3. Otras propiedades de los lenguajes regulares 63
3.6. Algoritmos de decisi´ on
{0n21n : n ≥ 1}. Finalmente, por medio del homomorfismo g(0) = 0, g(1) = 1, g(2) =λse concluir´ıa que g*
{0n21n :n≥1}+
={0n1n:n≥1}
es regular, lo cual sabemos que no es cierto.
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☎ Ejercicios de la secci´on 3.5✆
Por medio de un razonamiento similar al del ejemplo de esta secci´on, de- mostrar que los siguientes lenguajes sobre Σ={0,1} no son regulares:
➀ L={ww:w∈Σ∗}. Ayuda: intersectar primero L con 0∗10∗1.
➁ L={wwR:w∈Σ∗}. Ayuda: intersectar primero Lcon 0∗110∗.
3.6. Algoritmos de decisi´ on
La noci´on de algoritmo que consideraremos en esta secci´on es la corriente:
Unalgoritmoes un procedimiento sistem´atico, claro y preciso, que termina en un n´umero finito de pasos para cualquier entrada dada.
Dada una propiedad P, referente a aut´omatas sobre un alfabeto Σ, un problema de decisi´on paraPconsiste en buscar un algoritmo, aplicable a un aut´omata arbitrarioM, que responda SI o NO a la pregunta: ¿satisface M la propiedad P? El siguiente diagrama ilustra la situaci´on.
M satisfaceP
M no satisfaceP Aut´omataM Algoritmo
de decisi´on
SI
NO
Si existe un algoritmo de decisi´on, se dice que el problemaPesdecidibleo resoluble; en caso contrario, el problemaPesindecidibleoirresoluble.
Es importante tener presente que, para que un problemaPsea decidible, no basta responder SI o NO a la pregunta “¿satisfaceM la propiedad P?”
para uno o varios aut´omatas aisladosM; es necesario exhibir un algoritmo aplicable a todos los aut´omatas. Es posible que en algunos casos concretos se pueda decidir afirmativa o negativamente sobre la satisfabilidad de una propiedadP y, sin embargo, el problemaPsea indecidible.
El primer problema de decisi´on que consideraremos es el problema de decidir si un aut´omata M acepta o no alguna cadena; es decir, decidir si L(M) =∅´o L(M)̸=∅. Este problema, llamadoproblema de la vacuidad, difiere del siguiente problema
P:
9Dado un aut´omata (AFD o AFN o AFN-λ) M y una cadenaw∈Σ∗, ¿acepta M la cadena w?
En el problemaPanterior las entradas son aut´omatasM y cadenasw∈Σ∗; para resolverlo es suficiente el siguiente algoritmo: convertirM en un AFD M′(utilizando los algoritmos ya conocidos para tal efecto) y luego procesar w con M′. S´olo habr´a dos salidas: M′ acepta a w o M′ no acepta a w.
El problema de la vacuidad no se puede resolver usando esta misma idea porque no podemos examinar todas las entradas w ∈ Σ∗ (hay infinitas cadenasw). Se requiere entonces una idea diferente, como la presentada en el siguiente teorema.
3.6.1 Teorema. Sea Σ un alfabeto dado. Existe un algoritmo para el si- guiente problema de decisi´on referente a aut´omatas sobreΣ:
Dado un aut´omata (AFD o AFN o AFN-λ)M, ¿EsL(M)̸=∅? (es decir, ¿acepta M alguna cadena?).
Demostraci´on. Podemos dise˜nar un algoritmo sencillo para encontrar los estados que son accesibles (o alcanzables) desde el estado inicial de M, es decir, los estados para los cuales existen trayectorias desde el estado inicial.
Si alg´un estado de aceptaci´on es alcanzable, se tendr´a L(M)̸=∅; en caso contrario L(M) = ∅. En el recuadro de la parte superior de la p´agina siguiente aparece el algoritmo para encontrar el conjuntoALC de estados alcanzables.
Claramente, el aut´omataM acepta alguna cadena (o sea,L(M)̸=∅) si y solo siALC contiene alg´un estado de aceptaci´on.
