masih )anyak kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan& Oleh karena )anyak kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan& Oleh karena itu penyusun menerima kritik dan saran yang si0atnya mem)angun itu penyusun menerima kritik dan saran yang si0atnya mem)angun dari semua pihak& Sem'ga makalah ini )erman0aat )agi siapa saja dari semua pihak& Sem'ga makalah ini )erman0aat )agi siapa saja yang mem)a*anya, khususnya )agi penyusun dan umumnya untuk yang mem)a*anya, khususnya )agi penyusun dan umumnya untuk kepentingan pendidikan&

kepentingan pendidikan&

 T

Penyusun Penyusun

 DAFTAR ISI

(ATA P!N3ANTA#i 4A5TA# S ii 6A6 1 P!N4A7ULUAN1 1&1 Latar 6elakang1 1& #umusan "asalah1 1& Tujuan2 6A6  P!"6A7ASAN3 &1 "et'de 4ek'mp'sisi LU3

&1&1 Pem0akt'ran dengan "et'de LU 3auss&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8 &1& "et'de #eduksi 9r'ut&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1 & "et'de Lelaran Untuk "enyelesaikan SPL13

&&1 "et'de Lelaran $a*')i&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1: && "et'de Lelaran 3auss-Seidel&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&18 6A6  P!NUTUP1/

&1 (esimpulan  1; &1 Saran &&& 1; 4A5TA# PUSTA(A

BAB 1

PENDAHULUAN 1.1 Latar B!a"a#$

"et'de numerik adalah teknik dimana masalah matematika di0'rmulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan 'leh peng'perasian aritmatika& Walaupun rerdapat )anyak jenis

met'de numerik, namun pada dasarnya, met'de terse)ut memiliki satu dasar karakteristik urnum& "et'de numerik selalu men*akup sejumlah )*sar kalkulasi yang )erulang-ulang& Oleh karena itu diperlukan )antuan k'mputer untuk melaksanakan 'perasi hitungan terse)ut, Tanpa )antuan k'mputer "et'de numerik tidak )anyak mem)eri man0aat&

"et'de nurnerik sudah *ukup lama dikem)angkan, namun pemakaiannya dalam permasalahan yang ada di)er)agai )idang )elum meluas, 7al ini dis*)a)kan karena pada masa terse)ut alat )antu hitungan yang )erupa k'mputer )elum )anyak digunakan se*ara meluas& 6e)erapa tahun terakhir ini perkem)angan kemampuan k'mputer sangat pesat dan harganyapun semakin terjangkau, sehingga terjadi peledakan pemakaian met'de numerik untuk menyelesaikan permasalahan yang ada& 4isamping itu met'de numerik juga )erkem)ang dengan pesat, dan sekarang merupakan alat yang sangat ampuh untuk menyelesaikan perrnasalahan dalam )er)agai )idang, "et'de numerik mampu menyelesaikan suatu sistem persamaan yang )esar, tidak linear dan sangat k'mpleks yang tidak mungkin diselesaikan se*ara

analitis&

1.2 R%&%'a# Ma'a!a(

4ari latar )elakang diatas maka penulis dapat menarik suatu permasalahan se)agai )erikut+

1& Apa kegunaan dari met'de dek'mp'sisi LU<

& 6agaimana *ara pem0akt'ran dengan met'de LU 3auss< & 6agaimana *ara menggunakan met'de reduksi 9r'ut< :& 6agaimana *ara menggunakan met'de lelaran $a*')i<

 1.) T%*%a#

 Tujuan dari penulisan makalah ini adalah se)agai )erikut+

1& Untuk mengetahui apa kegunaan dari met'de dek'mp'sisi LU& & Untuk mengetahui )agaimana *ara mem0akt'rkan dengan

met'de LU 3auss&

& Untuk mengetahui )agaimana *ara menggunakan met'de reduksi 9r'ut&

:& Untuk mengetahui )agaimana *ara mengunakan met'de lelaran $a*')i&

8& Untuk mengetahui )agaimana *ara menggunakan met'de lelaran 3auss-Seidel&

BAB 2

PEMBAHASAN 2.1 Mt+, D"+&-+'' LU

ika matriks  non-singuler maka ia daat di6aktorkan 7diuraikan atau didekomosisi8 men9adi matriks segitiga a*ah ( 7lower 8 dan matriks segitiga atau ; 7upper 8

