MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG, ĐIỂM CỐ ĐỊNH Bài 1

BIỆT TRONG TAM GIÁC, TIẾP TUYẾN CÁT TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG, ĐIỂM CỐ ĐỊNH Bài 1

Từ điểm M thuộc đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn (O;R) sao cho khoảng cách từ điểm O đến (d) bằng h không đổi ta kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O) (Với A, B là các tiếp điểm).

a, AB luôn đi qua điểm I cố định

b, Gọi K là giao điểm của OM, AB. Chứng minh khi M di chuyển trên (d) thì K thuộc đường cố định.

Giải a, Dựng ^{OH ⊥}

( )

^{d thì OH =h}. Gọi I là

giao điểm của OH và AB thì ta có:

. .

OI OK OK OM

OKI OHM OI

OM OH OH

 ∽  =  =

Lại có OK OM. =OA² =R²

Suy ra

R2

OI = h . Như vậy điểm I luôn cố định.

b, Theo câu a) thì OI cố định, mặt khác IKO= 90 suy ra điểm K thuộc đường tròn đường kính OI.

Bài 2.

Cho tam giác ABC và điểm M chuyển động trong đoạn BC. Lấy hai điểm N, P trên AC, AB để ANMP là hình bình hành. Khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua điểm cố định.

Giải Dựng

( )

O₁ qua B tiếp xúc với AC tại A .

Dựng

( )

O2 qua B tiếp xúc với AB tại A.

Giả sử

( )

O1 cắt nhau tại giao điểm thứ hai là K thì điểm K là điểm cố định.

Ta có: ^{KAB =KCA KCA, =KBA}

( )

^{1 suy ra}

( )

²

KA AB KAB KCA

KB AC

 ∽  = vì ANMP là hình bình hành nên theo định lý Thales ta có:

( )

³

BP BM AN BP AN BC AN BP AN BP AB

PA = MC = NC  PA = NC  PA BP = AN NC  AB = AC  AN = AC

+ + . Từ

(1),(2),(3) suy ra KBP∽KABBPK=ANKANPK nội tiếp suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua điểm cố định K.

Bài 3.

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O;R) ta kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O) (Với A,B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD đến (O) sao cho MCMD và tia MC nằm giữa hai tia MO, MA. Giả sử M cố định, khi cát tuyến MCD thay đổi thì trọng tâm G của tam giác BCD luôn nằm trên đường tròn cố định.

Giải Gọi I là trung điểm của CD, ta có ²

3 BG

BI = Qua G kẻ các đường thẳng song song với IO, MD cắt OB, MB lần lượt tại Q, R Ta có các điểm B, O, M cố định, suy ra P, Q cố định và PGQ= 90 . Suy ra G thuộc đường tròn đường kính ²

PQ= 3MO. Bài 4.

Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Vẽ đường kính MN vuông góc với BC tại H. Tia AN cắt (O) tại giao điểm thứ 2 là D. Khi đó MD luôn đi qua một điểm cố định nằm trên BC.

Giải Ta có: ADK∽AHNAK AH. =AD AN. .

Mặt khác ta cũng dễ chứng minh được:

. .

AB AC= AD AN. Từ đó suy ra AB AC. =AK AH. Hay AK ^{AB AC.}

= AH không đổi. Suy ra điểm K cố định.

Hay MD đi qua điểm cố định K.

Bài 5.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Trên cạnh BC lấy điểm M. Dựng

( )

O1 qua M tiếp xúc với AB tại A.

Dựng

( )

O2 qua M tiếp xúc với AC tại A. Hai đường tròn này cắt nhau tại giao điểm thứ 2 là N. Khi đó:

a. Điểm N nằm trên (O).

b. Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên cạnh BC.

Giải a, Ta có: NBM =ABC MNC, =ACB. Tứ giác ABNC có

180 BAC+BNC=BAC+ABC+ACB= .

Suy ra tứ giác ABNC nội tiếp. Nói cách khác điểm N thuộc đường tròn (O) cố định.

b, Ta có: DAC=DNC(cùng chắn cung DC).

Mặt khác ta cũng có: DNC=ACB suy ra

DAC=ACB. Suy ra AD/ /BC, do đó điểm D là điểm cố định.

Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định là D.

Bài 6.

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R). Dựng đường cao AD của tam giác và đường kính AK của (O). Hạ BE, CF lần lượt vuông góc với AK. Cho BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là một điểm cố định.

Giải

Vì ABD=AEB= 90 suy ra 4 điểm A, B, D, E nằm trên đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm N của AB.

90

ADC=AFC=  nên 4 điểm A, D, F, C nằm trên đường tròn

đường kính AC có tâm là trung điểm P của AC.

Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của BO thì ,

ON ⊥ AB OM ⊥BC suy ra 5 điểm N, O, E, M,B nằm trên đường tròn đường kính BO.

Ta có: ¹

MNE =MBE=DBE =DAE= 2DNE suy ra MN là phân giác của góc DNE.Tam giác DNE cân tại N suy ra MN cũng là trung trực của DE, tương tự ta cũng có MP là trung trực của DF.

Suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là điểm M cố định.

Bài 7.

Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) (M khác A, B). Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. CD là đường kính của (I).

a, Chứng minh: O, M, D thẳng hàng.

b, Chứng minh: Tam giác COD cân

c, Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn (O).

Phân tích, định hướng giải a. Ta có MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

( )

1