3.6.2 Corolario. Sea Σ un alfabeto dado. Existen algoritmos para los si- guientes problemas de decisi´on referentes a aut´omatas sobreΣ:
3.6. ALGORITMOS DE DECISI ´ON 77
INICIALIZAR:
ALC:={q0}, dondeq0 es el estado inicial deM. REPETIR:
Para cada q∈ ALCbuscar los arcos que salen deq y a˜nadir a ALC los estados p para los cuales haya un arco deq ap con cualquier etiqueta (puede ser λ).
HASTA:
No se a˜naden nuevos estados a ALC.
(1) Dados dos aut´omatas M1 y M2 (AFD o AFN o AFN-λ), ¿L(M1) ⊆ L(M2)?
(2) Dados dos aut´omatas M1 y M2 (AFD o AFN o AFN-λ), ¿L(M1) = L(M2)?
Demostraci´on.
(1) SeaL1 =L(M1) y L2=L(M2). Se tiene
L1 ⊆L2 ⇐⇒L1−L2=∅.
Algoritmo: construir un AFD M′ que acepte el lenguajeL1−L2 (esto se puede hacer en raz´on de la parte (7) del Teorema 3.3.1). Utilizar luego el procedimiento del Teorema 3.6.1 para decidir si L1 −L2 es o no vac´ıo.
(2) L(M1) = L(M2) ⇐⇒ L(M1) ⊆ L(M2) y L(M2) ⊆ L(M1). Por lo tanto, basta aplicar dos veces el algoritmo de la parte (1). Tambi´en se puede encontrar un algoritmo de decisi´on teniendo en cuenta que L1 =L2 ⇐⇒L1✁L2=∅junto con la parte (8) del Teorema 3.3.1.
El argumento utilizado en la demostraci´on del lema de bombeo sirve para establecer un criterio que permite decidir si el lenguaje aceptado por un aut´omata es o no infinito. El criterio aparece en el siguiente teorema.
3.6.3 Teorema. Sea M un AFD con n estados y sea L = L(M). L es infinito si y solo si M acepta una cadena w tal que n≤|w|<2n.
Demostraci´on. Siw∈M yn≤|w|<2n, entonces por la demostraci´on del lema de bombeo,wse puede descomponer comow=uvx, donde|uv|≤n, v̸=λ.M acepta infinitas cadenas:uvix para todoi≥0.
Rec´ıprocamente, si L es infinito, existe w ∈ L con |w| ≥ n. Por la demostraci´on del lema de bombeo, w = uvx donde |uv| ≤ n, v ̸= λ. Si
|w|<2n la demostraci´on termina. Si |w|≥2n, puesto que |v|≤|uv|≤n, se tendr´a |ux| ≥ n y ux ∈ L. De nuevo, si |ux| < 2n, la demostraci´on termina; en caso contrario, se prosigue de esta forma hasta encontrar una cadena enL cuya longitud ℓsatisfagan≤ℓ<2n.
3.6.4 Corolario. Sea Σ un alfabeto dado. Existe un algoritmo para el siguiente problema de decisi´on referente a aut´omatas sobre Σ:
Dado un aut´omata M (AFD o AFN o AFN-λ), ¿Es L(M) in- finito?
Demostraci´on. Algoritmo: construir un AFD M′ que acepte el lenguaje L(M) y chequear la aceptaci´on o rechazo de todas las cadenasw∈Σ∗ tales quen≤|w|<2n, donden= # de estados deM′.
Hemos trabajado con problemas de decisi´on referentes a aut´omatas, pero tambi´en podemos considerar problemas sobre lenguajes regulares. Dada una propiedad P, referente a lenguajes regulares sobre un alfabeto Σ, un problema de decisi´on para P consiste en buscar un algoritmo, aplicable a todo lenguaje regularL(es decir, a toda expresi´on regularR), que responda SI o NO a la pregunta: ¿satisfaceLla propiedadP? Puesto que conocemos algoritmos de conversi´on entre la representaci´on por expresiones regulares y la representaci´on por aut´omatas, los problemas decidibles sobre aut´omatas corresponden a problemas decidibles sobre lenguajes regulares y viceversa.
