Analisis Modal - penentuan nilai frekuensi alami struktur

Analisis modal adalah suatu proses penentuan karakteristik dinamik dari suatu sistem dalam bentuk frekuensi alami, faktor redaman, dan mode getar. Analisis modal menjadi dasar mengapa respon getaran suatu sistem dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari respon pada koordinat modalnya. Setiap respon pada koordinat modal tersebut dideskripsikan dalam bentuk parameter modalnya masing - masing yaitu frekuensi alami, redaman modal, dan mode getar.

Metode analisis modal banyak dikenal sebagai metode yang powerful dalam menghitung respon dinamik dari sistem struktur linier teredam dengan redaman klasik. Metode ini menarik karena respon sistem MDOF diekspresikan sebagai superposisi dari respon modal, setiap modal ditentukan dari analisis dinamik sistem SDOF, dan analisis dinamik ini hanya dilakukan pada mode yang memiliki kontribusi yang signifikan terhadap respon sistem.

3.5.1 Persamaan Gerak

Suatu sistem teredam dengan redaman klasik dan memiliki N derajat kebebasan. Repon sistem dideskripsikan dengan vektor u, displacement nodal akibat gaya luar p(t) yang ditentukan oleh N persamaan diferensial

𝑚𝑢̈ 𝑐𝑢̇ 𝑘𝑢 𝑝 𝑡 (3.1)

Dimana m, c, dan k = matriks massa, redaman, dan kekakuan sistem. Kita akan menganggap kasus pembebanan dimana gaya yang diberikan pj(t) – j = 1, 2, …, N – memiliki variasi waktu yang sama p(t), dan distribusi spatial gaya tersebut didefinisikan s, independen terhadap waktu. Jadi

𝑝 𝑡 𝑠𝑝 𝑡 (3.2)

Persamaan (3.1) juga ditentukan oleh vektor u dari displacement nodal relative terhadap pergerakan tanah akibat percepatan 𝑢̈ 𝑡 jika

𝑝 𝑡 𝑚 𝑢̈ 𝑡 (3.3)

Dengan i = vektor pengaruh yang merepresentasikan displacement massa akibat aplikasi static unit ground displacement , ug = 1. Jadi, distribusi spatial dari gaya gempa efektif, adalah s = mi

3.5.2 Expansi Modal

Frekuensi alami ωn dan mode getar ϕn getaran sistem memenuhi matriks berikut:

𝑘 𝑚 (3.4)

displacement u dari sistem dapat diekspresikan sebagai superposisi dari kontribusi modal un(t):

𝑢 𝑡 ∑𝑢 𝑡 ∑ 𝑡 (3.5) Dimana q_n(t) = koordinat modal.

Ide utama dari formulasi ini adalah untuk mengekspansi distribusi spatial s dari gaya yang bekerja sebagai

𝑠 ∑ 𝑚 (3.6)

Dimana

𝑀 𝑚

_n dapat diturunkan dengan premultiply kedua sisi dari persamaan dengan dan menggunakan prinsip ortogonalitas properti mode. Kontribusi dari mode ke n vektor s adalah

𝑠 𝑚 (3.7)

yang independen terhadap bagaimana mode ternormalisasi.

Persamaan bisa dilihat sebagai ekspansi distribusi gaya yang bekerja s dalam bentuk distribusi gaya inersia s_n yang berasosiasi dengan mode getar.

Ekspansi dari persamaan memiliki properti yang berguna bahwa vektor gaya s_n p(t) hanya menghasilkan respon dalam mode ke n. secara tidak langsung menyatakan bahwa respon mode ke n dikarenakan vektor gaya parsial s_n p(t).

3.5.3 Persamaan Modal

Persamaan (3.1) merupakan persamaan couple, dengan mentransformasi persamaan gerak tersebut menjadi persamaan uncouple, didapat

∑𝑚 ̈ 𝑡 ∑𝑐 ̇ 𝑡 ∑𝑘 𝑡 𝑝 𝑡 (3.8) Premultiply persamaan diatas dengan menjadi

∑ 𝑚 ̈ 𝑡 ∑ 𝑐 ̇ 𝑡 ∑ 𝑘 𝑡 𝑝 𝑡 (3.9) Karena prinsip ortogonalitas, untuk r ≠ n semua persamaan diatas akan bernilai nol, sehingga persamaan bisa direduksi menjadi

𝑚 ̈ 𝑡 𝑐 ̇ 𝑡 𝑘 𝑡 𝑝 𝑡 (3.10) Atau

𝑀 ̈ 𝑡 𝐶 ̇ 𝑡 𝐾 𝑡 𝑃 𝑡 (3.11) Dimana

𝑀 𝑚 𝐶 𝑐 𝐾 𝑘 Sehingga periode natural sistem untuk mode ke n adalah

√𝑀 𝐾

Persamaan (3.11) merupakan persamaan respon 𝑡 sistem SDOF dengan massa 𝑀 , redaman 𝐶 , kekakuan 𝐾 , dan gaya 𝑝 𝑡 . Parameter tersebut hanya bergantung pada mode ke-n. Sehingga jika hanya diketahui mode ke-n, kita bisa menyelesaikan persamaan (3.11) menjadi tanpa harus mengetahui mode yang lain. Persamaan (3.11) dibagi dengan 𝑀 menjadi

