Desil

IIII III IIII III IIII IIII II

3. Desil

Desil adalah suatu ukuran yang membagi sekelompok data menjadi 10 bagian sama panjang setelah data diurutkan. Ada 9 macam desil, yaitu; desil ke-1 (D1), desil ke-2 (D2),…..,dan seterusnya hingga desil ke-9 (D9).

Untuk data tunggal, jika banyak data n dan Di adalah desil ke-i, maka Letak Di = data ke ^{𝑖.(𝑛+1)}

10 dengan i = 1,2,3,4,…,9 Contoh;

Tentukan D3, dan D5 dari ; 6, 4, 6, 4, 7, 5, 6, 5, 8, 7, 7, 7, 8, 6 ! H = Q3 – Q1

Qd = ^𝟏_𝟐 H = ^𝟏_𝟐.( Q3 – Q1)

Qd = 𝟏^𝟏_𝟐 . H = 𝟏^𝟏_𝟐 .( Q3 – Q1)

44 Penyelesaian;

Data diurutkan menjadi ; 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8

Data 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8

Data ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Letak Di = data ke ^{𝑖.(𝑛+1)}

10

Letak D3 = data ke- ^3.(14+1)

10 = data ke- 4,5 (x 4,5) Dengan interpolasi diperoleh : Nilai D3 = x4 + 0,5(x5 – x4) D3 = 5 + 0,5(6 – 5) D3 = 5,5

Letak D5 = data ke- ^5.(14+1)

10 = data ke- 7,5 (x 7,5) Dengan interpolasi diperoleh : Nilai D5 = x7 + 0,5(x8 – x7) D5 = 6 + 0,5(6 – 6)

D5 = 6 (bandingkan dengan menghitung nilai median) Desil data berkelompok dapat dihitung dengan rumus:

Dengan: Di = desil ke-i

Tb = tepi bawah interval kelas Di

P = panjang kelas interval Di

n = ∑ 𝑓 = banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di

f = frekuensi pada kelas Di

Di = Tb + p. (

𝑖 10.𝑛−𝐹

𝑓 ) i = 1,2,3,4,…,9

45 Contoh.

Hitung nilai D5 dan D8 dari data berdistribusi kelompok berikut :

Interval f Fk

21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50

3 9 4 10

3 11

3 12 16 26 29 40 Penyelesaian ;

Desil ke-5 terletak pada ⁵

10. 40 = 20 (kelas interval 36-40) D5 = 35,5 + 5 (^20-16

10 ) D5 = 35,5 + 2 = 37,5 Desil ke-8 terletak pada ⁸

10. 40 = 32 (kelas interval 46-50) D8 = 45,5 + 5 ^32-29₁₁

D8 = 45,5 + 1,4 = 46,9 4. Persentil

Persentil adalah ukuran yang membagi sekelompok data terurut menjadi 100 bagian sama panjang. Ada 99 macam persentil yang masing-masing adalah P1, P2, P3, …, P99.

Persentil data tunggal maka :

Letak Pi = data ke ^{𝑖.(𝑛+1)}

100 , dengan i = 1,2,3,……,99 Contoh;

Tentukan P30, dan P75 dari ; 6, 4, 6, 4, 7, 5, 6, 5, 9, 7, 10, 7, 10, 6 ! Penyelesaian;

Data diurutkan menjadi ; 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 10

Data 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 9 10 10 Data ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Letak Pi = data ke ^{𝑖.(𝑛+1)}

100 Letak D30 = data ke- ^30.(14+1)

100 = data ke- 4,5 (x 4,5)

46 Dengan interpolasi diperoleh :

Nilai P30 = x4 + 0,5(x5 – x4) P30 = 5 + 0,5(6 – 5) P30 = 5,5

Letak D75 = data ke- ^75.(14+1)

100 = data ke- 11,25 (x 11,25) Dengan interpolasi diperoleh : Nilai P75 = x 11 + 0,25(x 12 – x 11) P75 = 7 + 0,25(9 – 7) P75 = 7,5

Persentil data berkelompok dihitung dengan rumus:

Dengan : Pi = persentil ke-i

Tb = tepi bawah interval kelas Pi

p = panjang kelas interval Pi

n = ∑ 𝑓 = banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas Pi

f = frekuensi pada kelas Pi

Contoh.

