Aspek Fisis Seismologi Eksplorasi

(1)

ASPEK FISIS

• J _

SEISMOLOGI EKSPLORASI

Oleh:

Dr. Suprajitno Munadi

Program Studi Geofisika, Jurusan Fisika

FMIPA, Universitas Indonesia

Depok

2000

(2)

(3)

_._----.-._---.---~-PRAKATA

Seismologi Eksplorasi merupakan pengetahuan terapan bahkan mendekati teknik sebagai upaya manusia memanfaatkan perilaku gelombang gempa untuk pencarian barang-barang berharga yang ada di bawah permukaan bumi seperti misalnya deposit minyak dan gas bumi.

Walaupun seismologi eksplorasi ini menjurus ke teknik akan tetapi sukses dalam penerapan dan pengembangannya sangat ditentukan oleh pemahaman tentang aspek fisis dari seismologi eksplorasi tersebut. Maka atas dasar itulah buku ini ditulis.

Mahasiswa dengan pemahaman yang kuat tentang aspek fisis dalam bidang ini akan dengan mudah menguasai tugas-tugas yang dibebaukan kepadanya pada saat dia mulai bekerja. Terlebih-Iebih untuk keperluan penelitian tugas akhii, pengembangan atau penguasaan metode-metode seismik yang barn muncul maka pemahaman aspek fisis yang dikupas dalam buku ini akan sangat bermanfaat.

Semoga buku ini mencapai maksudnya.

Jakarta, Februari 2000

(4)

'-r

DAFTARISI

1 ,."'-r ' ,t~: -;.', BABI PENDAHULUAN ii 1 1.1;PengertiarrSeismo1ogtEksp1ofa"si

'h'MerigapaA~pek!Fisik'?'

...

,

1 '2

1.3 Sejarah dan Perkembangan Seismik Eksp10rasi

Daftar AcUllli ."

BABIh. GELOlv,lBANGSEISMIK

2.1'1>en

g

brliariugiriinbim

g

seisntk . ;

;;I,:;.>::T::'1:1 '::; iF.i,Jr.!

'i, ',.:'

2.2 Sumber Gelombang Seismik

3

9 2.3 Tip.e-Tipe Gelombang Seismik .,

.<

:;[ ; ,

2.3.1 Menurut Cara Bergetarnya

2.3.2 Menurut Tempat Menjalarnya

2.3~3. Menurut Bentuk Muka Gelombang

2.3.3.1 GelombangBidang

, .. j'"i _{2.3.3.2 Gelombang Silinder}

2.3.3.3 Gelombang Bola 2.3.3,.4 Gelombang Kemcut

10

12 13

14

15

2.4 Maoifestasi Gelombang Seismik Dalam Rekaman Lapangan

Daftar Acuan

11

18

(5)

BAR III

BAR IV

PERSAMAAN GELOMBANG 3.1 Teori Elastisitas

3.2 Konstanta Elastik

3.3 Persamaan Gerak Partikel Medium 3.4 Persamaan Gelombang

3.4.1 Persamaan Gelombang Longitudinal

3.4.2 Persamaan Ge10mbang Transversal

3.5 Penye1esaian Persamaan Ge10mbang

3.5.1 Penyelesaian Ge10mbang Bidang

3.5.2 Penyelesaian Ge10mbang Bola

3.5.3 Penye1esaian Gelombang Silindris

3.5.4 Penyelesaian dengan Sumber Gelombang

3.5.5 Penyelesaian Persamaan Ge10mbang

pada Medium Terbatas

3.5.5.1 GelombangRayleigh 3.5.5.2 Gelombang Love 3.5.5.3 Ge1om1;Jang Stone1ey Daftar Acuan PENJALARAN GELOMBANG 24 24 31 35 39 39 41 42 43 46 48 50 52 52 58

60

63 64

4.1 Muka Gelombang dan Sinar Seismik 64

4.1.1. Persamaan Eikonal 67

4.1.2. Penelusuran Sinar pada Medium Heterogen 69

4.2 Pantulan dan Pembiasan pada satu Bidang Batas 73

4.2.1. Gelombang Datang: Gelombang P 75

4.2.2. Gelombang Datang : Gelombang SV 78

4.2.3. Pantulan pada Permukaan Bebas 81

(6)

BABV

4.3 Pantulan dan pembiasim.'padilMediUDlBedapis·.

4.3.1 Metode Thomson-HaskeU .! 4.3.2 Metode Kennett Daftar Acuan ATENUASI GELOMBANGSEISMIK 5.1 Pendahuluan 5.2 Koefisien Atenuasi

5.3 Faktor Disipasi Energi dan Faktor Kualitas

5.~ Atenuasi dan Dispersi

5.5 Pemodelim. Mekanisme Atenuasi

5.6 PengukuranAteriuasi

5.6.1. Metode Resonansi

5.6.2. M.etodfl Pen1WJIlan Magnitudo

, ". ,'" .-. ,"C;' I •• ; ; .'_ , •.. , , ' , ' . . 5.6.3. Met()(!(l).~.lI~io.Sp(lktraI 85 86 87 90

92

92 93 95 99 103 109 109 111 113 , 5.6.4. MetodeWaktuNliik 114 5.6.5. MetodePergeseranFrekuensiCentroid . , 116

5.7 ContohNilaiAtenuasi dan Faktor KuaIitas Batuan 119

Daftar Acuan 121

BABVI SIFAT PETROFlSIKARESERVOAR·DARI·SEISMIK

122

6;1PendahiliUlll1 6.2·Litoloi!;i seisriiik 1,'. ; 122 125 i '__ ;'," j ,'I. -'.' .', 6.3 Petrofisika Seismik '-, ;, 6.3.1. AVO 6.3.2. Inver§i AVO 6.3.3. KoreksiuntukAVO 128 132 136 138

(7)

6.4 Reservoir Seismik Daftar Acuan

139

144

BAR VII: DIFRAKSI : DAR! NOISE MENJADI INFORMASI 146

7.1. Pendahuluan 146

7.2. Teori Dasar 147

7.3. Pemodelan NumerikdanFisis Fenomena Difraksi 148

7.4. Tomografi Difraksi dan Holografi 149

7.5. Kesirnpulan 150

Daftar Acuan 151

(8)

(9)

-_._---BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Pengertian Seismologi Eksplorasi

1.2. Mengapa Aspek Fisis ?

1.3. Sejarah dan Perkembangan Seismik Eksplorasi

Daftar Acuan

(10)

(11)

-BAB 1

PENDAHULUAN

Pada Bab ini disinggung secwoa singkat pengertian seismologi eksplorasi, hubungannya dengan seismologi gempa bumi, bidang-bidang keilmuanlketeknikan lain yang terkait dengannya serta sejarah, asal usul dan perkembangannya. Dijelaskan pula alasan pemilihan aspek fisis dari seismologi eksplorasi yang dijadikanjudul dalam buku ini.

1.1 PENGERTIAN SEISMOLOGI EKSPLORASI

Seismologi secara umum adalah ilmu yang mempelajari gempa bumi. Dari gelombang gempa bumi yang terekam para ahli dapat menyimpulkan penyebab teJjadinya tempatllokasi asalnya, kekuatannya, jenisnya serta sifat-sifat atau perilakunya. Bahkan dari gelombang gempa tersebut dapat dipelajari struktur bagian dalam dari bola bumi

kita(Oldham, 1906 ; Lehmann, 1936).

Adanya gempa bumi alarniah baik yang berasal dari aktivitas gunung berapi maupun tektonik yang sulit dipastikan kapan munculnya serta dimana teJjadinya menyebabkan

gempa bumi jenis ini tidak dimanfaatkan oleh manusia untuk keperluan eksplorasi.

Maka direkayasa suatu gempa bumi buatan yang dapat diatur kekuatannya serta tempat dan waktu teJjadinya.

Jadi, seismologi eksplorasi adalah ilmu yang mempelajari gelombang gempa bumi

buatan untuk mempelajari struktur maupun strata bawah permukaan bumi yang

(12)

Pendaliuluan

hasilnya dapat dimanfaatkan untuk keperluan eksplorasi sumber daya alam seperti rriinyak, gas bumi, batubata maupun untuk mendukung teknik sipil.

Seismologieksplorasitidak beidiri' sendiri. TImu ininlula-rnulabersumber dati seismologi gempa bumi kemudian mengalami pengembangan yang demikian pesat berkat dukunganilmu-ilmu lain seperti instrumentasi, koinputer/komputasi, fisika,

matematika, geologi, sekuen stratigrafi, teknik reservoar, anali~is log sumuran, teknik

elektronikal komunikasi dan geodesi(positioning).

Penerapan seismologi e~plorasi.dalamindustri minyak dan gas bumi saat ini tidak

hanya terbatas pada pencatian lokasi-lokasi yang prospektif tetapi juga telah

dimanfaatkan untuk keperluan pengembangan lapangan, perkiraan cadangan

(pemelajaran reservoar) dan produksi. Metode seismik eksplorasi 2 dimensi (2D)

meningkatkan rasio keberhasilan pengeboran dati 10 : 1 nienjadi 6 : 1. Sementara

met()dl: seismik .eksplorasi 3 dimensi (3D) meningkatkannya lagi menjadi 3 : 1. Artinyadati 3 pengeboran yangdilakukao, paling tidak 1 berhasil.

1.2. MENGAPA ASPEK FISIS ?

Kemampuan para ahli dalam memahami perilaku gelombang seismik sangat

•dipengarllbi oleh pemahiunannya tentang

prinSip-prinsip~ri fisik~

yang meridasati

teoripenjalarangelombang seismik di

dRJ.lmil~pisan ba~ahpermukaan

.

