Terdapat 3 berbagai pewarnaan graf, ialah pewarnaan simpul pewarnaan sisi, serta pewarnaan daerah (region). Yang hendak kita bahas merupakan pewarnaan simpul serta pewarnaan daerah (region).
Pewarnaan simpul merupakan berikan corak pada simpul-simpul sesuatu graf sedemikian sampai tidak terdapat 2 simpul bertetangga yang memiliki corak yang sama. Kita bisa membagikan sembarang corak pada simpul- simpul asalkan berbeda dengan simpul simpul tetangganya.
Dalam pewarnaan graf, kita tidak cuma hanya memberi warna simpul- simpul dengan corak yang berbeda dengan corak simpul tetangganya saja, tetapi kita pula imenginginkan isupaya ijumlah icorak iyang idigunakan isesedikit ibisa ijadi. iJumlah icorak iminimum iyang ibisa idigunakan ibuat imemberi iwarna isimpul isimpul idiucap ibilangan ikromatik idari igraf iG, iyang idinotasikan idengan iG. iFoto i1 imemperlihatkan isuatu igraf, idengan iG= i3.
Komputer Grafik 84 u merah biru
kuning kuning
biru merah
Gambar 6. 1 Tiga warna cukup untuk mewarnai graf ini
a. Algoritma Welch-Powell
Algoritma Welch- Powell merupakan sesuatu metode yang efektif buat memberi warna suatu graf G. tetapi algoritma ini cuma membagikan batasan
iatas iuntuk i( iG) iJadi ialgoritma iini itidak iselalu imemberikan ijumlah iwarna
iminimum iyang idiperlukan iUntuk imewarnai iG. iMenentukan i( iG)
isesungguhnya isangat isusah ikecuali idalam ikasus- ikasus isimpel isemacam
ipada icontoh- icontoh iyang ihendak ikita ibahas idalam ipertemuan iini.
Langkah- langkah dalam algoritma Welch- Powell:
a. Urutkan isimpul- isimpul idari iG idalam iurutan iderajat iyang imenyusut. iUrutan
iini ibisa ijadi itidak iunik isepertemuan isebagian isimpul ibisa ijadi imemiliki
iderajat iyang isama.
b. Pakai isatu icorak itertentu ibuat imemberi iwarna isimpul iawal. iSecara iberurut, itiap isimpul idalam icatatan iyang itidak ibertetangga idengan isimpul itadinya idiwarnai idengan icorak iini.
c. Ulangi ilangkah i2 idi iatas ibuat isimpul idengan iurutan ipaling itinggi iyang ibelum idiwarnai.
d. Ulangi ilangkah i3 idi iatas ihingga iseluruh isimpul idalam icatatan iterwarnai.
Komputer Grafik 85
Pakai algoritma Welch- Powell buat memberi warna graf G yang ditunjukkan pada gambar 6.2 serta tentukan bilangan kromatiknya.
Gambar 6. 2 Pakai algoritma Welch- Powell buat memberi warna graf G Penyelesaian :
Simpul v1 v4 v5 v6 v2 v3 v7
Derajat 5 4 4 4 3 3 3
Warna a b c c b d a
Jadi, ipaling itidak iada i4 iwarna idiperlukan iuntuk imewarnai igraf iG, i sehingga i i(G) i= i4.
Contoh i2.
Permasalahan isama idengan icontoh i1, iuntuk igraf iH iyang iditunjukkan ipada igambar 6.3 iPenyelesaian i:
Gambar 6. 3 Permasalahan isama idengan icontoh i1, iuntuk igraf iH
Simpul v1 v6 v2 v3 v4 v5
Derajat 4 4 3 3 3 3
Warna a a b b c c
Jadi (G) = 3
b. Pewarnaan pada Graf Bipartit
Sebuah igraf ibipartit iadalah isebuah igraf iyang isimpul-simpulnya
idapat idibagi ike idalam idua ihimpunan ibagian idimana isimpul-simpul ipada
Komputer Grafik 86
imasing-masing ihimpunan ibagian ibertetangga idengan isemua isimpul
ipada ihimpunan ibagian ilainnya idan ibukan ipada isimpul-simpul idalam
ihimpunan ibagiannya isendiri. iKarena itidak iada isimpul-simpul iyang
ibertetangga ike isimpul-simpul iyang ibertetangga ike isimpul ilain idalam
ihimpunan ibagian iyang isama, imaka isemua isimpul idalam isebuah
ihimpunan ibagian idapat idipetakan ike idalam iwarna iyang isama. iKarena
isimpul-simpul ipada idua ihimpunan ibagian isaling ibertetangga, imaka ipada
isetiap ihimpunan ibagian iharus idiwarnai idengan iwarna iyang iberbeda.
iDengan idemikian, idibutuhkan idua iwarna iuntuk imewarnai igraf ibipartit,
isehingga ibilangan ikromatis ipada igraf ibipartit iadalah i2.
