A. Analisis Plant
a. Fungsi Awal Sistem
Fungsi transfer sistem yang diberikan adalah sebagai berikut :
𝐺(𝑠) = 45274
𝑠2 + 2.080𝑠 + 15.55
Untuk mengetahui keadaan awal dari sistem perlu dilakukan perhitungan pada poles dari sistem dan untuk menyelesaikannya, digunakan rumus kuadrat sebagai berikut :
𝑠 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎
Dengan nilai a = 1, b = 2.080, dan c = 15.55, maka disubtitusikan ke dalam persamaan tersebut menjadi :
𝑠 = −2.080 ± √2.0802 − 4 ⋅ 1 ⋅ 15.55 2 ⋅ 1
Sehingga perhitungan sistem menjadi :
𝑠 = −2.080 ± √2.0802 − 4 ⋅ 1 ⋅ 15.55 2 ⋅ 1
𝑠 = −2.080 ± √4.3264 − 62.2 2
𝑠 = −2.080 ± √−57.8736 2
𝑠 = 土 1.04 + 3.804𝑖
Sehingga, poles dari sistem memiliki nilai 𝑠1 = −1.04 + 3.804𝑖 dan 𝑠2 = −1.04 − 3.804𝑖. Kedua sistem memiliki bagian real yang negatif yaitu -1.04 yang berarti sistem ini stabil. Dan bagian imajiner ±3.084𝑖 menunjukkan bahwa sistem memiliki karakteristik osilatori, yaitu respon sistem akan berosilasi namun akan meredam seiring waktu.
b. Kondisi Sistem Pada Steady State
Setelah dilakukan running untuk melihat respon sistem pada matlab, maka diperoleh hasil sebagai berikut :
Gambar 1. Respon Steady State Sistem
Dari grafik diatas, terdapat beberapa parameter penting dari sistem tersebut yaitu Rise Time (Waktu Naik) adalah waktu yang diperlukan bagi respons sistem untuk pertama kali naik dari nilai awalnya hingga mencapai nilai akhir (final value) dalam batas tertentu (biasanya dari 10% ke 90% dari nilai akhir). Dari grafik, rise time tercatat sebesar 0.329 detik. Peak Amplitude (Amplitudo Puncak) adalah nilai maksimum yang dicapai oleh respons sistem setelah perubahan langkah pada input.
Dari grafik, peak amplitude adalah 4140 dengan waktu pencapaian sekitar 0.797 detik. Overshoot yaitu persentase maksimum respons yang melebihi nilai akhir yang diinginkan. Pada grafik, overshoot adalah 42.1%, yang menunjukkan bahwa sistem melebihi nilai akhirnya sebesar 42.1% sebelum stabil. Final Value (Nilai Akhir) adalah nilai stabil dari respons sistem setelah waktu yang cukup lama sejak adanya perubahan pada input. Pada grafik, nilai akhir sistem ini adalah 2910.
Berdasarkan parameter-parameter tersebut, dapat disimpulkan beberapa hal tentang performa sistem yaitu sistem memiliki waktu naik yang cepat, yaitu 0.329 detik, yang menunjukkan bahwa sistem merespons perubahan pada input dengan sangat cepat. Namun dengan overshoot sebesar 42.1%, ini menunjukkan bahwa sistem memiliki respons awal yang sangat besar sebelum akhirnya stabil. Hal ini menjadi perhatian karena overshoot yang besar tidak diinginkan dapat menyebabkan ketidakstabilan atau bahkan kerusakan pada sistem. Settling time sebesar 3.55 detik menunjukkan bahwa meskipun ada overshoot yang signifikan, sistem akhirnya bisa mencapai stabilitas dalam waktu yang relatif cepat. Dan amplitudo puncak sebesar 4140 menunjukkan respons yang tinggi setelah input langkah, yang lagi-lagi mengindikasikan bahwa sistem bereaksi dengan signifikan terhadap perubahan.
c. Kondisi Sistem Pada Root Locus
Setelah dilakukan running untuk melihat root locus sistem pada matlab, maka diperoleh hasil sebagai berikut :
Gambar 2. Respon Root Locus Sistem
Grafik sumbu horizontal (sumbu real) menunjukkan bagian nyata dari akar-akar karakteristik dan sumbu vertikal (sumbu imajiner) menunjukkan bagian imajiner dari akar-akar karakteristik. Pada grafik diatas, terdapat dua akar utama yang dimulai dari titik yang berbeda pada sumbu real. Akar pertama terletak di sekitar - 1 pada sumbu real, yang merupakan titik awal root locus berwarna hijau bergerak ke atas menuju arah sumbu imajiner positif dan akar kedua terletak di sekitar -2 pada sumbu real, yang merupakan titik awal root locus berwarna biru bergerak ke bawah menuju arah sumbu imajiner negatif.