.Seismologi eksplonisi mempunyai bariyak aspek. Ada aspek geologi,'

~da ~pek

- ,

instrumentasi, ada aspek teknik lapangan, aspek navlgaSi, ada aspek komputRsi (pengolahan data), ada aspek matematika, ada aspek fisika, ada aspek ekonornilbisnis,

'ad~

iUlpek transportasi, a.da aspek keselamatan

kerja,~~

aspek perijinan clan

lain~lain.

Bukoini

mengup~s

aspek:fisikanya' saja' sebagai

s81ahsatUb~kalyang~enting

bagi

mahasiswa untuk dapat memahami metode seismik eksplorasi dengan baik.

2

(13)

-,--~.-._--Pemlalitiluan

Pembahasan konsep-konsep fisika dalam seismologi eksplorasi tidak dapat dilepaskan

dari simbol-simbol matametika. Dalam buku ini penggunaan matematika sudah

ditekan sedemikian rupa supaya tidak menambah kesulitan barn bagi abIi-abli yang tidak biasa bergulat dengan matematika. Sebagai imbangannya konsep-konsep fisis tadi banyalc dilukiskan dalam bentuk iIustrasi.

1.3 SEJARAH DAN PERKEMBANGAN SEISMIK EKSPLORASI

Seismologi gempa bumi yang mulai berkembang pada akhir abad ke-19 dan

memberikan pengetahuan tentang struktur dalam dad bola bumi diawal abad ke-20 rupa-rupanya meng-ilhami para abIi iImu kebumian untuk menerapkannya bagi kepentingan eksplorasi minyak. Orang berusaha menead eara dan mengembangIain

alat agar pengetahuan dan pengalaman yang diperoleh dad seismologi tadi dapat

dipakai untuk menambah kesejahteraan manusia. Maka muneullah metode, peralatan

dan teknik yang dikenal dengan nama seismik eksplorasi teJjemahan dad seismic

exploration atau seismic prospecting.

Pengembangan seismik eksplorasi selain ditopang oleh seismologi gempa bumi

sebagai ilmu yang lebihtuajuga dipieu oleh pengalaman dalam Perang Dunia I bahwa

dad suara tembakan artileri memungkinksn penyerang-penyerang yang eerdik

menentukan lokasi tempat ditembakkannya artileri tersebut. Seorang abIi

berkebangsaan Jerman yakni Mintrop kemudian merekayasa pengalaman itu agar dapat diterapkan bagi kepentingan eksplorasi lapisan-Iapisan yang ada dibawah

permukaan. Mintrop mem-patenkan penemuannya pada tahun 1914, tetapi

pelaksanaan di lapangan barn dilakulcan di tahun 1920 (Lavergne, 1989).

(14)

Pendahuluan

Sheriff dati. Ge1dart· (1982). nienuliskankrono1ogi perkembangan tekno1ogi seismik eksp10rasi tersebut sebagai berikut: .

1914 Mintrop mempatenkari. penemuannya tentanginetode pemetaan bawah

permukaan dan alat seismograph mekaniknYa.

1917 Fessenden mempatenkari. penemuannya yang beIjudul "method for

locating are bodies".

1920-1921 1923

Awal dari percobaan 1apangan seismik refleksi

Metode seismik refraksi dilakukim dalamrangka mencari minyak di

Mexico dan Texas. 1925

1927

Alat seismographe1ektronik yang peka berhasil dibuat.

Survey kecepatlln' ge10mbang seisIiiik di sekitar sumur pengeboran

'. (well veloCity survey

litau

check shot survey) . .i i '

1932 Berhasildibuat alat penguat gelombllIlg seismik yang terekam

(Automatic Gain Control Amplifier).

1933 Diperkenalkan cara baru pendeteksian ge10mbang dengan Array

Geophone..

1936 Diperkenalkah rekaman seismikpertama yangdapatdi

repr~duksi.

1.937 Survei seismik refleksi ke SaudiAr~bia, Jawa, S;untatra danECluador.

1939 Survei seismikdilepas pantaiTe1uk Persia, Penama dan Tndia.

1946 Geophysical SiIrVice Inc. (OSI), imembentuk 1aboratorium

dan

Manufacturing' Division .'yang .inengkhususkan' 'diri' dalam pengembangan instrumentasi.

1950 Teknik survei di 1apangan yang disebut Common Depth Point (CDP)

shooting diperkenalkan ke dunia industri.

1951 DiperkenalkanMedium Range Radio Navigation.

4

(15)

---Pcndahuluan

1952 Diperkenalkan pemakaianAnalog Magnetic Recorder.

1953 Diperkenalkan sumber gelombang seismik yang spektrum frelruensinya

dapat di kontrol yakni Vibroseis.

1954 piketemukan cara dan alat untuk merekam kecepatan gelombang sonik

disepanjang sumur pengeboran (continuous velocity logging) yang

disebut log sonik.

1961 Diketemukan cara untuk melakukan dekonvo1usi dan pem-fi1teran

kecepatan secara analog.

1963 GSI memperkenalkan alat perekam gelombang seismik yang pertama

kali memakai tekoo1ogi digital.

1965 DiperkenalkanAir gun seismic source.

1967 Geophysical Analysis Group dari MIT mempublikasikan hasil-hasil penelitian untuk menerapkan konsep digital dalam pengolahan data

seismik.

1972 Ditemukan fenomena brigh spot dalam penampang seismik akibat

refleksi yang kuat oleh lapisan pasir berisi gas.

1976 Survei seismik 3 Dirnensi mulai dikerjakan. Ditahun itu juga mulai

diperkenalkan penampang seismik khusus yang disebut penampang irnpedansi akustik.

1979 Diperkenalkan penampang seismik lain yang disebut atribut-atribut

seismik.

Di tahun 1980-an banyak dicapai pengembangan-pengembangan tekoologi yang langsung diadopsi oleh seismik eksplorasi (Nelson, 1983) diantaranya adalah

1. Penggunaan mikro komputer dengan prosesor yang cepat, keci1 dan

murah.

2. Peralatan untulc penentuan posisi dengan satelit.

3. Geofon dengan 3 komponen arah getar.

(16)

Pendahuluan

4.

Perigembanganalafp~rekarridenganjtimlah

saltirari

y~g

sangat banyak

(untuk survei seisIIJik3;1)),

5. Telemetri gelombang seisrriik

6. Seismik lubang summ(Vertical Seismic Profiling),

, ToriIaxdBndownhole seismic sOurce.

7.

8. 9. 10. ll. 12.

13.

Fibre Optic Transmission. Satellite Data Transmission. Interactive Interpretation Console Intelligent Piciilre Processors. ','

.

Three Component RecordingdanShear Wave Analysis. NumericaldanPhysical Modeling.

Database Eksplorasi

Di tahun 1990-an banyak kernajuan di bidang analisis data seismik yang dicapai

ditunjang oleb munculnya. 'komputer-komputer .

mirii

ataupun jenis PC yang

kemampuannya amat

be~ar.bi~tiu:anYa

adal8h :

1. Konsep dan metode analisis AVO (Amplitude Variation

with

Offset).

2. ,Estirnasi sifat-sifat petrofisika dari data seismik.

3. 'Anilisis refleksi

~

difraksi

secirr~

tomografi.' .,".

4. Seismic' 4 Dimensi untuk kepentingan pemantauan karakter reservoar setelahpendesakan l!!lp.

I, ". ', . . , . '_ ..

5. Pemanfaatan ,perangkat lunak, untuk kompres;' dandekompresi data seismik.

6. Analisis anisotropi ,

7. Kombinasi data seismik dengan geostatistik.

8. Perangkat lunakc1al:).perangkat keras. ~tukvi~ualisasi grafik/benda 3

dimensi.

(17)

·Pendahuluan

Artikel yang menarik bagi mabasiswa tentang sejarab dan perkembangan telmologi seismik eksplorasi dapat dibaca pada tulisan Suprajitno Munadi (1993).

DAFTAR ACUAN

Lavergne, M., 1989. Seismic Methods, Editions Technip, Grabam & Trotman Ltd,

London.

Lehmarm, 1., 1936. The Seismological Discovery of the Earth's Inner Core, Bureau

Central Seismologique International, Series A, Travaux Scientifique, 14, 88.

Nelson, Jr.H.R.., 1983. New Technologies in Exploration Geophysics, Gulf

Publishing Co, Houston.

Oldham, RD., 1906. The Constitution of the Interior of the Earth, as Revealed by Earthquakes, Quarterly Journal, Geological Society, 62, 456-475.

Sheriff, R.E. dan Geldart, L.P., 1983. Exploration Seismology Vol I : History, Theory and Data Acquisition, Cambridge University Press, London.

Suprajitno, M., 1993. Arab dan Perkembangan Teknologi Seismik Eksplorasi, Lembaran Publikasi Lemigas No,2/93.

(18)

;.

,.~ .:'..;'.

(19)

BAB2

GELOMBANG SEISMIK

2.1. Pengertian Gelombang Seismik

2.2. Sumber Ge10mbang Seismik

2.3. Tipe-Tipe Ge10mbang Seismik

2.3.1 Menurut Cara Bergetarnya

2.3.2 Menurut Tempat Menja1arnya

2.3.3 Menurut Bentuk Muka Gelombang

2.3.3.1 Ge10mbangBidang

2.3.3.2 Gelombang Silinder

2.3.3.3 Gelombang Bola

2.3.3.4 Gelombang Kerucut

2.4. Manifestasi Gelombang Seismik Dalam Rekaman

Lapangan

(20)

~i;:) ._'_\.JL-L~ ,.'._.. ~ ."jC;':.n~ -l~:''-- :t·.," l2('rr,-' ,-' ;- . , j '_. ;1i-i':rt""--.1\/i .: I '. ,.'.•J . " -.'• • _ :r',;,~ ," e. ".' . - ,·l ,., ••J1 .; '---'" t. ~ ~ '---.'..

