Chapter 4 Constrained optimization

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Analysis and Linear Algebra for Finance: Part II Constrained optimization

 

 

          

           

          



           

         

           

             

         

           

      ^

          

          

          



         

              

                 

                  

         



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Constrained optimization

    

           

     

      



           

           

         

    

  

           ^   

          

          

            

          

 

    

_ _ 

    

  ^

          

                 

         

            

       

(3)

       

            

           

   



 

           

           

          

        

      ^_ ^_^_ ^_  

   ^_     ^_     

     

           

         ^_       



^^_  



^_ ^_ ^^_



^_ ^_ 

      

^^_ 



^



^ 

     ^^_       

 

^



^ 



^



^ 

   





^



^

(4)

140

    

 





^ 



^   





^ 



^   

         

            



    

           

 

   

         

             

  ^         

^     ^  

          

              

            

         

 ^  

   ^

^ ^    ^      

(5)

       

          ^ ^  





^ ^  



^^ 



^  





^ ^  



^^ 



^  



^ ^ ^  ^  

    ^        

             

             

           

        

  ^         

         ^  ^ 



_ ^ ^  

_ ^^ 

_ ^  

  

       ^    

           

         

 

             

           

           

          

      

  ^ ^          

   

(6)

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142

    

 ^ ^  

    _^ ^   

         

_^ ^           

           

        _      

       _         

       

        

_ 





 _^_ ^

_^_ ^ ^_^^

 ^^^_^^

 ^





 



^





         

             

 _^ ^

           

             

         _^     _^

     

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(7)

       

         

     

^   



   

     

      

     



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^^  





^^_  

_^__^_  

      



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^_

^_ ^  





^_

^_ ^  

^_^_  

            

       

        _    _    

(8)

144

    

  

^_

^_  

 

^_ ^_  

  ^_  ^_  ^_  ^_

            

 ^_  ^_            

           

      

^  



^_

^_ 

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  

    ^  



  ^_  

             

   

    

   ^_  

  ^_  

  ^_ ^_ 



  

  

      

    ^_  

  ^_  

  ^_ ^_ 



  

  

            

             

          

              

             

         

(9)

      

           

            

     

            

   

_^ ^ 





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  

 _^

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__

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

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

^_^_ _^

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^_

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





    

_^ ^  





 ^

^_

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^_^

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^_^

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 

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

^_^_^



    ^      



         

    ^       

^            

       

       



        _  _ 

       ^        

(10)

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146

    

           

  

        

          

 

   





 

         

         

    

(11)

      

   

 

            

    

   ^         

        ^       

   ^

  ^ ^            ^

 





^





^_



^       

 ^        

          

           

   

   

_ _ _  _

              

             

     _  _       

     

 











   















      _   _

(12)

148

    

           

       

         

         

            

         

            

        

        

  

          

           

             

          

        

 _          

  _   

_ 







  _^^_  _^^_  ^_^_ 

  _^^_  _^^

  ^_^

 

_^^_  ^_^_  ^_^^

  _^^^

  _^^^

 

_^^_  ^_^_  _^^^

  ^_^^

  _^^^

 

_^^_  ^_^_  _^_^_^_  _^_^_^_  ^_^^

 









  _^

 



         

           

            

 

  _        

(13)

      

           

           

   _       

           

    

  ^       

      ^

       ^  ^ ^  

          _^ ^ 

              

            

 

  ^       

      ^

       ^  ^ ^  

       _^ ^     

^

            

 

   

          

          

            

           

 

(14)

150

    

            ^  

             

   

             

   

       



  

          

           

       ^    

   



       

    



            

        

           

            



           

   ^          

            

  _^  _       

(15)

      

  ^      

  

        ^  ^  

          

   _       

  _^  _        

 ^       

  

          ^  

           

          

            

             

          

            

^             

 ^       ^   

             

     

     





  





_

 ^      ^  ^_  ^_  ^  ^_  ^_

            

               

              

 

(16)

152

    



_          

_         

     _     

          

_    

   

   ^            

         ^     

     ^_  ^_ ^_  ^_   

 

^





^_^





^_^  

    ^_^  

     ^_ 

     ^_        

            

           ^

             

  ^_        

             

          

     ^_

(17)

      

      



             

    _      

     

            

_         ^    

        

              

        ^_   

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