ANALISIS MODEL PREDATOR-PREY LOTKA-VOLTERRA DENGAN FEAR EFFECT

ANALISIS MODEL PREDATOR-PREY LOTKA-VOLTERRA DENGAN FEAR EFFECT

KARYA ILMIAH

OLEH

AFRIANTI AZLINA NIM. 1803123920

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2023

ANALISIS MODEL PREDATOR-PREY LOTKA-VOLTERRA DENGAN FEAR EFFECT

Afrianti Azlina

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

afrianti.azlina3920@student.unri.ac.id

ABSTRACT

This article discusses the Lotka–Volterra predator–prey system with fear effect to the prey and predator has other food resource. It is shown that the system has a trivial equilibrium point and a free equilibrium point predator which are both unstable, and depend on certain conditions. The system also has a free equilibrium point prey and a global asymptote stable positive equilibrium point. Model simulation is carried out with certain parameters to describe the behavior and stability of the equilibrium point as well as the relationship between species prey and the effect of fear.

Keywords: Lotka–Volterra predator–prey model, stability, fear effect ABSTRAK

Artikel ini membahas sistem predator-prey Lotka–Volterra dengan efek ketakutan dari prey danpredator yang memiliki sumber makanan lainnya. Hal ini ditunjukkan bahwa sistem memiliki titik ekuilibrium trivial dan titik ekuilibrium bebaspredator yang keduanya tidak stabil, dan tergantung pada syarat tertentu. Sistem ini juga memiliki titik ekuilibrium bebas prey dan titik ekuilibrium positif yang stabil asim- tot global. Simulasi model dilakukan dengan parameter tertentu untuk menggam- barkan perilaku dan kestabilan titik ekuilibrium serta hubungan spesies prey dan efek ketakutan.

Kata kunci: Model predator-prey Lotka-Volterra, kestabilan, efek ketakutan 1. PENDAHULUAN

Model predator-prey merupakan model matematika yang menggambarkan interaksi predasi antara dua populasi, yakni predator dan prey yang akan mempengaruhi pertumbuhan dari kedua populasi tersebut. Bacaer [1] menjelaskan bahwa model predator-prey pertama kali diperkenalkan oleh Alfred James Lotka pada tahun 1925

dan Vito Volterra pada tahun 1926, sehingga model ini dikenal sebagai model Lotka- Volterra. Model Lotka-Volterra ini disebut juga model predator-prey klasik. Model Lotka-Volterra adalah model predator-prey yang paling sederhana. Model Lotka- Volterra sederhana hanya membahas perilaku satu prey dan satu predator yang berinteraksi. Interaksi antara satu prey dan satu predator ini terdapat berbagai variasi dan modifikasi seperti model predator-prey Lotka-Volterra dengan pengaruh fear effect.

Fear effect adalah salah satu faktor terpenting yang menyebabkan kepunahan spesies prey. Dalam penelitian ini akan menganalisis perilaku dinamis sistem preda- tor-prey Lotka-Volterra dengan fear effect dari prey dan predator yang memiliki sumber makanan lainnya. Hal ini membuat penulis tertarik untuk me-review artikel Zhu et al. [10] yang berjudul ”The Influence of Fear Effect to the Lotka–Volterra Predator–Prey System with Predator has Other Food Resource”.

Adapun struktur artikel ini adalah pada bagian dua membahas pembentukan model predator-prey Lotka-volterra dengan fear effect dari prey dan predator yang lainnya. Selanjutnya bagian ketiga berisi analisis kestabilan dan dilanjutkan dengan bagian keempat yang berisi simulasi model. Kemudian artikel ini diakhiri dengan kesimpulan.

2. PEMBENTUKAN MODEL PREDATOR-PREY LOTKA-VOLTERRA DENGAN FEAR EFFECT

Sebelum membentuk model predator-prey Lotka-Volterra denganfear effect, terlebih dahulu didefinisikan variabel dan parameter yang akan digunakan. Semua variabel dan parameter yang digunakan diasumsikan bernilai positif, yaitu:

u(t) = menyatakan densitas spesies prey, v(t) = menyatakan densitas spesies predator,

r0 = menyatakan tingkat kelahiran spesies prey, q = menyatakan tingkat kematian spesies prey, a = menyatakan kompetisi intraspesifik spesies prey,

m = menyatakan tingkat pertumbuhan intrinsik spesies predator, p = menyatakan kekuatan interspesifik antara prey dan predator,

c = menyatakan efisiensi konversi dari prey yang tertelan menjadi predator baru,

d₁ = menyatakan kompetisi intraspesifik spesies predator,

k = menyatakan tingkat ketakutan yang disebabkan oleh perilaku anti-

predator dari prey.

