Meminimumkan W =100x+100y+70z Terhadap pembatas 2x+2y+z z y 20 2 2x+ y+ z= 0 , ,y z  x a

TUGAS METODE GRAFIK

Perhatikan model matematika berikut ini.

Meminimumkan W =100x+100y+70z Terhadap pembatas

2x+2y+z20 15 2  + z y

20 2 2x+ y+ z=

0 , ,y z  x

a. Apakah model matematika di atas merupakan permasalahan program linier? Jelaskan pendapat Anda!

Iya, model matematika diatas merupakan permasalahan program linier bentuk umum.

Hal ini dikarenakan :

• Ada fungsi tujuan, yaitu meminimumkan W = 100x + 100y + 70z

• Ada fungsi batasan, yaitu 2x + 2y + z ≤ 20 y + 2z ≥ 15 2x + y + 2z = 20 x,y,z ≥ 0

• Fungsi tujuan dan batasan dalam bentuk linier

• Ada pengoptimalan fungsi tujuan terhadap batasan dimana keduanya berbentuk linier. Hal ini ditunjukan oleh kata meminimumkan.

b. Apakah metode grafik dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut?

Mengapa?

Iya, permasalahan model matematika diatas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik. Karena metode grafik untuk program linier 3 variabel bisa digunakan asalkan salah satu atau lebih yang berbentuk persamaan.

c. Apabila permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik, maka carilah penyelesaian optimal dari permasalahan tersebut dengan metode grafik!

Fungsi tujuan meminimumkan W = 100x + 100y + 70z Fungsi batasan

A. 2x + 2y + z ≤ 20 B. y + 2z ≥ 15 C. 2x + y + 2z = 20 D. x,y,z ≥ 0

• Batasan (C) 2x + y + 2z = 20 y = 20-2x-2z Sehingga,

• Fungsi tujuan Meminimumkan

W = 100x + 100y + 70z

W = 100x + 100 (20-2x-2z) + 70z W = 100x – 200x – 200z + 70z + 200

W = -100x – 130z + 200

• Batasan (A) 2x + 2y + z ≤ 20

2x + 2 (20 - 2x -2z) + z ≤ 20 2x + 40 - 4x - 4z + z ≤ 20 -2x – 3z ≤ 20 – 40

-2x – 3z ≤ -20 2x + 3z ≥ 20

• Batasan (B) y + 2z ≥ 15

20 – 2x - 2z + 2z ≥ 15 20 – 2x ≥ 15

-2x ≥ 15 – 20 -2x ≥ -5 2x ≤ 5

• Kenonnegatifan X ≥ 0

Y ≥ 0

20-2x-2z ≥ 0 2x + 2z ≤ 20 Z ≥ 0

• Batasan A 2x + 3z ≥ 20

x 0 10

z 20/3 0

• Batasan B 2x ≤ 5

X ≤ ⁵

2

• Kenonnegatifan 2x + 2z ≤ 20

x 0 10

z 10 0

• Titik potong batas A dan batasan B 2x + 3z ≥ 20

2x ≤ 5 X= ⁵

2

2. ⁵

2 + 3z = 20 5 + 3z = 20 Z = 5

Jadi titik potongnya ( ⁵

2, 5)

• Titik Potong batas B dan kenonnegatifan X ≤ ⁵

2

2x + 2z ≤ 20 X= ⁵

2

2. ⁵

2 + 2z = 20 2z = 15 z = ¹⁵

2

jadi titik potongnya (⁵

2,¹⁵

2)

• nilai ekstrim

Titik Ekstrem (x,z) Fungsi Tujuan minimum W = -100x – 130z + 200 (0,²⁰

3) -100 (0) -130 (²⁰

3) + 200 = -666,67 (0,10) -100 (0) -130 (10) + 200 = −1100 ( ⁵

2, 5) -100 (⁵

2) - 130 (5) + 200 = - 700 (⁵

2,¹⁵

2) -100 (⁵

2) -130 (¹⁵

2) + 200 = - 1025

• Kesimpulan : W minimun = -1100 tercapai di titik (x,z) = (0,10) atau W optimum terjadi di (x,y,z) = (x, 20-2x-2z, z) = (0, 0, 10)