180 = R 280/1 = C 20 = L 1 =t - Journal Unpak

Analisis Metode Lagrange dan Transformasi .……….………. (Embay) ANALISIS METODE LAGRANGE DAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM

MENGHITUNG MUATAN RANGKAIAN LISTRIK SEDERHANA

Embay Rohaeti

FMIPA Universitas Pakuan, Bogor

ABSTRAK

Dalam menghitung muatan rangkaian listrik sederhana biasanya diselesaikan dengan ilmu Fisika. Salah satu solusi alternatif lain adalah dengan menggunakan Persamaan Differensial berupa metode Lagrange dan Transformasi Laplace.

Keywords: Rangkaian Listrik Sederhana, Persamaan Differensial, Metode Lagrange, Transformasi Laplace.

PENDAHULUAN

Matematika sebagai bahasa simbol yang bersifat universal sangat erat hubungannya dengan kemajuan teknologi.

Kenyataan membuktikan bahwa untuk menyelesaikan masalah-masalah kehidu- pan nyata dibutuhkan metode-metode Matematika yang dimodelkan dalam model matematika seperti model persamaan differensial (Bronson, 2007).

Dalam menghitung muatan rangkaian listrik sederhana biasanya diselesaikan dengan ilmu fisika. Hasil akhir perhitungan muatan rangkaian listrik sederhana selalu sama walaupun diselesaikan secara Fisika, metode Lagrange dan Transformasi Laplace.

Metode Lagrange dan Transformasi Laplace mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing sehingga perlu dianalisis dalam menyelesaikan suatu perhitungan rangkaian listrik sederhana.

BAHAN DAN METODE

Metode yang digunakan dalam menghitung muatan rangkaian listrik sederhana adalah metode Lagrange dan Transformasi Laplace.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Suatu rangkaian listrik memiliki

180

R ohm, C1/280 _farad, L20 Henry, dan sebuah sumber tenaga sebesar

t t

E( )10sin volt. Bila diketahui pada saat t = 0, besar muatan listrik q

 

t adalah nol dan besar nilai turunan pertama muatan listrik q^'

 

t adalah 1, tentukan besar muatan listrik

 

q pada saat t1. (Giancoli, 1998).

Pembahasan Metode Lagrange

Menurut Moentiarsanto, (1982), langkah penyelesaian dengan metode Lagrange:

a. Membentuk permasalahan ke dalam bentuk rangkaian listrik sederhana sebagai berikut :

b. Membentuk model matematika

Analisis Metode Lagrange dan Transformasi .……….………. (Embay) Berdasarkan hukum Kirchhoff II

mengenai beda tegangan pada suatu rangkaian tertutup yang memuat sumber tenaga, “jumlah beda tegangan pada resistor, induktor, dan kapasitor sama dengan beda tegangan yang dihasilkan sumber tenaga”, dapat ditulis :

E_L E_RE_C E

berdasarkan persamaan (1), (2), (3) didapat :

E Cq dt Ri

Ldi  1  karena

dt i dq

E Cq dt Rdq dt dq dt

L d   



 



 1

C E q dt Rdq dt

q

Ld²₂   

q t dt dq dt

q

d 10sin

280 180 1

20 ₂

2   

t dt q

dq dt

q

d 180 280 10sin

20 ₂

2   

maka model matematika dari rangkaian listrik sederhana tersebut adalah:

t dt q

dq dt

q

d sin

2 14 1

2 9

2   

c. Model matematika tersebut dapat ditulis ke dalam persamaan differensial sebagai berikut:

t y

D

D sin

2 ) 1 14 9

( ²   

d. Merubah persamaan di atas ke dalam persamaan karakteristik, kemudian mencari akar-akar karakteristik setelah terlebih dahulu membentuk ke persamaan kuadrat sebagai berikut:

0 14

29m 

m



m2



m7



0 m₁ 2, m₂ 7

e. Langkah selanjutnya, setelah akar karakteristik diketahui kemudian mencari Penyelesaian Umum

Persamaan Differensial yaitu dengan mencari complemen solution dan particular solution sebagai berikut:

i. Complemen solution:

Setelah diketahui akar karakteristik dari persamaan differensial, yaitu

1 2

m , m₂ 7 maka mencari complemen solution dengan rumus:

t m t

m

c Ce C e

q  ₁ ¹  ₂ ²

maka complemen solution adalah :

t t

c Ce C e

q  ₁ ^2  ₂ ^7 ii. Particular solution :

Selanjutnya mencari particular solution dengan memasukkan akar- akar karakteristiknya ke dalam metode Lagrange sebagai berikut:

 

dtdt e

t Q e

e

q_p ^{ m1t}



^m2m1t



( ). ^m2t

  te dtdt

e

e ^{2t 7 ( 2)t} sin ^7t 2



1



^{ }

 

 

^

e^2t e ^5t sinte^7tdtdt 2

1

 

e



t t



dt e

e

t t

t 



 



 

 ^2



^5.₂¹ ₇ ²⁷₁^{2 7sin cos}

 





 



 

 ^{ } e t t dt

e e

t t

t 7sin cos

100

7 5 2

 







 

^e2t ₁₀₀¹



^{e2t 7sint cost dt}

 







 

e^2t 13sinte^2t 9coste^2t 500

1

t

t cos

500 sin 9

500

13 



maka

p

c q

q q 

f. PUPD tersebut harus memenuhi syarat awal, yaitu:

- Pada t 0 → q

 

0 0

 

500

0 C₁C₂  9

q ... (25)

- Pada saat t 0 →

 

0 1 dt  dq

Analisis Metode Lagrange dan Transformasi .……….………. (Embay)

 

Ce C e t t

dt t

dq _{t t}

500sin cos 9 500 7 13

2 ₁ ²  ₂ ⁷  



 ^{ }

500 7 13

2

1 C₁  C₂  500 1 13 7 2 ₁ ₂  

 C C ….(26)

eliminasikan persamaan (25) dan (26), maka didapat:

500 110

1 

C dan

500 101

2 

C

dengan demikian diperoleh penyelesaian bersyarat batas tersebut di atas adalah:

 

t e e t t

q ^{t t} cos

500 sin 9 500

13 500

101 500

110 _{2 7}







 ^{ }

atau

 

^t



^{e e t t}



q 110 ^t 101 ^t 13sin 9cos 500

1 _{2 7}







 ^{ }

g. Mencari besar muatan rangkaian listrik sederhana pada saat t = 1

 

^t



^{e e t t}



q 110 ^t 101 ^t 13sin 9cos 500

1 ₂  ₇  

 ^{ }

 

1 0,012

q C

Transformasi Laplace

Menurut Wardiman (1978), langkah-langkah penyelesaian dengan Tansformasi Laplace:

a. Membentuk permasalahan ke dalam bentuk rangkaian listrik sederhana, sebagai berikut:

b. Membentuk model matematika

Berdasarkan hukum Kirchhoff II mengenai beda tegangan pada suatu rangkaian tertutp yang memuat sumber tenaga, “jumlah beda tegangan pada resistor, induktor, dan kapasitor sama dengan beda tegangan yang dihasilkan sumber tenaga”, dapat ditulis:

E_L E_R E_C E

Berdasarkan persamaan (1), (2), (3) didapat:

E Cq dt Ri

Ldi  1  karena

dt

i dq, maka E Cq dt Rdq dt dq dt

L d   



 



 1

C E q dt Rdq dt

q

Ld²₂   

q t dt dq dt

q

d 10sin

280 180 1

20 ₂

2   

t dt q

dq dt

q

d 180 280 10sin

20 ₂

2   

Maka model matematika dari rangkaian listrik sederhana tersebut adalah.

t dt q

dq dt

q

d sin

2 14 1

2 9

2   

c. Mencari persamaan muatan listrik sembarang t waktu

 

t q

 

t q t

q sin

2 14 1 9 ^'

''   

   

^{sin }}

2 {1 } 14 9

{q^'' t q^' t q L t

L   

 

^q

 

^{t L}

 

^q

 

^{t L}

 

