Aplikasi Graf untuk Optimalisasi Pengaturan Traffic Light di Persimpangan Patung Diponegoro Tembalang Menggunakan Algoritma Welsh-Powell

APLIKASI GRAF UNTUK OPTIMALISASI PENGATURAN TRAFFIC LIGHT MENGGUNAKAN ALGORITMA WELSH-POWELL DI PERSIMPANGAN

PATUNG DIPONEGORO TEMBALANG

DISUSUN OLEH : RISQI KHANSA ZAHRO

2401011612002

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG

2019

BAB 1

LANDASAN TEORI 1.1 Definisi Graf

Sebuah graf G berisikan dua himpunan yaitu himpunan berhingga tak kosong V (G) dari obyek-obyek baru yang disebut simpul dan himpunan berhingga (mungkin kosong) E(G) yang elemen-elemennya disebut sisi sedemikian hingga setiap elemen e dalam E(G) merupakan pasangan tak berurutan dari simpul-simpul di V(G). Himpunan V(G) disebut simpul G dan himpunan E(G) disebut himpunan sisi G (Budayasa, 2007: )

Cara merepresentasikan sebuah graf yang paling umum adalah dengan diagram (gambar).

Dalam diagram tersebut, simpul-simpul dinyatakan sebagai noktah dan tiap sisi dinyatakan sebagai kurva sederhana (ruas garis) yang menghubungkan tiap dua simpul.

1.2 Jenis-jenis Graf

Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda, berdasarkan orientasi arah pada sisi (Munir, 2005: 357).

1. Ada Tidaknya Gelang atau Sisi Ganda

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis, yaitu graf sederhana dan graf tak sederhana. Di dalam karya tulis ini yang akan digunakan hanya graf sederhana.

a. Graf Sederhana (Simple Graph)

Graf yang tidak mengandung gelang (loop) maupun sisi ganda dinamakan graf sederhana (Munir, 2005: 357).

Gambar 2.1 Graf Sederhana 2. Orientasi Arah

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakanatas 2 jenis yaitu graf berarah dan garf tak berarah. Penerapan graf yang akan digunakan pada kary tulis ini yaitu garf tak berarah.

a. Graf Tak Berarah (Undirect Graph)

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah.Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidakdiperhatikan. Jadi, (vj, vk) = ( vk,vj )adalah sisi yang sama (Munir, 2005:

358).Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut.

Gambar 2.2 Graf Tak Berarah

1.3 Terminologi Graf

D

alam pembahasan mengenal graf biasanya sering menggunakan terminology (istilah) yang berkaitan dengan graf (Munir, 2005: 365). Terminologi yang berkaitan dengan graf pada pembahasan karya tulis ini salah satunya yaitu bertetanggaan (Adjacent).

Bertetanggaan (Adjacent)Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain vjbertetangga dengan vk jika (vj, vk ) adalah sebuah sisi pada graf .

Gambar 2.3 Graf Bertetangga

Simpul v1bertetanggadengan simpul v4 dan v2 , simpul v1tidak bertetangga dengan simpul v3.

1.4 Pewarnaan Graf

Di dalam persoalan pewarnaan graf, tidak hanya sekedar mewarnai simpul- simpuldengan warna berbeda dari warna simpul tetangganya saja, namun juga menginginkan jumlah macam warna yang digunakan sedikit mungkin.

Menurut Budayasa (2007: 151) ada dua macam pewarnaan graf (graphcolouring), yaitu pewarnaan simpul (vertex) dan pewarnaan sisi (edge). Misal G sebuah graf. Sebuah

pewarnaan k dari G adalah perwarnaan semua simpul G dengan menggunakan k warna sedemikian hingga dua simpul G yang berhubungan langsung mendapat warna yang berbeda. Sebuah pewarnaan sisi pada graf G adalah pewarnaan semua sisi G sedemikian hingga setiap dua sisi yang terkait pada simpul yang sama mendapatkan warna yang berbeda. Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai simpul pada sebuah graf disebut bilangan bilangan kromatik (Munir, 2009: 426).

Gambar 2.4 Pewarnaan Simpul G dengan 3 Warna

1.5 Algoritma Weshl-Powell

Pewarnaan graf adalah metode pewarnaan elemen sebuah graf yang terdiri dari pewarnaan simpul (vertex) dan pewarnaan sisi (edge) sedangkan pewarnaan simpul pada graf dengan memberi warna pada simpul-simpul suatu graf sedemikian sehingga tidak ada dua simpul bertetangga yang memiliki warna yang sama. Algoritma Welsh- Powell tidak selalu memberikan jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai graf, tetapi algortima ini cukup praktis untuk digunakan dalam pewarnaan simpul sebuah graf. Menurut As’ad (2008: 2) pada jurnal Purnamasari, Ilman, dan Wulandari (2010: 2) yang langkah-langkahnya sebagai berikut.

