Bab 3. Kasus 2 Dimensi

(1)

1

(2)

2

(3)

3

(4)

4

(5)

5

(6)

6

(7)

7

(8)

8

(9)

9

(10)

10

(11)

11

(12)

Contoh 3.1

12

(13)

Contoh 3.1

13

(14)

MEH Untuk 2D

14

(15)

MEH Untuk 2D

15

(16)

MEH Untuk 2D

16

(17)

MEH Untuk 2D

17

(18)

MEH Untuk 2D

18

(19)

MEH Untuk 2D

19

(20)

MEH Untuk 2D

20

(21)

MEH Untuk 2D

21

(22)

MEH Untuk 2D

22

(23)

MEH Untuk 2D

23

(24)

MEH Untuk 2D

24

(25)

MEH Untuk 2D

25

(26)

MEH Untuk 2D

26

(27)

MEH Untuk 2D

27

(28)

MEH Untuk 2D

28

(29)

MEH Untuk 2D

29

(30)

MEH Untuk 2D

30

(31)

MEH Untuk 2D

31

(32)

MEH Untuk 2D

32

(33)

MEH Untuk 2D

33

(34)

MEH Untuk 2D

34

(35)

MEH Untuk 2D

35

(36)

ELEMEN SEGITIGA 3 NODE

2

u₃

3

u₂ v₂

v₃

u₁ v₁

1 x

y

- Elemen 2 Dimensi - 3 Node

- Tiap Node memiliki 2

displacement dalam bentuk Translasi (u, v)

(37)

1. MEMILIH FUNGSI PENDEKATAN

UTK DISPLACEMENT ARAH u u₁ = a₁ + a₂ x₁ + a₃ y₁

u₂ = a₁ + a₂ x₂ + a₃ y₂

u₃ = a₁ + a₂ x₃ + a₃ y₃ 





























 













3 2 1

3 3

2 2

1 1

3 2 1

1 1 1

a a a y

x

y x

u u u

DALAM BENTUK MATRIK

SETELAH DILAKUKAN INVERS





























 













3 2 1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2 1

det 1

u u u a

a a







₁ = x₂ y₃ – x₃ y₂

₁ = y₂ – y₃

₁ = x₃ – x₂

₂ = x₃ y₁ – x₁ y₃ ; ₃ = x₁ y₂ – x₂ y₁

₂ = y₃ – y₁ ; ₃ = y₁ – y₂

₂ = x₁ – x₃ ; ₃ = x₂ – x₁

FUNGSI INTERPOLASI LINEAR : u = a₁ + a₂ x + a₃ y …. (1) v = a₁ + a₂ x + a₃ y …. (2)

(38)

SHAPE FUNCTION : N₁ = 1/det ( ₁ + x ₁ + y ₁ ) N₂ = 1/det (₂ + x ₂ + y ₂ ) N₃ = 1/det (₃ + x ₃ + y ₃ )

 





 v

u



 





3 2

1

3 2

1

0 0

0

0 0

0

N N

N

N N

N

























3 3 2 2 1 1

v u v u v u

u = N₁ u₁ + N₂ u₂ + N₃ u₃

Untuk Perpindahan arah v juga sama, sehingga : v = N₁ v₁ + N₂ v₂ + N₃ v₃

Konstanta a1, a2 dan a3

dimasukkan ke persamaan (1)

(39)

MATRIK B

 ^N  ^q

x y

y x

v u

x y

y x

xy y x















 



 





















 



 













0

0 0

0

























2 1

1 2

1 3

3 1

3 2

2 3

1 2

3 1

2 3

2 1

1 3

3 2

0 0

0

0 0

0 det

1

y y

x x

y y

x x

y y

x x

y y

























3 3 2 2 1 1

v u v u v u

det = x₂y₃ – x₃y₂ + x₁ (y₂– y₃) + y₁ (x₃ – x₂)

 ^ ^  ^B  ^q

(40)

[k] = matrik kekakuan elemen h = tebal struktur

[B] = matrik hub. regangan & perpindahan.

