Buku Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

(1)

l I

I

I .:I

I1.

t--

;,

' '

.':;i

I ,i:'

"_rr ^;

.-!'

. I '. --F.:

-%i_-.__

,ERPUSTAKAAN

iI JAWA TIMUR

'h

€

.n}

.*

:il*F

. .:- t /t

-t,-t '[4

t .* te

=*' i*

i,:4

q

ll

t1//

(2)

@

LPPil

Universitrs,ltisten PETRA Surabaya

'i

Pengantar

AI{AIISffi DII{AIIIIS DAI{ GEIIIPA

BenjaninLunantarna

Diterbi&an Atas Kerjasama

(3)

t

Oleh: Be4iomin Lumontarno

Hak Cipta @ 2000 Pda Penulis,

Dilarang memperbanyah *bagian atau seluruh isi buhu ini

dalam bentuh apapun, tanpa izin brtulis furi ^penulis.

Edisi Pettamo Cetahan Pettuma, 20(N

Cetahan l{edua, ²⁰⁰¹ Pencrbit:

I*mbaga Penelitian dan Pengabdian Kepada Masyarakot llnitsersitas Kristen PETRA Surabayo

don Al,lDI Jl.

tu

^88-40,

Tetp. (02?4) 561881 (Hunting), Fax (0274) 588282 Yogalcarto ⁵⁵²⁸¹

Percelaharu- AT{DI OFFSW

Jl.

b

^g8-40,

Telp. (02?0 561881 (Hunthw), fax (0274) 588282

Yog&araa ⁵⁵²⁸¹

Pcrpuctahoan N asional: Katalog Dolam Terbitan LUMANTARNA Beniamtn

Pengontar arwlisis dinamb dan gempa/knjamin Lumantorrw' ^8d.1.^Cet.2

-

Yogyakarto: Andi' 2001

uiii+ 108 hlm .; 16 r 23 cm.

Ditcrbithan atas herja soma lzmbaga Penelitan dan Pengobdian Kepada Masyarakat Uniuersitas Kristzn Petra Surabaya

ISBN: 979533-664.9

I.

^Judul

1. AI,IALISilS ^DINAIt'IIS

2. GEMPA

DDC'21:624.1762

FIAYffi T.a. zoo

T rATA

PEI|GAIT"AR

Buku ini

merupakan perkembangan

dari diktat kuliah

dasar-dasar Perencanaan

Bangunal

Tanah Gempa yang

dibirikan pada Fakuitas Teknik Jurusan Sipil

Universitas

Kristen

Petra sejak

tahun

1980.

Materi

dari buku ini

dibagi menjadi dua bagian besar, yaitu Analisis

Struktur

Secara Dinamis dan Dasar-dasar Perencanaan

Bangunan Terhadap

Gempa.

Bagian Pertama,

membicarakan dasar-dasar perhitungan

struktur

dengan pembebanan dinamis

baik

secara

eksak maupun

dengan

cara

pendekatan. Bagian Kedua membicarakan dasar-dasar perencernaan bangunan terhadap gempa dengan perhitungan secara dinamis.

Buku ini diharapkan dapat menjadi batu loncatan untuk

mempeiajari

analisis dinamis maupun

perencErnaan bangunan terhadap gempa secara lebih mendalam.

Surabaya,

April

1999 Benjamin Lumantarna

(4)

DAI'TAR ISI

KATA PENGANTAR DATTAR ISI

BAGIN{ PERTAMA

AT{ALISIS STRUKTUR SECARA DINAMIS 1.1 Pendahuluan

1.2 Idealisasi

Struktur

Dengan Massa Dan ^per 1.3

Struktur

Elastis Dengan Derajat Kebebasan Satu

1.3.1 Integrasi dengan Cara Numerik

1.3.2

Contoh Perhitungan dan Soal-soal l"atihan

1.3.3

Cara Numerik Lain

1.3.3.I Cara Percepatan dan Kecepatan Linier 1.3.3.2 Cara p dari New Mark

1.4

Struktur

Elastis Dengan Derajat Kebebasan Banyak 1.4.

I

Contoh Perhitungan

1.5 StruktuyElastoplastis Dengan Derajat Kebebasan Satu 1.5.

1

Contoh Perhitungan

1.6 Penyelesaian Analitis

Struktur

Elastis Tanpa Damping Dengan Derajat Kebebasan Satu

1.6.1

Getaran Bebas

1.6.1.1 Naturai Period 1.6. 1.2 Natural Frequency

1.6.2

Getaran Tak Bebas L.6.2.1 Beban Impuls

'

L.6.2.2 Beban Sebarang

1.6.3

Faktor Beban Dinamis 1.6.3. 1 Contoh Perhitungan

iii

v

I I

2 3 4 8 L2 L2 13 L4 16 20

2l

23 24 25 26 26 27 28 29 30

(5)

vr Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

1.6.4 Gerakan pada Pondasi

1..7 Penyelesaian Analitis

Struktur

^ElastisDengan Damping Dengan Derajat Kebebasan Satu

1.7.1 Getaran Bebas dengan Damping 1.7.1.1 Dua Akar Nyata, P

t I

1.7.1.2

DuaAkarlmajiner,9 . t

1.7.L.3 Satu

Akar

Nyata, ^p= ¹

1.7 .7.4 Karakteristik

Struktur

dengan Damping

1.7.2

Getatan Tak Bebas dengan Damping

1.7.3 Getaran Tak Bebas dengan Beban Harmonis 1.8 Penyelesaian Analitis

Struktur

Dengan Derajat

Kebebasan Banyak

1.8.1 Getaran Bebas

Struktur

dengan Derajat Kebebasan Dua

1.8.2 Getaran Bebas

Struktur

dengan Derajat Kebebasan Banyak

1.8.3 Natural Frequency dan Mode Shape 1.8.3.1 Cara Holzer

1.8.3.2 Cara Jacobi

1.8.4 Sifat Orthogonal Mode Shape 1.8.5 Persamaan Modal

1.8.6

Struktur

Berderajat Kebebasan Banyak dengan Damping

1.8.7 Gerakan pada Pondasi BAGIAI{ ITEDUA

DASAR PERTNCAT{AAN BAI{GI'NAN TERIIADAP GEUPA 2.1 Pendahuluan

2.1.1 Stmktur

Bumi dan Daerah Gempa

2.1.2

Istilah-istilah yang Banyak Digunakan 2.L.2.1 Seismograph

2.1.2.2 Seismogram

2.1.2.3 Focus atau Hypocenter dan Epicenter

2.1.3

Mekanisme Te{adinya Gempa

2.1.4

Ukuran Gempa 2.1.4.1 Magnitude 2.1.4.2 Energr

2.t.4.3Intensity

2.2 Perencanaan

2.2.1 Response Spectrum 2.2.2 Modal Analysis

37 38 40 47

4t

43 43 45 45 50 50 54 55 55 62 64 66 68 69 7L

7l

72 73 73 73 76 76 78 79 79 80 81 83 93

Daftar Isi

vlt

2.3flat-Hal

Yang Harus Diperhatikan Daram perencanaan DATTAR _PUSTAKA

APPEI$DIXS IITDEKS

'99

94 101 105

(6)

BAGIAN PERTAMA

N{ALISIS STRUKTI'R SECARA DINAMIS

l.l

PENDATIT'LUAII

Dalam

bagran

ini akan dibahas

dasar-dasar

analisis

dan perencanaarl

struktur terhadap beban dinamis, yaitu

suatu beban yang berubah-ubah sesuai dengan waktu.

Meskipun sebagian besar dari bangunan sipil dapat direnca-

nakan

dengan

baik

dengan memakai anggapan

bahwa

beban yang

dipikul

adalah suatu beban statis, nzunun ada beberapa hal

di manh perhitungan

secara

statis tidak dapat

dipergunakan.

Misainya:

Pembebanan akibat getaran mesin;

Pembebanan

akibat

beban bergerak, seperti beban yang ter-

jadi

akibat beban kendaraan yang bergerak pada jembatan;

Pembebanan impak, seperti akibat ledakan; dan Pembebanan akibat tedadinya gempa.

Sebenarnya

tidak

ada satu bebanpun yang

dat'at

dikatakan

statis,

kecuali

berat

sendiri. Namun demikian

jelas

bahwa bila perubahan beban

cukup

kecil (perlahan-lahan), maka efek dina-

mis tidak akan terjadi.

Dengan demikian beban tersebut dapat dianggap sebagai beban

statis.