As´ı por ejemplo, en raz´on del Corolario 3.6.4, el siguiente problema es decidible: “Dada una expresi´on regularR, ¿es L(R) infinito?”
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☎ Ejercicios de la secci´on 3.6✆
➀ Sea Σ un alfabeto dado. Encontrar algoritmos para los siguientes problemas de decisi´on referentes a aut´omatas sobreΣ:
(i) Dado un aut´omataM (AFD o AFN o AFN-λ), ¿esL(M) =Σ∗? (ii) Dado un aut´omataM (AFD o AFN o AFN-λ), ¿aceptaM todas
las cadenas de longitud impar?
(iii) Dado un aut´omata M (AFD o AFN o AFN-λ) y una cadena w∈Σ∗, ¿aceptaM la cadena wwR?
(iv) Dados dos aut´omatasM1 yM2 (AFD o AFN o AFN-λ), ¿existe alguna cadena que no sea aceptada por ninguno de los aut´oma- tasM1 y M2?
3.6. ALGORITMOS DE DECISI ´ON 79 (v) Dado un aut´omataM (AFD o AFN o AFN-λ), ¿esL(M) cofi-
nito? (Un conjunto escofinitosi su complemento es finito).
(vi) Dado un aut´omata M (AFD o AFN o AFN-λ), ¿acepta M al- guna cadena de longitud 1250? Ayuda: hay un n´umero finito de cadenas con longitud 1250.
(vii) Dado un aut´omata M (AFD o AFN o AFN-λ), ¿acepta M al- guna cadena de longitud mayor que 1250? Ayuda: habr´ıa un n´umero infinito de cadenas por examinar; usar el Teorema 3.6.3.
(viii) Dado un aut´omataM (AFD o AFN o AFN-λ), ¿acepta M por lo menos 1250 cadenas? Ayuda: usar la misma idea del proble- ma (vii).
!➁ Encontrar algoritmos de decisi´on, que no utilicen aut´omatas, para resolver los siguientes problemas:
(i) Dada una expresi´on regular R, ¿es L(R) ̸= ∅? Ayuda: puesto que las expresiones regulares se definen recursivamente, el algo- ritmo requiere descomponer la expresi´onRy utilizar criterios de vacuidad para la estrella de Kleene, la uni´on y la concatenaci´on de lenguajes.
(ii) Dada una expresi´on regularR, ¿contieneL(R) por lo menos 150 cadenas?
✎ Al considerar problemas de decisi´on lo importante es laexistencia o no de algoritmos de decisi´on, no tanto laeficienciade los mismos.
✎ En el Cap´ıtulo 7 se mostrar´a que existen problemas indecidibles, es decir, problemas para los cuales no hay algoritmos de decisi´on.
Cap´ıtulo 4
Lenguajes y gram´ aticas
independientes del contexto
Como se ha visto, los aut´omatas son dispositivos que procesan cadenas de entrada. En cap´ıtulos posteriores consideraremos modelos de aut´omatas con mayor poder computacional que el de los modelos AFD, AFN y AFN-λ.
En el presente cap´ıtulo estudiaremos una noci´on completamente diferente, aunque relacionada, la de gram´atica generativa, que es un mecanismo para generar cadenas a partir de un s´ımbolo inicial.
☞ Los aut´omatasprocesan cadenas
☞ Las gram´aticas generan cadenas
4.1. Gram´ aticas generativas
Las gram´aticas generativas fueron introducidas por Noam Chomsky en 1956 como un modelo para la descripci´on de los lenguajes naturales (espa˜nol, ingl´es, etc). Chomsky clasific´o las gram´aticas en cuatro tipos: 0, 1, 2 y 3.