 A

=

 LU 

Dalam entuk matriks em6aktoran ini ditulis seagai

1 0 0 l21 1 0 l31 l32 1 … 0 … 0 … 0 ¿ ⋮ ¿ l_n1 ln2 l n3 ¿ ¿ u₁₁ u₁₂ u₁₃ 0 u22 u23 0 0 u₃₃ … u_1n … u2n … u_3n ¿ ⋮ ¿ 0 0a_n3 ¿ ¿ ¿_⋮ …u

[

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 … a1n … a2n … a3n ⋮ ⋮ ⋮ a_n1 an2 an3 ⋮ ⋮ … a_nn

]

=

[

¿⋮ …1¿ ¿

]

[¿¿nn¿¿]

)ada matriks segitiga a*ah L< semua elemen diagonal adalah l< sedangkan ada matriks ; tidak ada aturan khusus ada elemen diagonaln+a

:

[

2

−

1

−

1 0

−

4 2 6

−

3 1

]

=

[

1 0 0 0 1 0 3 0 1

][

2

−

1

−

1 0

−

4 2 0 0 4

]

Metode em6aktoran  A men9adi  L dan U akan di9elaskan kemudian Sekali  A di6aktorkan men9adi  L  dan U < kedua matriks terseut daat digunakan untuk  men+elesaikan  Ax=b  Metode en+elesaian S)( dengan cara ini dikenal dengan nama &t+, ,"+&-+''  LU _{ Metode ini dinamakan 9uga metode}

-&/a"t+ra# '$t$a 7trianguler factorization8 Nanti akan ditun9ukkan ah*a metode eliminasi %auss meruakan suatu dekomosisi LU  dari matriks A

)en+elesaian  Ax

=

b  dengan metode dekomosisi LU  adalah seagai erikut Tin9au sistem ersamaan lan9ar 

 Ax=b

aktorkan  men9adi L dan U sedemikian sehingga  A

=

 LU  adi<  Ax=b  LUx

=

b Misalkan Ux= y Maka  Ly

=

b

;ntuk memeroleh  y1, y2, … , yn, kita menggunakan teknik en+ulihan ma9u

7 forward substitution8 :

dieroleh  y₁, y₂, … , y_n dengan teknik

 Ly

=

[

1 0 0 l21 1 0 … … … … 0 … 0 … … l_n1 l_n2 l_n3… 1

]

[

 y1  y2 ⋮  y4

]

=

[

b1 b2 … b_n

]

→

Dan untuk memeroleh solusi S)(<  x1, x2, … , xn, _{kita menggunakan teknik} 

 en+ulihan mundur 7backward substitution8: u11 u₁₂ ¿ ¿ u13 0 u22 u23 … ¿ ¿ … u1n … u_2n … ¿ ¿0 0 0… 1

[

 y₁  y₂ ⋮  y₄

]

=

[

b₁ b₂ … b_n

]

→  Ly=¿

adi< langkahlangkah menghitung solusi S)( dengan metode dekomosisi (; daat diringkas seagai erikut:

1 -entuklah matriks ( dan ; dari 

2 )ecahkan  Ly

=

b ,  lalu hitung + dengan teknik en+ulihan ma9u

3 )ecahkan Ux= y ,  lalu hitung  x  dengan teknik en+ulihan mundur 

Sama haln+a dengan metode matriks alikan< metode dekomosisi (; akan mangkas ila digunakan untuk men+elesaiakan se9umlah S)( dengan matriks  +ang sama tetai dengan  eredaeda Sekali  di6aktorkan men9adi ( dan ;< keduan+a daat digunakan untuk menghitung solusi se9umlah S)l terseut Metode dekomosisi (; meruakan metode +ang aling ouler untuk memecahkan sistem  ersamaan lan9ar