Seperti

akan

dibicarakan lebih

lanjut

dalam bagian

lain buku ini,

ternyata bahwa

waktu

getar

(natural perioQ dari

bangunan

adalah suatu

parameter yang sangat penting. Besar atau kecilnya suatu perubahan pembebanan harus dibandingkan dengan

waktu

getar

untuk

menentukan apakah

suatu

pembebanan bersifat dinarnis

atau statis.

Wa}<tu a.

b.

c.

d.

(7)

Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

getar secara sederhana dapat didefinisikan sebagai

waktu

^yang

dibutuhkan

oleh suatu bangunan

untuk

melakukan

satu

siklus getararr.

Pembahasan analisis dinamis

dimulai

dengan idealisasi dari

struktur

yang kemudian

dilanjutkan

dengan pembahasar penyelesaian dengan menggunakan cara

numerik

(numerical analysi$.

Hal ini dilakukan

karena pada umumnya

tidak

ada

satu

beban dinamis

pun

yang dapat dinyatakan dalam

suatu bentuk

mate- matis yang sederhana sehingga dapat diselesaikan secara eksak.

Penyelesaian dengan cara

numerik ini

dibahas

terlebih

dahulu agar pembaca

tidak

tenggelam dalam

rumus-rumus

matematika sehingga kehilangan pengertian frsik dari persoalan yang dihada- pi. Dengan demikian pembaca diharapkan akan dapat merasakan

arti fisik dari

bermacam-macarn pembebanan

dan

merasakan perbedaan antara arralisis statis dan dinamis sedini mungkin sebelum menggumuli penyelesaian eksak yang lebih sulit.

1.2

IDE.ITLISASI STRUKTTIR DENGAI{ MASSA DAN PER

Pada umumnya

struktur-struktur

^yang

akan ditinjau

selalu dapat diidealisasikan sebagai hubungan massa dan

per

sebagai- mana dapat

dilihat

dalam Gambar 1. Gambar

l.a

menunjukkan suatu massa M yang diletakkan

di

atas suatu balok yang terletak

di

atas

dua buah

perletakan dan dibebani dengan

suatu

beban

dinamis F(t). Struktur ini dapat

diidealisasikan scbagai ^suatu sistem massa dan per yang mempunyai massa sebesar M _[kg]dan konstanta per sebesar

k

_[N/m]dengan beban F(t] _[N].Garnbar

l.b menur{ukkan suatu portal yang juga diidealisasikan

dengan massa dan ^per.

r t.l

(a)

(i)

Ganbrr

L.

Idalissi

^massadan

per ,tLT,Jqtfu,_& l-r

H*

^*1,

_

Konstanta per

k

dicari dari kekakuan

struktur

yang _bersang- kutan,

yaitu

dengan mencari besar gaya yang

dibuiuhfan untuk

menyebabkan pergeseran (dellectiorl _sebesar

satu satuan. cara

mencari konstanta

per ini akan

dibicarakan

lebih lanjut

dalam bagian lain buku ini.

cara

idealisasi

struktur

dengan massa

dan per ini tidak

dapat dipakai bila massa strulntur yang

ditinjau

terb-agi rata pada

seluruh struktur. untuk

mempelajari

anatisis ainimis untuk strulrtur

dengan massa yang merata, pembaca disarankan

untuk

mempelajari referenbi pada daftar pustaka [1, 2, ^3].

1.3 STRI'I(TUR

EL/ISrIS

DENGAII

DIRA'AT

XEBEBASAIY SIATU

struktur

dengan derajat kebebasan

satu

(srngy'e Degree

of

Freedom sJrtem, sDoF) adalah suatu

struktur y"ng trnya

dapat bergerak dalam satu arah sehingga kedudukan-dari-sistem _terse-

but

dapat ditentukan dengan menggunakan satu koordinat. Ke-

ldaan ini ditunjukkan

dalam Gambar 2

di

mana massa M hanya dapat bergerak datam arah vertikal (sumbu y).

Itt l rl

ll 1,,,,

(b)

1,,

lto

?

(a) (c)

Glnblr 2.

Sflrttktur elastis dengan der4iat kebebasan satu

(8)

Fengantar Analisis Dinamis dan Gempa

Persamaan

gerak

(yang merupakan. persamaan diferensial)

dari sistem ini dapat dicari

dengan menggunakan persamaan keseimbangan gaya sebagai berikut (gambar 26):

F(t)-ky=My

⁽¹⁾

Dalam persamaan di atas dua

titik

di atas

y

menyatakan

tu-

runan kedua da;r

y,

atau dalam hal

ini

adalah percepatan massa M dalam arah y.

Cara

lain untuk

mendapatkan persarnaan

1 di atas

ialah dengan menggunakan

prinsip

D'Alembert

untuk

keseimbangan

dinamis

_{Dynamic

Equilibriuml.

Dalam

prinsip ini pada

suatu massa yang bergerak diberikan suatu gaya imajiner yang berupa gaya inersia (inertia

forcd

sebesar

M y

dalam arah yang berlawanan dengan

arah

gerak. Problema tersebut

kemudian

dapat dipandang sebagai

suatu

^problema

statis

(Gambar 2.c). Dengan

demikian akan diperoleh persamaan gerak sistem

tersebut sebagai:

r(t)-t<'y-Mji=o

12)

Jelas bahwa persamaan 2 sama dengan persanaan 1.

Persamaan gerak

I

^dan

2

^yarrtgmerupakan persamaan diferensial, dalam haf-hal tertentu dapat diselesaikan secara anaiitis.

Namun demikian pada umumnya harus diselesaikan secara numerik, yaitu dengan menggunakan integrasi dengan cara numerik (Numerical Integration).

Berikut ini akan

dibahas penyelesaian persamaan diferensial dengan integrasi dengan cara, numerik.

1.3.1

Integrasi

^denganCara IitumerlL

Ada

bermacam-macam

cara yang dapat digunakan

dalam cara numerik

ini.

Secara umum penyelesaian dengan cara nume-

rik

menyelesaikan persamaan diferensial setapak

demi

setapak (step

by s/ep dimulai dari waktu t =

O

di

mana keadaan awal

(Initial

Condition$, perpindahan tempat dan percepatan biasanya

diketahui.

Dalam cara

ini kurun

walrtu yang

akan

diselesaikan

dibagi-bagi dalam suatu interval waktu tertentu,

6

t, untuk

kemudian diselesaikan secara

bertumt-turut dari

satu

waktu

ke walrtu berikutnya. Untuk bergerak dari waktu ke waktu

ini

dapat digunakan bermacam-macam anggapan. Dalam bagian

ini

akan dibahas suatu cara yang sangat sederhana,

yaitu

cara Kecepatan Tetap (Constaat Velocityl.

Analisis Struktur _secaraDinamis

.f-l 5 S+t

(a) (b)

Gambar

3.

Constant Velocity

Dalam cara Kecepatan Tetap

ini

dalam suatu interval _waktu

tertentu,

6

t,

kecepatan

y

_dianggap_tetap(konstan).

U"iut

mem_

pelajari _cara

ini

perhatikan

G;b;

3. Gambar 3.a menunjukkan hubungan antara perpindahan

-tempat,

y,

terhadap

waktu, t.

Se_

dangkan _Gambar

3.b

menunjukr<an

hlb;d;;;;';.rcepat_

an,

y

,

^terhadap

waktu, t.

Misalnya,

telah Ot *t

"l, yl,

^p.rpirr_

dahan tempat pada

waktu t =

ts

dan

ys_r, perpindahan _tempat pada walrtu

t

= ts-r maka percepatan

p"a" *.f*" ,

=

,"

Sr

", dapat diperoleh dari persamaan gerak (1,2) sebagai:

y" =(p(t") -rv(t"))lrra

₍₃₎

.

^Denganmenganggap bahwa kecepatan dalam suatu interval

walrtu

adal1h tetap

mala

perpindahan tempat

y

_dalam_intervar

waktu

tersebut merupakan

suatu fungsi rini"r l"hi"a; y

pada waktu

t

= tc+r dapat

ditulis

sebagai:

Ys+l =

y"

+

y", 6t g)

Di mana

y.,

adalah kecepatan rata-rata dari

t

₌te-r s4rlpai

t

= t":

y.,

₌

(I" -y"-r)7at+y" ot

_(s)

..

^.

r."r*"r,

memperhatikan persamaan

S,

persamaan

4

dapat diubah menjadi:

Ie+r =

2y" -Ir-r

^+y(Ot), ₍₆₎

(9)

Persamaan

6 bcrarti bila perpindatran tempat pada

^dua waktu yang benrrutan, yaitu ^padawakhr 1

-

tc, Y", dan waktu

t

= 1"-1,

y*i,

d1gh

diketahui,

perpindatran tempat yang berikutnya,

*aktu t

= L*r juga _daPatdicari.