,

...":.:..

,.'-

.

(21)

I

BAB2

GELOMBANG SEISMIK

Pada bab ini pengertian dasar tentang gelombang seismik dibahas secara lrualitatif. Gelombang seismik yang dimakllud hanya dibatasi dari sumber gelombang buatan yang umum dipakai dalam seismik ekllplorasi. Selain gelombang menjalar didalam~

tubuh medium (body wave) diperkenalkan juga gelombang yang menjalar di permukaan antara dua medium. Tipe-tipe gelombang seismik berdasarkan bentuk muka gelombangnya seperti gelombang bidang, gelombang silinder, gelombang bola dan gelombang kerucut juga diperkenalkan pada bab ini.

2.1 PENGERTIAN GELOMBANG SEISMIK

Gelombang seismik adalah gelombang mekanis yang muneul akibat adanya gempa bumi. Sedangkan gelombang seeara umum adalah feuomeua perambatan gangguan

(usikan) dalam medium disekitamya. Gangguan ini mula-mula teIjadi seeara lokal

yang menyebabkan teIjadinya osilasi (pergeseran) kedudukan partikel-partikel medium, osilasi tekanan ataupun osilasi rapat massa. Karena gangguan merambat dari satu tempat ke tempat lain, berarti ada transportasi energi.

Gelombang seismik disebut juga gelombang elastik karena osilasi partikel-partikel medium teIjadi akibat interaksi antara gaya gangguan (gradien stress) melawan

gaya-gaya elastik. Dari interaksi ini dapat muneul gelombang longitudinal, gelombang

transversal dan kombinasi antara keduanya. Apabila medium hanya memuneulkan

gelombang longitudinal saja (misalnya di air atau di dalam fluida) maka dalam

kondisi ini gelombang seismik sering dianggap sebagai gelombang akustik.

(22)

Gelombang Seismik

2.2 SUMBER GELOMBANG SEISMIK

Sumber gelombang seismik pada mulanya berasal dari gempa bumi alam yang dapat

berupagempa volkanik.mauPungempa tektonik, akan tetapi dalam bukuinidipalcai

sebagai titik tolak pembahasan adalah sumber gelombang seismik buatan. Ada

beberapa macam.sumber gelombang seismik buatan seperti dinamit, bendajatuh, air

gun, water gun, vaporchoc, boomer,' sparker maupun vibroseis. Sumber gelombang

seismik buatan tersebut pada hakekatnya membangkitkan gangguan sesaat dan lokal

yang kita sebut sebagaigradi~nte&angan(stress).

',- _.

,

_,

Gambar-2.1 : Pemampatan dan perengganganpartikel-partikel medium akibat •. adanya sumber usikan dapatdinyatakan dalam bentuk grafik

tefullnataupetge~eranpartikersebagaifiuigsijai:ak atau

'wiIktu

. .. c;;Yang4isebl1t selJagaisi;tJ.yaI seisrnik,(D,<?prin, 1979)·

Gradientegangan mengakibatkantergariggimya keseirnbangari' gaya:'::gaya ·didliHiin

medium sehingga teJjadi pergeseran titikmated yang menyebabkan deformasi yang

ni~hj

alk£

dans'afutitik' ke tift'

lain.

DeJ'onnasi

fufaapa'fbbni~'lipeinampataridim

pereilggarigiilip8rlikel:.~iirtJkel

mediurnyang menyeblibkk6sUmii tekariiu'Jliapat

rillissainaupun pefuutaran

(rotasi)partikeI~partikel

meiliUlIl. Apabila medium bersifat

elaitis sempuma maIai

~ettllahIIll;IJ.galami

deformasi sesaat tadi mediuni akari kembali

ke keadaan' semula.. Osilasi tekanan maupun rapatIIiassa dalam' medium dapat dilukiskan seperti tanipa:k pada Gambai: 2.1.

.

,

9

(23)

-Gelombang Seismik

Kurva osilasi yang bentuknya mirip sinusoidal terpotong dinamakan sinyal seismik

(seismik wavelet). Dalam gambar, osilasi tadi terlibat mewakili ruang akan tetapi

dalam sumbu waktu bentuknya mirip juga.

2.3 TIPE-TIPE GELOMBANG SEISl\1IK

Tipe gelombang seismik yang dikupas dalam Bab ini dibedakan atas cara bergetarnya,

tempat menjalarnya dan bentuk muka gelombangnya.

2.3.1 Menurut Cara Bergetarnya

Menurut cara bergetarnya gelombang seismik dibedalcan atas dua tipe yaitu :

1. Gelombang longitndinal : arah getar (osilasi) partikel-partikel medium searah dengan arah penjalaran (libat Gambar 2.2). Gelombang logitudinal disebut juga

gelombang kompresi (compressional wave) lairena terbentuk dari osilasi tekanan

yang menjalar dari satu tempat ke tempat lain. Disebut juga gelombang P

(Primary) karena datang paling awal dibanding gelombang-gelombarig yang lain.

Illtl~

Gambar-2.2: Gelombang kompresi atau gelombangP

Gambar-2.3 Gelombang tranversal atau

gelombang S (dari Bolt, 1976)

(24)

Gelombang Seismik

2. Gelombangtransversal:arahgetar(osilasi) plirtikel-plirtikel mediumtegak lurus terhadap arah peIijalarannya (lihat Gambar 2.3). Gelombang transversal disebut juga gelombang rotasi. Disebut juga gelombangSkarena datangnyasetelah

gelombang P.

Bila arah getar gelombang S terpolasir padabidang.v..ertikalmaka gelombang tipe

iJ:ri

disebut gel()rnbang SV,SedangkaJ1 bil!!-arah getarnya tprpolarisirpada bidang

horizontal maka gelombang tipe_{. "}jilldinamakan gelombang SH (lihat Garnbar 2.4).

' ;- , . ,- " ; ',,~

Ada tipe gelombang lain yang merupakan kombinasi antara kedua tipe tersebut diatas seperti misalnya gelombang Rayleigh (lihat sub bab 2.3.2) yang bertipe P-SV.

2.3.2 Menurut Tempat Menjalarriya

Meriurut tempat menjalarnya, gelombang seismik dapat dibedakan menjadi dua

bagian y<lkni

gelomb~g

tubrih(body

w~~)

yangrnenjalar

m~uk

menembus medium

dan gelombang permukaan

(surfac~'wave),

3lllplitudonya melemili bilasemakin

masuk ke dalarn medium.

Dalam sub bab 3.5.5 dikupas sedikit mendalam tentang beberapa tipe gelombang permukaan yakni gelombang Rayleigh (lihat Gambar 2.4), gelombang Love (lihat