Terdaat dua metode untuk mem6aktorkan  atas ( dan ;:

dieroleh  y1, y2, … , yn

dengan teknik

= 1 Metode (; %auss

2 Metode reduksi Crout

211 )em6aktoran dengan Metode (; %auss

Walaupun tidak ada hu)ungannya dengan dek'mp'sisi LU, met'de eliminasi 3aus dapat digunakan untuk mem0akt'rkan A menjadi L dan U >karena itulah met'de pem0akt'ran ini kita namakan LU 3aus?& 4i dalam su))a) ini juga ditujukan )ah/a se)enarnya met'de eliminasi 3aus dapat dinyatakan se)agai dek'mp'sisi LU&

"isalkan matriks A )erukuran :@: di0akt'rkan atas L dan U,

ALU

[

a11 a12 a13 a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33 a₁₄ a₂₄ a₃₄ a41 a42 a43 a44

]

=

[

1 0 0 m21 1 0 m31 m32 1 0 0 0 m41 m42 m43 1

]

[

u11 u12 u13 0 u₂₂ u₂₃ 0 0 u33 u₁₄ u₂₄ u₃₄ 0 0 0 u44

]

4isini kita menggunakan sim)'l mij ketim)ang lij , karena nilai

l_{ij )erasal dari 0akt'r pengali>} m_ij

¿

_{pada pr'ses eliminasi} 3aus& Langkah-langkah pem)entukan L  dan U dari matriks  A adalah se)agai )erikut+

[

 a₁₁ a21 a₃₁ a₁₂ a22 a₃₂ a₁₃ a23 a₃₃ … … … a_1n a2n a_3n : a_n1 an2 an3 … : a_nn

]

=

[

1 0 0 0 1 0 0 0 1 … … … 0 0 0 : 0 0 0 … : 1

]

[

 a₁₁ a21 a₃₁ a₁₂ a22 a₃₂ a₁₃ a23 a₃₃ … … … a_1n a2n a_3n : a_n1 an2 an3 … : a_nn

]

2 =liminasi matriks  di ruas kanan men9adi matriks segitiga atas ; tematkan 6aktor engali mij  ada osisi lij  _{di matris I.}

3 Setelah seluruh roses eliminasi %aus selesai< matriks I men9adi matriks L, dan matriks  di ruas kanan men9adi matriks U.

4i )a/ah ini di)erikan dua *'nt'h pem0akt'ran A dengan met'de ini, masing-masing untuk kasus tanpa  pivonating dan dengan  pivonating&

9'nt'h >LU 3aus Nai0?

 A

=

[

4 3

−

1

−

2 1

−

4 2 5 6

]

Penyelesaian+  A

=

[

4 3

−

1

−

2 1

−

4 2 5 6

]

=

[

1 0 0 0 0 1 0 0 1

][

4 3

−

1

−

2 1

−

4 2 5 6

]

!liminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U, dan tempatkan 0akt'r pengali mij  pada p'sisi lij  di matriks I.

B

[

4 3

−

1

−

2 1

−

4 2 5 6

][

4 3

−

1 0 0

−

2.5 1.25 4.5 6.25

]

 Tempatkan m21

=−

2 4

=

0.5danm31

=

1 4

=

0.25 kedalam matriks L+  L

=

[

1 0 0

−

0.5 0 1 m₃₂ 0 1

]

 Teruskan pr'ses eliminasi 3auss pada matriks A,

[

4 3

−

1 0 0

−

2.5 1.25 4.5 6.25

]

[

4 3 −1 0 0 −2.5 0 4.5 8.5

]

=U   Tempatkan m32

=

1

−

2.5

=−

0.5  ke dalam matriks LC

 L

=

[

1 0 0

−

0.5 0.25 1

−

0.5 0 1

]

 $adi,  A

=

[

4 3

−

1

−

2 1

−

4 2 5 6

]

=

[

1 0 0

−

0.5 0.25 1

−

0.5 0 1

][

4 3

−

1 0 0

−

2.5 0 4.5 8.5

]