Hitung nilai P25 dari data berdistribusi kelompok berikut :

Interval f Fk

21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50

3 9 4 10

3 11

3 12 16 26 29 40 Penyelesaian ;

Persentil ke-25 terletak pada ²⁵

100. 40 = 10 (kelas interval 26-30) P25 = 25,5 + 5 (^10-3

9 ) P25 = 25,5 + 3,9 = 29,4

Pi = Tb + p. (

𝒊 𝟏𝟎𝟎.𝒏−𝑭

𝒇 ) i = 1,2,3,……,99

47 5. Simpangan rata-rata ( SR)

Simpangan rata-rata sekumpulan data adalah rata-rata dari selisih mutlak nilai semua data terhadap rata-ratanya.

 Data tunggal

Simpangan rata-rata data tunggal dapat ditemukan dengan rumus;

Contoh;

Tentukan simpangan rata-rata data : 7,11,10,9,8,6 Penyelesaian;

𝑥 = 7+11+10+9+8+6

6 = 8,5

SR = |7−8,5|+|11−8,5|+|10−8,5|+|9−8,5|+|8−8,5|+|6−8,5|

6

= 1,5+2,5+1,5+0,5+0,5+2,5

6 = ⁹

6 = 1,5

 Data berkelompok

Simpangan rata-rata data berkelompok dirumuskan dengan :

Contoh :

Tentukan simpangan rata-rata data

Interval fi xi fi.xi |𝒙𝒊 − 𝒙| fi.|𝒙𝒊 − 𝒙|

21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50

2 8 9 6 3 2

23 28 33 38 43 48

46 224 297 228 129 96

11 6 1 4 9 14

22 48 9 24 27 28

Jumlah 30 1020 158

Penyelesaian;

Mean 𝑥= ^{∑ 𝑓𝑖.𝑥𝑖}

∑ 𝑓_𝑖 = ¹⁰²⁰

30 = 34 SR = ^{∑ 𝑓𝑖.|𝑥𝑖−𝑥|}

∑ 𝑓_𝑖 = ¹⁵⁸

30 = 5,27 SR = ^∑|𝒙_𝒏^𝒊−𝒙|

SR = ^{∑ 𝒇𝒊}_{∑ 𝒇}^{.|𝒙𝒊−𝒙|}

𝒊

dengan xi = nilai data 𝑥 = mean (rata-rata) n = banyak data

dengan fi = frekuensi data kelas ke-i xi = nilai tengah kelas ke-i 𝑥 = mean (rata-rata) ∑ 𝑓𝑖 = n = banyak data

48 6. Simpangan baku (Deviasi Standar = SD)

 Data tunggal

Simpangan baku (SD) dari data x1, x2, x3, …..,xn adalah :

Contoh:

Tentukan simpangan baku data 5, 3, 7, 6, 4, 3, 10, 2 Penyelesaian;

x = 5+3+7+6+4+3+10+2

8 = ⁴⁰

8 = 5

SD = √^{(5−5)2+(3−5)2+(7−5)2+(6−5)2+(4−5)2+(3−5)2+(10−5)2+(2−5)2}

8

= √0+4+4+1+1+4+25+9

8 = √⁴⁸

8 = √6

 Data berkelompok

Simpangan baku (SD) dari data yang terdistribusi kelompok dapat ditentukan dengan;

Contoh.

Hitung simpangan baku dari data :

Interval fi xi xi-𝒙 (xi-𝒙)² fi.(xi-𝒙)² 21-25

26-30 31-35 36-40 41-45 46-50

2 8 9 6 3 2

23 28 33 38 43 48

-11 -6 -1 4 9 14

121 36

1 16 81 196

242 288 9 96 243 392

Jumlah 30 1270

Penyelesaian;

Mean 𝑥 = 34 ( sudah dicari di atas) SD = √¹²⁷⁰

30 = √42,33 = 6,51 SD = √^{∑(𝒙𝒊−𝒙)𝟐}

𝒏 dengan xi = data ke-i

𝑥= mean (rata-rata) n = banyak data

SD = √^{∑ 𝒇𝒊.(𝒙}_{∑ 𝒇}^{𝒊−𝒙)𝟐}

𝒊

dengan fi = frekuensi kelas ke-i xi = nilai tengah kelas ke-i 𝑥 = mean(rata-rata)

∑ 𝑓_𝑖= n = banyak data

49 7. Nilai standar (Z-SCORE)

Nilai standar (Z-Score) adalah nilai yang menyatakan perbedaan antara besar suatu hal/variabel dengan rata-ratanya.

Nilai standar digunakan untuk membandingkan dua hasil pengukuran atau lebih sehingga diketahui keberhasilan dua usaha yang dinyatakan dalam data (angka).

Untuk menghitung besarnya Nilai Standar (Z-Score) digunakan rumus :

Contoh 1.

Pada ujian matematika, Anik mendapat nilai 63, rata-rata kelasnya 50 dan simpangan baku 10. Berapa Nilai Standar matematika Anik?