Sistem ini awalnya stabil karena akar-akar berada di sumbu real negatif. Namun, seiring dengan peningkatan penguatan akar-akar bergerak menuju sumbu imajiner menunjukkan adanya osilasi dalam sistem dan jika akar-akar tetap berada di sebelah kiri sumbu imajiner sistem tetap stabil namun mungkin memiliki respons yang osilatif. Sehingga, jika penguatan terus meningkat dan akar-akar bergerak ke kanan melewati sumbu imajiner, sistem akan menjadi tidak stabil.
B. Pemasangan Kontroler PID
Berdasarkan hasil analisis awal sistem, masih terdapat beberapa kekurangan pada sistem yang harus diperbaiki, yaitu nilai overshoot dan kestabilan sistem yang masih memiliki error sebesar 2909%. Sehingga dilakukan pemasangan kontroler PID dengan parameter sebagai berikut :
𝐾𝑃 = 0.1 𝐾𝐼 = 1 𝐾𝐷 = 0.1
Parameter diatas ditentukan dengan tuning manual, yang disesuaikan terus menerus yang dapat dilihat pada program matlab berikut :
Source Code
% Definisikan sistem transfer fungsi num = [45274];
den = [1, 2.080, 15.55];
sys = tf(num, den);
% Tampilkan step response untuk sistem asli figure(1);
step(sys, 25);
title('Step Response of Original System');
grid on;
% Tampilkan root locus untuk sistem asli figure(2);
rlocus(sys);
title('Root Locus of Original System');
grid on;
% Desain kontroler PID manual
Kp = 0.1; % Parameter Kp (sesuaikan sesuai kebutuhan) Ki = 1; % Parameter Ki (sesuaikan sesuai kebutuhan) Kd = 0.1; % Parameter Kd (sesuaikan sesuai kebutuhan)
% Buat kontroler PID C = pid(Kp, Ki, Kd);
% Tampilkan root locus untuk sistem tertutup dengan kontroler PID figure(3);
rlocus(C*sys);
title('Root Locus of Closed-Loop System with PID Controller');
grid on;
% Buat sistem tertutup dengan kontroler PID T = feedback(C*sys, 1);
% Tampilkan step response untuk sistem tertutup dengan PID figure(4);
step(T, 25);
title('Step Response of Closed-Loop System with PID Controller');
grid on;
% Tampilkan informasi sistem tertutup info = stepinfo(T)
% Analisis stabilitas sistem tertutup figure(5);
bode(T);
title('Bode Plot of Closed-Loop System with PID Controller');
grid on;
Program diatas dimulai dengan mendefinisikan sistem yang akan dikontrol dalam bentuk transfer function menggunakan koefisien numerator dan denominator. Langkah pertama adalah menampilkan respons langkah (step response) dari sistem asli untuk memahami karakteristiknya. Selanjutnya, dilakukan analisis menggunakan root locus untuk memahami pola perubahan akar karakteristik sistem saat parameter kontrol diubah.
Setelah memahami respons dan karakteristik sistem asli, dilakukan desain kontroler PID secara manual dengan menentukan nilai-nilai Kp, Ki, dan Kd yang sesuai dengan kebutuhan. Nilai-nilai ini kemudian digunakan untuk membuat kontroler PID menggunakan fungsi pid(). Selanjutnya, dilakukan analisis root locus dari sistem tertutup setelah diterapkan kontroler PID untuk memastikan stabilitas sistem.
Sistem tertutup dengan kontroler PID dibuat dengan menggunakan fungsi feedback() yang menggabungkan sistem asli dengan kontroler. Kemudian, ditampilkan respons langkah dari sistem tertutup dengan kontroler PID untuk melihat perubahan responnya.
Informasi tambahan tentang sistem tertutup, seperti overshoot, settling time, dan rise time, ditampilkan untuk evaluasi lebih lanjut.
Terakhir, dilakukan analisis stabilitas sistem tertutup dengan menampilkan Bode plot untuk memeriksa respons frekuensi sistem terhadap perubahan frekuensi input. Grid diterapkan pada semua plot untuk memudahkan analisis visual. Keseluruhan proses ini membantu dalam merancang dan mengoptimalkan kontroler PID untuk menghasilkan respons yang diinginkan dari sistem yang dikendalikan.
C. Analisis Sistem Setelah Pemasangan Kontroler PID
Setelah dilakukan pemasangan kontroler PID dan dilakukan running pada matlab diperoleh hasil sebagai berikut :
Gambar 3. Respon Steady State Sistem Setelah Pemasangan Kontroler PID
Dari parameter respons langkah sistem tertutup dengan kontroler PID, dapat disimpulkan bahwa sistem menunjukkan performa yang sangat baik dalam hal kecepatan respons, stabilitas, dan minimnya overshoot. Pertama, rise time yang sangat cepat, yakni 0.000466 detik, menunjukkan bahwa sistem merespons perubahan input dengan sangat cepat. Hal ini berarti sistem dapat mencapai 90% dari nilai akhirnya dalam waktu yang sangat singkat, yang menunjukkan kemampuan sistem untuk mengatasi perubahan dengan cepat.