̈ ̇ (3.12)

Persamaan dinamik dari suatu sistem MDOF akibat gaya p(t) = sp(t) yaitu

̈ ̇ 𝑝 𝑡 (3.13)

Dengan

𝑠 𝑀

Dimana merupakan rasio redaman untuk mode ke n. Faktor yang mengalikan gaya 𝑝 𝑡 seringkali disebut modal participation factor.

Solusi dari modal koordinat 𝑡 adalah

𝑡 𝐷 𝑡 (3.14)

Dimana 𝐷 𝑡 ditentukan dari

𝐷̈ 𝐷̇ 𝐷 𝑝 𝑡 (3.15) Persamaan (3.15) merupakan persamaan sistem SDOF mode ke-n (suatu sistem SDOF dengan properti vibrasi, frekuensi alami dan rasio redaman ) dengan u diganti 𝐷 untuk menegaskan hubungannya dengan mode ke-n. Respon sistem akibat suatu gaya 𝑝 𝑡 didapat dengan menyelesaikan persamaan tersebut.

Kemudian kontribusi dari mode ke-n terhadap displacement nodal u(t), yaitu

𝑢 𝑡 𝐷 𝑡 (3.16)

Gaya static ekivalennya yaitu

𝑡 𝑠 [ 𝐷 𝑡 ] (3.17)

Kontribusi mode ke n rn(t) terhadap quantitas respon r(t) ditentukan dengan analisis static struktur yang terkena gaya luar fn(t). jika rnst

merupakan respon modal statik, nilai statik ( yang diindikasikan “st”) r akibat gaya luar sn, maka

𝑡 𝑡 (3.18)

Persamaan ini khusus untuk respon displacement , yang ekivalen dengan persamaan.

3.5.4 Jumlah Moda Yang Dibutuhkan Dalam Analisis Modal

Setiap moda pada suatu analisis dinamik memiliki kontribusi. Dari berbagai literatur yang ada telah dijelaskan bahwa moda-moda awal relatif memiliki andil yang besar terhadap hasil analisis yang dilakukan, namun tentunya moda-moda lainnya tidak dapat diabaikan, hal yang dapat kita lakukan adalah menentukan seberapa banyak jumlah moda yang akan kita ambil untuk dianalisis.

Sebelum membahas langsung ke jumlah moda yang dibutuhkan, kita kembali mengulang mengenai faktor kontribusi dari modal. Karena faktor kontribusi inilah yang akan menjadi dasar perhitungan jumlah moda yang dibutuhkan.

Anil K. Chopra telah membahas bahwa kontribusi dari suatu moda ke-n terhadap suatu respon r dapat diekspresikan sebagai berikut :

𝑡 ̅ [ 𝐷 𝑡 ]

Dimana rn(t) adalah respon dari mode ke-n, r^st respon statis dari r, 𝐷

𝑠 ∑𝑠 ∑ 𝑚 s adalah distribusi spasial dari suatu respon atau eksitasi, 𝑛 adalah faktor partisipasi modal, dan 𝑛 adalah faktor kontribusi moda yang direpresentasikan oleh persamaan berikut :

adalah respon statik dari mode ke-n.

Faktor kontribusi moda memiliki tiga properti yang penting. Pertama faktor ini tidak memiliki dimensi sehingga bersifat universal. Kedua faktor ini tidak bergantung terhadap bagaimana proses normalisasi moda-moda dan properti modal tidak masuk dalam r^st. Yang ketiga, jumlah dari keseluruhan faktor kontribusi moda adalah 1 :

∑ ̅

Properti terakhir dari faktor kontribusi moda ini berpengaruh terhadap penentuan jumlah yang dibutuhkan. Jumlah moda yang dapat diambil adalah tak terhingga. Semakin banyak moda yang diambil, hasil analisis dinamik suatu

sistem struktur akan lebih baik (mendekati nilai eksak). Namun, dengan jumlah moda dapat dikurangi tanpa mengurangi aspek keakurasian hasil analisis yang diharapkan. Cara yang dilakukan adalah dengan menentukan error margin yang diinginkan, sehingga jumlah moda dapat ditentukan. Hal tersebut dijelaskan oleh persamaan berikut :

− ∑ ̅

J adalah moda terakhir yang diambil dan ej adalah error margin yang ditentukan oleh ahli struktur.

Dalam dokumen penentuan nilai frekuensi alami struktur (Halaman 35-40)