METODE PENELITIAN
3.1 Jenis Penelitian
Penelitian ini merupakan jenis penelitian kualitatif dengan menggunak a n metode studi pustaka. Bentuk dari penelitian kualititatif yaitu dilakukan analisis persamaan Klein Gordon dengan menggunakan metode dโalembert dan metode pemisahan variabel. Selanjutnya dilakukan analisis secara analitik dengan memberikan syarat awal dan syarat batas dari artikel Usman dan Shittu (2019) untuk menampilkan simulasi solusi analitik dengan kondisi awal ๐ข(๐ฅ, 0) = sin(๐ฅ) + 1 dan ๐ข๐ก(๐ฅ, 0) = 0 dan kondisi batas ๐ข(0, ๐ก) = 0 dan ๐ข(1, ๐ก) = 0.
3.2 Tahapan Penelitian
Tahapan yang dilakukan dalam penelitian sebagai berikut :
1. Menyelesaikan masalah nilai awal persamaan Klein Gordon dengan langkah- langkah sebagai berikut
a. Melakukan prosedur faktorisasi operator pada ruas kiri persamaan Klein Gordon.
b. Membuat pemisalan (๐ข๐ก+ ๐ข๐ฅ) = 0 pada faktorisasi operator diferensia l parsial.
c. Memasukkan kondisi awal ๐ข(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ) dan memisalkan ๐ pada kondisi awal ๐ข(๐ฅ, 0) = ๐ข(๐, 0) = ๐(๐).
d. Mengintegralkan kurva-kurva karakteristik pada semua komponen dari faktorisasi operator.
e. Melakukan pemisalan (๐ข๐กโ ๐ข๐ฅ) = ๐ฃ pada faktorisasi operator diferensial parsial.
f. Memasukkan kondisi awal ๐ข(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ) dan kecepatan awal ๐ข๐ก(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ).
g. Mengintegralkan kurva-kurva karakteristik pada semua komponen dari faktorisasi operator dan memperoleh penyelesaian masalah nilai awal persamaan Klein Gordon.
2. Menyelesaikan masalah nilai batas persamaan Klein Gordon dengan langkah- langkah sebagai berikut
a. Menggunakan metode pemisahan variabel ๐ข(๐ฅ, ๐ก) = ๐น(๐ฅ)๐บ(๐ก)
b. Mendapatkan pemisalan ๐ข(๐ฅ, ๐ก) = ๐น(๐ฅ)๐บ(๐ก) untuk menentukan ๐ yang sesuai dengan memisalkan ๐ = 0, ๐ < 0, dan ๐ > 0.
c. Mencari nilai eigen dan fungsi eigen dari solusi ๐น(๐ฅ) dengan memasukkan kondisi batas ๐ข(0, ๐ก) = ๐น(0) = 0 dan ๐ข(1, ๐ก) = ๐น(1) = 0.
d. Mencari nilai eigen dan fungsi eigen dari solusi ๐บ(๐ก) dengan memasukkan kecepatan awal ๐ข๐ก(๐ฅ, 0) = ๐บโฒ(0) = 0 dan kondisi batas ๐ข(1, ๐ก) = ๐บ(1) = 0.
e. Melakukan Subsitusi fungsi eigen ๐น(๐ฅ) dan ๐บ(๐ก) terhadap pemisala n ๐ข(๐ฅ, ๐ก) = ๐น(๐ฅ)๐บ(๐ก).
f. Menentukan koefisien ๐๐ dengan deret fourier sinus pada ๐ข๐(๐ฅ, ๐ก) = ๐น๐(๐ฅ)๐บ๐(๐ก) dan mensubstitusikan syarat awal ๐(๐ฅ) = sin(๐ฅ) + 1.
g. Melakukan bentuk kombinasi linier dari koefisien ๐๐ dan mensubstitusikan nilai ๐๐, ๐น๐, dan ๐บ๐ ke dalam ๐ข๐(๐ฅ, ๐ก) = ๐๐๐น๐(๐ฅ)๐บ๐(๐ก) dan memperoleh penyelesaian masalah nilai batas persamaan Klein Gordon.
22
3. Mensimulasikan masalah nilai awal dan masalah nilai batas persamaan Klein Gordon dengan menambahkan kondisi awal dan kondisi batas yang ditentukan dalam artikel referensi utama.
23 BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Solusi Analitik Persamaan Klein Gordon 4.1.1 Penyelesaian Masalah Nilai Awal
Persamaan Klein Gordon merupakan persamaan diferensial parsial (PDP) linier yang akan diselesaikan dengan solusi dโalembert. Untuk menentukan masalah nilai awal pada persamaan gelombang membutuhkan kondisi awal sebagai berikut
๐ข๐ก๐กโ ๐ข๐ฅ๐ฅ+ ๐ข = 0 (4.1)
Kondisi awal menyatakan ๐ก = 0, sehingga nilai awalnya sebagai berikut ๐ข(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ),๐๐ข
๐๐ก(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ) (4.2)
Persamaan (4.1) dibentuk ke dalam persamaan diferensial parsial (PDP) orde dua, menjadi