9'nt'h > LU 3aus dengan tata-an*ang piD'ting?  R₂

− −

2 4

 )

 R1  R3

−

1 4

)

 R1  R₃

−

  1.25

−

2.5

)

 R2

5akt'rkan matriks A )erikut+  A

=

[

1 1

−

1 2

−

1 2 1 1 1

]

b

=

[

1 5 1

]

Lalu pe*ahkan sistem  Ax=b & Penyelesaian+

!liminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U, dan tempatkan 0akt'r pengali mij  pada p'sisi  Lij  di matriks &

[

1 1

−

1 2

−

1 2 1 1 1

][

1 1

−

1 0 0 0 2 3 0

]

 Tempatkan m21

=

2 dan m31

=

1  ke dalam matriks LC

 L

=

[

1 0 0 2

−

1 1 m₃₂ 0 1

]

 Teruskan pr'ses eliminasi 3auss pada matriks A& 4alam hal ini ada piD'ting karena *al'n piD't )ernilai , sehingga )aris kedua dipertukarkan dengan )aris ketiga+

[

1 1

−

1 0 0 0 2 3 0

][

1 1

−

1 0 0 2 0 0 3

]

 R₃

−

(

1

)

 R₁  R₂

−

(

2

)

 R₁  R2⇔ R3

1

 $angan lupa mempertukarkan juga  R2⇔ R3 pada matriks L,

ke*uali elemen diag'nalnya

 L

=

[

1 0 0 2

−

1 1 m32 0 1

][

1 0 0

−

1 2 1 m32 0 1

]

 $angan lupa mempertukarkan juga  R2⟺ R3  pada Dekt'r ),

b

=

[

1 5 1

]

b

=

[

1 1 5

]

 Teruskan eliminasi 3auss pada matriks A+

[

1 1

−

1 0 0 2 0 0 3

]

=

U   Tempatkan m32n

=

0

2

=

0  ke dalam matriks L+

 R₂⇔ R₃

 R2⇔ R3

 R₃

−

0

 L

=

[

1 0 0

−

1 2 1 0 0 1

]

 $adi,

[

1 0 0

−

1 2 1 2 0 1

]

=

[

1 0 0

−

1 2 1 0 0 1

][

1 1

−

1 0 0 2 0 0 3

]

6erturut-turut y dan @ se)agai )erikut+

[

1 0 0

−

1 2 1 0 0 1

]

[

 y1  y2  y3

]

=

[

1 1 5

]

 y1, y2, y3  dihitung dengan teknik penyulihan maju+

 y₁

=

1

−

 y₁

+

 y₂

=

1→ y₂

=

1

+

1 y₁

=

1

+

1

+

2

2 y₁

+

 y₃

=

5→ y₃

=

5

−

2 y₁

=

3

 Ly=b

1

[

1 1

−

1 0 0 2 0 0 3

]

[

 x1  x2  x3

]

=

[

1 2 3

]

 x1, x2, x3  dihitung dengan teknik penyulihan mundur+

3 x₃

=

3→ x₃

=

1

2 x2

+

0 x3

=

2→ x2

=

1

 x₁

+

 x₂

−

 x₃

=

1→ x₁

=

1

 $adi, s'lusi sistem persamaan lanjar di atas adalah  x

=

(

1,1,1

)

T 

Pertukaran )aris untuk matriks yang )erukuran )esar diperlihatkan 'leh matriks di )a/ah ini+

[

a1 a2 a3 0 b₂ b₃ 0 0 c3 a4 a5 a6 b₄ b₅ b₆ c4 c5 c6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d₅ d₆ e4 e5 e6 f ₄ f ₅ f ₆

][

a1 a2 a3 0 b₂ b₃ 0 0 c3 a4 a5 a6 b₄ b₅ b₆ c4 c5 c6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e₄ e₅ e₆ 0 d5 d6 f ₄ f ₅ f ₆

]

