bab ii tinjauan pustaka

7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini dibahas mengenai landasan teori yang mendasari penulisan Tugas Akhir. Isi pada baba ini mencakup Unmanned Surface Vehicle, model dinamika kapal, metode Kalman Filter dan pengembangannya yaitu Extended Kalman Filter, regresi linear, dan beberapa penelitian terdahulu.

2.1 Unmanned Surface Vehicle

Unmanned Surface Vehicle (USV) merupakan kapal permukaan air yang dapat beroperasi tanpa awak yang telah ada sejak Perang Dunia II. Umumnya USV berukuran kecil atau sedang yaitu dengan panjang 2 meter hingga 15 meter dengan berat kapal 1,5 hingga 10 ton. Beberapa dapat beroperasi dengan kecepatan lebih dari 35 knot di air tenang. USV sendiri masih dalam tahap peningkatan teknis agar dapat diterima secara luas. Selain teknis, otoritas regulasi sipil dan angkatan laut belum mengembangkan prosedur dan protocol maritime yang menentukan bagaimana kapal tak berawak beroperasi dan berinteraksi dengan lalu lintas maritim lainnya (Bertarm, 2008).

Keterbatasan yang dimiliki oleh wahana apung konvensional dalam melakukan survei di perairan yang dalam dapat diatasi dengan adanya kapal apung tanpa awak (Unmanned Surface Vehicle-USV) yang mudah untuk dibawa karena berukuran kecil dan portable tetapi kokoh dan dapat bergerak lebih fleksibel.

Ukuran kecil memungkinkan untuk operasional dengan satu orang kru saja, sehingga dapat mengurangi waktu dan biaya dibandingkan dengan mengerahkan kru yang banyak dalam kapal yang lebih besar. Jam kerja dapat direduksi dan lebih sedikit waktu yang diperlukan daripada menggunakan kapal yang lebih besar.

Unmanned Surface Vehicle dirancang dapat bergerak di perairan dangkal maupun daerah perairan yang sulit terjangkau. Wahana ahana apung tanpa awak juga dapat dimanfaatkan untuk melakukan survei dasar laut. Peluncuran dan pengendalian dapat dilakukan dari kapal yang lebih besar atau dari darat manakala ditemui

8 perairan dangkal dan area yang sulit dijangkau oleh kapal biasa. (Perbani dan Suwardhi, 2014)

Menurut (Ferreira dkk, 2009), wahana apung robotik seperti ROAZ akan menjadi peralatan yang efisien untuk mengatasi survei yang beresiko, kendaraan ini mampu melakukan manuver otonom dan mengikuti jalur yang tepat sambal membawa peralatan untuk akuisisi data, seperti operasi batimetri dan karakteristik dasar laut. Sistem ini dapat mengisi kekosongan data yang tidak dapat dilakukan oleh kapal survei hidrografi biasa

Permintaan yang tak terbendung untuk survei dasar laut, dan pengambilan mengingat risiko tinggi yang dapat ditimbulkan oleh saluran air manusia dan tempat-tempat yang tidak ramah dan tidak dapat diakses, mengarah pada perkembangan kendaraan tak berawak: kendaraan bawah air otonom (AUV) dan kendaraan permukaan otonom (ASV). Oleh karena itu, ada minat yang besar dalam penelitian dan pengembangan kendaraan robotik laut untuk mempelajari dan menjelajahi lautan, sungai, dan waduk.

2.2 Free Running Model Test

Uji FRM test dilakukan untuk menentukan kinerja manuver kapal manuver kapal berdasarkan manuver standar seperti zigzag dan turningtest dengan membiarkan model berlayar bebas melakukan manuver. Metode ini memiliki keuntungan dalam memberikan manuver gerak secara langsung dan masih digunakan hingga sekarang. Namun, pada metode ini juga terdapat beberapa kekurangan salah satunya dibutuhkan kolam manuver yang besar sehingga sulit melakukan uji manuver di kolam tarik sempit (Simonsen, 2000).

2.3 Model Matematika Kapal

Secara umum gerakan yang dialami sebuah kapal ketika melaju di lautan ada dua macam, yaitu gerakan translasi dan rotasi. Gerak translasi kapal dibagi menjadi tiga, yaitu: surge, sway dan heave. Gerak rotasi kapal yaitu pitch, roll dan yaw.

9 Gerakan tersebut disebut juga dengan Degree of Freedom (DOF) atau derajat kebebasan. Saat menganalisis gerakan kendaraan laut dalam 6 DOF, digunakan dua kerangka koordinat. Koordinat bergerak X0Y0Z0 terdapat pada kapal yang mengacupada body-fixed, sementara perpindahan angular dan linier pada koordinat XYZ mengacu pada earth-fixed (Fossen, 1994)

Persamaan model matematika kapal disusun berdasarkan koordinat kapal dan bumi seperti pada Gambar 2.1. Kapal juga memiliki komponen yang dibagi dalam tiga keadaan, yaitu gaya dan momen, kecepatan linear dan angular, serta posisi dan sudut Euler sebagaimana ditampilkan pada Tabel 2.1. Pergerakan kapal mencakup gerakan rotasi dan translasi yang memiliki pusat pada tiga sumbu utama, antara lain: sumbu longitudinal 𝑥 (dari buritan ke depan), sumbu transversal 𝑦 (samping), dan sumbu normal bumi 𝑧 (dari atas ke bawah) (Chotimah, 2020).