๐2๐ข
๐๐ก2 โ๐2๐ข
๐๐ฅ2+ ๐ข = 0 (4.3)
Persamaan diferensial parsial orde dua diubah menjadi persamaan diferens ia l parsial orde satu. Selanjutnya melakukan prosedur faktorisasi operator pada ruas kiri persamaan (4.3) dan fungsi ๐ข dipindah ke ruas kanan, dapat dinyatakan sebagai berikut
(๐
๐๐ก+ ๐
๐๐ฅ) (๐
๐๐กโ ๐
๐๐ฅ) ๐ข(๐ฅ, ๐ก) = โ๐ข(๐ฅ, ๐ก) (4.4)
Misalkan (๐
๐๐กโ ๐
๐๐ฅ) ๐ข(๐ฅ, ๐ก) = ๐ฃ(๐ฅ, ๐ก) (4.5)
Akibatnya persamaan (4.4) menjadi
24
๐๐ฃ
๐๐ก +๐๐ฃ
๐๐ฅ = โ๐ข(๐ฅ, ๐ก) (4.6)
Dari persamaan (4.5) dan (4.6) menghasilkan sistem persamaan diferens ia l orde satu yaitu :
{ (๐๐ข
๐๐ก โ๐๐ข
๐๐ฅ) = ๐ฃ(๐ฅ, ๐ก)
๐๐ฃ
๐๐ก +๐๐ฃ
๐๐ฅ = โ๐ข(๐ฅ, ๐ก)
Asumsikan fungsi ๐ pada kondisi awal ๐ข(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ) menjadi ๐ฅ0= ๐
๐ก = 0} ๐ฃ0 = ๐ฃ(๐, 0) = ๐(๐) (4.7)
Maka persamaan (4.6) memperoleh kurva karakteristik ๐๐ก
๐๐ = 1,๐๐ฅ
๐๐ = 1,๐๐ฃ
๐๐ = โ๐ข (4.8)
Mengintegralkan semua komponen pada persamaan (4.8)
โซ ๐๐ก = โซ ๐๐ , ๐ก = ๐ (4.9)
โซ ๐๐ฅ = โซ ๐๐ , ๐ฅ = ๐ (4.10)
โซ ๐๐ฃ = โซ โ๐ข ๐๐ , ๐ฃ = โซ (โ๐ข)
๐ ๐ =0
๐๐
(4.11) Berdasarkan persamaan (4.6), misalkan ๐ฅ1= ๐ dimana ๐ก = ๐ maka
๐ฅ1= ๐ก (4.12)
Sehingga memperoleh ๐ฅ = ๐ฅ0+ ๐ฅ1
โ ๐ฅ = ๐ + ๐ก
โ ๐ = ๐ฅ โ ๐ก (4.13) Begitu juga dengan ๐ฃ dengan memisalkan ๐ฃ0 = ๐(๐) dan ๐ฃ1 = โ๐ข maka
๐ฃ = ๐ฃ0+ ๐ฃ1
โ ๐ฃ = ๐(๐) + โซ (โ๐ข)๐๐
๐ ๐ =0
โ ๐ฃ = ๐(๐ฅ โ ๐ก) + โซ (โ๐ข)
๐ ๐ =0
๐๐ (4.14)
Kondisi awal pada persamaan (4.7) dapat ditulis menjadi ๐ฃ(๐, 0) = ๐ฃ(๐ฅ โ ๐ก, 0) = ๐(๐)
๐๐ฃ
๐๐ก(๐, 0) =๐๐ฃ
๐๐ก(๐ฅ โ ๐ก, 0) = ๐(๐)
(4.15)
Selanjutnya misalkan ๐(๐ฅ), ๐(๐ฅ) adalah fungsi sembarang, menggabungka n kondisi awal persamaan (4.15) ke dalam persamaan (4.5) menjadi
๐๐ข
๐๐ก โ๐๐ข
๐๐ฅ= ๐ฃ(๐ฅ, ๐ก)
โ๐๐ข
๐๐ก โ๐๐ข
๐๐ฅ= ๐(๐) โ ๐โฒ(๐)
โ๐๐ข
๐๐ก โ๐๐ข
๐๐ฅ= ๐(๐ฅ โ ๐ก) โ ๐โฒ(๐ฅ โ ๐ก) (4.16)
Maka persamaan (4.16), dibentuk kurva karakteristik ๐๐ก
๐๐ = 1,๐๐ฅ
๐๐ = โ1,๐๐ข
๐๐ = ๐ฃ(๐ฅ, ๐ก) (4.17)
Mengintegralkan semua komponen pada persamaan (4.17)
โซ ๐๐ก = โซ 1 ๐๐ , ๐ก = ๐ (4.18)
โซ ๐๐ฅ = โซ โ1 ๐๐ , ๐ฅ = โ๐ (4.19)
26
โซ ๐๐ข = โซ ๐ฃ(๐ฅ, ๐ก) ๐๐ , ๐ข1= โซ (๐(๐ฅ โ ๐ก) โ ๐โฒ(๐ฅ โ ๐ก))
๐ ๐ =0
๐๐ (4.20)
Berdasarkan persamaan (4.5), misalkan ๐ฅ2= โ๐ dimana ๐ก = ๐ maka
๐ฅ2= โ๐ atau ๐ฅ2 = โ๐ก (4.21)
Sehingga memperoleh ๐ฅ = ๐ฅ0+ ๐ฅ2
โ ๐ฅ = ๐ + (โ๐ก) (4.22)
โ ๐ = ๐ฅ + ๐ก (4.23)
Begitu juga dengan ๐ข, misalkan ๐ข0= ๐(๐) dan substitusikan persamaan (4.23) ke dalam persamaan (4.20) maka
๐ข = ๐ข0+ ๐ข1
โ ๐ข = ๐(๐) + โซ ๐(๐ฅ โ ๐ก) โ ๐โฒ(๐ฅ โ ๐ก) ๐๐ก
โ ๐ข = ๐(๐ฅ + ๐ก) + โซ ๐(๐ฅ โ ๐ก) โ ๐โฒ(๐ฅ โ ๐ก) ๐๐ก (4.24) Substitusikan persamaan (4.22) ke dalam persamaan (4.24) dan ๐ข1 =
โซ ๐(๐ฅ โ ๐ก) โ ๐โฒ(๐ฅ โ ๐ก) ๐๐ pada (๐ฅ โ ๐ก) diubah menjadi
๐ฅ โ ๐ก = (๐ โ ๐ก) โ ๐ก = ๐ โ 2๐ก (4.25)
Sehingga persamaan (4.25) menjadi
๐ข = ๐(๐ฅ + ๐ก) + โซ ๐(๐ โ 2๐ก) โ ๐โฒ(๐ โ 2๐ก) ๐๐ (4.26) Jika diasumsikan ๐ = ๐ โ 2๐ก, mengakibatkan ๐๐
๐๐ = โ2. Maka ๐๐ = โ๐๐
2. Sehingga persamaan (4.27) menjadi
๐ข = ๐(๐ฅ + ๐ก) + โซ ๐(๐) โ ๐โฒ(๐)
๐ฅโ๐ก ๐ฅ+๐ก
(โ๐๐
2 ) (4.27)
Dengan menjabarkan persamaan (4.27) didapatkan
๐ข = ๐(๐ฅ + ๐ก) โ1
2๐บ(๐) |๐ฅ โ ๐ก ๐ฅ + ๐ก+1
2๐(๐) |๐ฅ โ ๐ก
๐ฅ + ๐ก๐๐ (4.28)
Dengan menjabarkan (4.28) ๐ข = ๐(๐ฅ + ๐ก) โ1
2(๐บ(๐ฅ โ ๐ก) โ ๐บ(๐ฅ + ๐ก)) +1
2(๐(๐ฅ โ ๐ก) โ ๐(๐ฅ + ๐ก))
(4.29)
๐ข = ๐(๐ฅ + ๐ก) โ1
2๐บ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐บ(๐ฅ + ๐ก) +1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) โ1
2๐(๐ฅ + ๐ก)
(4.30) ๐ข(๐ฅ, ๐ก) = (1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) โ1
2๐บ(๐ฅ โ ๐ก)) + (1
2๐(๐ฅ + ๐ก) +1
2๐บ(๐ฅ + ๐ก))
(4.31)
Persamaan (4.31) adalah solusi masalah nilai awal persamaan Klein Gordon.
