Apa itu Aturan Simpson

Aturan Simpson 1//3

Kaidah simpson 1/3 adalah kaidah yang mencocokkan polinomial derajat 2 pada tiga titik data diskrit yang mempunyai jarak yang sama. Misalkan fungsi f ( x ) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2. Luas daerah dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah parabola (Gambar 1.1). untuk itu, dibutuhkan 3 buah titik data, misalkan

( ^{0 , f} ( 0 ) ) _, ( ^{h , f (h} ) ) _{, dan} ( ^{2 h ,f (2 h)} ) _.

Karena fungsi dihampiri dengan polionomial derajat 2, maka kita misalkan f(x)=

A x

²

+BX +C .

(0,f(x0) f(x0)= C ………(i)

(h,f(h))f(h)=

A h

²

+Bh +C …

……….(ii) (2h,f(2h))f(2h)=

4 A h

²

+2 Bh+ C …

……….(iii) Dari Persamaan (i) dan(ii)diperoleh

f(x0)+f(2h)=

C + 4 A h

²

+2 Bh +C= 4 A h

²

+2 Bh +2 C

………..(iv) Dari persamaan (ii) kita peroleh

4f(h)=

4 ( A h

²

+ Bh+ C ) =4 A h

²

+4 Bh+ 4 C

………..(v) Selanjutnya, luas daerah di bawah kurva f(x)= A x²+BX+C ^adalah:

∫

0 2h

A x

²

+BX +C dx

= 1

3A x³+1

2B x²+Cx∨¿₀^2h=8

3 A h³+4

2B h²+2Ch

¿

¿ 1

3 h (8 A h

²

+6 B h

²

+6 Ch)

¿ 1

3 h (4 A h

²

+2 Bh+2 C+ 4 A h

²

+4 Bh+ 4 C)

(Substitusi persamaan (iv) dan (v))

f ( x 0 )+f ( 2 h)+ 4 f ( h)

¿ 1

3 h ¿

Sehingga diperoleh L

¿ 1

3 h( f ( x 0)+ f (2h )+4 f (h ))

_.

Aturan Komposisi Simpson

Selang [a,b] dipartisi menjadi (M+1) titik dengan M genap, dengan lebar selang bagiannya

h= b−a

M

Maka berdasarkan aturan simpson diproleh

L= ∫

a b

f ( x ) dx= ∫

a x2

f (x ) dx + ∫

x₂ x4

f ( x ) dx+ …+ ∫

x_M−2 XM

f ( x ) dx

x

¿ (¿ 1¿)

f ¿ x

¿ (¿ 3¿)

f ¿ x

_m−1

f (¿)+ f ( ^x

m

)

f ( x

_m−2

) ⁺ 4 ¿ h 3 ¿

f ( ^x

2

) ⁺⁴

⁽

^{¿+ f} ( ^x

4

)

⁾

+…+¿

h 3 ¿

f ( ^x

a

) ^{+ 4}

⁽

^{¿+ f} ( ^x

2

)

⁾

+ ¿ h

3 ¿

¿ ¿

f (a )+f (b )+ 4 ∑

i=1_△i=2 M−1

f ( ^x

i

) ^{+ 2} ∑

i=2_△i=2 M−2

f ( ^x

i

)

L= h 3 ¿