Analisis Sistem Kontro

Analisis Sistem Kontrol

Dalam Keadaan Transien

Ermanu A. Hakim

Teknik Elektro Fakultas Teknik

Universitas Muhammadiyah Malang

Analisis sistem keadaan transien : Menguji karakteristik atau performans sistem transien atau peralihan dengan cara memberikan sinyal uji tertentu

3. Sinyal Tangga (ramp function)

r(t) = t satuan

R(s)= 1/ s2 r(t)

t t

r(t) r(t) = 1 satuan

R(s)= 1/ s 2. Sinyal Langkah (step function)

Beberapa sinyal Uji yang sering digunakan :

1. Sinyal impuls r(t) = δ(t), maka R(s) = 1

t

Sistem Orde Pertama

C s

R s Ts s

T T

( )

( )= + = + 1

1

1

1

C s

Ts R s s R s s

T T

T T

( )= ( ) ( )

+ = + = +

1 1

1

1 1

1

c t

T

e

t T

( )

=

1

− _T1

Fungsi alih sistem ini :

Untuk masukan unit impuls, yaitu R(s) = 1

Maka keluaran fungsi waktu :

5T

R(s) C(s)

- Ts

1 Untuk masukan unit step r(t) = 1 atau R(s) = 1/ s

T T

T T

T

s

s

s

s

s

R

s

s

R

Ts

s

C

1 1

1

1

1

1

1

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

+

−

==

+

=

+

=

+

=

Maka keluaran fungsi waktu :

c t

( )

= −

1

e

−tT

1

5T

T T

T T

T

s T s T s s s s R s

s R Ts s C

1 2 1 2

1

1

1 ₁

) ( ) (

) ( 1 1 ) (

+ + − = + = + =

+ =

Untuk masukan tanjak r(t) = t atau R(s) = 1/ s2

Maka keluaran dalam fungsi waktu

T t

Te

T

t

t

c

(

)

=

−

+

−

C(t)

Contoh 1 : Diberikan sistem orde pertama sbb :

R(s) C(s)

-s

2 1

Tentukan kelauaran sistem c(t) untuk masukan :

a. I mpuls

b. Step function

c. Ramp function

-+

R

1

C1

Contoh 2 : Diberikan rangkaian sistem orde pertama berikut

Vi(t)

V₀(t)

Jika R = 10 kΩ, C = 0,1 μF dan vi(t) = 1 volt Tentukan vo(t) s s s C R s V s V i 1000 1 10 . 1 , 0 . 10 . 10 1 1 ) ( ) ( 6 3 1 1 0 = = − = − Penyelesaian :

Fungsi alih sistem :

R(s) C(s) -) 2 ( 2 n n s s ςω ω +

Sistem Orde Kedua

tik karakteris pers. disebut 0 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 = + + + + = = n n n n n s s s s s R s C s G ω ζω ω ζω ω Fungsi Alih sistem ini :

C s

s s R s

s s s

s s s s n n n n n n n n d n n d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + = − + + + − + + ω ζω ω ω ζω ω ζω ζω ω ζω ζω ω 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

1

Untuk masukan langkah (unit step) r(t) = 1 atau R(s)= 1/ s

c t

e

t

nt d

( )

= −

sin(

tan

)

−

+

−

− −

1

1

1

2 1 2 ζω

ζ

ω

ζ

ζ

Dengan Alih ragam Laplace diperoleh keluaran :

0 2 4 6 8 10 12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Wnt c( t) =0 0,1 0,2 0,3 0,5 0,8 1,0 2,0

Spesifikasi Tanggapan Waw asan w aktu

ts tp tr Mp 1 0,9 0,1 0,02

Gbr Tanggapan Sistem Orde 2 Untuk masukan step function

1. Waktu naik (tr)

Waktu naik (tr) didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan oleh tanggapan untuk naik dari 10 hingga 90 persen dari harga akhir 2 1 ζ ω β π − − = n r

t dengan

β

ζ

ζ

=arctan 1−

2

2. Waktu puncak (tp)

waktu puncak didefinisikan berkaitan dengan lewatan puncak pertama

2 1

ζ

ω

π

− = n p t

3. Lewatan maksimum (Mp)

Lewatan maksimum didefinisikan sebagai

Lewatan maks= cmax–css

= nilai puncak – nilai keadaan mantap

π ζ ζ ω π ζω

π

ζ

ζ

π

) 1 / ( 2 ) / ( 2

)

sin

1

(cos

1

)

(

− − −

=

−

+

−

=

−

=

e

e

t

c

M

d n p p

4. Waktu penetapan (ts)

Waktu penetapan untuk 0 < z < 0,9 dan menggunakan kriteria 2% adalah

t

_s

n

=

4

ζω

Contoh :

Suatu sistem dengan diagram balok sebagaimana diperlihatkan dalam gambar berikut.