Gambar 2. 1 Koordinat body-fixed dan earth-fixed

10 Tabel 2. 1 Komponen Gerak Kapal

*) Fossen, 2011

Sebelum menurunkan persamaan dinamik 6 DOF, akan ditinjau secara singkat beberapa prinsip mekanika Newtonian dan lagrangian. Model dinamika kapal disusun berdasarkan prinsip Newtonian yang terdapat formulasi Newton-Euler yang didasari pada hukum dua Newton dengan hubungan antara massa 𝑚, percepatan 𝒗̇_𝑐 dan gaya 𝒇_𝑐 yang didefinisikan pada Persamaan (2.1).

𝑚𝑣̇_𝑐 = 𝒇_𝑐 (2.1) Menurut Leonhard Euler (1707-1783) Hukum Dua Newton diekspresikan dengan melibatkan aspek linear 𝑝_𝑐 dan momen angular ℎ_𝑐 dengan indeks c menyatakan kesesuaianantara gravitasi dengan pusat kapal. (Fossen,1994)

𝑝̇_𝑐 ≜ 𝒇_𝑐; 𝑝̇_𝑐 ≅ 𝑚𝑣_𝑐 (2.2) ℎ̇_𝑐 ≜ 𝑚_𝑐; ℎ̇_𝑐 ≅ 𝐼_𝑐𝜔 (2.3) Keterangan:

𝒇_𝑐 : Gaya yang bersesuaian dengan pusat badan kapal dari gravitasi 𝑚_𝑐 : Momen yang bersesuaian dengan pusat badan kapal dari gravitasi.

𝜔 : Vektor kecepatan angular

DOF Gerak Gaya dan

momen

Kecepatan linear dan

angular

Posisi dan sudut Euler

1 Gerak arah-x (surge) X u 𝑥

2 Gerak arah-y (sway) Y v 𝑦

3 Gerak arah-z(heave) Z W 𝑧

4 Rotasi dengan sumbu-x (roll) K P 𝜙

5 Rotasi dengan sumbu-y (pitch) M Q 𝜃

6 Rotasi dengan sumbu-z (yaw) N R 𝜓

11 𝐼_𝑐 : Tensor inersia pusat badan kapal dari gravitasi

Persamaan gaya pada gerak translasi pada kapal diperoleh dari persamaan (2.2) dan berdasarkan pengamatan pada Gambar 2.2 sedemikian hingga diperoleh Persamaan (2.4).

𝑚(𝑣̇₀+ 𝜔 × 𝑣₀+ 𝜔₀× 𝑟_𝐺+ 𝜔 × (𝜔 × 𝑟_𝐺) = 𝒇₀ (2.4) dengan 𝑚 adalah massa dari kapal 𝑣₀= [𝑢, 𝑣, 𝑤] merupakan kecepatan linear kapal, 𝜔 = [

0 −𝑟 𝑞

𝑟 0 −𝑝

−𝑞 𝑝 0

] merupakan kecepatan angular dari bingkai rotasi body- fixed yang mengacu pada bingkai earth-fixed menggunakan konsep transformasi kecepatan angular dengan skew-symmetrical, 𝑣₀ = [𝑥_𝐺, 𝑦_𝐺, 𝑧_𝐺]^𝑇merupakan jarak dari sistem koordinat origin O body-fixed ke pusat gravitasi kapal pada rigid-body, serta 𝑓₀ = [𝑋, 𝑌, 𝑍]^𝑇 merupakan gaya eksternal translasi yang bekerja pada kapal yang bersesuaian dengan sumbu 𝑋₀𝑌₀𝑍₀. (Fossen 1994)

Sementara untusk gerak rotasi kapal pada origin O dituliskan dengan Persamaan (2.5).

𝐼₀𝜔̇₀+ 𝜔 × (𝐼₀𝜔) × 𝑚𝑟_𝐺 × (𝑣̇₀+ 𝜔 × 𝑣₀) = 𝑚₀ (2.5) Gambar 2.2 Inersial, bingkai referensi earth-fixed non-rotasi,

dan bingkai referensi rotasi X0Y0Z0 (Fossen, 1994)

12 dengan , 𝐼₀ = [

𝐼_𝑥 −𝐼_𝑥𝑦 −𝐼_𝑥𝑧

−𝐼_𝑦𝑥 𝐼_𝑦 −𝐼_𝑦𝑥

−𝐼_𝑧𝑥 −𝐼_𝑧𝑦 𝐼_𝑧

], di mana 𝐼_𝑥, 𝐼_𝑦, 𝐼_𝑧 merupakan inersia di sekitar sumbu 𝑋₀𝑌₀𝑍₀ sedangkan 𝐼_𝑥𝑦 = 𝐼_𝑦𝑥, 𝐼_𝑥𝑧 = 𝐼_𝑧𝑥, 𝑑𝑎𝑛 𝐼_𝑦𝑧 = 𝐼_𝑧𝑦 adalah products dari inersia. Jarak dari sistem koordinat origin O body-fixed ke pusat gravitasi kapal pada rigid-body, pusat graviasi 𝑟_𝐺 = [𝑥_𝐺, 𝑦_𝐺, 𝑧_𝐺]^𝑇 serta vektor momen yang bersesuaian dengam sumbu 𝑋₀𝑌₀𝑍₀ , serta momen eksternal 𝑚₀ = [𝐾, 𝑀, 𝑁]^𝑇 .