Las gram´aticas de tipo 2, tambi´en llamadas gram´aticas independientes del contexto, se comenzaron a usar en la d´ecada de los sesenta para presentar la sintaxis de lenguajes de programaci´on y para el dise˜no de analizadores sint´acticos en compiladores. En este curso ´unicamente tendremos oportu- nidad de estudiar gram´aticas de tipos 2 y 3. El estudiante puede pasar directamente a la secci´on 4.2; el resto de la presente secci´on es material (opcional) de referencia.
Unagram´atica generativaes una cu´adrupla,G= (V,Σ, S, P) formada 81
por dos alfabetos disyuntos V (alfabeto de variables ono-terminales) y Σ (alfabeto de terminales), una variable especial S ∈ V (llamada s´ımbolo inicial) y un conjunto finito P ⊆(V ∪Σ)∗ ×(V ∪Σ)∗ de producciones o reglas de re-escritura. Una producci´on (v, w)∈P se denota porv →wy se lee “vproducew”;vse denomina lacabeza ywelcuerpo de la producci´on.
Se exige que la cabeza de la producci´on tenga por lo menos una variable.
El significado de la producci´on v → w es: la cadena v se puede reem- plazar (sobre-escribir) por la cadenaw. Comenzando con el s´ımbolo inicial S y aplicando las producciones de la gram´atica, en uno o m´as pasos, se obtienen cadenas de terminales y/o no-terminales. Aquellas cadenas que s´olo tengan terminales conforman lo que se denomina el lenguaje generado por G.
Las gram´aticas se clasifican de acuerdo con el tipo de sus producciones:
Gram´aticas de tipo 0. No tienen restricciones. Tambi´en se llamangram´ati- cas no-restringidas o gram´aticas con estructura de frase en raz´on de su origen ling¨u´ıstico.
Gram´aticas de tipo 1. Las producciones son de la forma u1Au2 →v1wv2, donde A es una variable y w ̸= λ. Tambi´en se llaman gram´aticas sensibles al contexto o gram´aticas contextuales.
Gram´aticas de tipo 2. Las producciones son de la forma A → w donde A es una variable. Tambi´en se llaman gram´aticas independientes del contexto o gram´aticas no-contextuales.
Gram´aticas de tipo 3. Las producciones son de la forma A → a o de la formaA→aB, dondeAyBson variables yaes un s´ımbolo terminal.
Tambi´en se llamangram´aticas regulares.
Se dice que un lenguaje es de tipo i si es generado por una gram´atica de tipo i. Esta clasificaci´on de lenguajes se conoce como la jerarqu´ıa de Chomsky.
4.2. Gram´ aticas independientes del contexto
Una gram´atica independiente del contexto (GIC), tambi´en llamada gram´atica no-contextual o gram´atica de tipo 2, es una cu´adrupla, G= (V,Σ, S, P) formada por:
1. Un alfabetoV cuyos elementos se llamanvariablesos´ımbolos no- terminales.
4.2. GRAM ´ATICAS INDEPENDIENTES DEL CONTEXTO 83 2. Un alfabeto Σ cuyos elementos se llamans´ımbolos terminales. Se
exige que los alfabetos ΣyV sean disyuntos.
3. Una variable especialS∈V, llamadas´ımbolo inicialde la gram´ati- ca.
4. Un conjunto finito P ⊆ V ×(V ∪Σ)∗ de producciones o reglas de re-escritura. Una producci´on (A, w) ∈ P de G se denota por A → w y se lee “A produce w”; su significado es: la variable A se puede reemplazar (sobre-escribir) por la cadenaw. En la producci´on A→w,A se denomina lacabeza ywelcuerpo de la producci´on.
Notaci´on y definiciones.Las variables se denotan con letras may´usculas A, B, C, . . .Los elementos deΣo s´ımbolos terminales se denotan con letras min´usculas a, b, c, . . .. Si u, v ∈ (V ∪Σ)∗ y A → w es una producci´on, se dice queuwv sederiva directamente deuAv, lo cual se denota por
uAv=⇒uwv.
Si se quiere hacer referencia a la gram´aticaG, se escribe uAv=G⇒uwv ´o uAv=⇒Guwv.