Contoh 3.
Diketahui sebuah graf bipartit K2.4 seperti ditunjukkan pada gambar di bawah.
Gambar 6. 4 Graf bipartit K2.4
Dengan mengguanakan algoritma Welch-Powell, tentukan nilai kromatis dari graf di atas
Simpul v1 v2 v3 v4 v5 v6
Derajat 4 4 2 2 2 2
Warna a a B b b B
Jadi i i(G i= i2, idan idapat idilihat ibahwa idua ihimpunan ibagian idalam igraf
ibipartit itersebut iadalah im i= i{v1, iv2} idan in i= i{v3, iv4, iv5, iv6}
Contoh i4
Graf iG ipada igambar i5 iadalah igraf ibipartit. iPetakan iwarna-warna ike isimpul
isimpul idari iG idengan imenggunakan ialgoritma iWelch iPowell iuntuk
Komputer Grafik 87
imenunjukkan idua ihimpunan ibagian idari isimpul-simpul iyang imembangun
iG.
Gambar 6. 5 Graf bipartit
Jadi idua ihimpunan ibagian iyang imembentuk iG iadalah im i= i{v1, iv4, iv6} in i=
i{v2, iv3, iv5}
Contoh i5.
Permasalahan iyang isama idengan icontoh i4, ipada igraf iG iyang
iditunjukkan ipada igambar 6.6 di ibawah iini.
Gambar 6. 6 Graf G
Simpul v2 v7 v3 v4 v1 v5 v6
Derajat 4 4 3 3 2 2 2
Komputer Grafik 88
Warna a a B b A b b
Jadi idua ihimpunan ibagian iyang imembentuk iG iadalah im i= i{v2, iv7, iv1} in i= i{v3, iv4, iv5, iv6}
c. Pewarnaan iWilayah/Region ipada iGraf iBidang
Dua ibuah iregion idari isebuah igraf ibidang idikatakan ibertetangga ijika
ikeduanya imempunyai isebuah isisi ibersama.
Gambar 6. 7 Graf bidang
Dari isebuah igraf ibidang ipada igambar i6.7, itentukan iregion idari igraf
itersebut iyang ibertetangga idengan iregion-region i:
a. r7 b. r2 c. r6
Penyelesaian : a. r4, r5, r8 b. r1, dan r4 c. r4
d. Pewarnaan Wilayah/Region pada Graf Bidang
Dua ibuah iregion idari isebuah igraf ibidang idikatakan ibertetangga ijika
ikeduanya imempunyai isebuah isisi ibersama.
Komputer Grafik 89
Dari isebuah igraf ibidang ipada igambar i6.7, itentukan iregion idari igraf
itersebut iyang ibertetangga idengan iregion-region i:
a. r7 b. r2 c. r6
Penyelesaian : a. r4, r5, r8 b. r1, dan r4 c. r4
Pewarnaan Region (wilayah)
Pewarnaan iregion idari isuatu igraf iplanar i(graf ibidang) iG iadalah
isuatu ipemetaan iwarna- iwarna ike iregion-region idari igraf iG isedemikian
ihingga iregion-region iyang ibertetangga imempunyai iwarna iyang iberbeda.
iGambar i8 imenunjukkan icontoh ipermasalahan ipewarnaan iregion.
Gambar 6. 8 Graf planar (graf bidang) G Contoh 6.
Misal ikita imelakukan ipewarnaan iregion idari igraf ipada igambar i7, iyang
ihasilnya iakan ibisa idilihat iseperti ipada igambar 6.9 idi ibawah iini.
Komputer Grafik 90
Gambar 6. 9 Pewarnaan region Pada gambar 6.9 bisa dilihat bahwa (G) = 3.
Graf Dual dari Graf Planar
Dari isuatu ipermasalahan ipewarnaan iregion ipada igraf ibidang, ibisa
ikita ibawa ike ipermasalahan ipewarnaan isimpul idengan imembangun
isebuah igraf idual idari igraf ibidang itersebut.
Cara imembentuk igraf idual
Misal iterdapat isebuah igraf ibidang iM. iDalam isetiap iregion idari iM,
ipilih isebuah ititik. iJika idua ibuah iregion imempunyai isebuah isisi ibersama,
imaka ititik-titik iyang iterkait idapat idihubungkan idengan isebuah igaris
imelalui isisi ibersama itersebut. iGaris-garis iini iakan imembentuk ikurva.
iKurva-kurva iini idigambarkan isedemikian ihingga iagar itidak ibersilangan.
iDengan idemikian ikurva-kurva itersebut imembentuk isebuah igraf iyang
idisebut isebagai igraf idual idari iM. iGambar i6.10 imenunjukkan igraf idual idari
igraf iplanar ipada igambar i9.