Pada penelitian Tugas Akhir ini persamaan manuver dari gerakan kapal termasuk gerakan memutar dideskripsikan pada body-fixed frame menggunakan model dinamik dengan 3 Degree of Freedom (DOF).

𝑴_𝑅𝐵𝒗̇ + 𝑪_𝑅𝐵(𝒗)𝒗 = 𝝉_𝑅𝐵 (2.6) di mana 𝑴_𝑅𝐵 adalah matriks inersia rigid-body, 𝑪_𝑅𝐵(𝒗)adalah matriks gaya Coriolis dan sentripetal rigid-body dan 𝝉_𝑅𝐵 adalah vektor gaya-gaya umum. Vektor linear dan kecepatan angular body-fixed didefinisikan dengan v = [u, v, r] sementara 𝝉_𝑅𝐵 = [𝑋, 𝑌, 𝑁] merupakan vektor gaya dan momen eksternal. Hal ini berarti bahwa dinamika yang diasosiasikan dengan gerakan pada heave, roll dan pitch diabaikan, yaitu w = p = q = 0. Untuk gerakan horizontal kapal, persamaan gerak kinematik menjadi satu otasi utama di sekitar sumbu z.

Model manuver 3 DOF pada bagian ini dipisahkan dengan model kecepatan subsistem sway-yaw untuk manuver (Fossen, 2011).

(𝑚 − 𝑋_𝑢̇)𝑢̇ = 𝑋_𝑢𝑢_𝑟+ 𝑋_|𝑢|𝑢|𝑢_𝑟|𝑢_𝑟+ 𝜏₁ (2.7)

Dimana 𝜏₁ merupakan jumlah control dan gaya eksternal yang bekerja pada surge

Model manuver linierisasi yang dikenal sebagai representasi teori potensial dapat ditulis (Fossen, 1994, Clarke and Horn, 1997)

𝑴𝒗̇ + 𝑵(𝒖_𝟎)𝒗 = 𝑭 (2.8) Dengan 𝑵(𝒖_𝟎)bergantung pada kecepatan dari 𝑪(𝒗)dan linear damper 𝑫.

13 𝑵(𝒖_𝟎) = 𝑪(𝒗) + 𝑫 (2.9) Dimana 𝒗 = [𝑣, 𝑟]^𝑇, v adalah kecepatan sway, r adalah kecepatan yaw, 𝑢0adalah kecepatan surge, dan 𝜹 adalah sudut kemudi, sehingga diperoleh

𝑴 = [_𝑚𝑥^{𝑚 − 𝑌𝑣̇ 𝑚𝑥𝑔− 𝑌𝑟̇}

𝑔− 𝑌_𝑟̇ 𝐼_𝑧− 𝑁_𝑟̇ ] (2.10) 𝑵 = [ ^−𝑌𝑣 (_{𝑚 − 𝑋𝑢̇})_{𝑢 − 𝑌𝑟}

(𝑋_𝑢̇ − 𝑌_𝑣̇)𝑢 − 𝑁_𝑣 (𝑚𝑥_𝑔 − 𝑌_𝑟̇)𝑢 − 𝑁_𝑟] (2.11)

𝑭 = [−𝑌_𝛿

−𝑁_𝛿] 𝛿 (2.12) Persamaan gerak yang pada Persamaan (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), (2.11) dan (2.12) kemudian diadaptasi untuk memperoleh persamaan model dinamika kapal 3 DOF pada bingkai body-fixed sebagai berikut:

𝑚𝑢̇ = 𝑋_𝑢̇𝑢̇ + 𝑋_𝑢𝑢_𝑟+ 𝑋_|𝑢|𝑢|𝑢_𝑟|𝑢_𝑟+ 𝜏₁

𝑚𝑣̇ = 𝑌_𝑣̇𝑣̇ + 𝑌_𝑣𝑣−𝑌_𝛿𝛿 − 𝑚𝑥_𝑔𝑟̇ + 𝑌_𝑟̇𝑟̇ − 𝑚𝑢𝑟 + 𝑋_𝑢̇𝑢𝑟 + 𝑌_𝑟𝑟

𝐼_𝑧𝑟̇ = 𝑁_𝑟̇𝑟̇ + ((𝑋_𝑢̇ − 𝑌_𝑣̇)𝑢 − 𝑁_𝑣)𝑣 − 𝑚𝑥_𝑔𝑢𝑟 + 𝑌_𝑟̇𝑢𝑟 + 𝑁_𝑟𝑟 − 𝑚𝑥_𝑔𝑣̇ + 𝑌_𝑟̇𝑣̇−𝑁_𝛿𝛿 Dalam hal ini model dinamika kapal disederhanakan berdasarkan pengelompokan koefisien hidrodinamika yang bekerja pada surge, sway, dan yaw disederhanakan menjadi:

𝑚𝑢̇ = 𝑋

𝑚𝑣̇ = 𝑌 − 𝑚𝑥_𝑔𝑟̇ − 𝑚𝑢𝑟

𝐼_𝑧𝑟̇ = 𝑁 − 𝑚𝑥_𝑔𝑢𝑟 − 𝑚𝑥_𝑔𝑣̇ + 𝑌_𝑟̇𝑣̇ (2.14) Keterangan:

𝑚 : massa

𝑢̇ : percepaan surge pada sumbu x 𝑟̇ : percepatan sudut yaw pada sumbu z

14 𝑣̇ : percepatan sway pada sumbu y

𝑥_𝑔 : posisi x pusat gravitasi 𝐼_𝑧 : momen inersia pada sumbu ̇z

𝑋 : koefisien gaya massa tambahan pada u sepanjang sumbu ̇x 𝑌 : koefisien gaya massa tambahan pada v sepanjang sumbu y ̇ 𝑁 : koefisien gaya massa tambahan pada r sepanjang sumbu ̇y 𝛿 : sudut kemudi kapal

Gambar 2. 3 Bingkai Earth-fixed

Gambar 2. 4 Bingkai Body-fixed

𝑢, 𝑣, 𝑟 adalah koefisien momen dimana arahnya didefinisikan pada gambar 2.3 dan gambar 2.4 yaitu pada bingkai Body-fixed dan Earth-fixed. Berdasarkan pada model dinamik (2.13) dideskripsikan pada bingkai Body-fixed sehingga jika diubah ke dalam bentuk Earth-fixed dideskripsikan dengan Transformasi Euler.

15 Sehingga diperoleh model kinematika berdasarkan yang didefinisikan pada Persamaan (2.14):

𝑥̇₀ = 𝑢 cos 𝜓 − 𝑢 sin 𝜓 cos 𝜙 𝑦̇₀ = 𝑢 sin 𝜓 − 𝑢 cos 𝜓 cos 𝜙

𝜓̇ = 𝑟 cos 𝜙 (2.15) Model dinamis gaya eksternal dan momen dimodelkan dalam Gauss- Markov third-order dimana 𝑋, 𝑌, dan 𝑁 dideskripsikan sebagai berikut:

𝑋⃛ = 𝑤_𝑋(𝑡) 𝑌⃛ = 𝑤_𝑌(𝑡)

𝑁⃛ = 𝑤_𝑁(𝑡) (2.16) Dimana 𝑤_𝑋, 𝑤_𝑌, 𝑤_𝑁 diasumsikan sebagai white-noise untuk gangguan acak yang independen disetiap waktu. white-noise merupakan sebuah proses stokastik yang independen disetiap waktu dan terdistribusi identik dengan rata-rata nol dan variansi satu.

2.4 Metode Kalman Filter

Metode Kalman Filter diperkenalkan pertama kali oleh R.E. Kalman pada tahun 1960 yang menjelaskan solusi rekursif untuk masalah pemfilteran linier data- diskrit (Welch dan Bishop, 2006). Pada Kalman Filter, estimasi dilakukan dengan dua tahapan yaitu tahap prediksi (time update) dan tahap koreksi (measurement update). Persamaan time update juga dapat dianggap sebagai persamaan prediktor, sedangkan measurement update dapat dianggap sebagai persamaan korektor. Tahap prediksi yaitu memprediksi variabel keadaan dan tingkat akurasinya dihitung menggunakan persamaan kovarian error atau norm kovariansi error. Pada tahap koreksi, hasil estimasi variabel keadaan dikoreksi menggunakan model pengukuran. Salah satu bagian dari tahap ini yaitu menentukan matriks Kalman Gain yang digunakan untuk meminimumkan kovariansi error (Welch dan Bishop,

16 2006). Tahap prediksi dan tahap koreksi akan diulang terus menerus sampai waktu k yang ditentukan.

Gambar 2. 5 Siklus Kalman Filter diskrit yang sedang berlangsung (Welch, 2006)

Menurut (Lewis dkk, 2008), bagiam time update dari algoritma memberikan prediksi 𝑥_𝑘+1dari state pada saat waktu k+1 bersama kovarian kesalahan yang terkait Bersama dengan kovarian error yang terkait 𝑃_{𝑘̅ +1}. Algoritma pengukuran Extended Kalman Filter diberikan pada Tabel 2.2

Tabel 2. 2 Algoritma Kalman Filter

Model Sistem 𝐱_k+1 = 𝐅_k+1,kx_k + 𝐰_k

Model Pengukuran 𝐳_k = 𝐇x_k+ 𝐯_k

di mana wk dan vk adalah independen, dengan rata-rata nol dan proses Gaussian noise dari masing-masing matriks kovarians Qk dan Rk. Asumsi 𝐱₀~N(𝐱̅̅̅, 𝐏_{0 x0}), 𝐰_k~N(0, 𝐐_k), v_k~(0, 𝐑_k) Inisialisasi: Untuk k = 0,