Berdasarkan beberapa asumsi dan definisi variabel yang telah dijelaskan di atas, diperoleh laju perubahan dari masing-masing prey dan predator yang dapat dinya- takan sebagai berikut:

(i) Laju perubahan spesies prey pada waktu t dipengaruhi oleh beberapa faktor seperti tingkat kelahiran prey serta tingkat kematian prey. Kemudian popu- lasi prey tumbuh secara logistik dan dipengaruhi fear effect sehingga laju perubahan spesies prey dinyatakan dengan

du(t)

dt = r₀u(t)

1 +kv(t)−qu(t).

(ii) Laju perubahan spesiesprey juga dipengaruhi oleh persaingan antar prey yang dinyatakan menjadi

du(t)

dt = r₀u(t)

1 +kv(t)−qu(t)−au(t)².

(iii) Interaksi yang terjadi diantara prey dan predator dapat mempengaruhi laju perubahan spesies prey, yaitu dengan kekuatan interspesifik antara prey dan predator, sehingga laju perubahan spesies prey dinyatakan oleh

du(t)

dt = r₀u(t)

1 +kv(t)−qu(t)−au(t)²−pu(t)v(t). (1) (iv) Interaksi yang terjadi diantaraprey dan predator juga mempengaruhi laju pe- rubahan spesiespredator, yaitu dengan kekuatan interspesifik antara prey dan predator dan juga efisiensi konversi dari prey yang tertelan menjadi predator baru, sehingga ditulis menjadi

dv(t)

dt =cpu(t)v(t).

(v) Tanpa adanya prey, spesies predator tumbuh secara logistik, sehingga laju spesies predator dinyatakan dengan

dv(t)

dt =mv(t)−d₁v(t)².

(vi) Selanjutnya laju perubahan spesies predator dinyatakan oleh dv(t)

dt =cpu(t)v(t)−mv(t)−d₁v(t)². (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh model predator-prey Lotka-Volterra dengan pengaruh fear effect yang dinyatakan oleh Zhu et al. [10].

du(t)

dt = r0u(t)

1 +kv(t)−qu(t)−au(t)²−pu(t)v(t), dv(t)

dt = cpu(t)v(t) +mv(t)−d₁v(t)².





 (3)

3. ANALISIS KESTABILAN

Untuk menentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan (3) dapat digunakan Teorema 1 sebagai berikut:

Teorema 1 Sistem persamaan (3) memiliki empat titik ekuilibrium sebagai berikut:

(i) Titik ekuilibrium E₀(0,0).

(ii) Titik ekuilibrium bebas prey E₁(0, m/d₁).

(iii) Titik ekuilibrium bebas predator E₂((r₀ −q)/a,0), jikar₀ > q berlaku.

(iv) Titik ekuilibrium positif tunggal E₃(u^∗(t), v^∗(t)), jika r₀ > q+ qd₁km+km²p+d₁mp

d²₁ (4)

berlaku, dimana v^∗(t) = (m+cpu^∗(t))/d₁ danu^∗(t) adalah solusi positif tung- gal dari persamaan

A₁u(t)²+A₂u(t) +A₃ = 0, dengan

A₁ =c²kp³+acd₁kp,

A₂ =cqd₁kp+ 2ckmp²+ad₁km+cd₁p²+ad²₁, A3 =qd1km+km²p+qd²₁ −d²₁r0+d1mp.

Bukti. Untuk menentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan (3) dapat diper- oleh jika memenuhi

r₀u(t)

1 +kv(t)−qu(t)−au(t)²−pu(t)v(t) = 0, (5) cpu(t)v(t) +mv(t)−d₁v(t)² = 0. (6) Misalkan titik ekuilibrium pertamaE0(0,0), kemudian dengan mensubstitusikan nilai u(t) = 0 dan v(t) = 0 ke persamaan (5) dan (6) diperoleh

r₀(0)

1 +k(0) −q(0)−a(0)−p(0)(0) = 0, cp(0)(0) +m(0)−d₁(0)² = 0.

Dengan demikian, E0(0,0) merupakan titik ekuilibrium.

Selanjutnya untuk titik ekuilibrium kedua E₁(0, v^∗(t)) dengan mensubstitusikan u(t) = 0 tetapiv(t)̸= 0 ke persamaan (5) dan (6) diperoleh

mv^∗(t)−d₁v^∗(t)² = 0,

Dengan demikian, sistem persamaan (3) memiliki titik ekuilibrium bebas prey E1

(0, m/d₁).