Gambar 2;5), pseudo Rayleigh,~pseudo Love dan gelombang Stoneley ataupun

gelombang tabung. "...

~~~-,~----,

(25)

Gelombang Seismik

RAYLEIGH -__...

direction of

wave

ad~v;an;c~e~~~=-surface

Gambar-2.4 : Gelombang Rayleigh bertipe P-SV. Partikel medium bergerak pada bidang vertikal mengikuti pola elips sementara penjalaran kearah lateral.

LOVE

Gambar-2.5 Gelombang Love bertipe P-SH. Partikel-partikel medium bergerak

mengikuti polaelips pada bidang horisDntal, sementara penjalarannya

kearah lateral.

Gambar 2.6. adalah skema proses teIjadinya gelombang tabung yang pada hakekatnya

merupakan gerak/aliran fluida disepanjang sumur pengeboran. Gerak fluida ini

diakibatkan oleh osilasi dinding sumur yang merambat dalam arah axial.

(26)

Gelombang Seismik \

I

A I Ai.

,

I

\

s"

\

..,-

_---,

~ ~ S \.¥ I I

\

J I_I I_I I _: _I I I

\

{ I

I

-k I I

\

---Gambar-2.6: Gelombang tabung mempuriyat iigaproses. Yang pertama adalah kontraksi dinding sumur, yang kedua adalah merenggangoya dinding sumur dan yang ketiga adalah aliranfluida di dalamlubang sumur.

2.3.3..Menurut~entuk MukaGelombang

Berdasarkan bentuk muka gelombangoya (wavefront),gelombang seismik dapat

dibedakan atas empat macam yakni gelombang bidang/datar, gelombang silinder,

gelombang bola (sferis) dan gelombang kemcut(conic).

Kita akan mendefurisikan terlebih dahulu pengertian

~uka

gelombang. Muka

.

. .

, ' , . . . . _,',.:. ;',-, . " . . 1 . _ · ; . ,. '_ . " . " " . _ , . ' ; . , : .

gelombang adalah silafu bidang pe=ukaan yang pada suafu· saat tertenfu

!" :, , ; ,:' "',,:; .. - : . ' " ; ,,_. ,: .-i!, ::' :.;' _;':~·:.:.I>

membedakan medium yang telah temsik dengan medium yang belum temsik. Muka gelombang merupakan potret dari penjalaran usikan.

(27)

Gelombang Seismik

2.3.3.1 Gelombang Bidang

Gelombang bidang atau gelombang datar ditimbulkan oleh sumber terkolimasi (Tjia, 1994). Gelombang bidang menjalar sepanjang satu arah tertentu dengan muka gelombang yang berupa bidang datar tegak lurus pada arah perarnbatan (lihat Garnbar 2.7).

Garnbar-2.7 Gelombang bidang merarnbat kearah x positif. Muka gelombang

berbentuk bidang datar.

2.3.3.2 Gelombang Silinder

Gelombang silinder dapat ditimbulkan dari sumber usikan yang seragarn dan terletak disepanjang suatu garis lurus. Gelombang silinder menjalar ke semua arah tegak lurus pada garis sumbu dengan kecepatan sarna. Muka gelombangnya berbentuk silinder yang koaksial (sesumbu). Garnbar 2.8 adalah visualisasi dari gelombang silinder.

Garnbar-2.8: Gelombang silinder

merarnbat kearah radial simetris terhadap sumbu tegak.

(28)

Gelombang Seismik

2.3.3.3 Gelombang Bola

Gelombangbola (sferi~) _{ditimbulk3Il oleh swnber berupa titik (point source) yang}

menjalar ke segala .arah menllju kepusatbola atau mc;:njauhi pusat bola d,engan kecepatan yangsama, muka. gelombangnya berbentukpermukaanbola. yang konsentris (sepusat). Gambar 2.9 adalah visualisasi dari gelombang bola yang merambat dalam medium homogen, isotropik dan elastik sempurna.

. Gambar-2.9 : Gelombang bola (digambar

\4)menjalar kearah radial

menjauhi pusat bola

2.3;304GelombangKerucut

Gelombang kerucut ditimbulkan oleh sumber yang bergerak. Dalam hal ini sumber

gelombang bergerak lebih cepat dari pada cepat rambat gelombang itu sendiri dan

muka gelombang berupa kerucut-kerucut yang sesumbu. Keadaan ini dijumpai pada

", ". " . . " ':'" . , . -

.-penerbangan pesawat supersonik (lihat Gambar 2.10). Disirii kecepatan pesawat lebih

, ' - " - " ; ..

tinggi dari pada kecepatan suara di udara.

15

(29)

-Gclombang Scismik

Gambar-2.l0 Muka gelombang berbentuk kemeut akibat sumber gelombang

bergerak lebih eepat dari pada keeepatan suara.

Dalam gelombang seismik hal ini terjadi juga yakni pada fenomena perambatan

gelombang terbias (head wave). Lihat Gambar 2.11. Fenomena ini muncul bila

gelombang seismik masuk ke dalam medium yang lebih besar eepat rambatnya dengan sudut datang meIebih.i sudut kritis. Karena menurut Huygens setiap titik dalam medium yang telah diusik menjadi sumber gelombang bam, maka titik-titik disepanjang bfdang batas pembias tadi menjadi .sumber gelombang yang bergerak lebih eepat dari pada eepat rambat gelombang di lapisan pertama.

Gambar 2.11 adalah penjelasan lebih rinci dari timbulnya gelombang kemeut yang

diberikan oleh Cagniard (1960, 1962).

(30)

Gelombang Seismik

I

\ \' \ \ \ \ \ \ 1 2 , , " i.' , '

Gambar-2.1l: Untuk suatu waktu tertentu muka gelombang P di lapisan pertama

bei"ada dibelakangfuuka .' gelombartg P .dilapisan. kedua

sehinggabidang, batas: antara kedu!li JapisaJ+ merupakan

tempat kedudukan dari puncak-puncak kerucut. Hal yang sama

terjadi untuk gelombangS.

~'.: ji d ;" _i,

Uutuk lebih mempe~elas gambaran tentang tipe-tipe glliombangberdasarkan :muka

gelombangnya, berikut ini dilukiskan penjalaran gelombang dalam bentuk diagram

muka gelombang satu dimensi yang dibuat oleh Thornburgh (1930), lihat Gambar 2.12.

(31)

Gelombang Seismik

Gambar-2.12 Sumber S memanearkan gelombang bola di lapisan pertama. Di

lapisan kedua yang keeepatannya lebih besar dari pada di lapisan pertama muka gelombangnya lebih eepat menjalar. Pada sudut datang lebih besar dari pada sudut kritis muneul gelombang head

waveyang muka gelombangnya berupa bidang datar. Hal yang sama

teIjadi pada bidang batas antara lapisan dua dan tiga

2.4. MANIFESTASI GELOMBANG SEISMIK DALAM

REKAMAN LAPANGAN

Dengan mempergunakan eara pengukuran yang umum dipakai dalam seismik eksplorasi, maka gelombang-gelombang P, SV, Rayleigh dan Stoneley terekam dengan pola yang berbeda-beda sehingga mereka dapat dikenali dengan mudah. Karena keeepatannya yang tidak sama maka dalam diagram t-x (waktu-jarak) gelombang-gelombang tersebut tampak terpisah.

Gambar 2.13a adalah eara perekaman gelombang seismik yang umum dipal(ai dalam seismik eksplorasi (2 dimensi). Sumber gelombang diletakkan pada suatu posisi tertentu dan detelctor ditempatkan di banyak posisi dari posisi 1 sampai dengan 12 atau

lebih. Jarak antara sunlber gelombang terhadap detektor disebut offset, sedangkan

jaral( antara grup detektor disebut grup interval.

(32)

i" _GelombangSeismik

'_'--,

. 5

'z

1 2 3 4. 5 6 7- e 9 10 II IZ ~COP No. --r-"·

- -

-

_{_ . . . : - .}

-

_---.. _{'- -} _-

-Gambar-2.13a : Teknikpengukur~dalamseismik eksplorasi sumber di S dan ,

deterctor ditempatkan di posisi-1 SaIIlpai dengan 12 atau

lebih (48-96).

Gambar 2.13b adalah contoh rekaman seismik yang diperoleh. Pantulan

gelombang-. " . ' ..C ; · ' r • _ ':, ' . ' ''-~::. ". " : . "

gelombang seismik oleh bidang batas antar lapisan membentok pola-pola hiperbola. .' -' "., - . " . , .. ' ' , ' '. "

Gelombang langsung berpola garis lums bermula dari titik sumber dan mengarah

• . . - ' , • . ' , , . ' , ' I i ,: .

dengan kenliringan tertfmtu. Kemiringaninisesuai dengan seper kecePatan di lfipisan

, '

pertama. Ada gelombang lain yang juga berpola garis lurus dengan kerrllringan yang

berbeda dan. sinyalnya ,mengalami dispersi. Gelombang ini disebut gelombang

Rayleigh (fJl:ound roll).-:Oari kemiringannya dapat disimpulkari bahwa ke~epatan

p~njalaran"gelombang

Rayleigh. lebih rendah dari pada kecepatan penjalaran gelombang langsung.

(33)

10,000 FT.

p

250FT.

Gclombang Scismik

Gambar-2.13b Contoh bentuk rekaman dari telmik pengukuran lapangan tersebut