4.1.2 Penyelesaian Masalah Nilai Batas
Untuk menentukan masalah nilai batas pada persamaan Klein Gordon (4.1), persamaan Klein Gordon diubah ke dalam bentuk pemisahan variabel yaitu
๐ข(๐ฅ, ๐ก) = ๐น(๐ฅ)๐บ(๐ก) (4.32)
๐ข๐ก(๐ฅ, ๐ก) = ๐น(๐ฅ)๐บโฒ(๐ก) ๐ข๐ฅ(๐ฅ, ๐ก) = ๐นโฒ(๐ฅ)๐บ(๐ก)
๐ข๐ก๐ก(๐ฅ, ๐ก) = ๐น(๐ฅ)๐บโฒโฒ(๐ก) ๐ข๐ฅ๐ฅ(๐ฅ, ๐ก) = ๐นโฒโฒ(๐ฅ)๐บ(๐ก) (4.33) Kondisi awal pada persamaan Klein Gordon yaitu
๐ข(๐ฅ, 0) = ๐น(๐ฅ)๐บ(0) = 0 dan ๐ข๐ก(๐ฅ, 0) = ๐น(๐ฅ)๐บโฒ(๐ก) = 0 (4.34) Syarat batasnya adalah
๐ข(0, ๐ก) = ๐น(0)๐บ(๐ก) = 0 dan ๐ข(1, ๐ก) = ๐น(1)๐บ(๐ก) = 0 (4.35) Mensubstitusikan persamaan (4.32) dan (4.33) pada persamaan (4.1) menjadi ๐น(๐ฅ)๐บโฒโฒ(๐ก) โ ๐นโฒโฒ(๐ฅ)๐บ(๐ก) + ๐น(๐ฅ)๐บ(๐ก) = 0 (4.36) Ruas kiri persamaan (4.36) dibagi dengan ๐น(๐ฅ)๐บ(๐ก) memperoleh
28
๐บโฒโฒ(๐ก)
๐บ(๐ก) โ๐นโฒโฒ(๐ฅ)
๐น(๐ฅ) + 1 = 0 Atau
๐บโฒโฒ(๐ก)
๐บ(๐ก) + 1 =๐นโฒโฒ(๐ฅ) ๐น(๐ฅ)
(4.37)
Kedua ruas persamaan (4.37) harus bernilai sama untuk fungsi terhadap ๐ฅ dan ๐ก. Jika tidak sama, variabel bebas ๐ฅ tetap dan variabel ๐ก bervariasi mengakibatka n pelanggaran kesetaraan. Oleh karena itu, kedua ruas persamaan dimisa lka n konstanta pemisah โ ๐ untuk memperoleh hasil yang lebih mudah menjadi
๐นโฒโฒ(๐ฅ)โ ๐น(๐ฅ)
๐น(๐ฅ) = โ๐ ๐บโฒโฒ(๐ก)
๐บ(๐ก) = โ๐
๐นโฒโฒ(๐ฅ)โ ๐น(๐ฅ)= โ๐๐น(๐ฅ) ๐บโฒโฒ(๐ก)+ ๐๐บ(๐ก)= 0 (4.39) ๐นโฒโฒ(๐ฅ)+(๐ โ 1)๐น(๐ฅ)= 0 (4.38)
Persamaan (4.38) ditulis kembali
๐นโฒโฒ(๐ฅ)+ (๐ โ 1)๐น(๐ฅ)= 0 (4.40)
persamaan (4.40) disebut sebagai persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan koefisien konstanta dan persamaan karakteristiknya setara dengan persamaan kuadrat yang dinyatakan sebagai berikut
๐2 + (๐ โ 1) = 0 (4.41)
Selanjutnya menyelesaikan akar-akar karakteristik pada persamaan (4.41).
Terdapat tiga kemungkinan akar-akar karakteristik nilai ๐, dimana kasus 1 dan kasus 2 menyatakan trivial (Lampiran 9) yaitu
Kasus 3. Karena ๐ = ๐ผ2 > 0, maka ๐1,2 adalah akar-akar komplek atau imajiner dan diperoleh persamaan karakteristik ๐2 + (โ๐ โ 1)2 = 0 dimana ๐ =
ยฑ๐โ๐ โ 1. Maka solusi umum persamaan (4.41) sebagai berikut
๐น(๐ฅ) = ๐ท1๐โ๐โ๐โ1 + ๐ท2๐๐โ๐ โ1 (4.42) Dengan menggunakan rumus euler
๐โ๐โ๐ โ1 = cos ๐ฅโ๐ โ 1 โ ๐ ๐ ๐๐ ๐ฅโ๐ โ 1 (4.43) ๐๐โ๐ โ1 = cos ๐ฅโ๐ โ 1 + ๐ ๐ ๐๐ ๐ฅโ๐ โ 1
Substitusikan ๐โ๐โ๐ โ1 dan ๐๐โ๐โ1 ke persamaan (4.42) diperoleh ๐น(๐ฅ) = ๐ท1(cos๐ฅโ๐ โ 1 โ ๐ ๐ ๐๐ ๐ฅโ๐ โ 1)
+ ๐ท2(cos ๐ฅโ๐ โ 1 + ๐ ๐ ๐๐ ๐ฅโ๐ โ 1)
(4.44)
Persamaan (4.44) dijabarkan
๐น(๐ฅ) = (๐ท1+ ๐ท2) cos ๐ฅโ๐ โ 1 + ๐(๐ท1โ ๐ท2) sin ๐ฅโ๐ โ 1 (4.45) Misalkan
๐ท1+ ๐ท2= ๐1 ๐(๐ท1โ ๐ท2) = ๐2
Maka persamaan (4.49) ditulis kembali menjadi
๐น(๐ฅ) = ๐1cos ๐ฅโ๐ โ 1 + ๐2sin ๐ฅโ๐ โ 1 (4.46) Dengan memperhatikan syarat batas 0 โค ๐ฅ โค 1, diperoleh
๐น(0) = ๐1cos ๐ฅโ๐ โ 1 + ๐2sin ๐ฅโ๐ โ 1 = 0
= ๐1cos(0)โ๐ โ 1 + ๐2sin(0)โ๐ โ 1 = 0
= ๐1(1) + ๐2(0)โ๐ โ 1 = 0
= ๐1 = 0 (4.47)
Substitusikan persamaan (4.47) ke persamaan (4.46) dan syarat batas persamaan (4.35) yang diketahui diperoleh
๐น(1) = ๐1cos ๐ฅโ๐ โ 1 + ๐2sin ๐ฅโ๐ โ 1 = 0
30
= ๐1cos(1)โ๐ โ 1 + ๐2sin(1)โ๐ โ 1 = 0
= 0 + ๐2sin(1)โ๐ โ 1 = 0
= ๐2sin(1)โ๐ โ 1 = 0 (4.48)
Dari persamaan (4.48) diperoleh
๐2= 0 atau sin(1)โ๐ โ 1 = 0 (4.49) Selanjutnya jika ๐2 โ 0 maka sin(1)โ๐ โ 1 = 0 atau dapat ditulis sebagai berikut
((1)โ๐ โ 1) = arcsin(0) (โ๐ โ 1) = ๐๐
๐ โ 1 = (๐๐)2
diperoleh ๐ = (๐๐)2+ 1, ๐ โ ๐ = 0,1,2, โฆ karena
๐น(๐ฅ) = ๐2sin ๐ฅโ๐ โ 1 (4.50)
Substitusi ๐ ke dalam persamaan (4.50) menjadi ๐น(๐ฅ) = ๐2sin ๐ฅโ(๐๐)2+ 1 โ 1
= ๐2sin ๐ฅโ(๐๐)2 (4.51)
Persamaan (4.51) disebut nilai eigen. Sehingga solusi persamaan (4.51) adalah
๐น๐(๐ฅ)= ๐๐sin(๐๐)๐ฅ (4.52)
Sedangkan ๐น(๐ฅ) tidak identik dengan nol dan kasus ini dikatakan nontrivial.