^{q L}

 

^t

L sin

2 14 1

9 ^'

''   

 Mencari Laplace dari q^''

 

t

 

^q''

 

^{t s2L}

 

^q

 

^{t s}

   

^q

 

^{0 q' 0}

L   

 

 

0 1

2  

s L q t

 

 

1

2 

s L qt

 Mencari Laplace dari 9q^'

 

t

Analisis Metode Lagrange dan Transformasi .……….………. (Embay)

    9     0 

9Lq^' t  sL qt q

 

 



0



9 

 sLqt

 

 

q t sL

9

 Mencari Laplace dari 14q

 

t

 

q L

 

q

 

t

L 14

14 

maka

     

1 1 2 1 1 14

9 2

2

 





 s L qt s

s

   

14 9

1 14

9 1 1

1 2 1

2 2

2   





 

s s s

xs t s

q L



¹



^{1 9 14}

 

^{91 14}



2 1

2 2

2   





 

s s s

s s

i. Merubah bentuk di atas sebagai berikut:



1



9 14



1 9 14

1

2 2

2

2  

 



 





 s s

D Cs s

B As s

s s

ii. Menyamakan fungsi kedua ruas sebagai berikut:

          



⁹¹



^{14 9 14}



¹

14 9 1

1

2 2

2 2

2

2   











 





 s s s

s D Cs s

s B As s

s s

iii. Mencari nilai koefisien A, B, C, dan D sebagai berikut:

   9 14    1

1 AsB s²  s  CsD s² 



AC



s 



ABD



s 



A BC

 

s BD



 9 14 9 14

1 ^{3 2}

Untuk s³ 0 → AC0 ... (27)

s² 0 → 9ABD0 ... (28)

s¹ 0 → 14A9BC0 ... (29)

s⁰ 1 → 14BD1 ... (30)

dengan menggunakan eliminasi dan substitusi untuk persamaan (27) sampai (30), maka didapat : 250

 9



A ,

250

 13

B ,

250

 9

C ,

250

 68 D

maka persamaan muatan listrik sembarang t waktu adalah :

 





 







 



 









 



 ^  ^

14 9

1 14

9 1

2 1

2 1 2

2 1

s L s

s s

D Cs s

B L As

t q





 







 



 









 





 ^  ^

14 9

1 14

9 68 9 1

13 9 500

1

2 1 2

2 1

s L s

s s

s s

L s



^{t t e 7t e5t}



^{e 7t}



^{1 e5t}



5 ) 1 10 1 ( sin

13 cos 500 9

1        

 ^{ }

Analisis Metode Lagrange dan Transformasi .……….………. (Embay) d. Mencari besar muatan rangkaian listrik sederhana pada saat t = 1 adalah

   7 5  7 1 5

5 ) 1 10 1 ( 1 sin 13 1 cos 500 9

1 1 e e e e

q     ^    ^  

q

 

1 0,012 C KESIMPULAN

Berdasarkan hasil analisis, bentuk persamaan metode Lagrange dari muatan rangkaian listrik sederhana untuk

sembarang t adalah

 

^t



^{e e t t}



q 110 ^t 101 ^t 13sin 9cos 500

1 _{2 7}







 ^{ } maka

besar muatan rangkaian listrik sederhana pada saat t1 adalah 0120, C, sedangkan bentuk transformasi Laplace dari muatan rangkaian listrik sederhana untuk

sembarang t adalah:

 





 







 



 









 





 ^  ^

14 9

1 14

9 68 9 1 13 9 500

1

2 1 2

2 1

s L s s s

s s

L s t

q maka

besar muatan rangkaian listrik sederhana pada saat t1 adalah 0120, C.

DAFTAR PUSTAKA

Bronson, R. 2007. Persamaan Diferensial Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga.

Giancoli, CD. 1998. Fisika Jilid 2. Jakarta : Erlangga.

Moentiarsanto, D. 1982. Persamaan Differensial. Yogyakarta : Ananda.

Wardiman. 1978. Transformasi Laplace.

Yogyakarta : Bagian Ilmu Pasti Dan Alam UGM