Gambar 6. 10 Graf bidang M
Komputer Grafik 91
Gambar 6. 11 Pewarnaan simpul
Permasalahan pewarnaan region seperti yang ditunjukkan pada gambar 8 dapat kita bawa ke masalah pewarnaan isimpul, dengan ikita buat graf dual dari gambar 8 seperti ditunjukkan dalam gambar 6.11.
Gambar 6. 12 Algoritma Welch Powell
Dengan algoritma Welch Powell (permasalahan pewarnaan simpul),
Simpul v1 v2 v3 v4 v5 v6
Derajat 4 4 4 4 4 4
Warna a b C b a c
Komputer Grafik 92
(G) = 3. Hasil ini sama dengan hasil dari pewarnaan region pada gambar 8.
Contoh i7.
Permasalahan ipada icontoh i6 ijuga idapat ikita ibawa ike imasalah
ipewarnaan isimpul, idengan ikita ibuat igraf idual iseperti iditunjukkan ipada
igambar i6.12.
Gambar 6. 13 Algoritma Welch Powell Dengan algoritma Welch Powell,
(G) = 4. Hasil ini sama dengan hasil dari pewarnaan region pada contoh 6.13. Jika kita lihat pewarnaan region iyang kita lakukan sebelumnya pada subpertemuan 6.4, hasil ini memang berbeda. Ini adalah bukti bahwa algoritma welch Powell memang tidak selalu menghasilkan warna minimum (lihat kembali subpertemuan 6.2)
Contoh 8.
(Contoh aplikasi pewarnaan graf)
Ada i6 ijenis izat ikimia iyang iperlu idisimpan idi idalam igudang. iBeberapa
ipasangan izat iitu itidak idapat idisimpan idi idalam iruangan iyang isama,
ikarena icampuran igasnya ibersifat ieksplosif i(mudah imeledak). iUntuk izat
Komputer Grafik 93
iyang isemacam iitu, iperlu idibangun iruang-ruang iterpisah iyang idilengkapi
iventilasi idan ipenyedot iudara ikeluar iyang iberlainan. iJika ilebih ibanyak
iruang iyang idibutuhkan, iberarti ilebih ibanyak iongkos iyang idikeluarkan.
iKarena iitu iperlu idiketahui iberapa ibanyak iminimum iruangan iyang
idiperlukan iuntuk idapat imenyimpan isemua izat ikimia idengan iaman. iBerikut
iini iadalah idaftar ipasangan izat ikimia iyang itidak idapat idisimpan idalam
iruangan iyang isama.
Gambar 6. 14 Gambarkan graf
Gambarkan igraf iyang imenyatakan ipersoalan idi iatas.
iKemudian itentukan ijumlah iminimum iruangan iyang idibutuhkan iuntuk imenyimpan isemua izat ikimia idi iatas.
iGraf iyang imerepresentasikan ipermasalahan idi iatas idi itunjukkan
ipada igambar i6.14. iSimpul-simpul ipada igraf imenyatakan imasing-
masing izat ikimia. iSisi iyang imenghubungkan idua isimpul imenyatakan
ibahwa idua izat ikimia iyang iterkait itidak idapat idisimpan idalam iruangan
iyang isama.
Komputer Grafik 94
Gambar 6. 15 Bilangan kromatik
Berdasarkan igraf itersebut ikita imenyimpulkan, ibahwa iapabila
iterdapat idua isimpul iyang idihubungkan ioleh isisi, imaka ikedua izat ikimia
itersebut itidak idapat itidak idapat idisimpan idalam iruang iyang isama, ijadi
idua isimpul itersebut itidak iboleh imempunyai iwarna iyang isama.
iPermasalahan idi iatas, isama isaja ikita imencari ibilangan ikromatik idari igraf
iyang iditunjukkan ipada igambar i6.15.
Dengan algoritma Welch Powell,
(G) = 3, Jadi jumlah minimum ruangan yang dibutuhkan untuk menyimpan semua zat kimia tersebut adalah 3 ruangan.
Komputer Grafik 95
C. SOAL LATIHAN/TUGAS
1. Tentukan ipewarnaan igraf-graf iberikut iini idengan imenggunakan ialgoritma iWelch- Powell idan itentukan ibilangan ikromatiknya.
a. Graf G1
b. Graf G2
c. Graf G3
Komputer Grafik 96
2. Tentukan pewarnaan region pada graf berikut.
D. REFERENSI
Komputer Grafik 97