Dengan demikian perpindatran terrpat dari sistem yang

ditin-

iau

dapit

dicari setapak demi setapak dengan menggunakan ^per-

-""*""r,

6 bila perpindahan tempat awal (initial displacemen4 dan satu perpjndahan tempat ^yangberikutnya telatr diketahui'

Dua cara

untuk

mendapatkan dua perpindahan tempat yang pertama akan dibahas berikut

ini.

Pada cara yang pertama, pada saat

t

= ^16,keadaan awal dapat

ditulis

^sebagai^berikut:

Yo-0

yo=0 l7l

jio

₌

F(o)lM

Karena percepatan dianggap tetap dalam satu intenral, maka:

yr

_{= 0.5}

ji" (at)'

⁽⁸⁾

Dalam cara yang kedua, percepatan dianggap bembah ^secara

linier

sampai at<trir dari interval yang pertama. Dengan demikian

bila

percepatan

awal yoadalah nol, yrdapat

diperoleh ^sebagai

berikut

^(LihatGambar ^4):

!i fl

Giaabar 4z Keadaan awal

i--""

dr

ⁱ

Analisis Struktur secara Dinamis

Dari

t

₌t6 sampai dengan

t

₌

tl, iift)= ii,(tlot)

Sedangkan:

y(t) = 115i(t)at

at

jir

₌

F(t)/nr

T =2n(naTrcp

Penurunan

rumus

tersebut

diatas

akan dibicarakan bagran lain buku ini.

Ketelitian _caraanarisis numerik sangat tergantung dari peng-

ambilan interval 6t. semakin kecil inierval v"rrg dpiur,

^-akan semakin

teliti

hasil perhitungannya. pemilihan _besarinterval

ini dapat dilakukan denga, cara

mencoba-coba

sampai

akhirnya didapatJ<an

hasilyang optimum. Biggs[l]

menganjurkan

untuk

memakai

intervat

6t sebesar sepersepulutr aari

natural

period., T, dari sistem yang ditinjau.

Natural period, T,

dari

suatu sistem _denganderajat kebebasan satu dapat dihitung sebagai berikut:

l ''

(e)

(10) Dengan mempergunakan batas-batas integrasi 0

dan 6t

dan memperhatikan persamaan

g,

_persamaan₁₀_dapatdiselesaikan sebagai:

Yt =L/6ji, (ot),

₍₁₁₎

Perhatikan bahwa persamaan 11 ini memerlukan

iterasi karena

f

, tergantung _padayr (persamaan _3).

-

Biggs[U penganggap

bila

beban dinamis yang diberikan F(t]

adalah nol pada

keadaan

awal, cara kedua nalus

digunakan karena percepatan awal

y6

adalah nol sehingga yr juga _nol._{Teta_}

pi

bila

kita

perhatikan _bahwainterval

waktu 6t

yang diperguna-

kan tentunya cukup kecil maka'kesalahan y*g it"r,

terjadi dengan menganggap yr adalah nol tidaklah terlalu 6erarti. Oenian T-g.uTe".B$ ^VanS^sama,iterasi dalam persamaan t

I juga dalat

dihindari bila:

lt2l

(13) dalam

(10)

MILIE

Badan PerPusnlaan

1.3.2 Contoh Perhltungan dan Soal-sod

Latlhan

Untuk mendalami lebih

lanjut

cara perhitungan numerik

ini,

akan dibahas suatu sistem elastis dengan derajat kebebasan satu yang mempunyai massa sebesar

2

kg dan kekakuan per sebesar 20O0

N/m

seperti terlihat dalam Gambar 5.a yang dibebani deng-

an

beban dinamis F(t) seperti

terlihat

dalam Gambar 5.b. Beban tersebut diberikan dari keadaan tidak bergerak.

(a) (b)

Gambar

6.

Contoh

Natural period sistem tersebut dapat diperoleh dari

rumus

13 sebesar

0.198 detik

^sehingga

interval waktu

5t

dipilih

sebesar

0,02 detik.

Karena sistem dalam keadaan

awal tidak

bergerak maka

untuk t -

0,0 detik,

y = 0,0 m dan untuk t =

0,02 detik (interval pertama),

y

dapat dicari dari

rumus 8

sebesar 0,005 m.

Selanjutnya dapat dicari percepatan pada

waktu t =

0,02 detik,

jir, dd rumus 3.

Setelah y, dicari maka perhitungan dapat di-

lanjutkan untuk

langkah berikutnya,

yaitu untuk t

= 0,04 ^detik.

Perpindahan

tempat untuk t = 0,04 detik, yz, dapat

dihitung dengan

rumus 6,

kemudian

dicari y2

Selanjutnya perhitungan

dapat dilakukan

setapak demi setapak sampai

waktu yang

di- kehendaki. Penyelesaian soal

ini

sampai

t = 0,34 detik

ditun-

jukkan

_dalam

Tabel 1 yang

secara grafrs

dapat dilihat

dalam Gambar

6.

Suatu ^programkomputer sederhana

untuk

menyelesaikan soal

ini

dapat dilihat dalam Apendiks I.

,, det

Analisis Stfuktur secara Dinamis

e.r O,Z

0.3

,, det

Gambar 6. Respons contoh

l

Dalam Gambar.

9,..gd"

^yangterpotong_potong menunjukkan

Troinqa6*

^tempat^bila^soar

terlebut di aLs aiseiesaita'

_secara

statis.

Perhatikan bahwa perpindahan tempat maksimum _yang terjadi bila diperhitungkan _seca.adinamis adaiah

r,s9 kali

lebih besar dari perpindahan maksimum yang terjadi bila diperhitung_

kan

secara

statis. I*"-"1

-g1ya

y;g iegaai.dalam i", ,rrrt t

keadaan

tinier

elastis adalah

ueruanalg r"*" a;G^J;.sarnya

ge-ry-ilaahan tempat

-"k1

^gaya^yang^terjadi^dalam

[er iuga

^i,SO kali lebih _besardari gaya ltuar)

siatistaksimum. reinatitan

puta bahwa setelah beban

menladi konstan maka

gaya

dalam

per berubah-ubah secara sinusoiaa-I.

.

^Gerakan^yang^terjadig3da massa sistem dinamis yang _{ditin_}

jau dapat dihitung dT- {li}"t

^denganmenggunakan _program Gempa ii yang dibuat oteh Raharjo

aai Stevanri

_[01.

perhitungan slatis _{= F/k}

(11)

10 Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

\o o

,

ts li

>r

aRiE EHEEs sEE:E EEE

Sqqe qqqqq :::q(.

o;dod dodcjcj 9?god dcict

N

:>r

33geE :EEge 3sEE3 BB

cjoog? q999d dddcjg 99

t-

o

,

tr L

rX

ooooQ qqqq! qqqa'1

sKsls qqq;N S$3*$

^qd?

o(f) \fto

^tt

>')

o o o

oooo 16++99,^ Q99o-

^torrl

.;Ri6 p$es"i $$T:; sR

s

Ot'.rOrOn

lO

l.f)c)olNC.l lorotolJ.)|o lolJ) N ^C-{e.l e-l e{ ^C-{^6I

toolr)oto

6r(Y)(Y)++

ooo

+J

aNt@O Oe{+rroO Oe.{+\99Q a!lt Yd666 =;;;; clc{oIe{e.t

^tocotf)

o;-;- ooocici ciocicro ooo

^o^o

i a

I

.o{)

F

({

Anaiisis Stmktur secara Dinamis

Soal-sod

Iatthan

1.

Sistem elastis dengan derajat kebebasan satu seperti _Gambar 7.a dibebani dengan bermacam-macarn beban seperti terlihat dalam Gambar 7.b sampai dengan 7.e. Carilah gerakan (resl ponse) sistem tersebut dengan menggunakan

cafa

numerik

untuk

bermacam-macarn variasi

dari t /T: O,l,

^0,2S,^{O,S, 1,0}

dan 2,0, dan

6t/T

sebesar 0,1 dan 0,2.

11

f O0O k9,/trt

*n, (b) 'oo\0",

(c) tr

(e) tr

Ganbar

7.

Untuk

sistem elastis seperti soal

I

tersebut gunakanlah _ber- macam-macam cara

untuk

mencari perpindatran tempat un-

tuk

interval yang pertamd, yr, kemudian bandingkanlah dengan hasil yang didapatkan dalam soal 1.