"aka, )aris ke-8 dan )aris ke-: pada matriks L juga harus di petukarkan+

 R5⇔ R4

E

 R5⇔ R4

[

1 0 0 m21 1 0 m31 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₄₁ m₄₂ m₄₃ m₅₁ m₅₂ m₅₃ m₆₁ m₆₂ m₆₃ 1 0 0  x 1 0  x x 1

][

1 0 0 m21 1 0 m31 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₅₁ m₅₂ m₅₃ m₄₁ m₄₂ m₄₃ m₆₁ m₆₂ m₆₃ 1 0 0  x 1 0  x x 1

]

212 Metode ,eduksi Crout

Meskiun metode (; %auss dikenal aling aik untuk melakukan komosisi (;< terdaat metode lain +ang digunakan secara luas< +aitu metode reduksi 7 dekomosisi 8 Crout 7 metode reduksi Cholesk+ atau 9uga metode Dolittle8

Dalam memahas metode reduksi Crout< tin9au matriks 3 > 3 erikut:

 A

=

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

]

 L

=

[

 1 0 0 l₂₁ 1 0 l₃₁ l₃₂ 1

]

U 

=

[

u11 u12 u13 0 _u 22 u23 0 0 _u 33

]

Dari kesamaan dua uah matriks (;?< dieroleh

u₁₁

=

a₁₁, u₁₂

=

a₁₂,u₁₃

=

a_{13 →  -aris ertama ;} l₂₁u₁₁

=

a₂₁→ l₂₁

=

a21 u11 Kolom ertama ( l31u11

=

a31→ l31

=

a31 u11 l₂₁u₁₂

+

u₂₂

=

a₂₂→u₂₂

=

a₂₂

−

l₂₁u₁₂

1: -aris kedua ;

l₂₁u₁₃

+

u₂₃

=

a₂₃→u₂₃

=

a₂₃

−

l₂₁u₁₃

l₃₁u₁₂

+

l₃₂u₂₂

=

a₃₂→l₃₂

=

a32

−

l31u12

u22 → Kolom kedua (

l31u13

+

l32u23

+

u33

=

a33→u33

=

a33

−(

l31u13

+

l32u23

)

→ -aris ketiga ;

,umus untuk menghitung ; dan ( untuk sistem matriks  +ang erukuran 3 > 3 daat ditulis seagai erikut:

u _pj

=

a _pj

−

∑

k =1  p−1 l _pk u_kj Dan l_iq

=

∑

k =1 q−1 l_ik  u_kj u_qq dengan syarat uqq≠0 9'nt'h + SelesaikanF  x₁

+

 x₂

−

 x₃

=

1 2 x₁

+

2 x₂

+

 x₃

=

5

−

 x₁

+

2 x₂

+

2 x₃

=

5

dengan menggunakan met'de dek'mp'sisi LU, yang dalam hal ini L dan U dihitung dengan menggunakan met'de 9r'ut&

Penyelesaian  A

=

[

1 1

−

1 2 2 1

−

1 1 1

]

, b

=

1 5 1 4iper'leh + u11

=

a11

=

1 u₁₂

=

a₁₂

=

1 u₁₃

=

a₁₃

=−

1

(arena U qq  tidak )'leh n'l, lakukan pertukaran )aris )aik untuk

matriks A maupun untuk De*t'r ) +  Tukar )aris kedua dengan )aris ketiga  A

=

[

1 1

−

1

−

1 1 1 2 2 1

]

, b

=

1 1 5

7itung kem)ali nilai l21, l31danu32 >perhatikan )ah/a nilai

u₁₁, u₁₂, u_{13  tidak )eru)ah?} l₂₁

=

a21 u11

=−

1 1

=−

1 l₃₁

=

a31 u11

=

2 1

=

2 u22

=

a22

−

l21 x u12

=

1

−

(

−

1

)

 x1

=

2 u23

=

a23

−

l21 x u13

=

1

−(−

1

)

 x

(−

1

)=

0 l₃₂

=

a32

−

l31 x u12 u22

=

2

−

(

1

)

 x1 2

=

0

1= U 

=

[

1 1

−

1 0 2 0 0 0 3

]