Selanjutnya menyelesaikan variabel bebas ๐ก, maka persamaan (4.39) ditulis kembali
๐บโฒโฒ(๐ก)+ ๐๐บ(๐ก)= 0 (4.53)
Sebelumnya telah diketahui ๐ = (๐๐)2+ 1, maka persamaan karakteristik yang setara dengan (4.53) dinyatakan sebagai berikut
๐2+((๐๐)2+ 1)= 0 (4.54) Akar karakteristik dari persamaan (4.54)
๐1,2 = ยฑ(๐โ(๐๐)2+ 1) (4.55)
Selanjutnya menyelesaikan akar-akar karakteristik pada persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan koefisien konstanta. Terdapat tiga kemungkinan akar-akar nilai ๐, dimana kasus 1 dan kasus 2 memperoleh hasil trivial ( Lampiran 10 ). Telah diketahui kecepatan awal ๐ข๐ก(๐ฅ, 0) = ๐น(๐ฅ)๐บโฒ(0) = 0, maka kasus 3 mensubstitusikan kecepatan awal sebagai berikut
Kasus 3. Karena ๐ = ๐ผ2 > 0, maka ๐1,2 adalah akar-akar komplek atau imajiner. Maka solusi umum persamaan (4.54) sebagai berikut
๐บ(๐ก) = ๐1cos ๐ก (โ(๐๐)2+ 1) + ๐2sin ๐ก(โ(๐๐)2+ 1)
๐บโฒ(๐ก) = โ๐1sin ๐ก (โ(๐๐)2+ 1) + ๐2cos ๐ก(โ(๐๐)2+ 1) = 0 (4.56) Mensubstitusikan ๐บโฒ(0) = 0 dari persamaan (4.56), diperoleh
๐บโฒ(0) = โ๐1sin(0) (โ(๐๐)2+ 1) + ๐2cos(0)(โ(๐๐)2 + 1) = 0 = โ๐1(0) + ๐2(1) = 0
= ๐2 = 0 (4.57)
Karena ๐2= 0 pada ๐บโฒ(0) = 0, selanjutnya mencari hasil dari ๐บ(๐ก) dengan mensubstitusikan syarat batas menjadi
๐บ(1) = ๐1cos ๐ก (โ(๐๐)2+ 1) + ๐2sin ๐ก(โ(๐๐)2+ 1) = ๐1cos(1) (โ(๐๐)2+ 1) +0
= ๐1cos(โ(๐๐)2+ 1)
(4.58) Persamaan (4.58) disebut nilai eigen dari ๐บ(๐ก). Sehingga didapatkan solusi persamaan (4.58) adalah
32
๐บ๐(๐ก) = ๐๐cos ๐ก(โ(๐๐)2 + 1) (4.59) Setelah didapatkan nilai eigen dan fungsi eigen dari ๐น(๐ฅ) dan ๐บ(๐ก), langkah selanjutnya mencari koefisien dari ๐ข๐. Untuk menentukan ๐ข๐ maka menggunak a n pemisalan ๐ข(๐ฅ, ๐ก) = ๐น(๐ฅ)๐บ(๐ก). Sehingga ๐ข๐ sebagai berikut
๐ข๐(๐ฅ, ๐ก) = ๐๐sin(๐๐๐ฅ) ๐๐cos (โ(๐๐๐ก)2+ ๐ก)
= ๐๐๐๐sin(๐๐๐ฅ) cos (โ(๐๐๐ก)2+ ๐ก)
(4.60) Misalkan ๐๐๐๐ = ๐๐. Selanjutnya menentukan koefisien ๐๐ dengan deret fourier, karena kondisi awal ๐(๐ฅ) = sin(๐ฅ) + 1 merupakan fungsi ganjil maka menggunakan deret fourier sinus yaitu
๐๐ = 2 โซ ๐(๐ฅ) sin(๐๐๐ฅ)
1 0
๐๐ฅ
Sumber masalah ini adalah membentuk kombinasi linier dari fungsi persamaan (4.61) dan koefisien ๐๐ dari kondisi awal ๐ข(๐ฅ, 0) = 0 persamaan (4.61).
Pada masalah yang telah dicari sebelumnya memiliki banyak fungsi tak terbatas, jadi kombinasi linier umum dari masalah yang dicari adalah fungsi tak terbatas.
Selanjutnya mensubstitusikan nilai ๐๐ (4.58) ke dalam ๐ข๐(๐ฅ, ๐ก) = ๐๐๐น๐(๐ฅ)๐บ๐(๐ก), dimana ๐น๐(๐ฅ) adalah (4.52) dan ๐บ๐(๐ก) adalah (4.59) menjadi
๐ข๐(๐ฅ, ๐ก) = ๐๐๐น๐(๐ฅ)๐บ๐(๐ก)
= (2 โซ ๐(๐ฅ) sin(๐๐๐ฅ)
1 0
๐๐ฅ) โ sin(๐๐๐ฅ)
โ cos (โ(๐๐๐ก)2+ ๐ก)
(4.61)
Persamaan (4.61) merupakan solusi masalah nilai batas dari persamaan Klein Gordon dengan 0 โค ๐ฅ โค 1 dan ๐ก > 0.
4.2 Simulasi Solusi Analitik Persamaan Klein Gordon
Solusi analitik dari penelitian ini adalah solusi masalah nilai awal dan masalah nilai batas. Kedua solusi yang diperoleh pada persamaan Klein Gordon dengan menggunakan metode dโalembert dan metode pemisahan variabel disimulasikan menggunakan program maple.
4.2.1 Simulasi Masalah Nilai Awal
Simulasi masalah nilai awal persamaan Klein Gordon dengan mensubstitusikan syarat awal ๐ข(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ) = sin ๐ฅ + 1 yaitu
๐ข(๐ฅ, ๐ก) = โ1
2๐บ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐บ(๐ฅ + ๐ก) +1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐(๐ฅ + ๐ก) ๐ข(๐ฅ, 0) = 0 + 0 +1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐(๐ฅ + ๐ก) ๐ข(๐ฅ, 0) = 1
2(sin(๐ฅ โ ๐ก) + 1) +1
2(sin(๐ฅ + ๐ก) + 1) ๐ข(๐ฅ, 0) = 1
2(sin(๐ฅ โ ๐ก)) +1 2+1
2(sin(๐ฅ + ๐ก)) +1 2 ๐ข(๐ฅ, ๐ก) =1
2sin(๐ฅ โ ๐ก) +1
2sin(๐ฅ + ๐ก) + 1 (4.62)
Dari persamaan (4.62) adalah solusi analitik dari masalah nilai awal persamaan Klein Gordon yang dapat disimulasikan sebagai berikut
Gambar 1. 3 Grafik Masalah Nilai Awal
34
Grafik masalah nilai awal persamaan Klein Gordon menunjukkan bahwa gelombang merambat ke arah kanan pada 0 < ๐ก < 5 dan 0 < ๐ฅ < 1. Gelombang membentuk bukit bernilai positif dan lembah bernilai negatif.