Suatu sistem elastis dengan derajat kebebasan satu diketahui mempunyai

natural

period sebesar

I

detik. Bila

untuk

pembebanan seperti

terlihat

daiam Gambar T.c.didapatkan perpindahan tempat statis maksimum sebesar

2

cm, tulislah persarnaan gerak sistem tersebut dan kemudian carilah gerakan sistem tersebut dengan menggunakan cara numerik.

(d) tr

F(t'l

/r

3.

(12)

t2 ^PengantarAnalisis Dinamis dan Gempa

1.3.3 Cara

Nunerlk Laln

Cara kecepatan konstan yang telah dibahas

di

atas merupa-

kan cara

sederhana yang

dapat

memberikan

hasil yang

cukup

baik

dengan memakai

interval waktu yang cukup kecil.

^Selain

cara

kecepatan

konstan tersebut masih terdapat banyak

^cara

numerik lain [1, 3, 7, 8]

yang dapat dipakai,

antara lain:

Cara percepatan dan kecepatan linier dan cara p Newmark.

1.3.3.1 Cara Percepatan dan Kecepatan

Llnler

Pada umumnya

bila

percepatan dianggap

linier

maka kece-

patan akan

dianggap

kuadratis (Lihat cara

percepatan

linier

dalam Daftar Pustaka, 1 dan 8). Dalam cara

ini

_17,^81,^meskipun

percepatan dianggap sebagai sesuatu yang

linier,

kecepatan juga tetap dianggap

linier,

sehingga hubungan antara percepatan dan kecepatan

dengan perpindahan tempat dalam suatu

interval

dapat diturunkan

^sebagai

berikut.

Perhatikan Gambar

8

^yang

dapat

dianggap sebagai grafrk

dari fungsi

percepatan maupun kecepatan terhadap

waktu.

Kecepatan pada

waktu tz, Yz,

^dapat diperoleh

dari

kecepatan pada

waktu tr,

Y

r, dan

^percepatan

pada intenral waktu tersebut sebagai:

jjz

=!tt+lydt

⁽¹⁴⁾

Bila percepatan dalam interval waktu 6t dianggap

linier

maka integrasi dalam persamaan 14

di

atas, yang merupakan

luas di bawatr fungsi yang diintegrasikan, dapat diganti

dengan

(i,z + 9r

\ tt

1Z ^sehingga^persamaan¹⁴^dapatdiganti meqiadi:

i'z =2(itt -f ,)/6t- ji,

Dengan menganggap bahwa kecepatan dalam interval waktu 6t linier, maka dengan cara yang _samaakan diperoleh:'

i'z =2(lz -vr)/6t-ir ''

(16)

Dengan menggunakan persamaan

15 dan 16,

persamaan gerak (2)

untuk t

= ^t2menghasilkan:

(+r"r(a0'*t)v,

_=+u7(ot)2

y, +2Ml(6t)y, *My, +F(tr)

Persamaan 17 menunjukkan bahwa y2

atau

_Yndapat diperoleh bila data sebelumnya yt atau ^yn-rdiketahui.

(1s)

(L7l

Analisis Stmkhrr slecara Dinamis

Cara

ini

dalam beberapa kasus tetah dibulrtikan memberikan hasil yang sangat baik _[7,81.

Gambar 8. Percepatan dan kecepatan

linier

1.3.3.2 Cara

0 dari

^l{ewmark

Cara yang dikembangkan oleh Newmark [1, 3, 8]

ini

dapat di- tuiiskan sebagai berikut:

y z =

yt

+ 6t

$,

⁺

9,)

lZaarr

yz =yt

^+6ty1

+(o.S-g)ji,

(ot)2 + gg,rz(at)2

Dalam persamaan di atas,

p

merupakan suatu variabel yang menyatakan variasi

dari

percepatan dalam suatu interval walrtu.

Newmark, daiam penelitian yarlg telah dilakukannya _[3],menyim-

pulkan

bahwa hasil yang terbaik dapat dicapai dengan memakai

p antara 1/6

sampai dengan

\/a

^dan

internal walrtu

6tantara

1/6

sampai

dengan 1/5 dari Natural

Period

yang

terpendek.

Penyelidikan

lebih lanjut menunjukkan bahwa p

_sebesar

I/6

merupakan cara percepatan

linier

(dan kecepatan kuadratis) _[3].

l3

(18).

I

(13)

t4 Pengantar Analisis Dinamis dan ^Gempa

1.4 Sf,RT'KTI'R ELITS}TIS DENGAI{ DERAJAT KEBEBASAN BAITYAK

Setelah mempelajari

stmktur

elastis dengan derajat kebebasan satu,

struktur

elastis dengan der4jat kebebasan banyak

(Multi

Degree of Freedom System, MDOF) adalah suatu ^perluasan^yang sederhana.

Untuk

mbmpela.jari hal

ini,

perhatikan suatu

struktur

elastis dengan derajat kebebasan dua seperti terlihat dalam Gam- bar 9. Persamaan gerak dari masing-masing massa dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan cara keseimbangan dinamis sebagai berikut:

nonffn,nu,,

n,

trVz-ntl lurn

tr I f.(tl

G.Eb.r 9, Stulrturelastis dengw deniat kebebasn 2

Mr

iir +kr yr -kr(yz-yr)-F, (t)=9

Mz _i,z

+kz $ z-yr)-

^Fz^(t)=^o

yang dalam bentuk matriks dapat

ditulis

sebagai berikut:

Ui+Ky-F-

0

(le)

(20)

F.ltl

Anaiisis Struktur secara Dinamis ₁₅

di mana:

![=

y?=

* =[(k, *kr) -ur1 L -kz kz')

r.

=(F,

(t) r, (t)) [M, ol

Io u,]'

(v,

^y_z),

Dalam persamaan'di atas dan selanjutnya,

huruf

yang dite-

lalkan

^merupakan

tanda matriks.

Matriks-kekakuan-

Kiapat

dicari dengan mudah dengan memakai definisi

dari

angka keka-

kuan

(perhatikan Gambar 10). Seperti

telah diketahui

elemen- elemen

dari matriks kekakuan K, krr, kv,

kzz

dan

seterusnya mempunyai

arti

sebagai berikut:

kii:

adalah gaya yang diperrukan pada massa

i untuk

memin- dahkan massa

i

sebanyak

satu

satuan

bila

semua _massa yang lain ditahan pada tempatnya masing_masing.

kii:

^adalah^gaya^yangdiperlukan

untuk

,rrenahan

,i"""" j

bila

massa i dipindahkan

sebanyak

satu satuan

sedangkan semua massa yang

lain ditahan

pada tempatnya maiing_

masing.

r

:kr *ke

lx'

H

H.

kr

z:-kz

kz r =-ka ^kzz=kz r2lt'l

Genbar lO. Menc*i

matriks ketrakuan

K

(14)

16

^PengantarAnalisis Dinamis dan ^Gempa

Dengan berpedoman pada definisi

ini

^maka

krr'

krz dan keka-

kuan.kekar.""or"i""vad.apatdicaridenganmudahsepertiterli-

hat dalam Gambar ^10.

Penyelesaian numerik ^persamaan

gera\

sistem dengan ^dera- 5at

teUeUa""t U"rty"t

^dapat^dengan^mudah

diturunkan

^dengan

mengikuti

"*.

^vuiig

did"U"" plda

sistem dengan derajat kebebasan

satu'

^'

Untukpenjetasanlebihlarrjut,perhatikancontohperhitung-

an di bawah ini.

1.4. 1 Contoh Perhituagan Fr(t) = 0

Fz(t) = 2o0 ^N

Mr=2kg Mz=1kB kr

= 400O

N/m

kz = 2000

N/m

Gambar

Lt.

Contoh

Perhatikan ^sist-emdinamis dengan derajat kebebasan dua se-

perti ^yang

terlihat p"a" C"*Uar 1I

^Dari

dlta

^yang

teriihat

^pada

Gambar S,

p"r""*^u','

geratt d'ari sistem dapat

ditulis

^sebagai:

Mi+Ky-r(t)

⁼

o Pl\

Fzltl

Analisis Stnrkarr secara Dinamis

di mana:

atau:

i=-K'y+F'

di mana:

l22l

:1

_

Persamaan 6 yang

diturunkan untuk

sistem dinamis dengan derajat kebebasan satu

juga berlaku untuk

kedua perpindahan tempat,

yr

dan yz Dengan demikian dalam bentuk matriks dapat

ditulis

sebagai berikut:

Ir+r

⁼²

!. -yr_r +r.

^(6t)2 (23l,

Periu diperhatikan di sini bahwa:

a.