, L

=

[

1 0 0

−

1 1 0 2 0 1

]

,danb

=

1 1 5

6erturut turut dihitung y dan @ se)agai )erikut+  L _y

=

b →

[

1 0 1

−

1 1 1 2 0 5

]

 y₁  y2  y3

=

1 1 5

 y1, y2, dan y3  dihitung dengan teknik penyulihan maju+

 y₁

=

1

−

 y₁

+

 y₂

=

1→ y₂

=

1

+

 y₁

=

1

+

1

=

2 2 y₁

+

 y₃

=

5→ y₃

=

5

−

2 y₁

=

3

U  _x

=

 y →

[

1 1

−

1 0 2 0 0 0 3

]

 x1  x2  x3

=

1 2 3

 x₁, x₂,dan x_{3  dihitung dengan teknik penyulihan mundur+}

3 x₃

=

3→ x₃

=

1 2 x₂

=

2→ x₂

=

1

 x₁

+

 x₂

−

 x₃

=

1→ x₁

=

1

 $adi s'lusi system persamaan lanjar diatas adalah  x

=

(

1,1,1

)

T 

 $ika diamati elemen segitiga )a/ahpada matriks U semuanya )ernilai n'l, sehingga ruang yang tidak terpakai itu dapat dipakai untuk menyimpan elemen matriks L& elemen diag'nal matriks L seluruhnya 1, jadi tidak perlu disimpan& 4engan demikian, penyimpan elemen L dan U pada satu matriks dapat menghematpenggunaan mem'ri& Selain itu matriks A hanya

dipakai sekali untuk memper'leh L dan U, sesudah itu tidak dipakai lagi& 4engan demikian setelah L dan U diper'leh, elemennya dapat dipindahkan kedalam A& karena alasan ini, maka met'de dek'mp'sisi LU dinamakan juga met'de k'mpaksi mem'ri&

2.2 Mt+, L!ara# U#t%" M#!'a"a# SPL

"et'de eliminasi 3auss meli)atkan )anyak galat pem)ulatan& 3alat pem)ulatan dapat menye)a)kan s'lusi yang diper'leh “jauh% dari s'lusi se)enarnya& Untuk menyelesaikan SPL dapat diterapkan gagasan met'da lelaran pada pen*arian akar persamaan nirlanjar& 4engan met'da lelaran, galat pem)ulatan dapat diperke*il, karena kita dapat meneruskan lelaran sampai s'lusinya seteliti mungkin, sesuai dengan )atas galat yang kita per)'lehkan& 4engan kata lain, )esar galat dapat dikendalikan sampai )atas yang )isa diterima&

 $ika met'de eliminasi 3auss dan Dariasi . Dariasinya serta met'de dek'mp'sisi LU dinamakan metode lans!n >dire*t? karena s'lusi SPL diper'leh tanpa lelaran maka met'de lelaran dinamakan metode tida" lans!n >indire*t? atau met'de interati0&

 Tinjau kem)ali system persamaan lanjar a1 x1

+

a2 x2

+

…

+

a1_n x_n

=

b1

a21 x1

+

a22 x2

+

…

+

a2n xn

=

b2

⋮

1B 4engan syarat akk ≠0,k 

=

1,2,… , n , maka persamaan lelarannya

dapat ditulis se)agai  x(₁k +1)

=

b1

−

a12 x2 k  …

−

a1n xn (k ) a₁₁  x2 (k +1)

=

b2

−

a21 x1 (k ) …

−

a23 x3 (k )

₋

… a2n xn (k ) a22 ⋮  x(_nk +1)

=

bn

−

an1 x1 (k )

−

… a_nn−1 x_n−1 (k ) a_nn dengan k =0,1,2,…

Lelaran dimulai dengan mem)erikan te)akan a/al untuk @,

 x0

=

[

 x1 (0)  x2 (0) ⋮  x_n(0)

]

Se)agai k'ndisi )erhenti lelarannya, dapatdigunakan pendekatan

galat relatiDe

|

 x_i(k +1)