𝐱̂₀ = E[𝐱₀]

𝐏₀ = E[(𝐱₀− E[𝐱₀])(𝐱₀− E[𝐱₀])^T] Komputasi Untuk k = 1, 2, …,, dihitung:

Tahap Prediksi Estimasi: 𝑥̂_𝑘⁻ = 𝑭_{𝑘,𝑘−1}𝒙̂_𝑘−1⁻ Kovarian Error:

𝐏_k⁻ = 𝐅_k,k−1𝐏_k−1𝐅_k,k−1^T + 𝐐_k−1

Tahap Koreksi Kalman Gain:

𝐆_k = 𝐏_k⁻𝐇_k^T(𝐇_k𝐏_k⁻𝐇_k^T+ 𝐑_k)⁻¹ Estimasi:

17 𝐱̂_k = 𝐱̂_k⁻+ 𝐆_k(𝐲_k− 𝐇𝐱̂_k⁻)

Kovarian Error:

𝐏_k = [𝐈 − 𝐆_k𝐇_k]𝐏_k^{− *)} Haykin, 2001

2.5 Metode Extended Kalman Filter

Kalman Filter dapat digunakan untuk mengestimasi sistem yang linear.

Dalam perkembangannya, untuk sistem yang lebih kompleks dengan persamaan matematis yang linier, Kalman Filter dimodifikasi agar dapat mengestimasi sistem yang non linier, modifikasi Kalman Filter ini ada yang dinamakan Extended Kalman Filter (EKF). Algoritma Kalman Filter pada dasarnya tidak jauh berbeda dengan algoritma Extended Kalman Filter hanya saja model yang digunakan berbeda sehingga prosesnya pun akan menyesuaikan model yang digunakan.

Karena metode Extended Kalman Filter menggunakan model yang bersifat non linier maka diperlukan linearisasi dan diskritisasi untuk mendapatkan bentuk persamaan diskrit. Hal ini diperlukan karena metode yang digunakan merupakan model sistem waktu diskrit sehingga untuk tahap selanjutnya harus berupa pesamaan diskrit (Syarifudin, 2018).

Dalam Kalman Filter model yang digunakan adalah linier, tetapi pada kenyataannya banyak model tak linier. Oleh sebab itu, dikembangkan metode Extended Kalman Filter yang digunakan untuk menyelesaikan model tak linier.

Misalkan diberikan model stokastik tak linier. (Aprilia, 2020).

𝐱_k+1 = 𝐟(k, 𝐱_k) + 𝐰_k (2.17) Setiap proses tersebut diatur oleh persamaan selisih stokastik non-linier dengan model pengukuran tak linier 𝑍𝑘∈𝑅𝑛 yang memenuhi

𝐲_k = 𝐡(k, 𝐱_k) + 𝐯_k (2.18) Selanjutnya algoritma Extended Kalman Filter diberikan pada Tabel 2.3

18 Tabel 2. 3 Algoritma Extended Kalman Filter (Haykin, 2001)

Model Sistem 𝐱_k+1 = 𝐟(k, 𝐱_k) + 𝐰_k Model

Pengukuran

𝐲_k = 𝐡(k, 𝐱_k) + 𝐯_k

di mana wk dan vk adalah independen, dengan rata-rata nol dan proses Gaussian noise dari masing-masing matriks kovarians Qk dan Rk. Asumsi 𝐱₀~N(𝐱̅̅̅, 𝐏_{0 x0}), 𝐰_k~N(0, 𝐐_k), v_k~(0, 𝐑_k) Definisi

F_𝑘+1,𝑘 = ∂𝐟(k, 𝐱)

∂x |_{𝐱=𝐱𝑘} H_k = ∂𝐡(k, 𝐱)

∂𝐱 |_𝐱=𝐱k⁻ Inisialisasi: Untuk

k = 0,

𝐱̂₀ = E[𝐱₀]

𝐏₀ = E[(𝐱₀− E[𝐱₀])(𝐱₀− E[𝐱₀])^T] Komputasi: Untuk k = 1, 2, …,, dihitung:

Tahap Prediksi Estimasi: 𝐱̂_k⁻ = 𝐟(k, 𝒙̂_k−1) Kovarian Error:

𝐏_k⁻ = 𝐅_k,k−1𝐏_k−1𝐅_k,k−1^T + 𝐐_k−1 Tahap Koreksi Kalman Gain:

𝐆_k = 𝐏_k⁻𝐇_k^T(𝐇_k𝐏_k⁻𝐇_k^T+ 𝐑_k)⁻¹ Estimasi:

𝐱̂_k = 𝐱̂_k⁻+ 𝐆_k(𝐲_k − 𝐡(k, 𝐱̂_k⁻))

Kovarian Error:

𝐏_k = [𝐈 − 𝐆_k𝐇_k]𝐏_k⁻

*) Haykin, 2001 2.5.1 Tahap Prediksi

Tahap prediksi dipengaruhi oleh model dinamika system. Persamaan prediksi disebut juga time update. Persamaan pada tahap prediksi menghubungkan state pada waktu diskrit sebelumnya yang bertugas untuk mendapatkan nilai pra- estimasi untuk waktu step selanjutnya. Time update memproyeksikan (memprediksi) nilai state dan estimasi kovarian dari waktu step k menuju step k+1.