diatas. Gelombang langsung (P), gelombang terpantul (P) dan gelombang Rayleigh (P-SV) mempunyai pola waktu datang sendiri-sendiri (dari Sherwood, 1982)

(34)

Gelombang Seismik

Contoh tentang gelombangtabung (Stoneley) banyak didaparpada rekaman seismik sepanjang sumur pengebobJJl:yimg sering dikeo.31 dengimlJ.imJa rekaman seismik

.' ('. . ' , . . ' . -: '

vertikal (Vertical Seismic [>r.ojiling). Sumber gelomhan.gdipermukaan menimbulkan

pemampa.tanidan perengganganPartike1-partikel medium yang sampai juga di lubang

sumur. Naba.tnya

dincUh

g

s~~:b~rgetar

dan flnida di dalanmya bergerak-gerak

, . ' " , , ; , - , .

disepanjang

lilbangsumur.D~ektoJ:;.:Y~g

..dLpasang disepanjang lubang sumur

merekam

g~lombangiangsting,gelbIn~angterpantul

dan gelombang tabung (lihat

Gambar-2.14). - = = gc,

==:----:

.. , 00·== GO' so '0' ]0 ~O' -,-~ --~ - ,-,.. --~

- '

a

'. '..,','. '~

a

C\.I

Gambar-2.14: Detektor y.mg ditempatkfui disepanjang

iubang

suin:urakanmerekam

gelombang langsung, gelombang terpantul dan gelombang tabung.

(35)

Gelombang Seismik

Perbandingan amplitudo antara gelombang P, gelombang S, gelombang Stoneley pemah dipelajari oleh Cheng dan Toksoz (1981) dari rekaman satu saluran (single

channel) pada kasus pengukurandisurnur pengeboran (lihat Gambar-2.15).

(+)

PSEUDO-~

""

'''~

--- PHASE

i

w 0 ₀ ::J I-::J 0-:2 "C

STONELEY~

(-)

TIME-Gambar-2.15: Amplitude gelombang P, gelombang S, dan gelombang Stoneleydi

dalam rekaman satu saluran pada kasus pengukuran di surnur

pengeboran (Cheng dan Toksoz, 1981).

(36)

Gelombang Seismik

DAFTAR ACUAN

Bolt, B.A., 1976.Nuclear Explosionsancl Earthquakes, W.H.,Freeman and Co.

Cagniard,L., ·1960:' Iritrodtiction a la Physiquedu Globe, Society des Editions Technip, Paris.

Cagniard, L., 1962. Reflection and Refraction of Progressive Seismic Waves~ Mc

Graw Hill Book Co., New York.

Cheng, C.H. dan Toksoz, M.N.; 1981.'Elastic Wave Propagation in a FluidcFilled

Borehole and Synthetic Acoustic Logs, Geophysics, v.46, p. 1042-10:53.

. ' "

Dobrin, M.B., 1976. IntroductioIltoGeophysical Prospecting, Me GrawHill.

French, A. P., 1971. Vibradonand Waves, TheMIT Introductory Physics Series.

Sherwood, J., 1982. Synthetic Seismograms with Offset for a Horizontally Layered

Elastic Medium, Technical Brochere, Geoph. Dev.Co.

Thornburgh, H. R., 1930. Wavefront Diagram in Seismic Interpretation, Bull. Am.

Assoc. Petrol. Geologist, Vol. 14, p. 185-200.

Tjia, M. 0., 1994. Gelombang, Dabara Publishers, Solo.

23

(37)

BAB

3 PERSAMAAN GELOMBANG

3.1 Teori Elastisitas

3.2 Konstanta Elastik

3.3 Persamaan Gerak Partikel Medium

3.4 Persamaan Gelombang

3.4.1 Persamaan Gelombang Longitudinal

3.4.2 Persamaan Gelombang Transversal

3.5 Penyelesaian Persamaan Gelombang

3.5.1 Penyelesaian Gelombang Bidang

3.5.2 Penyelesaian Gelombang Bola

3.5.3 Penyelesaian Gelombang Silindris

3.5.4 Penyelesaian dengan Sumber Gelombang

3.5.5 Penyelesaian

Persamaan

Gelombang

pada

Medium Terbatas

3.5.5.1 Gelombang Rayleigh

3.5.5.2 Gelombang Love

3.5.5.3 Gelombang Stoneley

Daftar

ACU3.11

(38)

.-.

'.

Ir:r :;)Lr~;:2.,'1" rE::;'l'::)',,'~~ iiJ~: . r .

c

r

,S;),lfi(: ((!., .'

..

;"j'~,; ..., ';,.:' . .", "-,.~.. (..,~

.

---~,- ~- -~- - . - . r

,-_.

(.,

.

'" . ;-[I -.'

(39)

BAB3

PERSAMAAN GELOMBANG

Pada bab ini dasar-dasar teoritis dari gerak gelombang seismik dibahas berdasarkan teori elastisitas. Penalaran matematis yang membuktikan bahwa usikan seismik menimbulkan gerak gelombang juga disinggung dalam bab ini. Demikian pula pembahasan penalaran matematis yang menerangkan bahwa akan ada' gelombang longitudinal dan transversal dari usikan seismik di dalam medium homogen. Penyelesaian persamaan gelombang memungkinkan di-prediksi-nya amplituda dan fasa gelombang seismik dalam ruang dan waktu.

3.1 TEORI ELASTISITAS

HukumHooke

Dalam Bab II telah disinggung bahwa gelombaug seismik berinula dari usikau mekauis pada suatu tempat yaug kemudiau menjalar di dalam medium. Penjalarau itu dimungkinkau karena sifat-sifat elastis medium bereaksi terhadap usikau tadi. Usikan mekauis terhadap medium ini dapat terjadi bila kesetimbaugau gaya-gaya pada tempat bermulauya usikan itu tergauggu.

Pembahasau gelombaug seismik secara fisis akau menjadi mudah dipahami dengau bertolak dari teori elstisitas. Teori elastisitas yang dikembaugkan pada awal abad 19 merupakan bagian dari mekauika medium kontinu yang memungkinkan dapat diabaikannya struktur molekul dari materi dan melukiskan fenomena makroskopis yang teIjadi dengan metode analisis matematik (Amenzade, 1979). Cauchy dan Navier adalah dua oraug ahli yang mula-mula menganggap bahwa benda padat adalah suatu

(40)

Persamaan Gelombang

sistem yang terdiri. dari partikel-partikel medium. Distribusi partikel ini menerus·

.(kontinu) sehiJ{ggaperge$;u:annyadapat dilacak sebagai fungsi koordinat.

Tinjau sebuah elemen medium yang kita andaikllIi berlJentuk kubus dengan panjiing sisi-sisinyamendekati nol (lihat Gambar 3.1).

\.

..

-

..

· ....

"

...

.

..

-

.

• • • • • • • • • • • " • I _ I • • I _ I ' •

::@:::::

.:::: :'

:.:=:::

· .' I ' .... . ... _.. . . .. _. • . '

...

:

..

,;",.\.~,.,

.:.

';":';:'-.'.:-.

-.-.;;';".-'

..

' . . " " . _ ' • _ _ a • • ", . _ . . . .

' , . . . \ • • • • I," 'I'"",.",', •.~ I!~~~:~',''-'• •

• • • • • • • • • • • • - . . . - ,I. • _ . • • •••• '... • __ '• • • ,:-'._.1,_ I ' •• ••••••. •• _'" • ~_._ • • •

z

• • ," 1 ' 1• I . . . . • ••••••• t, • • • I' • • • • • •

· .

·.,

• .., • • • • ,. , ' . ;'-: ' , ' : 'I',

wt

I . , . _ • • • • • • 1-'.",';,- I,' ... :'.,.: .... • "I' •• • • •• -.. • 1.1 ..' • . • • • -. I .~. • • '., • •' . -\ \ \ e' dz

~

.

' J [ '.' >Pyz·' ',' .. ..'...,..~. m .dy " , i 'I '.,,' "-. ;) ' I i .':

Gambar-3.1 Elemen medium berbentuk kubusdan gaya-gaya yang dialaminya

pada saat gelombang seismik menjalar di dalamnya.

(41)

Persamaan Gelombang

Tegangan (stress) yang bekerja pada bidang-bidang elemen knbus ada 9 macanl, yakni (pada bidang yang berlawanan, tanda berubahjadi negatif) :

yang dinotasikan sebagai beriknt :

Pxy

adalah tegangan yang berarah sejajar sumbu x dan bekerja pada bidang yang tegak lurns sumbu y.

Oleh sebab itu dapat dibedakan adanya :

o

Tegangan normal yakni P"", P'ij" Pzz,serta

I

o

Tegangan geser (tangensial) yakni tegangan-tegangan selain ketiga tegangan

tersebut diatas.

Dengan perkataan lainjika indeks tegangan disebut sebagai i danj, maka bila i=j kita

mempunyai tegangan normal dan bila i '" j kita mempunyai tegangan tangensial.

Dalam teori elastisitas, tegangan yang bekerja pada suatu medium kontinu akan mengakibatkan regangan (strain) pada medium itu. Hooke menyatakan bahwa hubungan antara tegangan dan renggangan itu linier selama besar tegangannya tidak melebihi batas elastik-nya.

Hukum Hooke secara umum (generalized) dapat dirumuskan dalam bentuk persamaan (matriks) 3.1. Hukum Hooke ini didapat secara eksperimental dan ditulis pada tahun

1660, akan tetapi baru dipub1ikasikan pada tahun 1676 (Morgan, 1983).

(42)

Persamaan Gelombang P'lO< Pyy P_zz

P

yz Pzx Pxy =

°

It C₂₁ C3! C4! CSt C6!

O;~'i

'C

l3 "

C!4

O;(C!~

: CkQ3 'G,4';0is

C:i6 032 033 0 34 03' 036 042 C~3 .':0₄₄

:°

₄,,'18₄₆ 0'2

°

,

