• Tidak ada hasil yang ditemukan

Algoritma Perwanaan Bidang

Dalam dokumen MATA KULIAH KOMPUTER GRAFIK (Halaman 101-115)

Terdapat 3 berbagai pewarnaan graf, ialah pewarnaan simpul pewarnaan sisi, serta pewarnaan daerah (region). Yang hendak kita bahas merupakan pewarnaan simpul serta pewarnaan daerah (region).

Pewarnaan simpul merupakan berikan corak pada simpul-simpul sesuatu graf sedemikian sampai tidak terdapat 2 simpul bertetangga yang memiliki corak yang sama. Kita bisa membagikan sembarang corak pada simpul- simpul asalkan berbeda dengan simpul simpul tetangganya.

Dalam pewarnaan graf, kita tidak cuma hanya memberi warna simpul- simpul dengan corak yang berbeda dengan corak simpul tetangganya saja, tetapi kita pula imenginginkan isupaya ijumlah icorak iyang idigunakan isesedikit ibisa ijadi. iJumlah icorak iminimum iyang ibisa idigunakan ibuat imemberi iwarna isimpul isimpul idiucap ibilangan ikromatik idari igraf iG, iyang idinotasikan idengan iG. iFoto i1 imemperlihatkan isuatu igraf, idengan iG= i3.

Komputer Grafik 84 u merah biru

kuning kuning

biru merah

Gambar 6. 1 Tiga warna cukup untuk mewarnai graf ini

a. Algoritma Welch-Powell

Algoritma Welch- Powell merupakan sesuatu metode yang efektif buat memberi warna suatu graf G. tetapi algoritma ini cuma membagikan batasan

iatas iuntuk i( iG) iJadi ialgoritma iini itidak iselalu imemberikan ijumlah iwarna

iminimum iyang idiperlukan iUntuk imewarnai iG. iMenentukan i( iG)

isesungguhnya isangat isusah ikecuali idalam ikasus- ikasus isimpel isemacam

ipada icontoh- icontoh iyang ihendak ikita ibahas idalam ipertemuan iini.

Langkah- langkah dalam algoritma Welch- Powell:

a. Urutkan isimpul- isimpul idari iG idalam iurutan iderajat iyang imenyusut. iUrutan

iini ibisa ijadi itidak iunik isepertemuan isebagian isimpul ibisa ijadi imemiliki

iderajat iyang isama.

b. Pakai isatu icorak itertentu ibuat imemberi iwarna isimpul iawal. iSecara iberurut, itiap isimpul idalam icatatan iyang itidak ibertetangga idengan isimpul itadinya idiwarnai idengan icorak iini.

c. Ulangi ilangkah i2 idi iatas ibuat isimpul idengan iurutan ipaling itinggi iyang ibelum idiwarnai.

d. Ulangi ilangkah i3 idi iatas ihingga iseluruh isimpul idalam icatatan iterwarnai.

Komputer Grafik 85

Pakai algoritma Welch- Powell buat memberi warna graf G yang ditunjukkan pada gambar 6.2 serta tentukan bilangan kromatiknya.

Gambar 6. 2 Pakai algoritma Welch- Powell buat memberi warna graf G Penyelesaian :

Simpul v1 v4 v5 v6 v2 v3 v7

Derajat 5 4 4 4 3 3 3

Warna a b c c b d a

Jadi, ipaling itidak iada i4 iwarna idiperlukan iuntuk imewarnai igraf iG, i sehingga i i(G) i= i4.

Contoh i2.

Permasalahan isama idengan icontoh i1, iuntuk igraf iH iyang iditunjukkan ipada igambar 6.3 iPenyelesaian i:

Gambar 6. 3 Permasalahan isama idengan icontoh i1, iuntuk igraf iH

Simpul v1 v6 v2 v3 v4 v5

Derajat 4 4 3 3 3 3

Warna a a b b c c

Jadi (G) = 3

b. Pewarnaan pada Graf Bipartit

Sebuah igraf ibipartit iadalah isebuah igraf iyang isimpul-simpulnya

idapat idibagi ike idalam idua ihimpunan ibagian idimana isimpul-simpul ipada

Komputer Grafik 86

imasing-masing ihimpunan ibagian ibertetangga idengan isemua isimpul

ipada ihimpunan ibagian ilainnya idan ibukan ipada isimpul-simpul idalam

ihimpunan ibagiannya isendiri. iKarena itidak iada isimpul-simpul iyang

ibertetangga ike isimpul-simpul iyang ibertetangga ike isimpul ilain idalam

ihimpunan ibagian iyang isama, imaka isemua isimpul idalam isebuah

ihimpunan ibagian idapat idipetakan ike idalam iwarna iyang isama. iKarena

isimpul-simpul ipada idua ihimpunan ibagian isaling ibertetangga, imaka ipada

isetiap ihimpunan ibagian iharus idiwarnai idengan iwarna iyang iberbeda.

iDengan idemikian, idibutuhkan idua iwarna iuntuk imewarnai igraf ibipartit,

isehingga ibilangan ikromatis ipada igraf ibipartit iadalah i2.