19 Langkah selanjutnya adalah perhitungan kovariansi error yang dilakukan untuk mengetahui tingkat ketelitian dari hasil estimasi (Welch dan Bishop, 2006)

2.5.2 Tahap Koreksi

Tahap koreksi atau disebut measurement update dipengaruhi oleh informasi dari pengukuran. Tahap koreksi dilakukan untuk memperoleh hasil estimasi terakhir dengan mengkoreski hasil estimasi dari tahap prediksi dan yang nantinya akan digunakan sebagai data prediksi selanjutnya. Tugas pertama dalam tahap koreksi adalah menghitung Kalman Gain. Kalman Gain dipilih sebagai faktor penguat (gain) yang meminimumkan kovarian error pasca-estimasi. Selanjutnya mengukur nilai proses aktual 𝑧𝑘, kemudian menghitung estimasi akhir dengan melibatkan nilai hasil pengukuran. Langkah terakhir adalah mendapatkan nilai kovarian error pasca-estimasi. Setelah menjalani satu siklus update waktu dan pengukuran, siklus ini diulang diulang secara terus-menerus sampai waktu 𝑘 yang mana nilai pasca-estimasi sebelumnya digunakan untuk memprediksi nilai pra- estimasi yang baru (Welch dan Bishop, 2006).

2.6 Analisis Regresi

Secara umum ada dua macam hubungan antara dua variabel atau lebih, yaitu bentuk hubungan dan keratan hubungan. Untuk mengetahui bentuk hubungan digunakan analisis regresi. Untuk keeratan hubungan dapat diketahui dengan analisis korelasi. Analisis regresi dipergunakan untuk menelaah hubungan antara dua variabel atau lebih, terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, atau untuk mengetahui bagaimana variasi dari beberapa variabel bebas (prediktor X atau independent variable) mempengaruhi variabel terikat (respon Y atau dependent variable) dalam suatu fenomena yang kompleks. Jika X1, X2, …, Xi adalah variabel-variabel independen dan Y adalah variabel dependen, maka terdapat hubungan fungsional antara X dan Y, di mana variasi dari X akan diiringi pula oleh variasi dari Y. Regresi sederhana bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua variabel (Walpole, 1995).

Model regresi linear sederhana dapat ditulis sebagai berikut:

20 𝑌_𝑖 = 𝛽₀+ 𝛽₁𝑋_𝑖+ 𝜀_𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , n (2.19) Keterangan:

𝑋_𝑖 = variabel bebas ke-i 𝑌_𝑖 = variabel terikat ke-i 𝛽₀ = konstanta

𝛽_𝑖 = koefisien regresi

Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (least squares method) maka nilai 𝛽₀ dan 𝛽_𝑖 dapat diduga dengan persamaan: 𝑌̂ = 𝑏_{𝑖 0}+ 𝑏₁𝑋_𝑖 dimana 𝑌̂_𝑖, 𝑏₀, dan 𝑏₁ masing-masing merupakan nilai dugaan bagi 𝑌_𝑖, 𝛽₀, dan 𝛽_𝑖 . Nilai 𝑏₀ dan 𝑏₁ diperoleh dengan cara menentukan turunan pertama dari jumlah kuadrat error (S) terhadap 𝑏₀ dan 𝑏₁, kemudian masing-masing turunan tersebut disamakan dengan nol. Nilai error (𝑒_𝑖) merupakan selisih antara nilai pengamatan 𝑌_𝑖 dengan nilai dugaannya 𝑌̂_𝑖 , yaitu 𝑒_𝑖 = 𝑌_𝑖− 𝑌̂_𝑖 sehingga diperoleh:

𝑆 = ∑ 𝑒²

𝑛

𝑖=1

= ∑(𝑌 − 𝑌̂)²

𝑛

𝑖=1

= ∑(𝑌 − 𝑏₀− 𝑏₁𝑋_𝑖)²

𝑛

𝑖=1

= ∑ 𝑌²

𝑛

𝑖=1

− 2𝑏₀∑ 𝑌

𝑛

𝑖=1

− 2𝑏₁∑ 𝑋𝑌

𝑛

𝑖=1

+ 𝑛𝑏₀²+ 2𝑏₀𝑏₁∑ 𝑋

𝑛

𝑖=1

+ 𝑏₁²∑ 𝑋²

𝑛

𝑖=1

(2.20)