53 ,' '0'4' 'OSS" ~S6 C 62 C6l,,';C64 ,,'C6,

,e

66 (3.1)

dalam halini

C1l ,C12, C13, •••• C66adalah konstanta-kqnstanta elastik(Cy)yangjumlahnya ada36,

c"", cyy,C2Zadalah regangan-regangan (strain) nonnal,

~;,.,' c&1laii~'e'~a'iJg;ci-reg~g~'t~g~nsi;Jt~es~r).·

'" " ; . ' ;i

agar energielastik hanya Menurut Love (1927) kondisi yang hams dipenuhi

merupakan fungsi tunggal dari regangan adaiah bahwa

," .

-'-' i' c, " i

'i'" ':,.\' \, " " . f ' , ;

:1

. ,..I

Hubungan inimengakibatkan jumlah konstanta elastik menurun dari 36 menjadi 21.

' I , ; .. ~' . . . :,:." ~. , . , ; ; . " ' . . . :~.

>,<,

', .. :",.

."

,i .."j; ,-r: : " I . , , ' , ' : ' " ~

Kemudian bila material mempunyai sumbil atau bidang simetri, jumlah konstanta

elastilhang"sucIllh'tin.g'g~21terseb!ltdkpatB~rkuran:glagt:s'eb~gai:

rloIlt6Ii'urituk

kristal berbentuk kubus hanya ada3konstanta elastik.

';1" , :1" " ,

, , / . .., '.

Uiifllkniedium padaf ylitig bgrsifa'tlsotropik,'!konstarita-kiiiistanta elasnk'hams

talc

bergantutig kepa:aa' koiifigurasi '.~hnibriC:slli:h1:iU "kodtdmiif"!

yang

f;mpilih"seiiihgga

akhimya hanya tinggal2 konstanta elastis saja, yakni : '."'-" ,,; "", 'I,

c · , , ;

. 1 .".,

" :_,,;',:.

I . t "

Konstanta-konstanta yang lain bernilai nol.

(43)

Persamaan Gelombang

A.

dan

fl

disebut konstanta-konstanta Lame yang mendefinisikan kelakuan medium

padat isotropis (lihat Kolsky, 1963).

Akibatnya persamaan (3.1) berubah menjadijauh lebih sederhana sebagai berikut :

Dalam bentuk umum dapat dituliskan :

sehingga berlaku untuk tegangan normal yang lain yakni Pyy dan P2Z•

Persamaan matriks (3.2) berlakujuga untuIe tegangan-tegangan geser: Pyz

=

/lcyZ

Pzx

=

/lczx

PXy

=

/lCXY

yang dalam bentuklUlllUlldapat dituliskan sebagai

(3.3)

(3.4)

fl

disebutjuga sebagai ketegaran (rigiditas) atau modulus geser (shear modulus).

(44)

Persamaaa Gelombaag

,;.. ' ',',~.' . ',;,

Dimuka telah disinggung sedikit istilah regangan

'rst'r~ln)

yang ;c!.ill6tasildulsebagaiEij

dan

e.

Indeks i danj dapat diganti menjadix,y atau z. Berikutiniistilah tersebut akan

_i: ..:t fl.-,;;L ~" TlJ;:: ,~;;-:.-'

dibahas secara lebih mendalam.

'-. >;

Bentuk yang paling:sederhana dari regangan adalah regangan linieryang didefinisikan

I " - ' , " ' , _ ' " " , : : L

sebagaiperubahan paitjarig persatuanpanjang. Pada arah sumbu

x "

, "'1 I i ,

Ax

g = (

Ax+(~}x}Ax

xx

maka untuk kedua sumbil yang lain

au

ax

dan ,g. = - -Ow

zz

"az

Dilatasi atau regangan volume (strain volume) didefinisikan sepaga,i pe~bahan

,',. "·'j.,lj'·,'. :: 'f; j'·:~;;';',iA:·

'J'-volume persatuan 'J'-volume (lihat Gambar 3.2).

--i':c ' j ' '

II!'

ii' - :! j ,.-,de ' . ",; .:~-"-.

! ! ' ,Gambar~,~ Regangan ;volum atau dilatasi

29

(45)

8= L'.Volume Volume

auavaw

= + +

-ax.

ay

8z Persamaan Gelombang (3.5)

Regangan geser (shearing strain) dijumpai pada keadaan sebagai berikut (lihat

Giunbar 3.3).

x

---o~~~=-.L---y

Garnbar 3.3 Regangan geser

Andaikan sebuah benda 2 dimensi mengalami puntiran maka teJjadilah deformasi sehingga

aw

tgu, =

-ay

av

dan tgu, =

-- az

Regangan geser pada sumbu y-z dapat didefinisikan sebagai

aw av

= +

-ay

8z

30

(46)

sehingga Ov

au

6

= +

-xy

ax

By

au

aw

6

= +

-'" az ax

,",1:

Persamaan Gelombang ': LXi'

Dari Gambar 3.3 dapat dilihat bahwa suatu benda. padat yang dikenai tegangan geser

(shearing stress) akan mengalami puntiran (rotasi).Besarnya~udutpuntir adalah (lihat

. !

Dix, 1952; Dobrin, 1976).

Disiniakandituliskan

Q

=aw:..-av

• By

az

Q

=au_aw

y

az ax

av-

-au·

..

Q = -z

ax

By (}.7)

Rotasi ini penting artinya pada saat membicarakan persamaan gerak gelombang . tranversal.

" . J ' ' ) ':J:.!~::

3.2 KONSTANTA ELASTIK

.c

: i,-.

Konstanta elastik yang diberikan oleh persamaan (3.1) lebih berdasar pada logika

matematika dari pada arti fisisnya.. Berikut ini akan dibahas. konstanta-konstan1:a

;i:,: - 'ii, ': .E·.·:::;./r;~~;.'- ~U::;': '::,_;J~'i,'.:;:-::'::: 'i:::'.::'.<

elastikyang terkait erat dengan pengertian fisis.

Perba.ndingan Poisson (Poisson's ratio, 0')

~...~

Perbandingan Poisson adalah perbandingan antara 'k6\itrakSi vertikal terhadap ekstensi lateralnya, Perbandingan ini pada hakekatuya rilerupakan perbandingan antara dua

31

(47)

-Persamaan Gelombang

regangan (dalarn hal ini arah lateral dibanding dengan arah vertikal). Lihat Garnbar

3.4. .41'

-'r

~ ~~

-

7,

.c.:'

1 - ':.,---,--6"

~-.,v

!

I

I K I '.-

,-'7

I I , J I

ctv"" '

I / ' L_ 2"

I~-Garnbar-3.4 : Rasio Poisson

yang dapat dirumuskan sebagai berikut

Modulus Young (E)

Modulus Young sering disebut sebagai modulus elastisitas garis. Untuk keadaan seperti Gambar 3.5 berlaku kesebandingan antara tegangan dan regangan sebagai berikut:

(3.8)

Keadaaniniserupa tapi tak sarna dengan kondisi yang dipakai untuk mendefinisikan

Ie

(salah satu konstanta Lame) seperti diperlihatkan Garnbar 3.6.

32

(48)

--:,o'-,~--X "I " I , 1/

-+\

_I~

k: XX Persamaan Gelombang y '.':,-',j" ---,--'--~ ~

xx

---,~-)---'

x'-'

y I 1 ) -_ _1 ' .' I I' I Gambar-3.5 Gambar-3.6

Gambar-3.5 dan

gambar-3~(; meny~t~~

perbedaan antara Modulus Young (E) dan

Konstante Lame(A.) sesuai dengan perurnusan (3.8) danq.9).

" ,").J-:. 1(

Pada modulus Young regangan (strain) searah dengan tegangan (stress),'sedangkan

I I . ' i '

I . I ," ; .. -'

konstanta Lame(A.) tegangan]ang terjadi ditirnbriIkiUr oleh tegangan yang berarah

tegak 1urus arahregangan. :

Modulus Onggok(Bulk Modulus, k)

M9dulus)?u1k secara fisisrgerupakanperbandingan,antilIat~kanantota,L(p) .terhadap

,;,reganganvo1ume;(dilatas~',H} Jadi .,:. ,_, '. ; ,; . ; f . k=P 8 (3.10) ,";:

.

-:~,.

Kebalikan dari modulus buIic adalah kompresibilitas

, '{':. '; 'L::i:~:' ..

1 8

~=-=

k P (3.11)

(49)

Pcrsamaan Gclombang

sehingga modulus bulk disebut juga "incompressibility modulus".

Jadi sejauh ini telah dibahas secara fisis pengertian konstanta-konstanta elastik E

(modulus Young),

a

(poisson's ratio), k (modulus bulk),

A

danJ.1 (konstansta Lame).

Hubungan antara konstanta-konstanta elastik tersebut diatas diberikan dalam rumus-rumus seperti tampak pada Tabel 3.1 (Sheriff dan Geldart, 1982).

Tabe1- 3.1 : Hubungan antar konstanta e1astik

= - ,-.----1[---1~~~---'---~r---T"J I I, I I : I ] I 1 1 , •

!

\

L IV- ! n I f II 'If - '

I

:

'A\ , 1#' .

il

,h~J"w~

-

b2:~1

,L,<"

,y,

[I

~"

- o ) i . j Konstanta /-.. M -2fl /-1 (E - 2/-1) k - 2f-l/3 CIE Lame(/-..) _{(3fl -}

_E)

_{(1- 0' -}

2d')

Rigiditas _fl _fl _fl _fl E (fl) _{2(1 +} _a)

Gelombang /-.. +2fl M ).L

(4IJ. -

E) _{k+ 4f-l/3} (1- a)E

bidang Modulus

_(3/l-

_E) _(l-a-2ei)

(M)

Modulus /-.. + 2f-l/3 M - 4f-l/3

f-!E

k

E

Bulk (k)

_{3(3/l -}

_E)

_{3 (I - 20-)}

Modulus fl(3/-..+

~

fl(3M-~ E 9f-!k E

Young (E) _(/-..+~ _(M-~

_l!-!

_{+ 3k)}

Rasio Poisson

_"-

(M-

2f-!)

(E-2J.Y

(3k-~ a

(0') 2

("-+/l)

_{2 (M-fl)} 2j.t 2(3k+~

(Sheriff dan Geldart, 1982)

(50)

Persamaan Gelombang

3.3 PERSA.MAAN GERAKPARTIKELME])Jtn\.1 .

Pers8j:Ilaan gerak dalam hal ini melukiskan gerakan partikel-partikel medium setelah

, ':, _,' - - ; r ,. - ': ,'. , ' . : - . ".-' ;::;, '-~_i::t,-' , " , . : . ; ,':L~:'

ada usikan mekanis. Usikan mekanisinimenimbulkan terjadinya ketidak seimbangan

, I, , " _. '; _. : .' ,'-':- :' ,. -,i':~_ ,',:i ' . :}! . , .! . .