Siu1, u2, . . . , unson cadenas en (V∪Σ)∗y hay una sucesi´on de derivaciones directas
u1 =G⇒u2, u2 =G⇒ u3, . . . , un−1 =G⇒ un
se dice que un se deriva de u1 y se escribe u1=∗⇒ un. La anterior sucesi´on de derivaciones directas se representa como
u1 =⇒u2 =⇒u3 =⇒· · ·=⇒un−1 =⇒un
y se dice que es una derivaci´on o una generaci´on de un a partir de u1. Para toda cadena w se asume que w =∗⇒ w; por lo tanto, u =∗⇒ v significa que v se obtiene de u utilizando cero, una o m´as producciones de la gram´atica. An´alogamente, u =+⇒ v significa que v se obtiene de u utilizando una o m´as producciones.
El lenguaje generado por una gram´atica G se denota porL(G) y se define como
L(G) :={w∈Σ∗ :S =+⇒w}.
Un lenguaje Lsobre un alfabeto Σse dice que es un lenguaje indepen- diente del contexto (LIC) si existe una GIC G tal que L(G) =L. Dos GICG1 y G2 sonequivalentes siL(G1) =L(G2).
La denominaci´on “independiente del contexto” proviene del hecho de cada producci´on o regla de re-escritura A → w se aplica a la variable A independientemente de los caracteres que la rodean, es decir, independien- temente del contexto en el que aparece A.
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Ejemplo✆SeaG una gram´atica (V,Σ, S, P) dada por:
V ={S}
Σ={a}
P ={S →aS, S →λ}
Se tiene S=⇒λy
S=⇒aS=∗⇒a· · ·aS =⇒a· · ·a.
Por consiguiente, L(G) =a∗.
De manera m´as simple, podemos presentar una gram´atica GIC listando sus producciones y separando con el s´ımbolo | las producciones de una misma variable. Se supone siempre que las letras may´usculas representan variables y las letras min´usculas representan s´ımbolos terminales. As´ı la gram´atica del ejemplo anterior se presenta simplemente como:
S→aS|λ.
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Ejemplo✆La gram´aticaG= (V,Σ, S, P) dada por:
V ={S, A}
Σ={a, b}
P ={S →aS, S →bA, S→λ, A→bA, A→b, A→λ}
se puede presentar como
9S →aS|bA|λ A→bA|b|λ
Se tieneS =⇒λ. Todas las dem´as derivaciones enGcomienzan ya sea con la producci´onS →aS o conS →bA. Por lo tanto, tenemos
S =⇒aS =∗⇒a· · ·aS=⇒a· · ·a.
S =⇒bA=∗⇒b· · ·bA=⇒b· · ·b.
S =⇒aS =∗⇒a· · ·aS=⇒a· · ·abA=∗⇒a· · ·ab· · ·bA=⇒a· · ·ab· · ·b.
Por consiguienteL(G) =a∗b∗.
4.2. GRAM ´ATICAS INDEPENDIENTES DEL CONTEXTO 85 Las siguientes gram´aticas tambi´en generan el lenguaje a∗b∗ y son, por lo tanto, equivalentes aG:
⎧⎪
⎨
⎪⎩
S →AB A→aA|λ B →bB |λ
⎧⎪
⎨
⎪⎩
S→AB|λ A→aA|a|λ B→bB |b|λ
9S→aS |A A→bA|λ
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Ejemplo✆ La gram´atica
9S→aS |aA A→bA|b
genera el lenguajea+b+. Otra gram´atica equivalente es:
⎧⎪
⎨
⎪⎩
S →AB A→aA|a B →bB |b
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☎
Ejemplo✆ La gram´atica
9S→1A|0 A→0A|1A|λ
genera el lenguaje de los n´umeros naturales en numeraci´on binaria. N´otese que la ´unica cadena que comienza con 0, generable con esta gram´atica, es la cadena 0.
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☎
Ejemplo✆Encontrar una GIC que genere el lenguaje 0∗10∗10∗ sobre Σ={0,1}, es decir, el lenguaje de todas las cadenas con exac- tamente dos unos.
Soluci´on.