4.2.2 Simulasi Masalah Nilai Batas
Simulasi masalah nilai batas dari persamaan Klein Gordon dengan mensubstitusikan kondisi awal ๐(๐ฅ) = sin(๐ฅ) + 1 yaitu
๐ข๐(๐ฅ, ๐ก) = (2 โซ ๐(๐ฅ) sin(๐๐๐ฅ)
1 0
๐๐ฅ) โ sin(๐๐๐ฅ) โ cos (โ(๐๐๐ก)2 + ๐ก)
= (2 โซ (sin(๐ฅ) + 1) sin(๐๐๐ฅ)
1 0
๐๐ฅ) โ sin(๐๐๐ฅ) โ cos (โ(๐๐๐ก)2+ ๐ก)
๐ข๐(๐ฅ, ๐ก) =โ2๐2๐2cos(๐๐) sin(1) + 2 cos(๐๐) ๐2๐2 ๐๐(๐2๐2โ 1)
โ2๐๐ sin(๐๐) cos(1) โ 2๐2๐2โ 2 cos(๐๐) + 2
๐๐(๐2๐2โ 1) โ sin(๐๐๐ฅ)
โ cos (โ(๐๐๐ก)2+ ๐ก)
๐ข(๐ฅ, ๐ก) = โ2(52)๐2cos(5๐) sin(1) + 2 cos(5๐) (52)๐2 5๐(52๐2โ 1)
โ2(5)๐ sin(5๐) cos(1) โ 2(52)๐2โ 2 cos(5๐) + 2
โ sin(5๐๐ฅ) โ cos (โ(5๐๐ก)2+ ๐ก)
(4.63)
Dari persamaan (4.63) adalah solusi analitik dari masalah nilai batas persamaan Klein Gordon yang dapat disimulasikan dengan parameter 0 < ๐ฅ <
1,0 < ๐ก < 5 dan ๐ = 5 (Hisyam, 2021).
Gambar 1. 4 Grafik Masalah Nilai Batas
Grafik masalah nilai batas persamaan Klein Gordon menunjukkan bahwa gelombang merambat ke arah kanan pada 0 < ๐ก < 5 dan 0 < ๐ฅ < 1. Gelombang bergerak dengan frekuensi sama di 0 < ๐ฅ < 1 dan amplitudo yang berubah.
Sehingga membentuk bukit bernilai positif dan lembah bernilai negatif.
4.3 Penyelesaian Solusi Analitik Dalam Nilai-Nilai Islam
Islam adalah agama yang memberi petunjuk bagi makhluk-Nya atas setiap ketentuan yang diciptakan. Petunjuk yang diberikan berupa menyelesaikan sesuatu masalah tanpa kendala apapun dan telah diatur cara menyelesaikan suatu permasalahan dengan baik. Sebagaimana dijelaskan dalam surat Al-Fussilat ayat 34.
Ayat tersebut menjelaskan tentang ketika seseorang terlibat dalam suatu permasalahan, berusahalah untuk menyelesaikan dengan cara yang baik. Cara yang baik yaitu dengan selalu berusaha, sabar dalam menjalani proses untuk menemuka n solusi, tenang menghadapi setiap keadaan, berpikir positif dan tidak emosi agar memperoleh petunjuk yang baik dan benar karena dikhawatirkan akan menimbulkan masalah lain. Sebagai umat muslim yang beriman, berusahalah untuk menjaga lisan agar tidak menyingggung perasaan orang lain.
36
Menurut HR. Al Bukhari berkata, Qatadah meriwayatkan, dia berkata: Saya bertanya kepada Anas ra., "Apakah para Sahabat Rasulullah saw. melakukan jabat tangan?" jinas ra. menjawab, "Ya."
Begitu juga dalam persamaan Klein Gordon, dimana hal tersebut digunaka n untuk menemukan solusi analitik dan solusi yang diperoleh menjadi lebih mudah diselesaikan dengan menemukan masalah nilai awal dan masalah nilai akhir . Persamaan Klein Gordon merupakan persamaan yang mengilustrasikan sebuah partikel yang bergerak secara periodik dalam situasi tertentu. Persamaan Klein Gordon merupakan persamaan matematika yang mempunyai satu atau lebih fungsi (peubah tak terbalas) dan turunan fungsinya terhadap satu atau lebih variabel.
Dalam ajaran Islam kita diajarkan untuk berserah diri kepada Allah Swt.
setelah menemukan akar permasalahan dari setiap permasalahan yang dihadapi.
Sebagai makhluk ciptaan Allah Swt., jika belum mendapatkan solusi dari sebuah permasalahan yang sedang terjadi agar selalu ingat untuk terus bersabar disertai doa agar Allah Swt. memberikan petunjuk untuk memecahkan masalah dan dapat hasil yang baik.
37 BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan penelitian dari persamaan Klein Gordon dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Solusi analitik persamaan Klein Gordon
a. Solusi masalah nilai awal dengan metode dโalembert pada kondisi awal ๐ข(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ) = sin(๐ฅ) + 1 dan ๐ข๐ก(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ) = 0, diperoleh
๐ข(๐ฅ, ๐ก) = 1
2(๐ ๐๐(๐ฅ โ ๐ก)) +1
2(๐ ๐๐(๐ฅ + ๐ก)) + 1
b. Solusi analitik masalah nilai batas metode pemisahan variabel dengan memisahkan variabel ๐น(๐ฅ) dan ๐บ(๐ก) pada kondisi awal ๐ข(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ) = sin(๐ฅ) + 1 dan ๐ข๐ก(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ) = 0 dan kondisi batas ๐ข(0, ๐ก) = ๐น(0)๐บ(๐ก) = 0 dan ๐ข(1, ๐ก) = ๐น(1)๐บ(๐ก) = 0
๐ข๐(๐ฅ, ๐ก) = (2 โซ ๐(๐ฅ) sin(๐๐๐ฅ)
1 0
๐๐ฅ) โ sin(๐๐๐ฅ) โ cos (โ(๐๐๐ก)2+ ๐ก) 2. Simulasi solusi analitik persamaan Klein Gordon
a. Simulasi persamaan Klein Gordon menggunakan metode dโalembert dengan 0 โค ๐ฅ โค 1 dan 0 < ๐ก < 5 menghasilkan
Gambar 4.1 Grafik Masalah Nilai Awal
b. Simulasi persamaan Klein Gordon menggunakan metode pemisaha n variabel dengan 0 โค ๐ฅ โค 1, 0 < ๐ก < 5 dan ๐ = 5
38
Gambar 4.2 Grafik Masalah Nilai Batas 5.2 Saran
Saran penelitian selanjutnya adalah melakukan penelitian tentang penyelesaian analitik persamaan Klein Gordon menggunakan metode yang berbeda dari penelitian ini.
