LAYANG-LAYANG

SEGITIGA

F. LAYANG-LAYANG

Layang-layang adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dan dua diagonalnya saling tegak lurus.

Sebuah layang-layang dengan panjang sisis dan₁ s , maka luas dan keliling₂ belahketupat adalah:

1 2

2 d d L= ×

1 2

2 2

K = s + s

d : diagonal terpanjang1

d : diagonal terpendek2

ormula

F

A

B

C D

d1

d2

P

S oal dan Pembahasan

1. Misalkan KLMN adalah sebuah persegi yang memiliki panjang sisi r cm dan ABCD adalah sebuah persegipanjang dengan panjang sisi AB = p cm dan panjang sisi CD adalah l cm. Buktikan jika keliling persegi adalah 2 kali keliling persegipanjang maka

Luas ABCD l l 2

Luas KLMN r r

= −    

Jawab:

Luas persegipanjang ABCD = p×l Luas persegi KLMN = r×r = r²

Keliling persegipanjang ABCD = 2p + 2l Keliling persegi KLMN = 4r

Diketahui keliling persegi ABCD = 2 kali keliling persegipanjang ABCD, maka:

2(2p + 2l) = 4r 4p + 4l = 4r p + l = r p = r–l

2 2

2 2 2

Luas ABCD p l r l rl l l l

Luas KLMN r r r r r

×  −  −  

= = = = −   Luas ABCD l l 2

Luas KLMN r r

= −     (terbukti)

2.

Jawab:

Misal

Tiga persegi masing-masing panjang sisinya 6 cm, 10 cm dan 8 cm ditempatkan seperti pada gambar di samping.

Tentukan luas daerah yang diarsir.

Persergi adalah bidang dengan batas ungu berukuran 6 cm×6 cm Persergipanjang adalah bidang dengan batas merah 18 cm×10 cm

Segitiga I adalah bidang warna kuning dengan alas = 16 cm dan tinggi 6 cm.

Segitiga II adalah bidang warna biru dengan alas = 18 cm dan tinggi 10 cm.

Sehingga:

L. arsiran = L. Persegi + L. Persegipanjang–(L. Segitiga I + L. Segitiga II)

= 6²+ 18⋅10–(¹

2 ⋅16⋅6 + ¹

2 ⋅18⋅10)

= 36 + 180–(48 + 90)

= 216–138

= 78

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 78 cm².

3. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik P dan Q terletak pada AC sehingga DP dan BQ tegak lurus AC. Jika panjang AD = 13 cm, AC = 25 cm dan luas jajargenjang tersebut adalah 125 cm². Maka panjang BQ adalah ... cm

Jawab:

Diketahui:

AD = BC = 13 cm

A B

D C

P Q

AC = 25 cm

Luas jajargenjang = 125 cm² Perhatikan segitiga ACD:

Luas segitiga ACD = ¹

2 ×Luas jajargenjang 1

2 ×AC×DP = ¹

2 ×125 25×DP = 125

DP = ¹²⁵ 5 = 5

∆APD merupakan segitiga siku-siku (siku-siku di P):

BE = AD²−DP²

= 13²−5²

= 169 25−

= 144 = 12 Sehingga:

PQ = AC–(AP + CQ)

= 25–(12 + 12)

= 25–24 = 1

Jadi, panjang PQ adalah 1 cm.

4. Persegipanjang besar berukuran 9 cm × 5 cm. Daerah yang diarsir adalah satu-satunya bangun di dalam persegipanjang yang bukan persegi. Berapakah luas daerah yang diarsir.

Jawab:

Diketahui ukuran persegipanjang besar: panjang = 9 cm dan lebar = 5 cm Karena hanya daerah arsiran yang bukan merupakan persegi, berarti bidang datar lainnya merupakan persegi (bidang yang berwarna).

Misal:

Persegi A bidang berwarna merah: panjang sisi persegi A = 5 cm Persegi B bidang berwarna kuning: panjang sisi persegi B = 4 cm Persegi C bidang berwarna biru: panjang sisi persegi C = 1 cm

Panjang persegipanjang = panjang sisi persegi B–panjang sisi persegi C

= 4–1 = 3

Lebar persegi panjang = panjang sisi persegi A–panjang sisi persegi B

= 5–4 = 1

Sehingga, luas persegipanjang arsiran = 3×1

= 3 cm². 5.

Jawab:

Persegi pada gambar disamping memiliki luas satu satuan luas. Pecahan yang menyatakan luas dari daerah yang tidak diarsir adalah ...

dengan menggunakan gambar (berdasar gambar pada soal):

• ada dua buah segitiga siku-siku yang kongruen dan sebuah segitiga siku- siku samakaki.

• satu dari dua buah segitiga siku-siku yang kongruen digeser sehingga gabungan keduanya mebentuk sebuah persegi panjang (lihat gambar).

• dibuat garis horizontal (datar) dan garis vertikal (tegak) yang membagi persegi menjadi 4 bagian persegi kecil yang kongruen.