Selanjutnya untuk titik ekuilibrium ketiga E₂(u^∗(t),0) dengan mensubstitusikan u(t)̸= 0 tetapi v(t) = 0 ke persamaan (5) dan (6) diperoleh

r₀u^∗(t)−qu^∗(t)−au^∗(t)² = 0,

Dengan demikian, sistem persamaan (3) memeliki titik ekuilibrium bebas predator E₂((r₀−q)/a) jika r₀ > q.

Selanjutnya untuk titik ekuilibrium keempat E3(u^∗(t), v^∗(t)) dengan mensubsti- tusikan v^∗(t) = (m +cpu^∗(t)) ke persamaan (5) dan menyederhanakan sehingga diperoleh

A1u(t)²+A2u(t) +A3 = 0. (7) Dari persamaan (4) dapat dilihat bahwa A₃ < 0. Oleh karena itu, persamaan jik memiliki solusi positif tunggalu^∗(t). Akibatnya, sistem persamaan (3) memiliki titik ekuilibrium positif tunggal E₃(u∗(t), v^∗(t)).

Dengan demikian berdasarkan hasil yang telah diperoleh, Teorema 1 terbukti. 2 Selanjutnya untuk menganalisis kestabilan dari titik-titik ekuilibrium yang telah diperoleh, digunakan Teorema 2 sebagai berikut:

Teorema 2

(i) Titik ekuilibrium E₀(0,0) tidak stabil, jika r₀ > q berlaku.

(ii) Titik ekuilibrium bebas prey E₁(0, m/d₁) stabil asimtot lokal, jika r₀ < q+ qd1km+km²p+d1mp

d²₁ (8)

berlaku.

(iii) Titik ekuilibrium bebas predator E₂((r₀−q)/a,0) tidak stabil, jika persamaan (8) berlaku.

(iv) Titik ekuilibrium positif E₃(u^∗(t), v^∗(t)) stabil asimtot lokal, jika r₀ > q+ qd1km+km²p+d1mp

d²₁ (9)

berlaku.

Bukti. Untuk menganalisis kestabilan titik ekuilibrium dapat dilakukan dengan linearisasi. Dengan mendiferensialkan sistem persamaan (3) terhadap u(t) dan v(t) sehingga diperoleh matriks linearisasi dari sistem persamaan (3) sebagai berikut:

J =

[ J₁₁ J₁₂ J₂₁ J₂₂

]

, (10)

dengan

J₁₁= r₀

kv(t) + 1 −q−2au(t)−pv(t), J12=− r₀u(t)k

(kv(t) + 1)² −pu(t), J21=cpv(t),

J₂₂=cpu(t) +m−2d₁v(t).

Untuk titik ekuilibrium pertama E₀(0,0) matriks linearisasi pada persamaan (10) menjadi

J₀ =

[ r₀−q 0

0 m

]

. (11)

Persamaan karakteristik dari persamaan (11) adalah (λ−(r0−q))(λ−m) = 0.

Nilai eigen dari J₀ adalah λ₁ >0 karena r₀ > q dan λ₂ >0 karena m >0. Dengan demikian titik ekuilibrium E₀(0,0) tidak stabil.

Selanjutnya untuk titik ekuilibrium keduaE₁(0, m/d₁) dengan menggunakan per- samaan (10) diperoleh matriks J₁ yaitu

J1 =



 −qd₁km+km²p+qd²₁−r₀d²₁ +d₁mp

(km+d₁)d₁ 0

mcp

d₁ −m



. (12)

Persamaan karakteristik dari persamaan (12) adalah (

λ− (

−qd₁km+km²p+qd²₁−r₀d²₁+d₁mp (km+d₁)d₁

))

(λ+m) = 0.

Nilai eigen dari J₁ adalah λ₁ < 0 karena m > 0 dan λ₂ < 0. Jika persamaan (8) berlaku, akibatnya E₁(0, m/d₁) adalah stabil asimtot lokal. Kemudian jika per- samaan (9) berlaku, maka E₁ tidak stabil karena λ₂ >0.

Selanjutnya untuk titik ekuilibrium ketigaE₂((r₀−q)/a,0) dengan menggunakan persamaan (10) diperoleh matriks J₂ yaitu

J₂ =



 −r₀+q −kr₀²+qkr₀−pr₀+pq a

0 cpr₀−cqp+am a



. (13)

Persamaan karakteristik dari persamaan (13) adalah (λ−(−r₀+q))

(

λ− cpr₀−cqp+am a

)

= 0.

