Sistem persamaan linear
2x
1– x
2+ 2x
3= 7 x
1+ 3x
2– 5x
3= 0 - x
1+ x
3= 4
Dng notasi matriks
1 0 1
5 3
1
2 1 2
3 2 1
x x x
=
4 0 7
A X = G
3x
1– 7x
2+ x
3= 0 -2x
1+ 3x
2– 4x
3= 0 Dng notasi matriks
4 3
2
1 7 3
3 2 1
x x x
=
0 0
A X = G
A, matriks koefisien
X, matriks variabel /peubah G, matriks konstanta
Matriks augmented : matriks koefisien A ditambah matriks konstanta G.
(A | G) =
4 1
0 1
0 5
3 1
7 2
1
2
SISTEM PERSAMAAN LINEAR A X = G
G = 0 ?
ya
Sistem persamaan linear homogen A X = 0
tidak
Sistem persamaan linear nonhomogen A X = G, dng G ≠ 0
Contoh :
3x – 5y + 3z = 0 x + 2y – z = 0 2x + y + 2z = 0 Contoh :
2x + y – 7z = 0
3x + 2y + z = 5
x – 6y + 2z = 0
SPL Nonhomogen A X = G, G ≠ 0
Mempunyai jawab / konsisten r(A) = r(A G)
Jawab tunggal r(A) = r(A G) = n
Metode penyelesaian :
• Gauss
• Gauss-Jordan
• matriks invers
• Aturan cramer
Banyak Jawab r(A) = r(A G) < n
Metode penyelesaian :
• dgn OBE (Operasi Baris Elementer) , bawa (A G) ke bentuk echelon.
• banyaknya variabel bebas = n – r .
Tidak mempunyai jawab / inkonsisten r(A) ≠ r(A G)
Keterangan :
n : banyaknya variabel
r : rank matrik = jumlah baris yg tdk nol
(A G) : matriks augmented (tambahan), yaitu matriks koefisien &
matriks konstanta
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
Bentuk umum :
dimana x
1, x
2, . . . , x
nvariabel tak diketahui, a
ij
, b
i
, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
SPL
Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN
TUNGGAL
BANYAK
ILUSTRASI GRAFIK
• SPL 2 persamaan 2 variabel:
• Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.
kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan Tidak mempunyai
penyelesaian
Mempunyai satu penyelesaian
Mempunyai tak hingga
Banyaknya penyelesaian
PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS
SPL BENTUK MATRIKS YANG DIPERBANYAK
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai
penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang
lebih sederhana.
Contoh
• SPL :
• Penulisan dalam bentuk matriknya :
0 5
6 3
1 3
4 2
9 2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
0 5
6 3
1 3
4 2
9 2
1
1
TIGA OPERASI PENYELESAIAN SPL
SPL 1. Mengalikan sebuah
persamaan dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi/letak dua persamaan sebarang.
3. Menambahkan perkalian dari suatu persamaan ke
persamaan lainnya.
MATRIKS
1. Mengalikan sebuah baris dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris sebarang.
3. Menambahkan perkalian suatu baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder-
hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris
CONTOH
DIKETAHUI
……baris (1)
……baris (2)
……baris (3)
Pers (1)……
Pers (2)……
Pers (3)……
kalikan pers (1) dengan (-2), kemu- dian tambahkan ke pers (2).
kalikan baris (1) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (2).
kalikan pers (1) dengan (-3), kemu- dian tambahkan ke pers (3).
kalikan baris (1) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (3).
kalikan pers (2) dengan (1/2).
kalikan baris (2) dengan (1/2).
CONTOH
kalikan pers (2) dengan (1/2).
kalikan baris (2) dengan (1/2).
kalikan pers (2) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (3).
kalikan baris (2) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (3).
kalikan pers (3) dengan (-2)
kalikan baris (3) dengan (-2),
kalikan pers (2) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (1).
kalikan baris (2) dengan (-1), lalu tambahkan ke baris (1).
LANJUTAN CONTOH
kalikan pers (2) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (1).
kalikan baris (2) dengan (-1), lalu tambahkan ke baris (1).
kalikan pers (3) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (1) dan kalikan pers (3) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (2)
kalikan baris (3) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke baris (1) dan kalikan baris (2) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (2)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Latihan
1. Selesaikan SPL berikut dengan cara seperti pada contoh.
0 6
7 4
3
1 2
2
3 2
1
3 2
1
3 1