Karena sistem

yang ditinjau

mempunyai derajat kebebasan dua maka periode sistem

ini

ada dua buah, yang dalam hat

ini

adalah 0,2 detik dan 0,1 detik, sehingga interval

waktu 6t

harus

diambil0,1

dari periode yang terkecil, yaitu 0,1*0,1 ₌O,O1

detik. Cara menghitung periode

untuk struktur

elastis d.engan dera,jat kebebasan banyak akan dibicarakan kemudian.

b.

^Untuk^yzr,karena adanya gaya pada M2, dapat dipakai rumus

8:

yzi

_{= 0.5}yro

(6t)'

_e4)

sedangkan

untuk yrr, karena

pada

waktu t = 0,

F(to)

=

^0,

maka dapat dipakai rumus:

t7

K =1ooo

l@*z\ -21

L -2 2J

y'=(yr yz)

" =[; :], f, =(O

^2OO),

rc

₌

M-r" =[T i],*.[_',

r

^=rooo

[3

^-

tl

L-2 2)

trF = M-r

" =r*

[?] eilm

(15)

yrr

₌

jirr

(ot)2

7o

⁽²⁵⁾

yang harus

diselesaikan secara

iterasi. Tetapi sekali

^lagi aitegaskan

di

sini,

bila 6t

diambil cukup ^kecil,meskipun memakai

rumus

^24,

di

^mana

yrr

_{= 0,}maka

tidak

akan terdapat perbedaan Yang besar

Dalam v'ariabel Yr dan _Yzrdi atas index pertama menunjukkan nomor massa. ^a-aninaex kedua menunjukkan nomor langkah.

Jadi yu

adalah perpindahan ^massa

no 1

^(Mr)pada langkah pertama,

t

= tr.

Hasil perhitungan

untuk

contoh ^soal

ini ditunjukkan

^dalam tabel

2, yatg

""c"ia

^grafis

ditunjukkan

datam Gambar

12'

Bila Gambar

iZ Eipertratitr,, lebih lanjut

^{maka akan}

terlihat

^bahwa perpindahan tempat

yr

dan yz trerubah-ubah dalam bentuk ^yang

[.ii"ir

Sinr4geffal aengas

plrioa" +

O.2 detik,

yaitu natural

^period ^yang

per.ta*"

liundamentat

peiod\.

Dengan demikian dapat alsimpuil<ar{ bahwa'mode'i'ang pertama (mode yang berhubungan

h""g"tt natural

period yang pertama) memberikan penganrh ter-

Lg;

^terhadap

p"rg"r"t

"t iati

"i"t"to

^yang

ditinjau.

^Hal

ini

akart dijelaskan teUitr-taqiut dalam bagran ^trainbuku

ini'

0.30

0.25

0.20

.0.r 5

\

0.to

o.o5

t, o.t0,.c

tz(fz-rtl.ar'3O3

11 (n).., c J!4

Cranbar L2, Simpangan ^massa

I

^(yildan massa 2 ^(yz)

Analisis Struktur secara Dinamis 19

€9Fat \O\O6l€c! q=!al,-o\

=\Ot*6tF 6\t o\\o6t€ tr6rh mo\FNF o\Fo\rj6 .i(a Q(IlI_-O 6st*m ci-rui+ a.{an6N6 o-

OOO- -iiiJ jJi:.; ;6Oci6 6o

ooooo ooooo <i<iooo da6a6 6a

t

lgsg 3s3e$:t€eh= =.,Q€\o rh

SqEI 9RHXX RERFR 9iEEE E:

odooo ooooo ooooo ooooo oo

c{

ta

:>N

E=!eE dcidd? gsEEE gEB=E 9"9?9 qg99g EEEEE goocjct I -

:>tC.l

FEEs; g66Sq qf 6EB r-eEs E

^:

E<) 6l

oRR$E g88SR 3f888 fiB9H-

^c',

-Gl 6tN6tNN N6ta!ma{ 6t=-

"3=E: gE3:E :::59 E5EgB

^\O^or

88

^O\

"+

N

?,o

:>

ooooo EEEE egEBs oo??? 3:gEE ggEEE

^g

999?o ooooo

o

rh

oesGp sRFST $;Sr$ sssR^

^6,

?'

oo o

cC)tsrrlq9 h€66th tO\r.i6 O\€o

-6FO orir<f+o oo=hr

^O.rORe

o8

at

ood'!ls RSENA RR:Eg BRr-^ r 6q88 385t9 e=3r= :ex=e 8F

ooooo dcjddd d<iooo cjcjcjdd d;

€g o oll

oe

..=

_[9

ll

*s }H

-!E

E*

6A h\-

xil ll

^>'

-+

a*

N .oc)

F

c,

(16)

Menarik

juga untuk

memperhatikan bahwa ^gaya

per

^yang

terjJiaJam"pi r;JA

2,67'L<attlebih besar dari gaya yang diberikan. Gaya

yangl"qi"ai a"Um

^per-2^adalah^1'53

kali

lebih besar.

Dari sini

^dapat

ail-Uif

kesimpulan ^bahwa^gayayang dlTm- bulkan ^karena

p"*U.UL"tt

yang diueAkarr ^secaratiba-tiba ^akan

i;i; ;bih G""i d;;t;

vane

Ie'jadi

^bilapembebanan diperhitungkan secara statis'

1.5 STRT'ITTTIR EI,A$TOPLASTIS DTNGAII DERA"IAT KEBF' BASAI{ SATU

Suatubatrandinamakanmempunyaisifatelastoplastisbila

diagram tegangan-regangan (atau gaya-simpangan) dapat ^digam-

barkan

seperti Cam6"t -13,b' Diagram ^gaya

simp3ttgl"

^tersebut menunjukkan bahwa sebelum m"ncapai Rm (disebut batas ^elas-

.ti.s),;;;

b"rsifat u"i"t

"r""1is, .sedangi<an.

selelal *:::T"i

^batas

elastis,

R-,

Per menjadi plastig aa1

ti{a} d"P"t l:lerima

^tam-

ffi;' g.y"'t"bit

lairjut.- Setelah plastisitas tercapai, ^gaya^yang

diberikan dikurant (aU"n'Ut'

unloading) sehingga.-simpangan

akan berku.*g 3""g* sifat linier-elastis. Perhatikan

^bahwa meskipun ^{g^yu'}

y*g iiU"ti5""

telah menjadi nol kembali' ^narnun masih akan terdap""t

"i""

simpangan yat'g

tia"t

d39at kembali ^ke

nol.

Unloading

ini

Japat ditatui<an

ierus

sampai tercapai ^batas elastis daiam arat, yat'g berlawanan'

-R-'

(a

(cI ' r.'ccrn

,i

Garnbar

Lg. Stutrtur

elastoplastis

Analisis Strukarr secara Dinamis

Perhatikan

struktur

dengan derajat kebebasan

satu

dengan

per yang

mempunyai

sifat

elastoplastis

seperti terlihat

dalam Gambar 13.a dan b. Bila

stmktur

tersebut dibebani dengan gaya dinamis maka persamaan gerak

struktur

tersebut dapat

ditulis

sebagai:

Mji+R-r(t)=e

_lz1l

di mana

untuk

R berlaku batasan-batasan sebagai berikut:

,I

i

1

lI {

i

II

I,

II

tit

21

R=ky R=R-

R=R--k(y--y)

untukOcycyer untukycl<y<yn

untuk (l^-2

ycr) ^<

y

^<yn (271

Dalam

rumus di

atas ycr adalah batas elastis sedangkan

R-

adalah gaya yang berhubungan dengan yer. Rumus ketiga dalam persamaan 27 menunjukkan persamaan garis yang menyatakan adanya pengurangan gaya dalam

per

setelah tercapainya batas elastis (unloading). Persamaan gerak 26 dapat diselesaikan secErra

numerik

dengan memperhatikan batasan-batasan

dalam

persamaan 27.

Untuk

mendalami lebih l,anjut, perhatikan contoh perhitungan di bawah ini.

1.5.1 Contoh

perhltungau

Misalkan dalam

sistem

yang terlihat dalam Gambar

13.0, massa M adalah 2 kg, kekakuan per 2O00

kN/m

sedangkan batas elastis,

R-,

adalah I

l0

N, maka ycr =

Ra/k

= 0.055 m dan persamaan gerak sistem tersebut dapat

ditulis

sebagai:

i

⁼^0.5^F(t)

-

^o.s^R

di mana:

0.5R=

10O0y

0.5R=55N

0.5R=55-1000(y--y)

(28)

Hasil perhitungan dengan menggunakan cara constant velocity

ditunjukkan

dalam Tabel 3, sedangkan gerakan massa ditun-

jukkan

_dalam_Gambar14. Grafrk a menunjukkan respons statis,

grafik b menunjukkan

respons

dinamis bila per bersifat linier

elastis (tidak ada batas elastis) sedangkan grafrk

c

menunjukkan respons dinamis bila per bersifat elastoplastis.

untukOcy<0.O55m i

untuk0.055trr<y<yo

untuk

^(yE

-

^O.1¹⁾

. y . y.