S diturunkan secara parsial terhadap 𝑏₀

𝜕𝑆

𝜕𝑏₀ = −2 ∑ 𝑌

𝑛

𝑖=1

+ 2𝑛𝑏₀+ 2𝑏₁∑ 𝑋

𝑛

𝑖=1

= 0

2𝑛𝑏₀ = 2 ∑ 𝑌

𝑛

𝑖=1

− 2𝑏₁∑ 𝑋

𝑛

𝑖=1

21 𝑛𝑏₀ = ∑ 𝑌

𝑛

𝑖=1

− 𝑏₁∑ 𝑋

𝑛

𝑖=1

𝑏₀ = ∑^𝑛_𝑖=1𝑌

𝑛 − 𝑏₁∑^𝑛_𝑖=1𝑋 𝑛

𝑏₀ = 𝑌̅ − 𝑏₁𝑋̅ (2.21) S diturunkan secara parsial terhadap 𝑏₁

𝜕𝑆

𝜕𝑏₁ = −2 ∑ 𝑋𝑌

𝑛

𝑖=1

+ 2𝑏₀∑ 𝑋

𝑛

𝑖=1

+ 2𝑏₁∑ 𝑋²

𝑛

𝑖=1

= 0

−2 ∑ 𝑋𝑌

𝑛

𝑖=1

+ 2 (∑^𝑛_𝑖=1𝑌

𝑛 − 𝑏₁∑^𝑛_𝑖=1𝑋

𝑛 ) ∑ 𝑋

𝑛

𝑖=1

+ 2𝑏₁∑ 𝑋²

𝑛

𝑖=1

= 0

𝑏₁ =𝑛 ∑^𝑛_𝑖=1𝑌+ ∑^𝑛_𝑖=1𝑋∑^𝑛_𝑖=1𝑌

𝑛 ∑^𝑛_𝑖=1𝑋²− (∑^𝑛_𝑖=1𝑋)² (2.22) Adapun regresi linear berganda yang melibatkan k variabel X. Secara umum, bentuk persamaannya:

𝑌_𝑖 = 𝛽₀+ 𝛽₁𝑋_𝑖1+ 𝛽₂𝑋_𝑖2+ ⋯ + 𝛽_𝑘𝑋_𝑖𝑘𝜀_𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , n (2.23) Dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai berikut:

Y = Xb + e (2.24)

dimana

𝒀 = [ 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦⋮_𝑛

] adalah matriks berukuran n×1 yang merupakan nilai-nilai pengamatan bagi variable Y.

22 𝑿 =

[

1 𝑥₁₁ 𝑥₁₂ … 𝑥_1,𝑘−1 1 𝑥₂₁ 𝑥₂₂ … 𝑥_2,𝑘−1

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 𝑥_𝑛1 𝑥_𝑛2 … 𝑥_{𝑛,𝑘−1}]

adalah matriks berukuran n × k yang setiap

kolomnya merupakan nilai-nilai pengamatan bagi variabel X, kecuali kolom pertama dari matriks X yang merupakan kolom yang bernilai 1

𝒃 = [ 𝛽₀ 𝛽₁

⋮ 𝛽_𝑘−1

] adalah matriks koefisien regresi berukuran k × 1

𝒆 = [ 𝜀₁ 𝜀₂ 𝜀⋮_𝑛

] adalah matriks nilai error berukuran n × 1

Seperti halnya pada regresi linear sederhana, pendugaan terhadap nilai b dapat dilakukan dengan metode kuadrat terkecil yaitu dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat error (Martha, 2010). Nilai dugaan bagi koefisien regresi linear berganda pada persamaan (2.5) dapat dihitung dengan menggunakan matriks yaitu dengan rumus:

𝒃 = (𝑿^𝑻𝑿)^−𝟏𝑿^𝑻𝒀 (2.25) Hubungan antara koefisien hidrodinamika, gaya hidrodinamika, dan momen hidrodinamikadigunakan untuk mencari kofisien hidrodinamika kapal dengan menggunakan metode Regresi Linear. Dimana X adalah gaya eksternal pada surge, Y adalah gaya eksternal pada sway, K adalah momen eksternal pada roll, dan N merupakan momen eksternal pada yaw (Subchan dkk, 2019).

2.7 Nilai Tingkat Akurasi

Secara umum ada tiga jenis perhitungan untuk melihat seberapa besar tingkat kesalahan dalam mengukur perbedaan nilai dari prediksi sebuah model sebagai estimasi atas nilai yang diobservasi., yaitu:

1. MAD (Mean Absolute Deviation)

23 Menurut Pakaja (Pakaja et al., 2012), metode untuk mengevaluasi metode etimasi menggunakan jumlah dari kesalahan-kesalahan yang absolut. Mean Absolute Deviation (MAD) mengukur ketepatan estimasi dengan merata-ratakan kesalahan dugaan (nilai absolut masing-masing kesalahan). MAD berguna ketika mengukur kesalahan etimasi dalam unit yang sama sebagai deret asli. MAD merupakan ukuran pertama kesalahan peetimasi keseluruhan untuk sebuah model.