G:
9S→A1A1A A→0A|λ Una gram´atica equivalente es
⎧⎪
⎨
⎪⎩
S →0S|1A A→0A|1B B →0B |λ
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☎
Ejemplo✆Encontrar una GIC que genere el lenguaje L= {aibi :i≥0}
sobre Σ={a, b}, el cual no es un lenguaje regular.
Soluci´on.
S →aSb|λ.
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☎
Ejemplo✆Encontrar una GIC que genere el lenguaje de todos los pal´ındromos sobre Σ={a, b}, el cual no es lenguaje regular.
Soluci´on.
S→aSa|bSb|a|b|λ.
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☎
Ejemplo✆Encontrar una GIC que genere el lenguaje de todas las cadenas sobre Σ={a, b} que tienen un n´umero par de s´ımbolos.
Soluci´on.
S →aSa|bSb|aSb|bSa|λ Dos gram´aticas equivalentes son:
7
S →aaS |bbS|abS|baS|λ
9S→AAS|λ A→a|b
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☎
Ejemplo✆Encontrar una GIC que genere el lenguaje (ab ∪ ba)∗ sobre Σ={a, b}.
Soluci´on.
S →abS|baS|λ.
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☎
Ejemplo✆ Demostrar que la gram´aticaGdada por:
S →(S)S |λ
genera el lenguaje de todas las cadenas de par´entesis anidados y equilibra- dos; es decir, cadenas como(()),()()(),(())((())).
Soluci´on. Es f´acil ver queGgenera cadenas de par´entesis anidados y equi- librados ya que cada aplicaci´on de la producci´on S→(S)S da lugar a un par de par´entesis equilibrados.
Para establecer la direcci´on rec´ıproca demostraremos por inducci´on so- bre n la siguiente afirmaci´on: “Toda cadena con 2n par´entesis anidados y equilibrados se puede generar enG”.
n= 1: () se genera conS=⇒(S)S=2⇒().
n= 2: ()() se genera conS =⇒ (S)S=⇒ (S)(S)S=3⇒ ()().
(()) se genera conS =⇒ (S)S=⇒ ((S)S)S=3⇒ (()).
4.2. GRAM ´ATICAS INDEPENDIENTES DEL CONTEXTO 87 Paso inductivo: una cadena con 2n par´entesis anidados y equilibrados es de la forma (u) ´o (u)v donde u y v tienen estrictamente menos de 2n par´entesis anidados y equilibrados. Por hip´otesis de inducci´on S =+⇒ u y S =+⇒v. Por lo tanto,
S=⇒(S)S=+⇒(u)S=⇒(u).
S=⇒(S)S=+⇒(u)S=+⇒(u)v.
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☎ Ejercicios de la secci´on 4.2✆
➀ Encontrar GIC que generen los siguientes lenguajes sobreΣ={a, b}:
(i) El lenguaje de las cadenas que tienen un n´umero par debes.
(ii) El lenguaje de las cadenas que comienzan conby terminan con ba.
(iii) a∗b∪a.
(iv) a∗b∪b∗a.
(v) (ab∗∪b∗a)∗. (vi) {aib2i:i≥0}.
(vii) {abiabi :i≥1}.
➁ Encontrar GIC que generen los siguientes lenguajes sobreΣ={a, b, c, d}:
(i) {aibjcjdi :i, j≥1}.
(ii) {aibicjdj :i, j≥1}.
(iii) {aibjcjdi :i, j≥1}∪{aibicjdj :i, j≥1}.
(iv) {aibjci+j :i≥0,j≥1}.
➂ Demostrar que la gram´atica S → SS | (S) | λ tambi´en genera el lenguaje de todas las cadenas de par´entesis anidados y equilibrados.
➃ Encontrar una gram´atica que genere el lenguaje de todas las cadenas de par´entesis circulares y/o angulares, anidados y equilibrados. Es de- cir cadenas como ([()]),([])[()],[()([[()()]])], etc. Cadenas como([)] ´o [([)]]tienen par´entesis equilibrados pero no anidados y, por lo tanto, no pertenecen a este lenguaje.