^\

(17)

22

^PengantarAnalisis Dinamis dan ^Gempa

YzR= 100q,, or 55

0 0.0050 0.0200 0.0410 0.0616 o.ox82 0.o928 0.1004 0.0960 0.0814 o.0624 0.0466 0.0403 0.0460 0.0615 0.0806 0.0957 0.1007 0.0100

o.0roo

0.0060 -o.oo04 -o.0616 -o.oo20 -0.0070 -0.0120 -0.0102 -0.0044 o.oo32 0.0095 0.0120 0.0098 0.0036 -0.0040 -0.0101 2s.o

25.O 15.0 -1.0 -10.0

-5.O -17.5 -30.0 -25.6 -11.O 8.0 23.8 30.

i

24.4 8.9 -to.2 -25.3 o

5.0 20.0

4r.0

55.O s5.0 55.0 55.0 50.6*

36.0*

17.0*

1.2"

-5.1*

0.6*

16.1*

35.2*

50.3*

25 30 35 40 45 50 37.5 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 o

o.a2 0.04 0.06 o:08

o.l0 o.r2

0.14 0.16 0.18 0.20 o.22 0.24 o.26 o.28 0.30 p.32 0.34

. _Y,_R

-

⁵⁵

-

1OOO(0.1004-Y).

Perhatikan bahwa dalam melakukan perhitungan- (Tabel ³⁾ selalu

harrs

diperhatikan batas-batas yang

aiUella1

^dalam^per-

sarnaan 28.

Milahya

pada saat

t

= 0,08

detik' 0'5

^R^telah^men-

""p"i or,o

^N,

hal ini tia"r. mungkin

^sehingga

ultlk- hasa 0'5

^R

i.?ii"

dipakai 55 N- Unloading

lada

^saat

t

=

0'16 detik'

^terlihat dengan

turunnya y dari

0,1064 menjadi

0,0960'

^Dengan^demi-

kiariuntuk

perumusan 0,5 R berlak-u perumusan ketiga'

Perhatikanpulabahwaresponselastismemberikansimpang- an ^yangtebih kecil tetapi memUeriXln ^gaya_PeJ

yTrg

lebih ^besar

a# ,"Ipons

elastoplasiis. Terlihat

jygi dari

Gambar 14 ^bahwa terjadi simpangan tetap ^sebesal

!. -

^Yct'

Analisis Stnrktur secara Dinamis

Gaabar

14. Contoh

3

!

1.6

PEI{Y'ELESAIAN

N|ALITIS

^gTRUKTURELASTTS TATPA DAMPING DDNGAN DENA.'AT I(IBEBASAN SA?U

Persamaan gerak

dari struktur

elastis dengan der4iat kebebasan satu telah

diturunkan

dalam pasal 1.3 sebagai:

P(t)-t y=My

(2e)

atau:

Mi;+ky=F(t)

⁽³⁰⁾

Persamaan 30 merupakan persamaan diferensial tingkat dua.

Penyelesaian umum persamaan 30

terdiri

dari penyelesaian komplementer (Complementary Solutionl

dan

penyelesaian

partikulir

(Particular Solutionl. Penyelesaian komplementer adalah penyelesaian persamaan homogen,

yaitu

penyelesaian

di mana

bagian

t

"\

?

23

Penyelesaian Elasto plaslis

R. _='110(c)

.5o07ee'

r.. '.--L--- \ vi

--- !.r-o!3'-

-T---T'----' ,. I

_'perubahan

\ j

benruk sratis

t, I

^=F/k(a)

0.r i0.2 /

^o.r

\ ,' t. det Penyetesaian

\ I

H:':',l3it, )'..-.i

(18)

kanan

dari

tanda sama dengan adalah sama dengan

nol.

Secara fisik keadaan

ini

dapat

diartikan

sebagai suatu gerakan yang ter-

jadi

tanpa adanya gaya

luar

(getaran bebas, Free Vibrationl.

1.6.1 Getaran Bebas

Persamaan gerak dari getaran bebas dapat diperoleh dari persarnaan 30 sebagai:

Mji+ky=Q

⁽³¹⁾

Penyelesaian persamaan 31

ini

dapat diperoleh sebagai [4, 5], y ₌cr

sin,f(f< /M)t

⁺^c2^cos

,f(t 7U)t '

(32) dengan memakai tanda:

.

= rf(r< ^I

rra)

⁽³³⁾

Persamaan 32 dapat

ditulis

sebagai:

y=cl

sinort+c2

cosot

⁽³⁴⁾

Dalam pers*lmaan 32 dan 34

di

^atas,cr, cz adalatr konstanta integrasi yang dapat diperoleh dari keadaan awal yang telah dike-

tahui. Bila

keadaan awal pada walctu

t ' 0

dinyatakan sebagai kecepatan

awal,

^j,o,dan perpindatran tempat awal, ^yo,konstanta integrasi cr dan ce dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut.

Pada

waktu t

= 0, perpindatran tempat awal, ^yodapat

ditulis

sebagai:

yo _=Grsino(O)+c, cosro(0) Sehingga didapatkan:

C2=]o

Sedangkan kecepatan awal dapat diperoleh dengan

dahulu menurunkan

persamaan

34 terhadap

waktu memperoleh persamaan kecepatan, yaitu:

jr=cr _ocos

ot-c2

rosin olt

sehingga

konstanta integrasi cr dapat

diperoleh, yaitu berikut:

(3s) terlebih

t untuk

(36) sebagai

Analisis Struktur secara Dinamis 25

Pada waktu

t

= 0, kecepatan awal,

io,

^dapat

ditulis

^sebagai:

y ₌cr o cos co (o)- c, ro sin ro (o)

c1 = yo

/co

(37)

Dengan menggunakan persamaan

35 dan 37,

penyelesaian getaran bebas (34) dapat ditutis sebagai:

y=yolosin

rot+yocosot (38)

Persamaan

38

merupakan penyelesaian komplementer dari penyelesaian

umum

persamaan

gerak struktur Lhstis

dengan derajat kebebasan satu (30).

1.6.1.1 Natural Perlod

Bentuk

getaran bebas yang

ditunjukkan dalam

persamaan

38

merupakan gerakan yang berbentuk sinusoidal.

Glrakan

se-

perti ini dinamakan gerakan harmonis yang

karakteristiknya ditentukan oleh besar amplitude dan

natuial p"rioa

gerakan tersebut.

-Dalam hal getaran bebas dengan perpindahan tempat awal

!1ja (Ca4bar

^15a)

maka besar amplitude yo,

sedangkan bila diberikan percepatan awal saja (Gambar 15b), maka besar ampli- tudenya adalah _!_o/ a

.

Natural period T adalah waktu yang _{dibu_}

tuhkan

untuk

menyelesaikan satu siklus gerakan harmonis secara lengkap.

(19)

Seperti

terlihat

dalam persamaan 38, besar amplitude tergan-

tung

kepada keadaan awal yang diberikan, tetapi

natural

period tergantung

dari

ro, seperti yang didefinisikan dalam ^persannaan

33, hanya tergantung pada karakteristik dari stmktur

^yang

ditinjau.

^Besaran^oltersebut

di

atas dinamakan

Natural

Circular Frequency.

o, =

rf(r.tvr)

[radldetik] ^(3e)

Besar natural period dapat diperoleh sebagai:

T=2n/o=zrrf(rralt) [detik]

⁽⁴⁰⁾

L.6.L.2 Natural Frequency

Natural

Frequency

f, didefinisikan

sebagai

kebalikan

dari Natural Period,

f =7/T =l/2xrf(tltt)

[cps, getaran per

detik]

⁽⁴¹⁾

Perhatikan dalam persarnaan 39,

40

dan

41

bahwa Natural Circular Frequency ro, Natural Period T dan Natural Frequency, f, adalah

karakteristik dari

sistem

yang tidak

tergantung kepada keadaan awal maupun pembebanan.

1.6.2 Getaran Tak Bebas

Getaran

tak

bebas {Forced Vibrationl

adaiah

^getaran^yang terjadi karena adanya beban

luar

F(t) sehingga persamaan gerak yang terjadi dapat

ditulis

sebagai persamaan 30:

My+kr=f(t)

⁽⁴²⁾

Bila keadaan awal dari ^getaran

tak

bebas

ini tidak

nol, maka penyelesaian persamaan 42 adalah penyeiesaian umum yang ter-

diri dari

penyelesaian

partikulir

dan penyelesaian komplementer.