• dibuat garis diagonal persegi-persegi kecil (garis warna merah) yang membagi sebuah persegi kecil menjadi 2 bagian (segitiga) yang sama besar.

• dari langkah-langkah di atas, dalam persegi besar diperoleh 8 bagian berbentuk segitiga siku-siku samakaki yang kongruen dengan 3 bagian yang tidak terarsir.

• sehingga, luasan yang tidak diarsir adalah 3 per 8 bagian.

Jadi, pecahan untuk luas dari daerah yang tidak diarsir adalah ³ 8. Alternatif penyelesaian:

Perhatikan gambar

L. arsiran = L.ABCD–(2×L. Segitiga I + L. Segitiga II

= 1–(¹ 2 + ¹

8)

= ³ 8

Jadi, luas dari daerah yang tidak diarsir adalah ³ 8

Terdapat dua segitiga siku-siku yang saling kongruen dengan panjang sisi-sisinya yang saling tegak lurus adalah 1 dan ¹

2. Sebuah segitiga siku- siku sama kaki dengan panjang sisi yang sama yaitu ¹₂ . Sehingga:

6. Diketahui ABCD adalah persegi. Titik E merupakan perpotongan AC dan BD pada persegi ABCD yang membentuk persegi baru EFGH. EF berpotongan dengan CD di I dan EH berpotongan dengan AD di J. Panjang sisi ABCD adalah 4 cm dan panjang sisi EFGH adalah 8 cm. Jika ∠EID = 60°, maka luas segiempat EIDJ adalah ... cm².

Jawab:

Cara I

Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan segitiga EJD kongruen dengan segitiga EIC, maka luas segitiga EJD = luas segitiga EIC. (mengapa?)

Sehingga:

Luas segiempat EIDJ = Luas segitiga DEI + Luas segitiga EJD

= Luas segitiga DEI + Luas segitiga EIC

= luas segitiga CDE Dengan demikian:

A B

C D

F

H

E

F

J

I

Luas segitiga CDE = ¹

4 ×Luas persegi ABCD

= ¹ 4 × 4²

= 4 cm²

Jadi, luas segiempat EIDJ adalah 4 cm². Alternatif penyelesaian:

Dengan rotasi bidang segiempat EIDJ dengan pusat E dan persegi ABCD tetap, dengan arah berlawanan arah jarum jam (arah positif) sedemikian sehingga EF tegak lurus CD. Seperti pada gambar berikut:

Maka:

Luas segiempat EIDJ = Luas segiempat EIDJ

= 2²= 4 cm² Jadi, luas segiempat EIDJ adalah 4 cm².

A B

C D

F

H

E

F

J

I

7. Diketahui persegi panjang PQRS. Panjang PV = QT = PS = 6. Titik U adalah perpotongan antara garis SV dan RT (seperti gambar di samping). Jika PQ = 10 maka, luas segiempat PTUS adalah ...

Jawab:

Diketahui:

PV = QT = PS = 6 PQ = SR = 10 TV = 6 + 6–10 = 2 Misal:

Tinggi segitiga TUV = t Tinggi segitiga SUR = 6–t

Perhatikan segitiga TUV dan segitiga SUR:

Tinggi Tinggi

TUV SUR

∆

∆ = ^TV SR

6 t

−t = ² 10 P

S R

Q

T V

U

S R

U

Q

P T U

10t = 12–2t ⇒ 12t = 12 ⇒ t = 1 Sehingga:

Luas PTUS = Luas∆PVS–Luas∆TUV

= ¹

2 ×PV×PS– ¹

2 ×TV×t

= ¹

2 ×6×6– ¹

2 ×2×1 = 17 Jadi, segiempat PTUS adalah 17.

8.

Jawab:

Perhatikan ∆ACD dan ∆CED yang keduanya memiliki alas berhimpit yaitu CD. Karena AB//CD maka ∆ACD dan ∆CED memiliki tinggi yang sama panjang. Oleh karena itu, luas ∆ACD = luas∆CED = setengah luas ABCD = 10 satuan luas.

Perhatikan ∆CED dan ∆EDG yang keduanya memiliki alas berhimpit yaitu DE. Karena DE//GF maka ∆CED dan ∆EDG memiliki tinggi yang sama panjang. Oleh karena itu, luas∆EDG = luas∆CED = 10 satuan luas.

Dengan demikian, luas DEFG = 2×luas EDG = 20 satuan luas. Padahal luas DEFG = DG×EH = 5EH. Jadi, diperoleh EH = 4 satuan panjang.

D G A

E

B F

C

H Diketahui ABCD dan DEFG adalah

dua jajargenjang. Titik E terletak pada AB dan titik C terletak pada FG. Luas ABCD adalah 20 satuan. H adalah titik pada DG sehingga EH tegak lurus DG. Jika panjnag DG adalah 5 satuan, tentukan panjang EH.