Soal
Perhatikan model matematika berikut ini.
Meminimumkan W = 100x + 100y + 70z Terhadap pembatas : 2x + 2y + z ≤ 20
y + 2z ≥ 15 2x + y + 2z = 20 x,y,z ≥ 0
a. Apakah model matematika diatas merupakan permasalahan program linier?
Jelaskan pendapat anda?
b. Apakah metode grafik dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut? Mengapa?
c. Apabila permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik, maka carilah penyelesaian optimal dari permasalahan tersebut dengan metode grafik!
Penyelesaian :
a. Ya, model matematika di atas merupakan permasalahan program linier.
Karena memenuhi 3 syarat permasalahan program linier, diantaranya : 1. Memiliki fungsi tujuan:
Meminimumkan W = 100x + 100y + 70z 2. Memiliki batasan-batasan, yakni :
2x + 2y + z ≤ 20 y + 2z ≥ 15 2x + y + 2z = 20 x,y,z ≥ 0
3. Fungsi tujuan dan batasan-batasan harus berbentuk linier.
b. Ya, metode grafik dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program linier tersebut. Karena ada salah satu batasan yaitu 2x + y + 2z = 20 yang merupakan suatu persamaan, sehingga dapat dimanipulasi dan selanjutnya disubstitusikan ke batasan yang lain agar menjadi batasan yang memiliki 2 variabel saja dan dapat dibuat grafik dan ditentukan daerah penyelesaian fisibelnya.
c. Fungsi tujuan :
Meminimumkan W = 100x + 100y + 70z
Terhadap batasan : 2x + 2y + z ≤ 20 ….. (1) y + 2z ≥ 15 ….. (2) 2x + y + 2z = 20 ….. (3) x,y,z ≥ 0 ….. (4)
Perhatikan batasan (3), 2x + y + 2z = 20
x = ….. (5)
Sehingga diperoleh, Fungsi tujuan :
Meminimumkan W = 100x + 100y + 70z
W = 100 + 100y + 70z
W = -50y – 100z + 1000 + 100y + 70z W = 50y – 30z + 1000
Terhadap batasan : 2x + 2y + z ≤ 20
2 + 2y + z ≤ 20
y – z ≤ 0 ………(1) y + 2z ≥ 15 ………... (2) x, y, z ≥ 0 (kenonegatifan)
x ≥ 0, sehingga ≥ 0
y + 2z ≤ 20 ……….. (3) y, z ≥ 0 ………...…….. (4)
Sketsa grafik :
Terdapat 4 titik ekstrim, diberi simbol A, B, C, dan D.
• A = (0, 10)
• B = (0, 8)
• Titik C merupakan titik potong dari persamaan (1) dan (2), sehingga
harus dicari dengan metode eliminasi.
y – z = 0 y + 2z = 15 – -3z = -15 z = 5
karena z = 5, maka diperoleh y = 5 jadi, titik C = (5, 5)
• Titik D merupakan titik potong dari persamaan (1) dan (3), sehingga
harus dicari dengan metode eliminasi.
y – z = 0 y + 2z = 20 – -3z = -20 z =
karena z = , maka diperoleh y = jadi, titik D = ( ,
Nilai Fungsi Tujuan : W = 50y – 30z + 1000
WA = 50 . 0 – 30. 10 + 1000 = 700 (nilai minimum) WB = 50.0 – 30. 7,5 + 1000 = 775
WC = 50. 5 – 30.5 + 1000 = 1100
WD = 50. – 30 . + 1000 = 1133,333 Sehingga minimum di titik A (y,z) = A (0, 10)
Dengan Kata lain W optimum terjadi di (x,y,z) = (0, 0, 10)