39
DAFTAR PUSTAKA
Al-Maraghi, A. (1984). Terjemah Tafsir Al-Maraghi 2. Semarang: CV. Toha Putra.
Al-Qurthubi, I. (2009). Tafsir Al-Qur'an Jilid 15. (M. M. Mukti, Penerj.) Jakarta:
Pustaka Azzam.
Ath-Thabari, I. J. (2007). Tafsir Ath-Thabari Jilid 15. Jakarta: Pustaka Azzam.
DiPrima, W. E. (2009). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (9 ed.). United Statesof America: John Wiley & Sons.
Dr. Lukman Arake, L. M. (2020). Hadis-Hadis Politik dan Pemerintah.
D.I.Yogyakarta: Lintas Nalar.
Ficek, Z. (2016). Quantum Physichs for Beginners. Perancis: Pan Stanford Publishers.
Halliday, R. d. (2010). Fisika Dasar (7 ed.). Jakarta: ERLANGGA.
Hisyam Ihsan, S. S. (2021, Oktober). Solusi Persamaan Burgers Inviscid dengan Metode Pemisahan Variabel. Journal of Mathematics, Computations, and Statistics, 4, 88-94. Diambil kembali dari http://www.ojs.unm.ac.id/jmathcos
Humi, M. d. (1992). Boundary Value Problem and Partial Differential Equation.
Boston: PWS-KENT Publising Company.
Katsir, I. (2005). Tafsir Ibnu Katsir Jilid I. (M. A. E.M, Penerj.) Bogor: Pustaka Imam Syafi'i Penebar Sunnah.
Ledder, G. (2005). Differential Equation : A Modelling Approach. New York: Mc Graw Hill.
Nabiyah, I. R. (2017). Penyelesaian Persamaan Klein Gordon Menggunakan Metode Homotopi. Indonesia: Jurnal As-Salam.
Nainggolan, R. D. (2012). Penerapan Persamaan Klein-Gordon Untuk Menentukan Tingkat Energi dari Atom Pion. Skripsi Tidak diterbitkan.
S. C. Shiralashetti, L. M. (2016). Haar Wavelet Method for The Numerical Solution of Klein Gordon Equations. Asian-European Journal of Mathematics, 9.
Diambil kembali dari https://www.world scientific.com
S. Ikram, S. S. (2021). Approximations to linear KleinโGordon Equations using Haar wavelet. Ain Shams Engineering Journal, 12, 3987-3995. Diambil kembali dari https://www.sciencedirect.com
Stephen A. Ross, R. W. (2010). Corporate Finance (9 ed.). Mc. Graw- Hill Companies.
40
Strauss, W. A. (2007). Partial Differential Equations An Introduction (2nd ed.).
New York: John Wiley and Sons, Ltd.
Usman M.A, S. M. (2019). Analytical Solution of The Linear and Nonlinear Klein Gordon Equations. Journal of Engineering and Technology, 30-38. Diambil kembali dari https://www.laujct.com
Zauderer, E. (2006). Partial Differential Equations of Applied Mathematics. (3, Penyunt.) New York: A John Wiley & Sons. Inc.
41 LAMPIRAN Lampiran 1 Script Maple Metode dโalembert restart; with(plots);
u := proc (x, t) options operator, arrow; (1/2)*sin(x-t)+(1/2)(sin(x+t))+1 end proc;
plot3d(u(x, t), x = 0 .. 1, t = 0 .. 5, labels = ["x", "t", "u(x,t)"]);
Lampiran 2 Script Maple Metode Pemisahan Variabel Restart:
with(PDEtools):
u(0, t) = 0; u(1, t) = 0; u(x, 0) = sin(x)+1; Diff(u(x, 0), t) = 0;
u := proc (x, t) options operator, arrow; 2*(int(f(x)*sin(n*Pi*x), x = 0 ..
1))*sin(n*Pi*x)*cos(sqrt(n^2*Pi^2*t+t)) end proc
u1 := subs(f(x) = sin(x)+1, u(x, t)); u2 := subs(n = 5, u1); u3 := simplify(u2);
with(plots); plot3d(u2, x = 0 .. 1, t = 0 .. 5, labels = ["x", "t", "u(x,t)"]) Lampiran 3 Pembuktian Solusi dโalembert jika ๐(๐, ๐) = ๐(๐) Dari ๐ข(๐ฅ, ๐ก) dimana ๐ก = 0
๐ข(๐ฅ, 0) = โ1
2๐บ(๐ฅ โ 0) +1
2๐บ(๐ฅ + 0) +1
2๐(๐ฅ โ 0) +1
2๐(๐ฅ + 0) ๐ข(๐ฅ, 0) = โ1
2๐บ(๐ฅ) +1
2๐บ(๐ฅ) +1
2๐(๐ฅ) +1 2๐(๐ฅ) ๐ข(๐ฅ, 0) = ๐(๐ฅ)
Lampiran 4 Pembuktian masalah nilai awal penurunan ๐(๐, ๐) terhadap ๐ dan ๐
Turunan pertama dan kedua ๐ข(๐ฅ, ๐ก) terhadap ๐ก ๐ข = โ1
2๐บ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐บ(๐ฅ + ๐ก) +1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐(๐ฅ + ๐ก)
๐๐ข
๐๐ก = โ(โ1)1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐(๐ฅ + ๐ก) + (โ1)1
2๐โฒ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐โฒ(๐ฅ + ๐ก) =1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐(๐ฅ + ๐ก) โ1
2๐โฒ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐โฒ(๐ฅ + ๐ก)
๐2๐ข
๐ ๐ก2 = (โ1)1
2๐โฒ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐โฒ(๐ฅ + ๐ก) โ (โ1)1
2๐โฒโฒ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐โฒโฒ(๐ฅ + ๐ก)
= โ1
2๐โฒ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐โฒ(๐ฅ + ๐ก) +1
2๐โฒโฒ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐โฒโฒ(๐ฅ + ๐ก)
42
๐2๐ข
๐๐ก2 |
๐ก = 0 = โ1
2๐โฒ(๐ฅ) +1
2๐โฒ(๐ฅ) +1
2๐โฒโฒ(๐ฅ) +1
2๐โฒโฒ(๐ฅ)
= ๐โฒโฒ(๐ฅ)
Turunan pertama dan kedua ๐ข(๐ฅ, ๐ก) terhadap ๐ฅ ๐ข = โ1