−

 x_i(k )

 x_i(k +1)

|

<

!  untuk semua i

=

1,2,3,… , n

Syarat *ukup agar lelarannya k'nDergen adalah system d'minan

se*ara diag'nal +

|

aii

|

>

∑

 j=1, j ≠i

n

|

a_ij

|

_, i

=

1,2,3,… , n

Syarat *ukup ini )erarti )ah/a agar lelarannya k'nDergen, *ukup dipenuhi syarat itu& $ika syarat terse)ut dipenuhi, kek'nDergenan terjamin&meskipun system tidak d'minan se*ara diag'nal, lelarannya masih mungkin k'nDergen & kek'nDergenan juga

ditentukan 'leh pemilihan te)akan a/al& Te)akan a/al yang terlalu jauh dari s'lusi sejatinya dapat menye)a)kan lelaran diDergen& Se)agai *'nt'h , SPL )erikut 3 _x 1

+

 x2

−

 x3

=

1 2 _x 1

+

4 x2

+

 x3

=

5

−

 x₁

+

5 x₂

+

8 x₃

=

5

d'minan se*ara diag'nal, karena

|

3

|

>

|

1

|

+

|

−

1

|

|

4

|

>

|

2

|

+

|

1

|

|

8

|

>

|

−

1

|

+

|

5

|

karena itu lelarannya pasti k'nDergen&

Ada dua met'de lelaran yang akan di)ahas, yaitu+ 1& "et'de lelaran $a*')i

& "et'de lelaran 3auss-Seidel

221 Metode (elaran acoi

"isalkan di)erikan te)akan a/al  x(0):  x(0)

=

(

 x1

(0)

, x2

(0)

, … , x_n(0)

)

T 

Pr'sedur lelaran untuk lelaran pertama, kedua, dan seterusnya adalah se)agai )erikut+

Lelaran pertama+  x₁(1)

=

b1

−

a12 x2

(0)

−

a₁₃ x₃(0)

−

 

−

a_1n x_n(0) a11

  x2 (1)

=

b2

−

a21 x1 (0)

−

a₂₃ x₃(0)

−

 

−

a_2n x_n(0) a₂₂ ⋮  x_n(1)

=

bn

−

an1 x1 (0)

−

a_n2 x2 (0)

−

  

−

a_nn−1 xn−1 (0₎ a_nn Lelaran kedua+  x₁(2)

₌

b1

−

a12 x2 (1)

−

a₁₃ x₃(1)

−

  

−

a_1n x_n(1) a₁₁  x2 (2)

=

b2

−

a21 x1 (1)

−

a₂₃ x₃(1)

−

  

−

a_2n x_n(1) a₂₂ ⋮  x_n(2)

=

bn

−

an1 x1 (1)

−

a_n2 x2 (1)

−

 

−

a_nn−1 xn−1 (1) a_nn #umus umum+  x_i(k +1)

=

b_i

−

∑

 j=1, j ≠i n a_ij x _j(k ) a_ii , k 

=

0,1,2,…

222 Metode (elaran %aussSeidel

Keceatan kon@ergen ada lelaran acoi di erceat ila setia harga  x1  _+ang

 aru dihasilkan segera diakai ada ersamaan erikutn+a untuk menentukan harga  x_{i+1 +ang lainn+a} (elaran ertama:  x₁1

=

b1

−

a12 x2 0

−

a13 x3 0

−

a14 x4 0 a₁₁

 x2 1

=

b1

−

a21 x1 1

−

a23 x3 0

−

a24 x4 0 a22  x3 1

=

b3

−

a31 x1 1

−

a32 x2 1

−

a34 x4 0 a₃₃  x4 1

=

b4

−

a41 x1 1

−

a42 x2 1

−

a43 x3 1 a44 (elaran Kedua:  x1 2

=

b1

−

a12 x2 1

−

a13 x3 1

−

a14 x4 1 a11  x2 1

=

b1

−

a21 x1 2

−

a23 x3 1

−

a24 x4 1 a22  x3 2

=

b3

−

a31 x1 2

−

a32 x2 2

−

a34 x4 1 a₃₃  x4 2

=

b4

−

a41 x1 2

−

a42 x2 2

−

a43 x3 2 a44 ,umus umum:  x_ik +1

=

b₁

−

∑

 j=1 n a_ij xk  _j+1

−

∑

 j=i+1 n a_ij x _jk  a_ii ,k 

=

0,1,2,… Contoh : Tentukan solusi S)( 4 x− y+ "=7 4 x

−

8 y

+

 "