!➄ Sea Σ = {0,1}. Encontrar una GIC que genere el lenguaje de las cadenas que tienen igual n´umero de ceros que de unos.
4.3. Arbol de una derivaci´ ´ on
Un´arbol con ra´ızes un tipo muy particular de grafo no-dirigido; est´a for- mado por un conjunto de v´ertices o nodos conectados entre s´ı por arcos o aristas, con la siguiente propiedad: existe un nodo especial, llamado lara´ız del ´arbol, tal que hay una ´unica trayectoria entre cualquier nodo y la ra´ız.
De esta manera, la ra´ız se ramifica en nodos, llamados descendientes inmediatos, cada uno de los cuales puede tener, a su vez, descendientes inmediatos, y as´ı sucesivamente.
La propiedad que caracteriza a un ´arbol garantiza que un nodo puede tener 0, 1, o m´as descendientes inmediatos pero un ´unico antecesor inmedia- to. El ´unico nodo que no tiene antecesores es la ra´ız. Los nodos que tienen descendientes, excepto la ra´ız, se denominannodos interiores. Los nodos que no tienen descendientes se llaman hojasdel ´arbol. En la terminolog´ıa usualmente utilizada, los descendientes de un nodo tambi´en se denominan hijos y los antecesorespadreso ancestros. El n´umero de v´ertices (y por lo tanto, el n´umero de arcos) de un ´arbol puede ser infinito.
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Ejemplo✆ Algunos ´arboles con ra´ız:
4.3. ´ARBOL DE UNA DERIVACI ´ON 89 El´arbol de una derivaci´onS=∗⇒w,w∈Σ∗, en una GIC es un ´arbol con ra´ız que se forma de la siguiente manera:
1. La ra´ız est´a etiquetada con el s´ımbolo inicialS.
2. Cada nodo interior est´a etiquetado con un no terminal.
3. Cada hoja est´a etiquetada con terminal o conλ.
4. Si en la derivaci´on se utiliza la producci´on A → s1s2· · ·sk, donde si∈(V ∪Σ)∗, el nodoAtienekdescendientes inmediatos:s1,s2,. . . , sk, escritos de izquierda a derecha.
De esta forma, las hojas del ´arbol de derivaci´on deS =∗⇒wson precisamen- te los s´ımbolos de la cadenaw, le´ıdos de izquierda a derecha y, posiblemente, algunosλ.
La b´usqueda de un ´arbol de derivaci´on para una cadena w ∈ Σ∗ se denomina an´alisis sint´actico de w. Los ´arboles de derivaci´on tambi´en se suelen llamar ´arboles sint´acticos o ´arboles de an´alisis sint´actico.
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Ejemplo✆SeaG la gram´atica:
⎧⎪
⎨
⎪⎩
S →AB|AaB A→aA|a B →bBa|b El ´arbol de la derivaci´on
S=⇒AB=⇒AbBa=⇒abBa=⇒abba es
S
A a
B
b B
b
a
El anterior es tambi´en el ´arbol de la derivaci´on
S=⇒AB=⇒aB =⇒abBa=⇒abba.
Esto muestra que dos derivaciones diferentes pueden tener el mismo ´arbol de derivaci´on ya que en el ´arbol aparecen las producciones utilizadas pero no el orden en que han sido aplicadas.
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Ejemplo✆SeaG la gram´atica:
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
S→BAa A→bBC |a B→bB |b|λ C→aB|aa El ´arbol de la derivaci´on
S =⇒BAa=⇒bAa=⇒bbBCa=⇒bbbCa=⇒bbbaBa=⇒bbbaa es
S
B b
A
b B
b
C
a B
λ a
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☎ Ejercicios de la secci´on 4.3✆
➀ SeaGsiguiente gram´atica:
G:
⎧⎪
⎨
⎪⎩
S−→aS |AaB A−→aA|a B −→bBbB|b
Encontrar una derivaci´on de la cadena aaaabbbby hallar el ´arbol de tal derivaci´on.