2๐บ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐บ(๐ฅ + ๐ก) +1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐(๐ฅ + ๐ก)
๐๐ข
๐๐ฅ = (โ1)1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐(๐ฅ + ๐ก) +1
2๐โฒ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐โฒ(๐ฅ + ๐ก)
๐2๐ข
๐๐ฅ2 = (โ1)1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐(๐ฅ + ๐ก) +1
2๐โฒโฒ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐โฒโฒ(๐ฅ + ๐ก)
๐2๐ข
๐๐ฅ2|
๐ก = 0= (โ1)1
2๐(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐(๐ฅ + ๐ก) +1
2๐โฒโฒ(๐ฅ โ ๐ก) +1
2๐โฒโฒ(๐ฅ + ๐ก)
= ๐โฒโฒ(๐ฅ)
Lampiran 5 Pembuktian kondisi batas solusi analitik Diketahui Solusi masalah nilai batas Persamaan Klein Gordon
๐ข(๐ฅ, ๐ก)
= โโ2๐2๐2cos(๐๐) sin(1) + 2 cos(๐๐) ๐2๐2โ 2๐๐ sin(๐๐) cos(1) ๐๐(๐2๐2โ 1)
โ
๐=1
โ2๐2๐2โ 2 cos(๐๐) + 2
๐๐(๐2๐2โ 1) sin(๐๐๐ฅ) cos (โ(๐๐๐ก)2+ ๐ก)
๏ท Untuk ๐ข(0, ๐ก) = 0 ๐ข(๐ฅ, ๐ก)
= โโ2๐2๐2cos(๐๐) sin(1) + 2 cos(๐๐) ๐2๐2โ 2๐๐ sin(๐๐) cos(1) ๐๐(๐2๐2โ 1)
โ
๐=1 โ2๐2๐2โ 2 cos(๐๐) + 2
๐๐(๐2๐2โ 1) sin(๐๐(0))cos (โ(๐๐๐ก)2 + ๐ก) = 0 Terbukti benar ๐ข(0, ๐ก) = 0
๏ท Untuk ๐ข(1, ๐ก) = 0 ๐ข(๐ฅ, ๐ก)
= โโ2๐2๐2cos(๐๐) sin(1) + 2 cos(๐๐) ๐2๐2โ 2๐๐ sin(๐๐) cos(1) ๐๐(๐2๐2โ 1)
โ
๐=1 โ2๐2๐2โ 2 cos(๐๐) + 2
๐๐(๐2๐2โ 1) sin(๐๐(1))cos (โ(๐๐๐ก)2 + ๐ก) = 0 Terbukti benar ๐ข(1, ๐ก) = 0
๏ท Untuk ๐ข๐ก(๐ฅ, 0) = 0
๐ข๐ก(๐ฅ, ๐ก) = โ2๐2๐2cos(๐๐) sin(1) + 2 cos(๐๐) ๐2๐2โ 2๐๐ sin(๐๐) cos(1) ๐๐(๐2๐2โ 1)
โ
๐=1
โ2๐2๐2โ 2 cos(๐๐) + 2
๐๐(๐2๐2โ 1) sin(๐๐(1))sin (โ(๐๐๐ก)2+ ๐ก) = 0 Terbukti benar ๐ข๐ก(๐ฅ, 0) = 0
Lampiran 6 Pembuktian masalah nilai batas penurunan ๐(๐, ๐) terhadap ๐ dan ๐
Turunan pertama dan kedua ๐ข(๐ฅ, ๐ก) terhadap ๐ก ๐ข =2
๐ฟโซ ๐(๐ฅ) sin (0๐ฟ ๐๐๐ฅ๐ฟ )๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) cos (โ(๐๐
๐ฟ)2+ 1) ๐ก
๐๐ข
๐๐ก = โ2
๐ฟโซ ๐(๐ฅ) sin (๐ฟ ๐๐๐ฅ๐ฟ )
0 ๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) โ(๐๐
๐ฟ)2 + 1sin (โ(๐๐
๐ฟ)2 + 1) ๐ก
๐2๐ข
๐๐ก2 = โ2
๐ฟโซ ๐(๐ฅ) sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ )
๐ฟ
0 ๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) (โ(๐๐
๐ฟ)2+ 1) cos (โ(๐๐
๐ฟ )2+ 1) ๐ก
๐2๐ข
๐๐ก2 |
๐ก = 0= โ 2
๐ฟ3โซ ๐(๐ฅ) sin (๐๐๐ฅ ๐ฟ )
๐ฟ 0
๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) (โ(๐๐
๐ฟ )2+ 1)
cos (โ(๐๐
๐ฟ)2+ 1) (0)
= ๐บโฒโฒ(๐ก)
Turunan pertama dan kedua ๐ข(๐ฅ, ๐ก) terhadap ๐ฅ ๐ข =2
๐ฟโซ (๐ฅ)sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ )
๐ฟ
0 ๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) cos (โ(๐๐
๐ฟ )2+ 1) ๐ก
๐๐ข
๐๐ฅ =2
๐ฟโซ ๐(๐ฅ) sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ )
๐ฟ
0 ๐๐ฅ cos (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) ๐๐ cos (โ(๐๐
๐ฟ )2+ 1) ๐ก
๐2๐ข
๐๐ฅ2 = โ2
๐ฟ3โซ ๐(๐ฅ) sin (0๐ฟ ๐๐๐ฅ๐ฟ )๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) ๐2๐2cos (โ(๐๐
๐ฟ )2+ 1) ๐ก
๐2๐ข
๐๐ฅ2|
๐ก = 0 = โ 2
๐ฟ3 โซ ๐(๐ฅ)sin (0๐ฟ ๐๐(0)๐ฟ )๐๐ฅ sin (๐๐(0)
๐ฟ ) ๐2๐2 cos (โ(๐๐
๐ฟ )2+ 1) ๐ก
= ๐นโฒโฒ(๐ฅ)
Sehingga persamaan Klein Gordon ๐ข๐ก๐กโ ๐ข๐ฅ๐ฅ+ ๐ข = 0
44
๐2๐ข
๐๐ก2 โ๐2๐ข
๐๐ฅ2+ ๐ข = 0
โ โ2
๐ฟโซ ๐(๐ฅ) sin (0๐ฟ ๐๐๐ฅ๐ฟ )๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) ((๐๐
๐ฟ )2+ 1) cos (โ(๐๐
๐ฟ)2+ 1) ๐ก โ (โ 2
๐ฟ3โซ ๐(๐ฅ) sin (๐ฟ ๐๐๐ฅ๐ฟ )
0 ๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) ๐2๐2cos (โ(๐๐
๐ฟ )2+ 1) ๐ก) +
2
๐ฟโซ ๐(๐ฅ) sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ )
๐ฟ
0 ๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) cos (โ(๐๐
๐ฟ)2 + 1) ๐ก = 0
โ โ2
๐ฟโซ ๐(๐ฅ) sin (0๐ฟ ๐๐๐ฅ๐ฟ )๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) cos (โ(๐๐
๐ฟ )2+ 1) ๐ก +
2
๐ฟโซ ๐(๐ฅ) sin (0๐ฟ ๐๐๐ฅ๐ฟ )๐๐ฅ sin (๐๐๐ฅ
๐ฟ ) cos (โ(๐๐
๐ฟ)2 + 1) ๐ก = 0 Lampiran 7 Perhitungan metode dโalembert dengan Maple
Lampiran 8 Perhitungan metode pemisahan variabel dengan Maple
Lampiran 9 Perhitungan solusi pemisahan variabel dari variabel ๐ญ(๐)
Kasus 1. Jika ๐ = ๐ผ2 = 0, maka ๐1 = ๐2 dengan ๐1,2 โ โ, mengakibatka n solusi umum (4.41)
๐น(๐ฅ) = ๐1๐ฅ + ๐2 (4.64)
Dengan memperhatikan syarat batas 0 โค ๐ฅ โค 1. Sehingga diperoleh
๐น(0) = ๐1๐ฅ + ๐2 = 0
= ๐10 + ๐2= 0
= ๐2 = 0 (4.65)
Substitusikan persamaan (4.65) ke persamaan (4.64) dan syarat batas persamaan (4.35) yang diketahui, diperoleh
๐น(1) = ๐1๐ฅ + ๐2 = 0
= ๐1(1) + 0 = 0
= ๐1 =0 (4.66)
Oleh karena itu, persamaan (4.65) dan (4.66) memperoleh jika ๐ = 0 maka ๐1 = ๐2 = 0 artinya ๐น(๐ฅ) identik dengan nol dan kasus ini dikatakan trivial.