Rumus untuk menghitung MAD adalah sebagai berikut:

𝑀𝐴𝐷 =^{∑𝑛𝑡=1|𝑋𝑡−𝐹𝑡|}

𝑛 (2.26) Dimana:

𝑋_𝑡 : data aktual pada periode t 𝐹_𝑡 : data eitmasi pada periode t 𝑛 : jumlah data

2. RMSE (Root Mean Square Error)

Menurut Suryaningrum (Suryaningrum & W, 2015), Mean Squared Error (MSE) adalah metode lain untuk mengevaluasi metode peetimasi. Masing-masing kesalahan atau sisa dikuadratkan. Pendekatan ini mengatur kesalahan peetimasi yang besar karena kesalahan-kesalahan itu dikuadratkan. Metode itu menghasilkan kesalahan-kesalahan sedang yang kemungkinan lebih baik untuk kesalahan kecil, tetapi kadang menghasilkan perbedaan yang besar. MSE merupakan cara kedua untuk mengukur kesalahan peetimasi keseluruhan. MSE merupakan rata-rata selisih kuadrat antara nilai yang diramalkan dan yang diamati. Kekurangan penggunaan MSE adalah bahwa MSE cenderung menonjolkan deviasi yang besar karena adanya pengkuadratan. Rumus untuk menghitung MSE adalah sebagai berikut.

𝑀𝑆𝐸 =^{∑𝑛𝑡=1(𝑋𝑡−𝐹𝑡)2}

𝑛 (2.27) 𝑅𝑀𝑆𝐸 = √^{∑𝑛𝑡=1(𝑋𝑡−𝐹𝑡)2}

𝑛 (2.28) Dimana:

𝑋_𝑡 : data aktual pada periode t 𝐹_𝑡 : data eitmasi pada periode t 𝑛 : jumlah data

24 3. MAPE (Mean Absolute Percentage Error)

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Menurut Pakaja (Pakaja et al., 2012), Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dihitung dengan menggunakan kesalahan absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode itu. Kemudian, merata-ratakan kesalahan persentase absolut tersebut. MAPE merupakan pengukuran kesalahan yang menghitung ukuran presentase penyimpangan antara data aktual dengan data peetimasi. Nilai MAPE dapat dihitung dengan persamaan:

𝑀𝐴𝑃𝐸 = (¹

𝑛) ∑ |^{𝑋𝑡−𝐹𝑡}

𝑋𝑡 |

𝑛𝑡=1 (2.29) Dimana:

𝑋_𝑡 : data aktual pada periode t 𝐹_𝑡 : data eitmasi pada periode t 𝑛 : jumlah data

Menurut Putra (Putra, 2015), kemampuan peramalan sangat baik jika memiliki nilai MAPE kuran 10% dan mempunyai kemampuan peetimasi yang baik jika nilai MAPE kurang dari 20%.

2.8 Penelitian Sebelumnya

Pada penelitian Tugas Akhir ini penulis melihat bebebrapa rujukan penelitian terdahulu yang memiliki keterkaitan dengan topik permasalahan yang diambil. Adapun rangkuman hasil penelitian terdapat pada Tabel 2.3

Tabel 2. 4 Penelitian Terdahulu No. Nama dan

Tahun Publikasi

Hasil

1 Subchan dkk, 2019

Metode: Unscented Kalman Filter dan Recursive Least Square

Hasil: Pada penelitian tersebut medapatkan koefisien Hidrodinamika X, N, 𝐾 𝑑𝑎𝑛 𝑌 berdasarkan data 310 data atau dari tes FRM melalui gerakan melingkar 35^o dan tes zigzag 20-20.

25 No. Nama dan

Tahun Publikasi

Hasil

2 Yoon dkk, 2007

Metode: System Identification Method dan the Pree Running Model Test

Hasil: Pada penelitian tersebut medapatkan koefisien Hidrodinamika 𝐾 𝑑𝑎𝑛 𝑌 dengan teknik identifikasi sistem berdasarkan data percobaan laut atau dari tes FRM

3 Fidyastuti, 2017

Metode: Extended Kalman Filter dan Regresi Linear

Hasil: Dengan iterasi sebanyak 100 kali lintasan kapal berada pada posisi sesuai yang diinginkan dengan nilai RMSE pada 𝑥 sebesar 0,1023 dan 𝑦 sebesar 0,0023. Diperoleh nilai RMSE pada 𝑝 sebesar 0,6901, 𝑟 sebesar 0,4348, 𝑥₀ sebesar 0,1023, 𝑦₀ sebesar 0,0023, 𝜙 sebesar 0,3984, dan 𝜓 sebesar 0,0849.

4 Ambarwati, 2017

Metode: Ensemble Kalman Filter (EnKF) dan Regresi Linear melalui pengembangan daritesIdentifikasi Sistem yaitu Free Running Model (FRM) test dengan 4 DOF yaitu surge, sway, rol dan yaw.

Hasil: keakuratan untuk mengestimasi koefisien hidrodinamika kapal lebih baik pada saat ensemble 300 dengan RMSE untuk roll sebesar 0.18671, RMSE untuk yawsebesar 0.88694, RMSE untuk posisi awal sumbu x sebesar 0.17659, RMSE untuk posisi awal sumbu y sebesar 0.10078, RMSE untuk sudut roll sebesar 0.63777, RMSE untuk sudut yaw sebesar 0.43022

26 Halaman ini sengaja dikosongkan