gaya-gaya yang bekerja pada partikel medium tadi.

.Andaik~ta

titik

maten tersebufberlJentuk kubus dengan panj

ang

sisi-sisi. dx,-dy, dz

mendekati nol (lihat Gambar

3.1).

.

Tegangan-tegangan yangberarilisejajar suhlbu x

pa:d~

bidaIlg-bidang yang tampak

adalah I,

IT

dan

m.

<.

Sehiniga gaya-gaya n:etto adalah

, ! '

aP

•

I=P+~dx xx Ox . ' elP IT=;P""+.~dz

_az

-

.

ap

. ill=P +--...!Ldy

_{- .}

XY-~ay-F₁~Idydz-P"",dydz

_,

_, .

.~.

'(P_xx+

al'.';dxJ.dY~-P.xx~~Ydz

, O x ' -. . =

ap

xxdxdydz Ox , F2 ,;,IT dydx - P""dydx . ,'

~(p""

_,

+

aP""dzJ~Ydx-P""dYdz

_{az, .}

• _. .. . _; __ .' 0'_-- __ ... , __ .-.. _

=

ap""

dxd dz

az

Y '

'"

'.\

F ,hillc!X& - P .ml:dz __ .3,._, .. . , _.-,.~_.... __'XY. __._

~

(Piy

+

a~dyJdxdz-Pxydx~

• ....• " -- 'i~I'; '."

'B.P

...

= '''Y'dxdydz

ay

.

35

-~-.-.---,--• -~-.-.---,--• -~-.-.---,--• 'r'O '·':;lUl~'::.1 ',; . " 'i. -_!

(51)

Persamaan Gelombang

Jadi gaya netio yang bekeJja sejajar sumbu x adalab

F =F₁+F₂+F₃

_(BPlO< BPxz BPxyJdxddz - - - + - - + - - Y

ax

az

By

Apabila gayainimengakibatkan pergeseran (displacement) partikel medium sejauhu,

maka menurut hukum Newton

atau dx·d -

a

2 u ( BPxx BPxz BPXY

J

d d dz P ycIz-= - - + - - + - - x y

ae

ax

az

By

yang dapat disederhanakan menjadi

yang rnelukiskan pergeseran/gerak partikel sejajar sumbu x.

Denganjalan analogi, untuk pergeseran sejajar sumbu y didapat

dan untuk pergeseran sejajar sumbu z didapat

36

(3.12a)

(3.12b)

(52)

Persamaan Gelombang

Suku-suku yang mengandung

p.,;,

Pxi dan P

_tt

da'l~pers3filaan (3~12~)dapatdiganti

dengan runms tegangan yang diberikan oleh persamaan (3.3) dan (3.4) yakni

sehingga persamaan (3. 12a) berubah menjllOi

a2u

ae

a2u (a2u a2

y)'" (,

a

2

w

a2u)

p=A.+2J!+J! + +J! +

-at'

ax

ax2 ' By2' axBy'

axaz az2

ae

(

a2u a2u

a

2 u) " ,(,

a

2 u'

a2y

,a

2 w)

=A.+J! +l= +J! + +

-ax

ax2

By2

az

2 ax2 axBy axaz

,ae

n2'

"'a

(,80 '

av"

aw),'

="'-+J!v U+J!- ,-,-+-,~

ax

ax ax

By'

az

as

2"pe

=A.-+J!V

U+J!-ax

ax

atau

a

2_ri:

",,,,ae,',

P - 2= (A. + J!)-+J!V2u

at

ax

(3,13a)

Persllmaan (3.13a) menyatakan

~ersamaan,gerak

pamkel-paitikel medium pada arah

sejajar sumbu x.

1 ,-'" ,~, '.;,'

Dengan jalan yang sama dapat diperoleh persamaan gerak partikel-partikel medium sejajar sumbu y

(3.13b)

(53)

Persamaan Gelomban!l

dan yang berarah sejajar sumbu z adalah

82w 8S

P-2

=

(A.

+

Il)-+ 1l'V2w

at

8z

Dalarn bentuk notasi vektor persarnaan (3.13a) dap,at dituliskan menjadi

(3. 13c)

(3.13d)

Vektor

U.

yang menyatakan pergeseran dapat dikomposisi menjadi potensial Larne"$

dan

'II

(lihat AId dan Richards, 1980)

ii= 'VeIl

+

'Vx'P

maka (3.l3d) berubah menjadi

atau

Sehingga akhirnya didapat

dan

yang menyerupai persarnaan gelombang.

38

(54)

Persamaan Gelombang

Persamaan-persamaan gerak yang diberikan oleh perumusan (3.13) dapat dibentuk

II1enjildipersamaan gelombang dengaIn;nelakkan

rekaya~aaljabar.

3.4.1 Persamaan Gelombang Longitudinal

Diferensialkan persamaan-persamaan gerak (3.13a) ke arah sumbu x, (3.13b) ke arah

sumbuydan.(3.13c) ke arah sumbu z, kemudianjumlahkan.

, . · C " •

Dari

~(3.13a)

diperoleh

dx . , ' . .

,

" (3.14a) , dari

~(3'.13b)

diperoleh dy ·r. . , ··'i.··· dari

~(3.13c)

diperoleh dz

Tambahkan (3.14a), (3.14b) dan (3;14b)didapat

j '.

(3.14b)

(3. 14c)

39

(55)

---:---r-·---Persamaan Geiombang yang dapat dituliskan rnenjadi

atau atau

f(

2 au

8v

awJ

2 2(au

8v

awJ

p

- + - + -

=(t..+Jl)V8+Jl'i7

+ +

-at2

ax

Oy 8z

ax

Oy 8z

a

2₈

P-2

=

(t..+Jl)V28+JlV28 (3.1Sa)

at .

Persamaan (3.lSa) ini bentuknya rnirip dengan persamaan gelornbang yang dikenal

dalam rnekanika, yakni :

(3.lSb)

Dalam hal ini adalah kecepatan perambatan gelornbang dan 8 adalah fungsi

gelornbang. Karena

8

dalam pernbahasan sebelurnnya rnenyatakan dilatasi (regangan

volume, strain volume, lihat persamaan 3.5) rnilka persamaan (3.15) rnenyatakan

persamaan gelornbang dilatasi (compressional wave) atau gelornbang longitudinal

dengan kecepatan perambatanl penjalaran sebesar

a.

=

t t . . : 2Jl) (3.16)

Gerak gelornbang longitudinal (dilatasi) merupakan pemampatan dan perenggangan

partikel-partikel medium yang dijalari gelornbang tersebut. Dalam haliniarah gerakan

partikel-partikel medium sejajar dengan arah perambatan.

Dibandingkan dengan gelombang-gelombang lain dalam seismologi, gerak gelombang

longitudinal ini yang paling cepat sehingga selahl sampai di stasiun pengamatan

(detektor) lebih awal dari pada yang lain. ltulah sebabnya gelombang longitudinal disebut juga dengan nama gelornbang P atau gelombang primer.

(56)

,

3.4.2 Persamaan Gelombang Transversal

Persamaan Gelombang

Untuk mendapatkanpeisainaan, gerak gelombangrotasi, diferenSi!Ukan persamaan

, ". _ . . .~ - - , . ' - , - - '. : - : '

(3.13b) ICe arall sumbu

xdail

persamaan (3.13a) kearah

~~buy

dankurangkan.

'"

Diferensial persamaan (3.13b) ke arah sumbu x adalah

a

3

v a

2

8

~'8v

p=(A.+II)+IIV

-axat'axBy

ax

, 'f , . "'. ; i·

Diferensial persamaan (3 .13a) ke arah sumbu y adalah

a

3_u

_a

2_{8 '}

_au

p - - = (A.

+

1-1)--

+

1-1V

2-',

Byat'

axBy By

" Klirangkan persainalm (3.16a)danpersainaan (3;16b) didapat

yang menurut notasi rotasi (libat persamaan3.7)dapat dituliskan menjadi

(3.16a)

(3.16b)

-' ~'"

, (3.17a)

' ; ' .;.;\ ,',

Dengan jalan analogi dapat di:tunmkanuntukro~si

9x

qan~. '

Persamaan(3.1711) dllpat dituliskan menjadi

.,

..:....'; . , ' ',;,

'a-o=

~2V2Q 'at . , ," ",;, 'r L ", , " ,(3,17b) dengan ketimtuan !i [('

(57)

Persamaan Gelombang

Persamaan (3.17b) bentuknya mirip dengan persamaan gelomba,ng. Disini fungsi

gelombang Q_{z menyatakan gerak rotasi tegak lurns sumba z sedang perambatan}

gelombangnya searah dengan sumbu z. Cepat rambat gelombang rotasi atau gelombang transversal adalah :

(3.18)

Gerak gelombang rotasi (transversal) menyebabkan bergetamya partikel-partikel medium pada arah tegak lurns arah perambatan. Gelombang transversal disebut juga gelombang S (Secondary), karena bila dibandingkan dengan gelombang-gelombang lain dalam seismologi, waktu datangnya adalah setelah gelombang P (longitudinal).

Teon gerak gelombang transversal mula-mula diperkenalkan oleh Navier pada tahun 1821, kemudian dikembangkan secara lebib mendalam oleh Poisson pada tahun 1827. Kedua teon ini muncul kurang lebib bersamaan waktunya dengan Teon Fresnel tentang gelombang transversal pada cahaya (Kolsky, 1963).

3.5 PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG

Persamaan gelombang adalah persamaan matematik (persamaan differensial linear

orde 2) yang melukiskan gerak gelombang. Gerak gelombangini diwujudkan dalam

bentuk perambatan usikan (disturbance) dalam ruang dan waktu. Usikan merambat karena didalam medium terjadi transportasi energi dari satu tempat ke tempat lain.

Simbol

e

dan Q_{z dalam persamaan (3.15) dan. (3.17) disebut fungsi gelombang.}

Keduanya merupakan besaran yang berubah dalam ruang dan waktu. Fungsi gelombang ini dalam perhitungan dinyatakan dengan bilangan-bilangan sehingga fungsi gelombang akhimya berubah meIljadi satu obyek matematika yang terdefinisi secara baik (a well defined mathematical object).

(58)