1. Urutkan simpul-simpul dari graf G dalam derajat yang menurun (urutan seperti ini mungkin tidak unik karena beberapa simpul mungkin berderajat sama)

2. Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama (yang mempunyai derajat tertinggi) dan simpul-simpul lain (dalam urutan yang berurut) yang tidak bertetangga dengan simpul pertama ini.

3. Mulai lagi dengan simpul derajat tertinggi berikutnya di dalam daftar terurut yang belum diwarnai dan ulangi proses pewarnaan simpul dengan menggunakan warna kedua.

4. Ulangi penambahan warna-warna sampai semua simpul telah terwarnai.

Algoritma Welch-Powell tidak selalu memberikan jumlah warna minimum dalam pewarnaan graf, tetapi memberikan batas atas jumlah warna yang dapat dipakai untuk mewarnai suatu graf.

BAB II APLIKASI GRAF 2.1Traffic Light di Simpang Empat Patung Diponegoro

Berdasarkan hasil pengamatan langsung di persimpangan jalan Patung Diponegoro banyak sekali permasalahan yang terjadi di jalan, salah satunya berkaitan dengan traffic light. Pengaturan traffic light bisa digunakan mengguakan pewarnaan simpul dengan menerapkan algoritma Welsh-Powell. Langkah pertama sebelum ke perhitungan pengoptimalan traffic light maka ada beberapa cara dengan algoritma Welsh-Powel dalam pewarnaan simpul pada suatu graf. Berikut ilustrasi dari simpang 4 Patung Diponegoro:

Gambar 4.1 Ilustrasi Simpang 4 Patung Diponegoro

Keterangan:

1. Arah Barat : Dari gang kecil depan patung diponegoro 2. Arah Utara : Dari Jatingaleh

3. Arah Timur : Dari Tembalang 4. Arah Selatan : Dari Banyumanik

5. v₁ : dari arah barat menuju arah utara

UTARA

TIMUR BARAT

SELATAN

6. v₂ : dari arah barat menuju arah timur 7. ^v3 : dari arah barat menuju arah selatan 8. v₄ : dari arah selatan menuju arah barat 9. ^v5 : dari arah selatan menuju arah utara 10. v₆ : dari arah selatan menuju arah timur 11. ^v7 : dari arah timur menuju arah selatan 12. v₈ : dari arah timur menuju arah barat 13. ^v9 : dari arah timur menuju arah utara 14. v₁₀ : dari arah utara menuju arah timur 15. ^v11 : dari arah utara menuju arah selatan 16. v₁₂ : dari arah utara menuju arah barat

Dari gambar 4.1 terdapat beberapa asumsi yang akan digunakan yaitu sebagai berikut:

1. Pergerakan traffic light di Patung Diponegoro terjadi dalam dua fase. Dua fase ini mengartikan bahwa terdapat empat arah yang masing-masing arahnya akan berjalan bersamaan dengan salah satu arah yang lain.

2. Meskipun terjadi dua fase, akan tetap digunakan data primer yang akan merepresentasikan tiga data dengan durasi lampu merah dan hijau yang berbeda (selisihnya hanya sepuluh detik) (Pada Tabel 4.1).

3. Durasi traffic light tidak dipengaruhi oleh volume kendaraan pada waktu itu.

4. Kepadatan arus lalu lintas sama pada setiap waktu di persimpangan empat Patung Diponegoro.

2.2 Hasil Pengamatam

Hasil pengamatan yang dilakukan dengan terjun langsung ke persimpangan empat Patung Diponegoro, diperoleh interpretasi data traffic light di simpang empat Patung Diponegoro yaitu sebagai berikut: (direpresentasikan data dalam hitungan detik)

Tabel 4.1. Data Primer traffic light di simpang empat Patung Diponegoro

KAKI SIMPANG

BARAT (Ngesrep

Barat)

TIMUR (Tembalang

)

UTARA (Jatingaleh

)

SELATAN (Banyumanik

)

TOTAL

MERAH 59 59 29 39 186

HIJAU 16 16 46 36 114

TOTAL 75 75 75 75

2.3 Perhitungan Data Menggunakan Algoritma Welsh-Powell

Dari gambar 4.1 dengan asumsi yang digunakan, maka terdapat beberap arus yang tidak boleh bergerak secara bersamaan (uncompatible). Arus tersebut yaitu sebagai berikut:

1. v₂ tidak boleh bergerak secara bersamaan dengan v₅, v₆, v₁₁, v₁₂ . 2. ^v3 tidak boleh bergerak secara bersamaan dengan ^v5, v₆, v₁₁, v₁₂ . 3. v₅ tidak boleh bergerak secara bersamaan dengan v₂, v₃, v₈, v₉ . 4. ^v6 tidak boleh bergerak secara bersamaan dengan ^v2, v₃, v₈, v₉ . 5. v₈ tidak boleh bergerak secara bersamaan dengan v₅, v₆, v₁₁, v₁₂ . 6. ^v9 tidak boleh bergerak secara bersamaan dengan ^v5, v₆, v₁₁, v₁₂ . 7. v₁₁ tidak boleh bergerak secara bersamaan dengan v₂, v₃, v₈, v₉ . 8. ^v12 tidak boleh bergerak secara bersamaan dengan ^v2, v₃, v₈, v₉ .

Untuk v₁, v₄, v₇, dan v₁₀ dapat bergerak secara bersamaan dengan arus dari arah manapun, sehingga dapat diartikan bahwa untuk ^v1, v₄, v₇, dan v₁₀ dapat berlaku lampu hijau untuk waktu kapanpun.

Langkah-langkah penyelesaian simpang empat PatungDiponegoro dengan menggunakan Algoritma Welsh-Powell yaitu sebagai berikut:

1. Representasikan arus seperti pada gambar 4.1 dalam bentuk suatu graf seperti berikut:

Gambar 4.2 Representasi arus simpang empat Patung Diponegoro dalam sebuah graf

2. Mewarnai graf yang terdapat pada gambar 4.1 menggunakan algoritma Welsh- Powell yaitu dengan cara mengurutkan simpul yang mempunyai derajat paling tinggi ke deajat paling rendah. Karena setiap simpul mempunyai derajat yang sama, maka pilih salah satu titik sembarang antara v₂, v₃, v₅, v₆, v₈, v₉, v₁₁,dan v₁₂ yang akan diwarnai terlebih dahulu. Pewarnaan graf dilakukan dengan tidak melakukan pewarnaan simpun yang saling adjacent (bertetanggan). Pewarnaan ini akan digunakan untuk menentukan bilangan kromatik. Dengan menggunakan algoritma Welsh-Powell, pewarnaan graf yaitu sebagai berikut:

Gambar 4.3 Representasi pewaranaan

graf menggunakan algortma Welsh-Powell dalam arus simpang empat Patung Diponegoro

Berdasarkan gambar 4.2 diketahui bahwa ^v1, v₄, v₇, dan v₁₀ merupakan arus yang dapat bergerak secara bersamaan dapat dilakukan pewarnaan dengan warna apapun sehingga dalam representasi pewarnaan grafnya tidak dimasukkan. Dari pewarnaan graf di atas juga dapat diketahui bahwa bilangan kromatiknya yaitu dua.

Bilangan kromatik ini akan digunakan untuk perhitungan durasi lampu hijau dan lampu merah yang baru.

Gambar 4.1 juga menunjukkan penyelesaian arus-arus yang dapat dilakukan secara bersamaan yaitu seperti pada tabel 4.2 berikut ini:

Tabel 4.2. Data Primer traffic light di simpang empat Patung Diponegoro

Warna Simpul ORANGE v₂, v₃, v₈, v₉

BIRU v₅, v₆, v₁₁, v₁₂

Dari Tabel 4.2 diperoleh dua partisi yaitu partisi pertama v₂ dapat berjalan bersamaan dengan ^v3, v₈, v₉ dan partisi kedua ^v5 dapat berjalan bersamaan

dengan ^v6, v₁₁, v₁₂ .