R(s) C(s) -) 10 ( 50 + s s

Penyelesaian :

Fungsi alih lup tertutup sistem

50

10

50

)

(

)

(

2

+

+

=

s

s

s

R

s

C

Sehingga persamaan karakteristik sistem orde dua

0

50

10

2

2 2

2

+

+

=

+

+

=

s

s

s

s

ζω

n

ω

n

a. Rasio redaman dan frekuensi alamiah ditentukan sebagai berikut

10

2

ζω

n

=

dan

ω

n

=

5

0

=

7,0711

Maka diperoleh rasio redamanζ= 0,7071 sedangkan frekuensi alamiahωn = 7,0711

b. Lewatan maksimum , waktu naik dan waktu penetapan ditentukan sebagai berikut

Lewatan maksimum

4,32%

0,0432

) 1 /

( 2

=

=

=

−ζ −ζ π

e

M

p

Waktu naik :

tr n = −

− π β

ω 1 ζ2 dengan

0,7854 7071 , 0

7071 , 0 1 arctan

1 arctan

2 2

= − =

− =

ζ ζ β

sehingga 0,4712det

7071 , 0 1 0711 , 7

7854 , 0

1 2 ₋ 2=

− = − −

= π

ζ ω

β π n r

t

Waktu penetapan:

det 0,8 0711 , 7 7011 , 0

4

4 _{= =}

=

x t

n s _ζω

R(s) C(s)

- ( )

16

a s

s +

Contoh 2 :

Suatu sistem dengan diagram balok sebagaimana diperlihatkan dalam gambar berikut.

Tentukana agar sistem memiliki spesifikasi waktu penetapan sebesar 4 detik

Analisis

Analisis

Stabilitas

Stabilitas

Analisa Stabilitas berhubungan dengan penentuan apakah sebuah sistem stabil atau tidak dan seberapa jauh atau dekat dengan keadaan stabil kritis yang menentukan stabilitas relatif suatu sistem

Penentuan stabilitas relatif menjadi penting karena akan menentukan performans suatu sistem baik dalam keadaan transien maupun mantap

Sistem Stabil Sistem Stabil kritis Sistem Tak Stabil

Metode Penentuan Stabilitas

Kriteria Routh-Hurwitzadalah prosedur analitik untuk menentukan semua akar akar polinomial yang memiliki bagian nyata negatif dan digunakan dalam analisa stabilitas sistem tak berubah waktu linear. Kriteria ini dapat menetukan jumlah akar dengan bagian nyata positif. Kriteria stabilitas menerapkan polinomial bentuk

n n n

n

a

s

a

s

a

s

a

s

Q

=

+

−

+

+

−1

+

1

1 0

)

[image:3.612.16.248.44.215.2]

(

"

Tabel Routh :

sn a0 a2 a4 a1 a3 a5 sn-1

b1 b2 b3 sn-2

c1 c2 c3

1 3 0 2 1 1

a a a a a

b= −

1 5 0 4 1 2

a a a a a

b= −

sn-3

#

#

#

#

#

s0

1 2 1 3 1 1

b b a a b

c= −

Kriteria

Kriteria

Hurwitz

Hurwitz

Akar-akar persamaan seluruhnya berada dalam separoh kiri bidang s ( memilik bagian nyata negatif jika semua elemen pada kolom pertama dari tabel Routh adalah bertanda sama.

Jumlah perubahan tanda elemen dari kolom pertama sama dengan jumlah akar-akar dengan bagian nyata positif atau berada dalam separoh kanan bidang s.

CONTOH :

Diketahui persamaan karaketristik sistem :

s

3

s

2

s

4

2

6

0

−

+

+ =

yang memiliki satu koefisien negatif.

s

s

s

s

3 2 1 0

1

1

4

6

4 1

6 1

4

2 5

0

2 5 6

4 0

2 5

6

0

−

−

−

−

=

− −

=

(

)( )

( )( )

,

( , )( )

(

)( )

[image:4.612.17.248.42.215.2]

,