Nilai eigen dari J2 adalah λ1 < 0 dan λ2 >0 . Dengan demikian titik ekuilibrium E₂((r₀−q)/a,0) tidak stabil.

Selanjutnya untuk titik ekuilibrium keempat E₂(u^∗(t), v^∗(t)) dengan menggu- nakan persamaan (10) diperoleh matriks J3 yaitu

J3 =



 −au^∗(t) − r₀u^∗(t)k

(kv^∗(t) + 1)² −pu^∗(t) cpv^∗(t) −d1v^∗(t)



,

determinan dari J₃ adalah

det(J₃) = ad₁u^∗(t)v^∗(t) + ckpr₀u^∗(t)v^∗(t)

(kv^∗(t) + 1)² +cp²u^∗(t)v^∗(t).

Kemudian trace dari J₃ adalah

Tr(J₃) = −au^∗(t)−d₁v^∗(t).

Karena det(J₃) > 0 dan Tr(J₃) < 0 maka titik ekuilibrium E₃ = (u^∗(t), v^∗(t)) bersifat stabil asimtot lokal.

Dengan demikian berdasarkan hasil yang telah diperoleh, Teorema 2 terbukti. 2 Selanjutnya sistem persamaan (3) akan dianalisis untuk menyelidiki sifat kestabi- lan global dari titik ekuilibrium bebas prey E₁(0, m/d₁) dan titik ekuilibrium positif E₃(u^∗(t), v^∗(t)) dengan menggunakan Teorema 3 sebagai berikut:

Teorema 3

(i) Titik ekuilibrium bebas prey E1(0, m/d1) stabil asimtot global jika r₀ < q+ qd₁km+km²p+d₁mp

d²₁ (14)

berlaku.

(ii) Titik ekuilibrium positif E₃(u^∗(t), v^∗(t)) dari persamaan (3) stabil asimtot global jika

r₀ > q+ qd₁km+km²p+d₁mp

d²₁ (15)

berlaku.

Bukti.

(i) Didefinisikan suatu fungsi Lyapunov dengan v(t) = m/d₁ yang sesuai yaitu V₁(u(t), v(t)) =cu(t) +v(t)−v(t)−v(t)lnv(t)

v(t).

Selanjutnya untuk turunan V₁(u(t), v(t)) terhadap waktu sepanjang lintasan dari sistem persamaan (3) adalah

V˙1(u(t), v(t)) =c

( r₀u(t)

1 +kv(t)−qu(t)−au(t)²−pu(t)v(t) )

+ (

v(t)−v(t) v(t)

)

(cpu(t)v(t) +mv(t)−d₁v(t)²)

=c

( r₀u(t)

1 +kv(t)−qu(t)−au(t)²−pu(t)v(t) ) +

(

v(t)−v(t) )

(cpu(t) +m−d₁v(t))

≤c(r₀−q)u(t)−cau(t)²−cpv(t)u(t)−d₁(v(t)−v^∗(t))², V˙1(u(t), v(t))<0.

Jadi, ˙V₁(u(t), v(t)) memenuhi teorema stabilitas Lyapunov dan titik ekuilib- rium E1(0, m/d1) bersifat stabil asimtot global.

(ii) Untuk menentukan kestabilan titik ekuilibriumE₃(u^∗(t), v^∗(t)) digunakan Kri- teria Dulac dalam Teorema kriteria Dulac. Didefinisikan suatu fungsi Dulac yaitu B(u(t), v(t)) = 1/(u(t)v(t)), sehingga

∂(P B)

∂u(t) + ∂(QB)

∂v(t) = 1 u(t)v(t)

( r₀

kv(t) + 1 −q−2au(t)−pv )

− 1 u(t)²v(t)

( r₀u(t)

kv(t) + 1 −qu(t)−au(t)² −pu(t)v(t) )

+ cpu(t) +m−2d₁v(t)

u(t)v(t) − cpu(t)v(t) +mv(t)−d₁v(t)² u(t)v(t)² ,

∂(P B)

∂u(t) + ∂(QB)

∂v(t) =−au(t) +d₁v(t) u(t)v(t) , dimana

P (u(t), v(t)) = r₀u(t)

1 +kv(t) −qu(t)−au(t)²−pu(t)v(t), Q(u(t), v(t)) =cpu(t)v(t) +mv(t)−d₁v(t)².