3. Menentukan durasi baru lampu merah dan lampu hijau.

Berdasarkan data pada Tabel 4.1 diperoleh bahwa durasi satu siklusnya yaitu 75 detik, dengan bilangan kromatik yang diketahui yaitu 2. Untuk mencari durasi lampu hijau dan merah yang baru digunakan rumus seperti pada tabel 4.3 berikut ini:

Tabel 4.3.Perhitungan untuk menentukan data baru durasi lampu hijau dan lampu merah pada persimpangan empat Patung Diponegoro

WARNA RUMUS

HIJAU jumlah satu siklus

bilangankromatik=75 2 =37.5

MERAH jumlah satu siklus−durasi baru lampu hijau=75−37.5=37.5

Berdasarkan perhitungan pada tabel 4.3 maka penyelesaian durasi lampu merah dan lampu hijau yang akan digunakan sebagai data baru yaitu sebagai berikut:

Tabel 4.4.Penyelesaian traffic light di simpang empat Patung Diponegoro

Tabel 4.5Data baru traffic light di simpang empat Patung Diponegoro KAKI

SIMPANG

BARAT TIMUR UTARA SELATAN TOTAL

MERAH 37.5 37.5 37.5 37.5 150

HIJAU 37.5 37.5 37.5 37.5 150

TOTAL 75 75 75 75

Simpu l

v₁ v₂ v₃ v₄ v₅ v₆ v₇ v₈ v₉ v₁₀ v₁₁ v₁₂

Merah - 37.5 37.5 - 37.5 37.5 - 37.5 37.5 - 37.5 37.

5 Hijau 75 37.5 37.5 75 37.5 37.5 75 37.5 37.5 75 37.5 37.

5

Total 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75

Berikut ini hasil perbandingan dari data pirimer dengan data baru menggunakan algoritma Welsh-Powell.

Tabel 4.6Perbandingan data primer dan data baru Kaki

Simpang

Data Primer Data Baru

Merah Hijau Merah Hijau

Barat 59 16 37.5 37.5

TIMUR 59 16 37.5 37.5

UTARA 41 46 37.5 37.5

SELATAN 29 36 37.5 37.5

Total 186 114 150 150

Dari tabel 4.5 terlihat bahwa data baru yang dihasilkan dengan menggunakan algoritma Welsh-Powell lebih efektif dibandingkan dengan data primer hasil pengamatan. Tingkat keevektifitas dari lampu hijau dan lampu merah dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

1. Lampu Hijau

=

^x14_x^−x12

12

×100 %

= 150−114

114 ×100 %=31.57 %

.

2. Lampu Merah

=

^x11_x^−x13

11

×100 %

= 186−150

186 ×100 %=19.35 %

.

dimana : x₁₁ = jumlah durasi lampu merah dari data primer x₁₂ = jumlah durasi lampu hijau dari data primer x₁₃ = jumlah durasi lampu merah dari data baru x₁₄ = jumlah durasi lampu hijau dari data baru

Jadi, dari perhitungan diatas dapat diketahui bahwa tingkat keevektivitasan dari lampu hijau dan lampu merah dengan menggunakan algoritma Welsh-Powell di simpang empat Patung Diponegoro masing-maisng sebesar 31.57% dan 19.35% lebih efektif dibandingkan dengan data primer hasil pengamatan.

2.4 Kesimpulan

Berdasarkan pada uraian di atas, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Penerapan graf pada persimpangan empat Patung Diponegoro menggunakan algoritma Welsh-Powell dapat dilakukan dengan beberapa langkah yaitu (1) mentransformasikan persimpangan jalan di Patung Diponegoro dalam suatu graf, (2) melakukan pewarnan graf dengan menggunakan algortima Welsh-Powell sehingga akan didapatkan bilangan kromatik untuk menentukan durasi baru dari perhitungan tersebut, (3) melakukan perhitungan untuk mendapatkan data baru dengan rumus :

Lampu hijau = jumlahsatu siklus bilangankromatik

,

Lampu merah = jumlah satu siklus – durasi baru lampu hijau ,

dan (4) dilakukan perhitungan tingkat keevektifitasan dari data primer dengan data baru yang diperoleh.

2. Hasil perhitungan dengan menggunakan algoritma Welsh-Powell diperoleh data baru durasi lampu merah dan lampu hijau dengan masing- masing menjadi 37.5 detik dengan tingkat keevektifannya yaitu untuk lampu hijau sebesar 31.57% dan untuk lampu merah sebesar 19.35%, sehingga menunjukkan bahwa data baru mempunyai tingkat keevektifan yang lebih tinggi dibandingan dengan data primer dari hasil pengamatan langsung.

DAFTAR PUSTAKA

Budayasa, I. K. 2007. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa UniversityPress.

HB, Danang. 2011. Budaya Tertib Lalu Lintas. Jakarta: PT. Sarana Bangun Pustaka Munir, R. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.

Nugroho, A. D. 2008. Analisis Penerapan Belok Kiri Langsung terhadap Tundaan Lalu Lintas pada Pendekat Persimpangan Bersinyal. Tesis. Semarang: Program Magister Teknik Sipil Universitas Diponegoro.