Persamaan Gelombang Penyelesaian ·persamaan gelombang seeara filiis menentukan amplitudo dan fasa

gelombangdi suatu, titikdalamruang untuksuatu saat terten~,Seeara matematik

,penyelesaian persamaangelombang adalallfungsi-fungsi mateml;ltisyang jika. , . ,,'. _.. ' . ' . '. .,~ . . .. , c. ' , \ . . .. " . ' ,_, .. .... .. .,' ,_ ,c,_

dimasukkan ke dalam persamaan gelombang akan sesuai (memllnuhi).,

3.5.1 PenyelesaianGelombang Bidang

Pertama-tama marilahkita anggap bahwa fungsi gelombang<p hanya tergantung pada

'-~ d~t, sggaperaan

(i1S)

b~~'ba:hmenj~di

:

r .'"

'.,

1

ifcp . '.

a

2

_cp

.e2

at'

_.=,

ax'

(3.19)

Menurut d'Alembertdi tahun 17S0fungsi matematikyang memen~persamaanini

misalnya.

,\

:

yang dapat berupa

cp=f(x~et):. _{, , " .}. (3.20a) ._'ro. ; ..

• '.J

(3.20b)

'1.;,'; .. '

I

;' . ," " _,-, ri- , , " '-.' :',I, ,-:' , " : : ;': _' : i.'" ,;.- ,;';," c, ", ': ;.:,;,':-.I! r ;-',;i 1;";1" "-I::i:'',:' , ;~: ,,:. '

yangmeltikiskah ge10mbang yang ·meiambat dari sumber dan mengarlili menjauhi

sumber(progressive wave) bila diandaikan sumber terletak di 0(0,0).

I,"~

'Fungsi-fungsi' f(x+et) seeara matematisjuga memenuhipersamaan{3.19) akaI1'tlltapi

seeara fisistak dapat diteriIlla. sebagai penyelesaian persamaaIl gelombang· karena • rrtenyalahi syarat radiasi. Fungsi f(x+ct) menyatakan gelombang yang' merambat

menuju sumber. Kita mensyaratkan bahwa hanya ada satu sumber

eli.

0(0;0).·

(59)

Persamaan Gelombang

Fungsi gelombang<p dalam persamaan (3.20) tidak bergantung pada y dan z. Dalam

persamaan (3.20a), A disebut amplitudo dan (x-ct) disebut fasa. Bidang yang

melukiskan tempat kedudukan titik-titik yang, fasanya sama dinamakan muka

gelombang(wavefront) dan dapat dilukiskan seperti Gambar 3.7.

Gambar 3.7 Fungsi f (x-ct) yang mencerminkan gelombang menjalar kearah x

positif

Dari Gambar 3.7 dapat disimpulkan

x - ct = konstan atau d -(x-ct)=O dt atau dx -=c dt menyatakan kecepatan penjalaran gelombang.

Gelombang yang mempunyai bidang tempat kedudukan titik-titik yang amplitudo dan fasanya sama disebut gelombang homogen.

(60)

Persamaan Gelombang

Sekarang andaikan gelom~ang bidang:menjalar dalarn ruling seperti:yangdilukiskan

dalarnGamb_ar3~8.

..:'

z

x

y

Gambar 3.8 Gelombang bidang menjalar dalarn ruang dengan arah penjalaran

Membentuksudut8Jo 82dan 83terhadap sumbu-sumbu koordinat

I:::;"'~ _,.;",', II::) ~',-,,;, ·'.i~.",.: 1,-'",1."'-- , ' , ' :.:'~I' ' ..

Penyelesaian persarnaan gelombang (3.15) menjadi

, i .

dengan ketentuan

adalah cosinus arah. Dengan mengingat cp=f(lx+ my+

nz-

ct) 1= Cos 81 m=Cos82 n= Cos 8₃ ) ;.~ . '. '_r '. '"I . f .-:! (3.21) ,;: dan ID -=k; c

'IDCoser, ;

ID'Ceise'-k . 2 k ' 3 _k

Xl c y' c; z

(61)

Persamaan Gelombang

.

_. maka persamaan (3.21) dapat diubah menjadi

( t)- A ilwt-(k,x+k,y+k,z)j

cp x,y,z, - e

3.5.2 Penyelesaian GelombangBilla

(3.22)

Persamaan (3.15) dapat dinyatakan dalam koordinat bola sebagai berikut (ganti notasi

azimut q> dengan

$

supaya tidak raneu dengan fungsi gelombang).

1-

a

2 cp

=

JJ

~

r2

acp)

+

~

Sine

acp)

+

1

a

2 q>}

- e2

ae

71 fu\.

ill S~

ae

Sin 2e

a$2

(3.23a)

dengan menganggap bahwa jarak gelombang tak tergantung pada

8

dan

$

(lihat

Gambar 3.9),

z

y

x

Gambar 3.9 Gelombang bola

(62)

Persamaan Gelombang

maka persamaan terakhiriniberubah menjadi.: _:i , :}'

,

atau . 1

a

2q> c2

ae

2aq>

a

2q>

+

-r

ar

2 (3.23b) (3.23c)

Lakukan substitusi R =t

cp

sehingga .

aR

aq> - . =r-.+q>

ar . ar

a

2_R

a

2 q> aq> =r. + 2

-ar

2 _.

ar

2

ar

maka (3.23c) dapat dituliskan menjadi :

Penyelesaian umumnya adalah

rep =ft(r - ct) +f2(r

+

ct)

atau

1 . 1 '

q>= -ft(r -ct) +-f2(r + ct)

r r (3.24)

Penyelesaian ini menerangkan bahwa amplitudo gelOl:nbang bola betkurang dengan

bertambahnya jarak. Dengan demikian

ener~ya b~~~ang

dengan faktor

1/1.

Halini

. sesuai dengan sifat divergensi sfens dari gelombang bola karena di dalarn medium

;1',; - ; , ' ->I'~__ .-. '. I;:;,~,,',~;:~:

yang homogen isotropik energi gelombang didistribusikan (dibagi) keseluruh arah yang untuk suatu saat tertentu tempat kedudukarmya berupa kulit bola dengan luas

4nfl.-'

47

(63)

-Persamaan Gelombang Suku pertama dari persamaan (3.24) menyatakan gelombang bola yang mengembang

dengan muka gelombang berupa kulit-kulit bola, sedang suku kedua f2(r+ct)

menyatakan gelombang bola yang mengkerut menutu titik asal. Karena syarat radiasi di titik 0(0,0) maka penyelesaian suku kedua ini tidak kita pakai.

3.5.3 Penyelesaian Gelombang Silindris

Andaikan

cp

=

cp

(r,t) maka persamaan gelombang dalam koordinat silinder menjadi

8'<p 18<p 1 8'<p

+ =

-8r' r 8r c' at'

Separasi variabel

cp

= R(p) T(t)

Andaikan T(t)= e'Jwt maka persamaan (3.25) berubah menjadi

(3.25) B2R IBR k2R-0 - - + - - +

-ar

2 r

ar

d k __ co engan c

Bila dilakukah substitusi x= kr,akibatnya persamaan (3.25) dapat dituliskan menjadi

d2R 1 dR

- + - - - R = O

dx2 x dx

yang tidak lain adalah persamaan differensial Bessel.. Penyelesaian khususnya adalah

(3.26)

(3.27)

Iniberarti gelombang merambat seperti fungsi sinusoidal dalam waktu tetapi menuruti

fungsi quasi sinusoidal dalamjarak.

Keadaan yang lain adalah bila

cp

=

cp

(r, z, t) tetapi tak bergantung terhadap

8,

maka

persamaan gelombang dalam koordinat silinder dalam haliniadalah

(64)

Persama:m Gelombang '. <p==R(r)Z(z)ejmt . : . .. i c, karena 1alp <p dR r

ar

pR dp .."'., ' ·i !. i 1

'B

2_<p

_{a? , .}

---=-<p=-k <p c2

ae

_CO _a

maka persamaan (3.28)be.rubah menjadi ,

!(d2.R+~dRJ+.!.d2Z+k

2=0

R dr2 r dr zdz2 a

. . ' . . : " ' , '

(3.29)

Sesuai dengan teori penyelesaian persamaan differensial, penyelesaiandari persamaan

(3.29).adalah dengan melaknkan pengelompokan

dlih

menyaIIlakannya dengan suatn

konstanta misalnya (-v2y, sehingga didapat

d2R 1 dR 2 2 [,,' "',: - + - - + ( k -y)R=O dr2 _{r dr} _a d 2 Z- y2_Z=0 dz2, j I:

Persamaan yang bagian atas tidak lain adalahpersamaaIl'differensialBessel,~ehingga

penyelesaian-nya adalah

Ql=

(A,

J_o

(krl+A2Y1(krl)(B1,euz +B2e~"") e"'.

, ,

(65)

Persamaan Gelombang

dengan k2=

lea

2

+

v2(lihat Ewing, 1957). Terlihat bahwa ada saling keterkaitan antara

fungsi gelombang terhadapz dan r.

3.5.4 Penyelesaian dengan Sumber Gelombang

Pembahasan sejauh ini tidak memperhitungkan sumber gelombang seismik. Sumber gelombang dapat dilibatkan dengan dua eara :

1. Memasukkan kedalam persamaan gelombang suku yang menyatakan gaya

pembangkit gelombang,

2. Melingkupi titik observasi P dengan luasan tertutup S dan mengamati

efelmya di P seolah-olah diakibatkan oleh integral volume dari seluruh isi di

dalam Sdanintegral permukaan melingkupi S untuk menampung sumber di

luar S.

BilaF adaah gaya luar yang membangkitkan gelombang maka persamaan-persamaan

gelombang (3.15b) dan (3.17) berubah menjadi

a

2 8 _ 2<728 <7 p-- p-- a . v + v '

ae

2

-a

Q =p2_V2_Q+VxF

at

2 (3.30a) (3.30b)

Persamaan (3.30) dan (3.31) sukar diselesaikan seeara langsung. Metode yang sering dipakai untuk menyelesai-kan adalah telmik separasi variabel dari Helmholtz (lihat misalnya Sheriff dan Geldart, 1982, hal. 38).

Penyelesaian yang lebih populer adalah memanfaatkan rumus Kirchhoff yang dianggap sebagai deskripsi matematis dari prinsip Huygen.

(66)

Persamaan Gelombang ;'ii , . "" "7< -.'-". .-J~'.