Contoh 3.

Diketahui sebuah graf bipartit K2.4 seperti ditunjukkan pada gambar di bawah.

Gambar 6. 4 Graf bipartit K2.4

Dengan mengguanakan algoritma Welch-Powell, tentukan nilai kromatis dari graf di atas

Simpul v1 v2 v3 v4 v5 v6

Derajat 4 4 2 2 2 2

Warna a a B b b B

Jadi i i(G i= i2, idan idapat idilihat ibahwa idua ihimpunan ibagian idalam igraf

ibipartit itersebut iadalah im i= i{v1, iv2} idan in i= i{v3, iv4, iv5, iv6}

Contoh i4

Graf iG ipada igambar i5 iadalah igraf ibipartit. iPetakan iwarna-warna ike isimpul

isimpul idari iG idengan imenggunakan ialgoritma iWelch iPowell iuntuk

Komputer Grafik 87

imenunjukkan idua ihimpunan ibagian idari isimpul-simpul iyang imembangun

iG.

Gambar 6. 5 Graf bipartit

Jadi idua ihimpunan ibagian iyang imembentuk iG iadalah im i= i{v1, iv4, iv6} in i=

i{v2, iv3, iv5}

Contoh i5.

Permasalahan iyang isama idengan icontoh i4, ipada igraf iG iyang

iditunjukkan ipada igambar 6.6 di ibawah iini.

Gambar 6. 6 Graf G

Simpul v2 v7 v3 v4 v1 v5 v6

Derajat 4 4 3 3 2 2 2

Komputer Grafik 88

Warna a a B b A b b

Jadi idua ihimpunan ibagian iyang imembentuk iG iadalah im i= i{v2, iv7, iv1} in i= i{v3, iv4, iv5, iv6}

c. Pewarnaan iWilayah/Region ipada iGraf iBidang

Dua ibuah iregion idari isebuah igraf ibidang idikatakan ibertetangga ijika

ikeduanya imempunyai isebuah isisi ibersama.

Gambar 6. 7 Graf bidang

Dari isebuah igraf ibidang ipada igambar i6.7, itentukan iregion idari igraf

itersebut iyang ibertetangga idengan iregion-region i:

a. r7 b. r2 c. r6

Penyelesaian : a. r4, r5, r8 b. r1, dan r4 c. r4

d. Pewarnaan Wilayah/Region pada Graf Bidang

Dua ibuah iregion idari isebuah igraf ibidang idikatakan ibertetangga ijika

ikeduanya imempunyai isebuah isisi ibersama.

Komputer Grafik 89

Dari isebuah igraf ibidang ipada igambar i6.7, itentukan iregion idari igraf

itersebut iyang ibertetangga idengan iregion-region i:

a. r7 b. r2 c. r6

Penyelesaian : a. r4, r5, r8 b. r1, dan r4 c. r4

Pewarnaan Region (wilayah)

Pewarnaan iregion idari isuatu igraf iplanar i(graf ibidang) iG iadalah

isuatu ipemetaan iwarna- iwarna ike iregion-region idari igraf iG isedemikian

ihingga iregion-region iyang ibertetangga imempunyai iwarna iyang iberbeda.

iGambar i8 imenunjukkan icontoh ipermasalahan ipewarnaan iregion.

Gambar 6. 8 Graf planar (graf bidang) G Contoh 6.

Misal ikita imelakukan ipewarnaan iregion idari igraf ipada igambar i7, iyang

ihasilnya iakan ibisa idilihat iseperti ipada igambar 6.9 idi ibawah iini.

Komputer Grafik 90

Gambar 6. 9 Pewarnaan region Pada gambar 6.9 bisa dilihat bahwa (G) = 3.

Graf Dual dari Graf Planar

Dari isuatu ipermasalahan ipewarnaan iregion ipada igraf ibidang, ibisa

ikita ibawa ike ipermasalahan ipewarnaan isimpul idengan imembangun

isebuah igraf idual idari igraf ibidang itersebut.

Cara imembentuk igraf idual

Misal iterdapat isebuah igraf ibidang iM. iDalam isetiap iregion idari iM,

ipilih isebuah ititik. iJika idua ibuah iregion imempunyai isebuah isisi ibersama,

imaka ititik-titik iyang iterkait idapat idihubungkan idengan isebuah igaris

imelalui isisi ibersama itersebut. iGaris-garis iini iakan imembentuk ikurva.

iKurva-kurva iini idigambarkan isedemikian ihingga iagar itidak ibersilangan.

iDengan idemikian ikurva-kurva itersebut imembentuk isebuah igraf iyang

idisebut isebagai igraf idual idari iM. iGambar i6.10 imenunjukkan igraf idual idari

igraf iplanar ipada igambar i9.