Selain itu, amplitudo puncak sistem adalah 1 pada waktu 1.27 detik, menunjukkan bahwa sistem tidak melebihi nilai akhirnya secara signifikan. Overshoot sebesar 0.0223%
menandakan bahwa kontroler PID yang diterapkan sangat efektif dalam mengendalikan respons sistem tanpa membuat nilai respons melebihi nilai akhir yang diinginkan.
Minimnya overshoot ini sangat penting dalam banyak aplikasi kontrol di mana kestabilan dan akurasi adalah hal yang sangat diutamakan.
Waktu penetapan (settling time) sebesar 0.000952 detik menunjukkan bahwa sistem mencapai stabilitas dalam waktu yang sangat singkat setelah perubahan input. Dengan waktu penetapan yang sangat cepat ini, sistem mampu mencapai dan mempertahankan nilai akhirnya dengan cepat, yang menunjukkan efisiensi tinggi dalam meredam osilasi atau fluktuasi yang mungkin terjadi.
Nilai akhir sistem yang mencapai 1 juga menunjukkan bahwa sistem telah berhasil mencapai target yang diinginkan secara akurat. Ini berarti kontroler PID tidak hanya cepat dan stabil, tetapi juga presisi dalam mengarahkan sistem menuju nilai akhir yang diinginkan.
Secara keseluruhan, kontroler PID yang diterapkan telah berhasil meningkatkan performa sistem secara signifikan. Sistem menunjukkan respons yang sangat cepat, stabil, dan akurat dengan overshoot yang hampir tidak ada. Hal ini menunjukkan bahwa parameter-parameter kontroler PID telah diatur dengan sangat baik untuk mencapai kinerja optimal, menjadikan sistem sangat efektif dalam menghadapi perubahan input dengan cepat dan stabil.
Gambar 4. Respon Root Locus Sistem Setelah Pemasangan Kontroler PID
Analisis root locus dari sistem loop tertutup yang telah dipasangkan dengan kontroler PID memberikan gambaran yang lebih detail mengenai stabilitas dan respons dinamis sistem. Pertama, lokasi pole dan zero dalam plot menunjukkan jalur pergerakan pole ketika parameter gain dari kontroler PID bervariasi. Pole awal sistem berada pada posisi yang ditandai dengan 'x', sedangkan zero ditandai dengan 'o'. Pergerakan pole yang terlihat di sepanjang sumbu nyata dan sumbu imajiner menunjukkan bagaimana sistem merespons perubahan gain.
Selanjutnya, stabilitas sistem dapat dianalisis dari letak pole. Sistem dianggap stabil jika semua pole berada di sebelah kiri sumbu imajiner. Dalam plot root locus ini, pole-pole utama sistem tetap berada di sebelah kiri sumbu imajiner, yang menunjukkan bahwa sistem tetap stabil untuk berbagai nilai gain dari kontroler PID. Hal ini mengindikasikan bahwa kontroler PID mampu mempertahankan stabilitas sistem meskipun terjadi perubahan dalam gain.
Damping ratio dan frekuensi alami juga ditunjukkan oleh kontur dalam plot ini. Garis- garis kontur menunjukkan nilai-nilai damping ratio tertentu, memberikan informasi mengenai karakteristik osilasi sistem. Damping ratio yang cukup baik mengindikasikan bahwa osilasi dalam sistem akan mereda dengan cepat, yang merupakan indikasi positif untuk stabilitas dinamis sistem. Frekuensi alami yang ditunjukkan oleh garis-garis ini memberikan informasi tentang kecepatan osilasi sistem dalam radian per detik.
Pergerakan pole yang diamati dari plot ini memperlihatkan bahwa pole utama sistem bergerak dari posisi real negatif menuju ke zero di area tertentu. Ini menunjukkan bahwa dengan variasi gain PID, pole utama tetap berada dalam wilayah stabil. Hal ini menunjukkan efektivitas kontroler PID dalam mengatur letak pole sistem sehingga tidak menimbulkan osilasi yang berlebihan.
Terakhir, pengaruh kontroler PID terlihat jelas dari pergerakan pole yang tetap berada di area stabil. Kontroler PID berhasil menggerakkan pole sistem sehingga mencapai
keseimbangan yang baik antara respons cepat dan stabilitas. Pergerakan ini menunjukkan bahwa kontroler PID yang diterapkan secara efektif mengubah karakteristik dinamis sistem untuk mencapai performa optimal tanpa menyebabkan ketidakstabilan atau osilasi yang tidak diinginkan.
Secara keseluruhan, root locus menunjukkan bahwa kontroler PID berhasil meningkatkan kinerja sistem secara signifikan. Sistem tetap stabil dengan respons dinamis yang cepat dan teredam dengan baik, menunjukkan bahwa parameter kontroler PID telah diatur secara optimal. Ini memastikan bahwa sistem mampu merespons perubahan input dengan cepat, stabil, dan akurat, yang sangat penting dalam aplikasi kontrol yang membutuhkan kinerja tinggi.
LAMPIRAN