Berdasarkan Teorema kriteria Dulac, titik ekuilibrium E₃(u^∗(t),v^∗(t)) bersifat stabil asimtot global.

Dari hasil (i) dan (ii) Teorema 3 terbukti. 2

Selanjutnya sistem persamaan (3) akan dianalisis untuk melihat pengaruh fear effect pada titik ekuilibrium positif E₃(u^∗(t), v^∗(t)). Misalkan

F(u^∗(t), v^∗(t), k) = r₀

1 +kv^∗(t) −q−au^∗(t)−pv^∗(t), G(u^∗(t), v^∗(t), k) = cpu^∗(t) +m−d₁v^∗(t).

}

Kemudian diperoleh titik ekuilibrium positif E3(u^∗(t), v^∗(t)) yang memenuhi F(u^∗(t), v^∗(t), k) = 0,

G(u^∗(t), v^∗(t), k) = 0.

}

(16)

Menggunakan determinan Jacobi diperoleh

∂(F, G)

∂(u^∗(t), v^∗(t)) = det



 −a − r0k

(1 +kv^∗(t))² −p

cp −d₁



=ad₁+cp

( r₀k

(1 +kv^∗(t))² +p )

,

untuk semua u^∗(t)>0, v^∗(t)>0 dan k >0. Jika ∂(F, G)/∂(u^∗(t), v^∗(t))̸= 0 sistem persamaan (16) dapat menentukan dua fungsi implisit yaitu

u^∗(t) = u^∗(t)(k), v^∗(t) = v^∗(t)(k). (17) Selanjutnya akan dicari turunan terhadap k dengan menggunakan determinan Jacobi yang dapat ditulis dalam bentuk

du^∗(t)(k)

dk =−

∂(F, G)

∂(k, v^∗(t))

∂(F, G)

∂(u^∗(t), v^∗(t))

, dv^∗(t)(k)

dk =−

∂(F, G)

∂(u^∗(t), k)

∂(F, G)

∂(u^∗(t), v^∗(t))

, (18)

dengan

∂(F, G)

∂(k, v^∗(t)) = det



 − r₀v^∗(t)

(1 +kv^∗(t))² − r₀k

(1 +kv^∗(t))² −p

0 −d₁



= r₀d₁v^∗(t)

(1 +kv^∗(t))² >0, dan

∂(F, G)

∂(u^∗(t), k) = det



 −a − r₀v^∗(t) (1 +kv^∗(t))²

cp 0



= cpr0v^∗(t)

(1 +kv^∗(t))² >0.

Jadi, du^∗(t)(k)/dk dandv^∗(t)(k)/dkmerupakan fungsi turun dari k karena turunan- nya lebih kecil dari nol.

4. SIMULASI MODEL

Simulasi dilakukan untuk melihat phase portrait pada model predator-prey Lotka- Volterra dengan fear effect, perilaku dinamis spesiesprey dan spesies predator pada model predator-prey Lotka-Volterra denganfear effect, dan hubungan antara spesies prey danfear effect. Simulasi digunakan dengan menggunakan nilai parameter yang terdapat pada Tabel 1.

Tabel 1: Nilai parameter dari Zhu et al. [10]

Simulasi Nilai Parameter

r0 q k a p m d1 c

Pertama 2 1 1 1 1 1 1 0.5

Kedua 5 1 1 1 1 1 1 0.5

Simulasi pertama yang dilakukan adalah menggunakan nilai parameter pertama pada Tabel 1. Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 1.

v(t)

2

E1

E3

1

0E₀ 1E₂ 2

−1

−1

u(t)

Gambar 1: Phase portrait dari sistem persamaan (3) menggunakan parameter per- tama

Pada Gambar 1 terlihat bahwaE₀, E₂ danE₃ merupakan titik ekuilibrium yang tidak stabil karena medan arahnya menjauhi titik ekuilibrium. Sedangkan E₁ meru- pakan titik ekuilibrium yang stabil karena medan arahnya mendekati titik ekuilib- rium. Dengan demikian hasil simulasi pada Gambar 1 sesuai dengan Teorema 3 bagian (i) yaitu simulasi pada titik ekuilibrium bebas prey E₁(0, m/d₁) yang stabil asimtot global.

Selanjutnya simulasi kedua yang dilakukan adalah menggunakan nilai parameter kedua pada Tabel 1. Hasil simulasi dengan nilai awal [u(0) = 1, v(0) = 4], [u(0) = 2, v(0) = 3], [u(0) = 3, v(0) = 1], dan [u(0) = 4, v(0) = 2] dapat dilihat pada Gambar 2.