Kasus 2. Jika ๐ = โ๐ผ2 < 0 maka ๐1,2 adalah akar-akar real yang berbeda, mengakibatkan solusi umum pada persamaan (4.35) yaitu
๐น(๐ฅ) = ๐1cosh ๐ฅโ๐ โ 1 + ๐2sinh ๐ฅโ๐ โ 1 (4.67) Dengan memperhatikan syarat batas 0 โค ๐ฅ โค 1, diperoleh
๐น(0) = ๐1cosh ๐ฅโ๐ โ 1 + ๐2sinh ๐ฅโ๐ โ 1 = 0
= ๐1cosh(0)โ๐ โ 1 + ๐2sinh(0)โ๐ โ 1 = 0
= ๐1 = 0 (4.68)
Substitusikan persamaan (4.68) ke persamaan (4.67) dan syarat batas persamaan (4.35) yang diketahui, diperoleh
๐น(1) = ๐1cosh ๐ฅโ๐ โ 1 + ๐2sinh ๐ฅโ๐ โ 1 = 0
= ๐2sinh(1)โ๐ โ 1 = 0 (4.69)
Dari persamaan (4.69) diperoleh dua kesimpulan yaitu ๐2 = 0 atau sinh(1)โ๐ โ 1 = 0. jika ๐2 โ 0 maka
46
sinh(1)โ๐ โ 1 = 0 ๐๐ฅโ๐โ1โ ๐โ๐ฅโ๐โ1
2 = 0
(4.70)
Sehingga didapatkan โ๐ โ 1 yang memenuhi โ๐ โ 1 = 0, sedangkan konstanta ๐ harus bernilai positif, sehingga tidak ada ๐ฅโ๐ โ 1 positif yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, persamaan (4.68) dan (4.69) pada ๐บ(๐ก) dikatakan trivial karena identik dengan nol.
Lampiran 10 Perhitungan solusi pemisahan variabel dari variabel ๐ฎ(๐) Kasus 1. Jika ๐ = ๐ผ2 = 0, maka ๐1= ๐2 dengan ๐1,2โ โ, mengakibatkan solusi umum (4.54)
๐บ(๐ก) = ๐1๐ก + ๐2 (4.71)
Dengan memperhatikan syarat batas 0 โค ๐ฅ โค 1. Sehingga diperoleh ๐บ(0) = ๐1๐ก + ๐2 = 0
= ๐10 + ๐2= 0
= ๐2 = 0 (4.72)
Substitusikan persamaan (4.72) ke persamaan (4.71) dan syarat batas persamaan (4.35) yang diketahui, diperoleh
๐บ(1) = ๐1๐ก + ๐2 = 0
= ๐1(1) + 0 = 0
= ๐1 =0 (4.73)
Oleh karena itu, persamaan (4.72) dan (4.73) memperoleh jika ๐ = 0 maka ๐1 = ๐2 = 0 artinya ๐บ(๐ก) identik dengan nol dan kasus ini dikatakan trivial.
Kasus 2. Jika ๐ = โ๐ผ2 < 0 maka ๐1,2 adalah akar-akar real yang berbeda, mengakibatkan solusi umum pada persamaan (4.54) yaitu
๐บ(๐ก) = ๐1cosh ๐กโ(๐๐)2 + 1+ ๐2sinh ๐กโ(๐๐)2+ 1 (4.74) Dengan memperhatikan syarat batas 0 โค ๐ฅ โค 1, diperoleh
๐บ(0) = ๐1cosh ๐กโ(๐๐)2+ 1+ ๐2sinh ๐กโ(๐๐)2+ 1 = 0
= ๐1cosh(0)โ(๐๐)2+ 1+ ๐2sinh(0)โ(๐๐)2+ 1 = 0
= ๐1 = 0 (4.75)
Substitusikan persamaan (4.75) ke persamaan (4.74) dan syarat batas persamaan (4.35) yang diketahui, diperoleh
๐บ(1) = ๐1cosh ๐กโ(๐๐)2+ 1+ ๐2sinh ๐กโ(๐๐)2+ 1 = 0
= ๐2sinh(1)โ(๐๐)2 + 1= 0 (4.76)
Persamaan (4.76) diperoleh dua kesimpulan yaitu ๐2 = 0 atau sinh(1)โ(๐๐)2+ 1= 0. jika ๐2 โ 0 maka
sinh(1)โ(๐๐)2+ 1= 0 ๐๐ฅโ(๐๐)2+1โ ๐โ๐ฅโ(๐๐)2+1
2 = 0
(4.77)
Sehingga didapatkan โ(๐๐)2+ 1 yang memenuhi โ(๐๐)2+ 1= 0, sedangkan konstanta โ(๐๐)2+ 1 harus bernilai positif, sehingga tidak ada ๐กโ(๐๐)2+ 1 positif yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, persamaan (4.75) dan (4.76) pada ๐บ(๐ก) identik dengan nol dan kasus ini dikatakan trivial.
48
RIWAYAT HIDUP
Aulia Rohmah, lahir di Bojonegoro pada tanggal 30 Desember 1998, bisa dipanggil Aulia. Bertempat tinggal di Panjunan, Kec.
Kalitidu, Kabupaten Bojonegoro, Jawa Timur. Anak pertama dari dua bersaudara dari pasangan Bapak Ali Mas Udi dan Ibu Soekesi. Pendidikan yang pernah ditempuh yaitu Taman Kanak-kanak Muslimat NU pada tahun 2003-2005, kemudian melanjutkan di SDN Panjunan II pada tahun 2005-2011. Setelah itu, melanjutkan pendidikan pada tingkat menengah pertama di SMP Plus Al-Fatimah pada 2011-2014. Lalu melanjutkan pendidikan pada tingkat menengah atas di SMA Plus Al-Fatimah pada tahun 2014-2017. Pada tahun 2017 melanjutkan pendidikan di Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang mengambil program studi Matematika.