[C] = matrik hub. tegangan dan regangan.

2. MENURUNKAN PERS. MATRIK K



 h [B]^T [C] [B] dA

k

Utk Kasus Plane Stress :

Dari Prinsip Energi Regangan

(41)

3. MENGHITUNG MATRIK BEBAN TOTAL

R = Q_NF + Q_BF + Q_T

Q_NF = beban pada konsentrasi nodal

Q_BF = beban body force (akibat beban sendiri) Q_T = beban traksi (surface traction)

(42)

4. ASSEMBLY ELEMEN

[K]. {q} = {R}

[K] = matrik kekakuan elemen GLOBAL.

{q} = vektor perpindahan simpul.

{R} = matrik beban total.

k_1.1 q₁ + k_1.2 q₂ + ... + k_1.n q_n = R₁ k_2.1 q₁ + k_2.2 q₂ + ... + k_2.n q_n = R₂

……….

k_n.1 q₁ + k_n.2 q₂ + ... + k_n.n q_n = R_n

(43)

5. MENDAPATKAN OUTPUT UTAMA BERUPA PERPINDAHAN

{q} = [K]^-1 {R}

Syarat batas dimasukkan pada perpindahan simpul (q) dimana syarat batas memberikan informasi bagaimana struktur ditopang

dalam ruang, dengan memasukkan nilai perpindahan yang telah ditetapkan sesuai kondisi pada struktur.

(44)

6. OUTPUT SEKUNDER BERUPA REGANGAN DAN TEGANGAN





























 















 ^xy

y x

2 xy

y x

2 v 0 1

0

0 1

v

0 v

1 ) v 1 ( σ E

σ

PLANE STRESS PLANE STRAIN





























 



 













 ^xy

y x

xy y x

2 v 2 0 1

0

0 v

1 v

0 v

v 1 ) v 2 1 )(

v 1 ( σ E

σ

{  }= [C] {}

{} = [ B] {q}

{} = [C] [B] {q}

(45)

2

(6, 5)

3

(2, 1)

(6, 2)

1

x y

T = W (lb/in²)

CONTOH KASUS (1)

Diketahui : v = 0.3 dan E = 30 x 10⁶ psi tebal h

x y

2 1

6 2

6 5

(46)

[K]. {q} = {R}

[K]. {q} = Q_NF + Q_T ⁺ Q_BF

    

 ^ _^^ _^^



























S y

T x y

x y x

A

T dS N T

F h F F F

q dA

h

0 0 [B]

[C]

[B]

2 2 1 1

T

(47)

 













 



2 0 1

0

0 1

) 1

( ² v v

v v

C E

Diketahui : v = 0.3

E = 30 x 10⁶ psi

 













 



2 3 . 0 0 1

0

0 1

3 . 0

0 3

. 0 1

) 3 . 0 1

(

) 10 ( 30

2

C 6

(48)

det = x₂y₃ – x₃y₂ + x₁ (y₂– y₃) + y₁ (x₃ – x₂) = 12

 





















2 1

1 2

1 3

3 1

3 2

2 3

1 2

3 1

2 3

2 1

1 3

3 2

0 0

0

0 0

0 det

1

y y

x x

y y

x x

y y

x x

y y

B

Dengan memasukkan koordinat x dan y masing- masing node maka :

 

















12 1 3

1 4

1 3

1 4

0 1

3 0 1

0 0

12 0 0 1

4 0 1

4 1

B

 





















2 1 2 6 2 5 6 2 5 2 6 6

2 6 0

6 2 0

6 6 0

0 2

1 0

2 5 0

5 2 12 B 1

(49)

A h dA

h k

A

[B]

[C]

[B]

[C]

[B]

]

[ ^ ^T  ^ ^T

Area = 0.5 det = 6





















4 . 16

6 . 2 6

. 6

4 . 17 8

. 6 6

. 21

2 . 6 6

. 9 4

. 10 6

. 21

05 . 1 2

. 4 2

. 4 15

. 3

6 . 3 3

6 . 3 12

0 9

) 10 ( 374 .