=−

21 −2 x+ y+5 "=15

 Dengan nilai a*al  p0

=

(

 x0, y0, "0

)

=

(

1,2,2

)



7solusi se9atin+a adalah 72<4<388

P#!'aa#

7a8 Metode lelaran acoi )ersamaan lelarann+a:  x_r+1=7+ yr− "r 4  y_r+1

=

21

+

4 x_r

−

 "_r 8  "_r+1

=

15

+

2 x_r

−

 y_r 5 (elarann+a:  x₁

=

7

+

2

−

2 4

=

1.75  y1

=

21

+

4

(

1

)

+

2 8

=

3.375  "1= 15+2

(

1

)

−2 5 =3.000  x2

=

7

+

3.375

−

3.00 4

=

1.84375  y2

=

21

+

4

(

3.375

)

−

3.00 8

=

3.875  "2= 15+2

(

1.75

)

−3.00 5 =3.025 …  x₁₉

=

2.00000000

 y19

=

4.00000000

 "19=3.00000000

78 Metode lelaran %aussSeidel )ersamaan leniern+a<  x_r+1

=

7

+

 y_r

−

 "_r 4  y_r+1

=

21

+

4 xr

−

 "r 8  "_r+1=15+2 xr− yr 5 (elarann+a<  x₁

=

7

+

2

−

2 5

=

1.75  y₁

=

21

+

4

(

1.75

)

−

3.75 5

=

3.75  "₁=15+ 2

(

1.75

)

−3.75 5 =3.000  x2

=

7

+

3.75

−

2.95 4

=

1.95  y2

=

7

+

3.75

−

2.95 8

=

3.96875  "₂=15+2

(

1.95

)

−3.968375 8 =2.98625 …  x10=2.00000000

:  y10

=

4.00000000

 "10

=

3.00000000

adi < solusi S)( adalah  x

=

2.00000000, y

=

4.00000000, "

=

3.0000000 &

BAB # PENUTUP #$1 Kesim%!lan

Metode en+elesaian S)( dengan cara (; %auss daat digunakan untuk  men+elesaikan  Ax

=

b  Metode ini dinamakan 9uga metode em6aktoran segitiga 7trianguler factorization8 (angkahlangkah menghitung solusi S)( dengan metode dekomosisi (; adalah seagai erikut:

1 -entuklah matriks ( dan ; dari 

2 )ecahkan  Ly=b ,  lalu hitung + dengan teknik en+ulihan ma9u

3 )ecahkan Ux

=

 y ,  lalu hitung  x  dengan teknik en+ulihan mundur 

,umus untuk menghitung ; dan ( untuk sistem matriks  +ang erukuran 3 > 3 daat ditulis seagai erikut:

u _pj=_a pj−

∑

k =1  p−1 l _pk u_kj Dan l_iq

=

∑

k =1 q−1 l_ik u_kj u_qq dengan syarat uqq≠0 ,umus umum metode lelaran acoi :

 x_i(k +1)

=

b_i

−

∑

 j=1, j ≠i n a_ij x _j(k ) a_ii , k 

=

0,1,2,… ,umus umum metode lelaran %aussSeidel :

 x_ik +1

=

b1

−

∑

 j=1 n a_ij xk  _j+1

−

∑

 j=i+1 n a_ij x _jk  a_ii ,k 

=

0,1,2,…

 #$2 Sa&an

Penulis menyadari dalam penulisan makalah ini masih )anyak kekurangan& Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang mem)angun dari pem)a*a demi kesempurnaan makalah ini untuk kedepannya&