Penyelesaian komplementer, seperti telah dijelaskan sebelumnya, adalah pehyelesaian getaran bebas. Bila keadaan awal dari getaran tak bebas

ini

nol maka penyelesaian persamaart 42 hanya ter-

diri

dari penyelesaian

partikulir.

Penyelesaian

partikulir untuk bentuk-bentuk tertentu

dari F(t), misalnya polynomial atau fungsi harmonis, dapat ^dipelajari dari

buku-buku

matematika [4, 5].

Untuk

dapat membahas cara

Analisis Stniktur Secara Dinamis

umum

memperoleh penyelesaian

partikulir,

sebelumnya akan

dibahas gerakan

(respons)

yang terjadi akibat

pembebanan impuls.

1.6.2.L Bebaa

Impuls

Impuls adalah suatu

gaya

yang

besar

yang terjadi

secara

tiba-tiba dan

berlangsung

dalam waktu yang sangat

pendek (Gambar 16). Beban impuls

ini

dapat didefinisikan ssgngai:

F=Fdr

₍₄₃₎

nlltttl

27

Giambar 16. Beban Impuls

BiIa suatu sistem yang dalam keadaan diam dibebani dengan beban

impuls,

setelah beban

impuls ini

bekerja, maka gerakan

yang terjadi

adalah getaran bebas. Dengan

demikian

gerakan yang terjadi dapat diperoleh sebagai:

o

y =y/rosinot+yo ^coso

t

_{441

I(arena beban

impuls diberikan dari

keadaan

diam

maka perpindahan tempat

awal

adalah yo

=

Or,sedangkan _kecepatan awal _!.odapat dicari dari beban impuls,

yditu

sebagai berikut:

jio

₌

F/M,

lrcrcepatan awal (4s)

(20)

Karena beban impuls hanya ^bekedasetrama dF patan awal dapat diperoleh ^sebagai:

j,o

=!idI=FdI/IvI

maka kece-

l47l

(4e) (46) yang dengan memperhatikan defrnisi impuls ^(a3)juea dapat ditulis sebagai:

j'o

=ilM

Dengan demikian gerakan yang terjadi dapa.t

ditulis

^sebagai:

y ₌

F/Mtosintot

⁽⁴⁸⁾

Bila beban impuls

baru

diberikan pada

walrtu t

=

f

^sedang-

kan

persamaan gerak

ditulis

terhadap refrensi

waktu t

=

0,

persarnaan 48 menjadi:

,

⁼

r(u

o)sin

(t-r))

1.6.2.2 Bebaa Sebaraag

Beban sebarang (Gambar 17) dapat dibagi-bagi menjadi ^bebe-

rapa beban imputs

sehingga penyelesaian

getaran tak

^bebas

a"irgat

^beban

s.uat"ng aapit

diselesaikan dengan menggunakan penyetesaian getaran akibat beban impuls ^(49)'

avurl

Gaabar

17. Beban

*banng

Analisis Struktur secara Dinamis

Ferhatikan sistem elastis

dengan

derajat

kebebasan satu

seperti terlihat dala:n Gambar 17. Sistem tersebut

dibebani dengan beban sebarang F(t)

= Fr f(t)

^(Gambar17).

Akibat

satu pias yang merupakan bagian F(t), sebesar

3=E f(f)af ,

^gerakan

yang terjadi dapat

ditulis

selagai:

dy ₌

i'r(uto)sin(ro(t-r))

(so)

atau:

dy ₌E r(rXr'a ro)sin (o{t -

r))ar

Respons terhadap beban sebarang secara keseluruhan dapat diperoleh dengan mengintegrasilcan persamaan 51:

y = IF, r(r)l(rra or)sin (a,(t

-r)ar

^(s2)

Bila didelinisikan

perpindahan

tempat statis (statis

deflec- tionl, yx, _adalah:

ys _=Fr

/k

_=Fr

/(r'M)

^(5g)

Persamaan gerakan (52) dapat diubah menjadi:

y ₌ysr or

Jr(r)sin (o*

-r)ar

Persamaan 54 di atas merupakan penyelesaian

partikulir

dari persamaan gerak

42,

sedangkan penyelesaian umum persamaan gerak tersebut merupakan gabungan

dari

penyelesaian komplementer (36) dengan penyelesaian

partikulir

(54).

y=iq

/ro sinot+yo cos

ot+y,,, Jf(f)rin(or(t-f))af

⁽⁵⁵⁾

1.6.3

Faktor

Beban

Diaanis

(Dyaamtc Load Factor, DLF)

Biggs [1]

mendefinisikan

Faktor

Beban

Dinamis

(Dynamic Iaad Factor, DLF) sebagai perbandingan antara perpindahan tempat dinamis pada suatu waktu terhadap perpindahan tempat sta-

tis akibat

suatu beban referensi, Fr, yang dipakai

untuk

menyatakan besar suatu pembebanan dinamis _{F(t) =}Fr f(t).

Jadi

dynamic load factor dapat

ditulis

sebagai:

DLF= yly"t =y/(Fr/k)=kylFr

⁽⁵⁶⁾

$I

*

; t

l

I

T

29

(su

(s4)

(21)

Dari definisi

di

atas tampak bahwa DLF adalah suatu besaran yang tidak mempunyai dimensi dan menyatakan gerakan yang al<an terjadi

bila

suatu sistem dibebani dengan suatu bentuk beban tertentu (tidak tergantung dari besar beban yang diberikan).

f .6.3.

I

^Contoh

Pcrhltua3la

Perhatikan sistem elastis dengan derajat kebebasan satu ^seperti

terlihat

dalam Gambar

l8a

yang dibebani dengan suatu ^be- Lan segitiga sepcrti

terlihat

pada Gambar 18b

dari

keadaan awal diam.

lrrttl

Ganber l.t.

Bcban Segitiga

Beban segitiga tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

F(t)

-

Fr f(t),

dimana:

^f(t;

=1-tltd, untuk0<t<td (t) =0, untukt>td

Respons sistem tersebut terhadap pembebanan kan dapat diperoleh dengan mempergunakan 55.

(s7)

yang diberi-

Untuk

^O^<

t

^<^ta,^dimana keadaan awal yo

= 0 dan

Yo Per- samaan 55 menghasilkan:

y ₌

ysr,

flt

-rl

^to^)sin^(o(t

-r)ar

^(s8)

Persamaan 58 dapat diselesaikan dengan menggunakan ^cara Integration by Parts _[TaylorJ:

H @

lo L*t4

(b) Fl

(a)

Analisis.Struktur secara Dinamis

i

I

ll

ir

31

y ₌ys

, J-(r-rto

_)/ro^sin^(r(r

-r)a

^(r_-r)a{ro(t

-r)}

y ₌

yst,

(r -

r

^I^tu_)lo cos (co(t -

r))* j(-

r t,o )/ ^ro^{cos (ro(t}^-

r))ar

y ₌yst (t -

rto

_)cos(o(t -

r))-

t r(to ro) sin (o(t - r))

) ]i

Memperhatikan

bahwa hasil integrasi di atas

mempunyai batas integrasi

f

= O dan

t,

maka akan didapatkan bahwa:

y=yst

(t-cosrot)+l/tu (rin.t)lor-t))

(S9)

atau:

DLF= 1-cos61+ (sinolt)/ <o.tr-t/to

⁽⁶⁰⁾

Untuk t )

^to, gerakan yang terjadi adalah gerakan bebas. Ke- adaan awal

untuk

bagian gerakan

ini

dapat diperoleh

dari

^persamaan 59, dengan memakai

t

= t6 sebagai berikut:

yo ₌yst (sin or tu )l(ro ^t6)-cos ^o^t6)

i

⁼^y,,{osin ^co^tu^+(cos^co^to)lto

-tlto

}

Oleh sebab

itu

dengan menggunakan persamaan 61, respons sistem setelah

t

2

t6

dapat diperoleh

dari

persamaan

44,

yaitu sebagai:

y ₌yst l(ol to ){sin ^cu^t*sin _o_(t-td

}-yst

^cos^o^r

atau:

DLF ₌1 i(or to Xrino: ^t-sin ^o^(t-to )-cos ^ol^t

Gambar 19.a, 19.b

dan

19.c menunjukkan respons dinamis

suatu

sistem

elastis

dengan

derqjat

kebebasan

satu

terhadap pembebanan

berbentuk

segiempat

dan

segitiga. Terlihat _.dalam gambar

tersebut bahwa

besarnya

dynamic load factor

sangat

tergantung

kepada perbandingan

antara larna

pembebanan ta

(atau periode

pembebanan)

terhadap periode dari sistem

T.