(a) (b)

Gambar 2: Perilaku dinamis dari sistem persamaan (3) menggunakan parameter kedua (a) pada spesies prey, dan (b) pada spesies predator

Pada Gambar 2 bagian (a) terlihat bahwa spesies prey mengalami penurunan hingga mencapai kondisi dimana spesies cenderung konstan. Kemudian pada bagian (b) terlihat bahwa spesiespredator mengalami peningkatan jika spesies awalnya ren- dah dan mengalami penurunan jika spesies awalnya tinggi, hingga mencapai kondisi dimana spesies cenderung konstan. Dengan demikian hasil simulasi pada Gambar 2 sesuai dengan Teorema 3 bagian (ii) yaitu simulasi pada titik ekuilibrium positif E3(u^∗(t), v^∗(t)) yang stabil asimtot global.

Simulasi terakhir adalah melihat hubungan dari spesies prey (u^∗(t)(k)) danfear effect (k). Simulasi yang juga menggunakan nilai parameter pada simulasi kedua.

Hasil simulasi dapat dilihat pada gambar berikut:

u^∗(t)(k)

1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0 0.5 1 1.5

k

Gambar 3: Hubungan dari u^∗(t)(k) dan k dari sistem persamaan (3) dengan meng- gunakan parameter kedua

Pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya fear effect, densitas akhir spesies prey mendekati nol, yang berarti bahwa spesies prey menuju kepuna- han.

5. KESIMPULAN

Skripsi ini dilakukan berdasarkan analisis sistempredator-prey Lotka-Volterra dengan pengaruhfear effect. Sistempredator-prey Lotka–Volterra dengan pengaruhfear ef- fect dari spesies prey menunjukkan bahwa fear effect tidak berpengaruh terhadap keberadaan dan kestabilan titik ekuilibrium. Jika untuk sistem tanpa fear effect terdapat titik ekuilibrium positif, maka sistem dengan fear effect juga memiliki titik ekuilibrium positif tunggal yang stabil asimtot global. Oleh karena itu, fear effect dari spesies prey tidak berpengaruh pada sifat dari sistem.

Selanjutnya berdasarkan hubungan antara spesies prey dan fear effect dapat di- lihat bahwa dengan bertambahnya fear effect, densitas akhir spesiesprey mendekati nol, yang berarti bahwa spesiesprey akhirnya akan didorong ke kepunahan. Artinya, fenomenafear effect memiliki dampak negatif pada kelangsungan hidup spesiesprey,

fear effect salah satu faktor penting yang menyebabkan kepunahan spesies prey.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Supriadi Putra, M.Si. dan anonymous reviewer yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] N. Bacaer, A Short History of Mathematical Populations Dynamics, Springer- Verlag, London, 2011.

[2] W. E. Boyce, R. C. DiPrima, dan D. B. Meade, Elementary Differential Equa- tions and Boundary Value Problems, Eleventh Ed., John Wiley and Sons, New York, 2016.

[3] J. K. Hale dan H. Kocak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag, New York, 1991.

[4] D. G. Luenberger, Introduction to Dynamic Systems Theory, Models, and Ap- plications, John Wiley and Sons, New York, 1979.

[5] A. V. Panfilov, K. H. W. J. T. Tusscher, dan R. J. D. Boer, Matrices, Linearization, and the Jacobi Matrix, Theoretical Biology, Utrecht, 2022.

https://tbb.bio.uu.nl/rdb/books/math.pdf, 10 Januari 2023. pk. 22.16.

[6] L. Perko, Differential Equations and Dynamical System, Third Ed., Springer- Verlag, New York, 2001.

[7] P. Pijush, P. Nikhil, S. Sudip, dan C. Joydev, Stability and bifurcation analysis of a three-species food chain model with fear, International Journal of Applied and Computational Mathematics, 5 (2018), 100-260.

[8] L.Y. Zanette, A.F. White, M.C. Allen, dan M. Clinchy,Perceived predation risk reduces the number of offspring songbirds produce per year, Science, 334 (2011), 1398-1401.

[9] D. Zhang dan B. Wei, Learning Control Applications in Robotics and Complex Dynamical Systems, Elsevier, Amsterdam, 2021.

[10] Z. Zhu, W. Runxin, L. Liyun dan Y. Xiangqin, The influence of fear effect to the Lotka–Volterra predator–prey system with predator has other food resource, Advances in Difference Equations, 237 (2020), 1-13.