Jawab : x = 65 , 𝑥 = 50 , s = 10 Z = ^𝑥−𝑥

𝑠 = ⁶⁵⁻⁵⁰

10 = 1,5

Berarti nilai matematika Anik menyimpang 1,5 di atas nilai rata-rata.

Contoh 2.

Nilai matematika 40 siswa rata-ratanya = 68 dan simpangan bakunya 10. Nilai Fb Service ke 40 siswa rata-ratanya =75 dan simpangan bakunya 15. Surya mendapat nilai matematika 80 dan nilai Fb Service 85. Dalam mata pelajaran apa Surya mendapatkan kedudukan yang lebih baik dari 40 siswa?

Jawab:

Nilai standar matematika Zm = ⁸⁰⁻⁶⁸

10 = 1,2 Nilai Standar Fb Service Zf = ⁸⁵⁻⁷⁵

15 = 0,67

Karena Zm > Zf maka kedudukan Surya lebih tinggi dalam matematika dibandingkan dengan Fb Service.

Z = ^𝒙−𝒙_𝒔 dengan Z = nilai standar x = nilai data

𝑥= mean (rata-rata) s = simpangan baku (SD)

50 8. Koefisien variasi (KV)

Koefisien variasi adalah nilai yang menyatakan prosentase simpangan baku dari rata-ratanya.

Digunakan untuk melihat merata tidaknya suatu nilai data (keseragaman).

Makin kecil nilai KV data makin seragam (homogen).

Makin besar nilai KV data makin heterogen.

Koefisien Variasi dirumuskan dengan:

Contoh.

Di suatu hotel terdapat lampu neon merk A rata-rata dapat dipakai selama 3000 jam dengan simpangan baku 500 jam. Lampu neon merk B rata-rata dapat dipakai selama 5000 jam dengan simpangan baku 600 jam. Lampu merk manakah yang lebih merata masa pakainya?

Jawab:

KV lampu merk A = ⁵⁰⁰

3000x 100 % = 16,67 % KV lampu merk B = ⁶⁰⁰

5000x 100 % = 12 %

Karena KV lampu merk B lebih kecil dari KV lampu merk A, berarti lampu merk B lebih merata masa pakai lampunya.

c. Bahan Diskusi Kegiatan Belajar 4 (Karakter Gotong Royong)

1. Berat badan 12 orang (dalam kg) adalah : 60, 55, 57, 81, 78, 72, 69, 62, 60, 52, 49, 45. Hitunglah jangkauan antar kuartil, jangkauan semi inter kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, nilai standar dan koefisien variasinya?

KV = ^𝒔

𝒙 x 100 % dengan KV = koefisien variasi s = simpangan baku (SD) 𝑥= mean (rata-rata)

51 2. Diketahui tabel nilai matematika 80 siswa :

Nilai Frekuensi (f) 36-40

41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70

2 12 30 19 10 5 2

Jumlah 80

a. Carilah Q3, D8 dan P70

b. Carilah nilai H, Qd, SR, SD, Z dan KV d. Tes Formatif Kegiatan Belajar 4

1. Dari data berikut tentukan nilai simpangan kuartil, desil ke-6 dan jangkauan persentil!

Umur (th) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Jumlah 15 18 21 27 35 25 15 8 6 2. Diketahui data sebagai berikut :

Nilai f 41-45

46-50 51-55 56-60 61-65 66-70 71-75

9 16 25 35 21 12 7 Jumlah 125 Tentukan : Q1, D4 dan P10

3. Nilai praktek komputer dari 8 siswa adalah 60, 57, 81, 78, 72, 69, 62, 60 Tentukan jangkauan, simpangan baku, koefisien variasi dan Z-Score untuk nilai praktek siswa 69!

52 4. Berikut adalah nilai praktek bengkel 40 siswa :

Nilai Frekuensi 51-60

61-70 71-80 81-90

2 28

8 2

Jumlah 40

Tentukan : a. simpangan rata-ratanya b. simpangan bakunya

5. Tentukan jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan baku dan koefisien variasi dari data 6, 8, 12, 19, 27, 25, 24, 41, 37, 51

6. Tentukan jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan baku dan koefisien variasi dari data:

Nilai f

41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70

5 10 13 10 8 4

7. Suatu perusahaan mempunyai dua unit mesin yaitu mesin A dan mesin B.

Mesin A rata-rata pakai 15 jam dan simpangan bakunya 1,6. Mesin B rata-rata pakai 12 jam dan simpangan baku 0,9. Mesin manakah yang mempunyai masa pakai lebih baik?