Gambar 19.d

menunjukk4n

pengaruh

cara

pemberian (penam- bahan) beban

untuk

mencapai suatu beban tetap. Terlihat dalam Gambar 19.d, respons sistem sangat tergantung kepada perbandingan lama pembebanan

untuk

mencapai suatu beban tetap tertentu, tr, terhadap periode sistem T.

(61)

(62)

(63)

(22)

32 Pengantar Analisis Dinamis dan ^Gempa Analisis S.tiukhrr secara Dinamis

2

I

(d)

Ganbar

L9. Respons dinamis SDOF terhadap beberapa macam gaya

33

(23)

rt

E u-

)

-

o ^'t.4

G'arnbar

2L.

DLF

untuk

beban tetap dengan kenaikan beban

dari nol

lra= waktu te0adi respons max

Analisis Struktur $ecara Dinamis

Gambar 20.a menuqjukkan dynamic ioad factor maksimum

untuk

beban berbentuk segitiga dengan puncak pada

t

=

0

dan persegi terhadap perbandingan antara ta dan T, sedangkan _Gam-

bar 20.b menunjukkan kapan

dicapainya

dynamic load

factor

maximum

tersebut,

t-.

Gambar 21 menunjukkan besar dinamic load factor maksimum

untuk

beban segitiga dengan puncak yang tercapai pada

waktu t =

^Yet6, terhadap

pJrbanding*

_{dari waktu} pem-berian _beban

td

terhadap periode T dari sistem. Ditunjukkan pula waktu dicapainya DLF maksimum ter$ebut,

t-.

Gambar

21.c dan 2l.d menunjukkan dinamic load

factor maksimum

untuk

beban tetap

yang dapat

dicapai dengan _me- nambah beban. Dalam Gambar 22.a tampak bahwa efek dinamis dapat dihilangkan

bila

penarnbahan beban diberikan sedemikian

rupa

sehingga

waktu yang diperlukan untuk

mencapai beban tetap, tr, sama dengan periode sistem T.

-

^Persamaan^gefakan

dari

^sistem^elastis^dengan^derajat^kebe-

basan satu yang

tilah

dianalisis datam bagian lain

buku ini

maupun -gerakan yang

ditunjukkan

dalam Gambar 19 memperlihat- kan bahwa setelah beban yang diberikan berhenti bekeq'a ternya-

ta

gerakan

tidak

berhenti

dan

tetap berlangsung

tanpa

ada pengurangan amplitude.

Tentu

saja dalam kenyataannya _keadaan

ini tidak terjadi

karena dalam keadaan yang sebenarnya dapat diharapkan bahwa sernua gerakan bebas pada

suatu

saat akan

berhenti. Tahanan terhadap gerakan ini dinamakan

Damping yang akan dibahas dalam bagran lain buku ini.

1.6.4 Gerakan pada Pondasi

Suatu struktur yang digerakkan pada

pondasinya _seperti terlihat dalam Gambar 22.a dapat diidealisasikan dalam susunan massa dan per seperti diperlihatkan daiam Gambar 22.b.

37

x. 9artbn toLt

i I

K(z-x-) I -fMx

IH _L'J ^I

Frx

s oc 6 o

Oerakan bman

{b)

Gambar

22.

Gerakan pada pondasi

(24)

38 Pengantar Analisis Dinarnis dan Gempa

Bila gerakan pada pondasi dinyatakan sebagai _Yodan gerak-

an

^pada^rnassa

M

dinyatakan sebagai

yr

maka dengan menggu-

nakan prinsip

dinamic

equilibriurn dari

D'Alembert, persamaan gerak sistem tersebut dapat

diturunkan

^sebagai^berikut:

Miir+k(y,-yo)=0 F4l

,

Perhatikatr bahwa

untuk

^gaya

inertia harus

dipergunakan percepatan

absolut pada

^massa

yang ditinjau, yr,

sedangkan

untuk

gaya perlawanan

dari

^permenggunakan seUsih antara ^ge-

rakan

pada massa,

yr,

dengan gerakan

pada

pondasi, yo. Bila gerakan relative

dari

^massaterhadap ^gerakanpondasi,

$r -

^Yo)'

dinyatakan ^sebagaiy, maka:

Y=Yr-Yo jr=ji-jio,dan iir =ii+iio

(6s)

Dengan demikian persamaan gerak 64 berubah menjadi:.

M6r*jio)*kY=0,atau

Mi+ky=-Miio

⁽⁶⁶⁾

Perhatikan bahwa persamaan

gerak ini (66)

^sama^dengan

persamaan

gerak getaran tak bebas (42), dengan gaya

^pada

massa M, F(tj, sebesar ^(-tutVo).

1"7

PET{T'ELESAIAI{ AT{ALITIS

STRUKTI'R

ELASTIS ^DENGAN DAUPIT{G DEITGAN

DTRA'Af

I{EBEBASAN SATU

Damping adalah

suatu

besaran

yang

rnenyatakan ^tahanan terhadap gerakan

pada suatu sistem dinamis dan

^merupakan salah

satu sifat fisik dari

sistem tersebut.

Biia

besar

sifat lisik

yang

lain,

^{massa dan}^kekakuan,

relatif

dapat dengan mudah di-

t*i, A" ping yang

rnerupakan mekanisme penyerapan energi sangat

sulit

dimengerti

dan

didapatkan. Besarnya damping

ini

biasanya dinyatakan dalam presentasi

dari suatu

besaran ^yang

dinamakan Critical

^Damping,

yaitu besar

damping

yang

akan menyebabkan hilangnya getaran. ^Ha1

ini

akan dibahas lebih lan-

jut

dalam bagran

iain buku ini.

Besarnya damping

ini

tergantung dari berbagai macam hal.

Analisis SE:ukhrr sec,ara Dinamis

Macem domping yang diketahui ^ielah:

1.

tuictional (Couloab) Damping

Frictional damping terjadi karena adanya

gesekan

i

^dari

permukaan dua buah benda yang bergerak.

2.

Viscous Damping

Viscous damping terjadi karena adanya gerakan dalam udara atau cairan.

3.

Internal Friction

Damping

ini terjadi

karena adanya geseran

antara

molekul- molekul dari bahan

Secara matematik damping dapat dinyatakan dengan rumus:

n ₌

c(x)'

(64)

Besar pangkat

n ditentukan untuk

bermacam-macam _dam- ping sebagai:

Frictional

Damping,

n ₌O

;

^D= c Viscous

Damping,

n ₌1

; D=cx

Internal

Friction,

n ₌

2;

^O

=. (*)

(65) Perhitungan sistem

dinamis suatu struktur

biasanya hanya memakai viscous damping, persarnaan

65 b.

Dalam idealisasi, strukhrr viscous damping

ini

biasanya digambarx.au* sebagai das&

paf seperti terlihat dafam Gambar 23.

GaEbar 23.

Stukur

dengan damplng

Dengan memperhatikan damping, pe'rsamaan

gerak

sistem

elastis

dengan derajat

kebeban satu dapat diperoleh

dengan menggunakan cara d5mamic equilibrium D,Alembert, yaitu:

39

f (tl

(25)

Pengantar Analisis O4glq9g31 C"

My+ci+ky=F(t)

⁽⁶⁶⁾

Penyelesaian persamaan

ini

dapat diperoleh dengan menyele-

saikan

persamaan homogen (getaran ^bebas)

yang

merypakan

p""v"i"J"ian

komplementer serta mencari penyelesaian

partikulir

yaog m"menuhi persarnaatl di atas' 1.7.1 Gctetaa

iebas

dcngaa Damplng

Persamaan gerak

dari

getaran beban dengan damping ^dapat diperoleh

dari firsamaan

^OOdengan mengganti F(t) dengan nol schirrgga menjadi:

MY+c

j'+kY=g

atau:

..ck^

v+;Y+;Y=v

yang dapat diubah lebih

lanjut

^menjadi:

1i+2Ptoo

i+or2

^Y=6

di mana:

f=*ffi

^dan,

rro

=*/@)

⁽⁷⁰¹

Persamaan lraralrteristik dari persamaan 69 adalah:

7 + 2proo1* oo2 =0 (71)

Persaraaan 71 mempakan ^persamaankuadrat dalam yang ^mempunyai akar-akar:

'h.r

= -F(Dn

*." /${i)

^172l

'(67)

(68)

(6e)

PenyelesaianPersamaan6gtergantungdari'sifatakar-akar

p"r"*""t karakteristik,

^persamaaa

72,

sedan