1 ]

[ ⁶

simetri h

k

(50)

  

 _^^ _^^













 





 

S

S y

T x

T W dy

N N

h T dS

N T h

Q 0

0

0 0

0

3 3

2 2

1 1

Q_T = Beban Traksi (Surface Traction)

























0 0 0

3 2 1

dy N

Wh

(51)



























0 0 0

3 2 1

dy N

Wh Q_T

























0 1 0 1 0 0

2

3 Wh

32 ))

4 )(

( ) 4 )(

6 ( 4 12 (

) 1 det (

1 ⁵

2 2

2 5

2

2           

 ^N ^dy ^x ^y ^dy ^y ^dy

S







32 ))

4 )(

( ) 1 )(

6 ( 2 12 (

) 1 det (

1 ⁵

2 3

3 5

2

3

3           

S







0 ))

0 )(

( ) 3 )(

6 ( 18 12 (

) 1 det (

1 ⁵

2 1

1 5

2

1

1          

S







(52)













































































0 1 0 1 0 0

2 3

0 0

2 2 1 1

3 3 2 2 1 1

F Wh F F F

v u v u v u

y x y x



















4 . 16

6 . 2 6

. 6

4 . 17 8

. 6 6

. 21

2 . 6 6

. 9 4

. 10 6

. 21

05 . 1 2 . 4 2

. 4 2

. 4 15

. 3

6 . 3 3

6 . 3 12

0 9

) 10 ( 374 .

1 ⁶

simetri h

[K]. {q} = {R}

Dg memasukkan kondisi batas yaitu di node 1 dan 2 yang dikenai tumpuan sendi shg u₁ = v₁ = u₂ = v₂ = 0, maka :



















4 . 16

6 . 2 6

. 6

4 . 17 8

. 6 6

. 21

2 . 6 6

. 9 4

. 10 6

. 21

05 . 1 2 . 4 2

. 4 2

. 4 15

. 3

6 . 3 3

6 . 3 12

0 9

) 10 ( 374 .

1 ⁶

simetri h





















 

























20 3

32 0

0 0 0

2 2

1 1

3

3 Wh

F

Wh F

F F

v u

y x

(53)

PARTISIONING UKURAN MATRIK

u₃ = 1.76 (10^-7)W psi dan v₃ = 2.8 (10^-8)W psi























 







20 3 4

. 16 6

. 2

6 . 2 6

. ) 6

10 ( 374 .

1

3

6 3 Wh

v h u

UTK MENDAPATKAN HARGA u₃ DAN v₃ DILAKUKAN TEKNIK PARTISIONING SHG UKURAN MATRIKNYA HANYA 2X2



















4 . 16

6 . 2 6

. 6

4 . 17 8

. 6 6

. 21

2 . 6 6

. 9 4

. 10 6

. 21

05 . 1 2 . 4 2

. 4 2

. 4 15

. 3

6 . 3 3

6 . 3 12

0 9

) 10 ( 374 .

1 ⁶

simetri h





















 

























20 3

32 0

0 0 0

2 2

1 1

3

3 Wh

F

Wh F

F F

v u

y x

(54)

2 4

1

x

y CONTOH KASUS (2) - PR

Diketahui : v = 0.5 dan E = 30 x 10⁶ psi tebal h

3

1000 lb

1

2

(55)































1000 0 0 1000

2 2 1 1

y x y x

NF

F F F F

Q































4 4 3 3

0 0 0 0

v u v q u





























 8x 8

K

(56)

MEH Untuk 2D

56

(57)

MEH Untuk 2D

57

(58)

MEH Untuk 2D

58

(59)

MEH Untuk 2D

59

(60)

MEH Untuk 2D

60

(61)

MEH Untuk 2D

61

(62)

MEH Untuk 2D

62

(63)

MEH Untuk 2D

63

(64)

MEH Untuk 2D

64

(65)

MEH Untuk 2D

65

(66)

MEH Untuk 2D

66