53 C. Evaluasi Kompetensi

Evaluasi secara online, klik link:

https://quizizz.com/join/quiz/5f3680f60b6db0001b09116f/start?studentShare=tr ue

1. Di bawah ini yang bukan merupakan data kuantitatif adalah:

a. Suhu badan pasien d. Pengukuran tinggi pohon jati b. Daftar kegiatan sekolah e. Banyaknya hewan korban c. Hasil pemilu tahun 2004

2. Jika diketahui data ukuran terbesar 90 dan ukuran terkecil 41, sedang banyaknya kelas 7 maka panjang interval kelas adalah…

a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9

3. Diketahui data berikut :

Kelas f

10-13 14-17 18-21 22-25 26-29

5 4 7 8 2

Maka frekuensi kumulatif lebih dari (>) untuk kelas ke-3 adalah…

a. 10 b. 16 c. 8 d. 21 e. 19

4. Kegiatan seseorang selama 24 jam untuk tidur adalah selama 8 jam. Berapa sudut pusat dari kegiatan tidur tersebut?

a. 145⁰ b. 130⁰ c. 120⁰ d. 90⁰ e. 60⁰

5. Dari data: 6, 7, 6, 8, 6, a, 7, 9, 8, 5 rata-rata hitungnya adalah 6,9. Maka nilai a adalah….

a. 9 b. 8 c. 7 d. 6 e. 5

6. Ulangan matematika dari 6 siswa rata-ratanya 7. Jika 1 siswa baru masuk rata- ratanya menjadi 6,7. Maka nilai matematika siswa baru tersebut adalah…

a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9

7. Diketahui data :

Upah 25 30 35 40 45

f 8 10 15 3 4

Maka mediannya adalah…

a. 17 b. 25 c. 30 d. 35 e. 40

54 8. Diketahui tabel berikut:

Interval f

20,0-20,3 20,4-20,7 20,8-21,1 21,2-21,5 21,6-21,9

8 6 5 7 4

Median dari data tersebut adalah …

a. 20 b. 20,5 c. 20,84 d. 21,3 e. 21,4

9. Diketahui data berikut :

Nilai 4 5 6 8 9

f 10 23 9 8 7

Modus dari data di atas adalah…

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

10. Tabel di bawah ini modusnya adalah…

Nilai f

10-19 20-29 30-39 40-49 50-59

4 6 15 9 11

a. 32,9 b. 33,9 c. 34,9 d. 35,9 e. 36,9

11. Jangkauan (Range) dari data : 10, 3, 16, 17, 20, 15, 27, 14 adalah…

a. 10 b. 14 c. 17 d. 23 e. 24

12. Simpangan rata-rata dari data : 6, 5, 7, 8, 13, 9 adalah…

a. 2 b. 2,4 c. 3 d. 3,6 e. 4,8

13. Simpangan baku dari data : 6, 9, 8, 10, 7 adalah…

a. 1,41 b. 1,46 c. 1,48 d. 1,52 e. 1,58

14. Reza mendapat nilai matematika 66 dengan rata-rata kelas 60 dan simpangan baku 12. Maka nilai standar (Z-score) matematika bagi Reza adalah…

a. –0,5 b. 0 c. 0,5 d. 0,6 e. 1,2

55 15. Mean (rata-rata) suatu data sebesar 80, bila simpangan bakunya 2 maka koefisien

variasi…

a. 2,5% b. 2,5% c. 16% d. 25% e. 40%

16. Kuartil ke 3 dari data : 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50 adalah…

a. 42,5 b. 45 c. 65 d. 70 e. 75

17. Jangkauan antar kuartil dari data : 23, 20, 16, 18, 14, 9, 8, 6 adalah…

a. 8,5 b. 10,5 c. 15 d. 19 e. 2 18.

Nilai f

40-49 50-59 60-69 70-79 80-89

4 8 16 7 5

Kuartil bawah (Q1) dari data di atas adalah…

a. 50 b. 54 c. 57 d. 58 e. 59

19. Desil ke 4 dari data : 4, 9, 12, 3, 6, 8, 7, 14, 10, 9, 11, 8, 13, 7, 9 adalah…

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

20.

Nilai f

40 45 50 55 60 65 70 75 80

2 7 13 25 45 30 12 9 3

Persentil ke 80 dari data di atas adalah…

a. 60 b. 65 c. 67 d. 70 e. 72

56 D. Kunci Jawaban Evaluasi Kompetensi

1.b 2.c 3.b 4.c 5.c

6.a 7.d 8.c 9.b 10.c

11.e 12.a 13.a 14.c 15.a

16.e 17.b 18.b 19.e 20.b