Gambar 6. 10 Graf bidang M

Komputer Grafik 91

Gambar 6. 11 Pewarnaan simpul

Permasalahan pewarnaan region seperti yang ditunjukkan pada gambar 8 dapat kita bawa ke masalah pewarnaan isimpul, dengan ikita buat graf dual dari gambar 8 seperti ditunjukkan dalam gambar 6.11.

Gambar 6. 12 Algoritma Welch Powell

Dengan algoritma Welch Powell (permasalahan pewarnaan simpul),

Simpul v1 v2 v3 v4 v5 v6

Derajat 4 4 4 4 4 4

Warna a b C b a c

Komputer Grafik 92

(G) = 3. Hasil ini sama dengan hasil dari pewarnaan region pada gambar 8.

Contoh i7.

Permasalahan ipada icontoh i6 ijuga idapat ikita ibawa ike imasalah

ipewarnaan isimpul, idengan ikita ibuat igraf idual iseperti iditunjukkan ipada

igambar i6.12.

Gambar 6. 13 Algoritma Welch Powell Dengan algoritma Welch Powell,

(G) = 4. Hasil ini sama dengan hasil dari pewarnaan region pada contoh 6.13. Jika kita lihat pewarnaan region iyang kita lakukan sebelumnya pada subpertemuan 6.4, hasil ini memang berbeda. Ini adalah bukti bahwa algoritma welch Powell memang tidak selalu menghasilkan warna minimum (lihat kembali subpertemuan 6.2)

Contoh 8.

(Contoh aplikasi pewarnaan graf)

Ada i6 ijenis izat ikimia iyang iperlu idisimpan idi idalam igudang. iBeberapa

ipasangan izat iitu itidak idapat idisimpan idi idalam iruangan iyang isama,

ikarena icampuran igasnya ibersifat ieksplosif i(mudah imeledak). iUntuk izat

Komputer Grafik 93

iyang isemacam iitu, iperlu idibangun iruang-ruang iterpisah iyang idilengkapi

iventilasi idan ipenyedot iudara ikeluar iyang iberlainan. iJika ilebih ibanyak

iruang iyang idibutuhkan, iberarti ilebih ibanyak iongkos iyang idikeluarkan.

iKarena iitu iperlu idiketahui iberapa ibanyak iminimum iruangan iyang

idiperlukan iuntuk idapat imenyimpan isemua izat ikimia idengan iaman. iBerikut

iini iadalah idaftar ipasangan izat ikimia iyang itidak idapat idisimpan idalam

iruangan iyang isama.

Gambar 6. 14 Gambarkan graf

Gambarkan igraf iyang imenyatakan ipersoalan idi iatas.

iKemudian itentukan ijumlah iminimum iruangan iyang idibutuhkan iuntuk imenyimpan isemua izat ikimia idi iatas.

iGraf iyang imerepresentasikan ipermasalahan idi iatas idi itunjukkan

ipada igambar i6.14. iSimpul-simpul ipada igraf imenyatakan imasing-

masing izat ikimia. iSisi iyang imenghubungkan idua isimpul imenyatakan

ibahwa idua izat ikimia iyang iterkait itidak idapat idisimpan idalam iruangan

iyang isama.

Komputer Grafik 94

Gambar 6. 15 Bilangan kromatik

Berdasarkan igraf itersebut ikita imenyimpulkan, ibahwa iapabila

iterdapat idua isimpul iyang idihubungkan ioleh isisi, imaka ikedua izat ikimia

itersebut itidak idapat itidak idapat idisimpan idalam iruang iyang isama, ijadi

idua isimpul itersebut itidak iboleh imempunyai iwarna iyang isama.

iPermasalahan idi iatas, isama isaja ikita imencari ibilangan ikromatik idari igraf

iyang iditunjukkan ipada igambar i6.15.

Dengan algoritma Welch Powell,

(G) = 3, Jadi jumlah minimum ruangan yang dibutuhkan untuk menyimpan semua zat kimia tersebut adalah 3 ruangan.

Komputer Grafik 95

C. SOAL LATIHAN/TUGAS

1. Tentukan ipewarnaan igraf-graf iberikut iini idengan imenggunakan ialgoritma iWelch- Powell idan itentukan ibilangan ikromatiknya.

a. Graf G1

b. Graf G2

c. Graf G3

Komputer Grafik 96

2. Tentukan pewarnaan region pada graf berikut.

D. REFERENSI

Komputer Grafik 97

Dalam dokumen MATA KULIAH KOMPUTER GRAFIK (Halaman 101-115)