Contoh soal markov chain compress

(1)

Sua

Suatu tu survsurvei ei dildilakuakukan kan di di sebsebuah uah wilwilayaayah h di di kotkota a JakJakartaarta. . DikDiketaetahui hui bahbahwawa wilayah tersebut terdiri dari 1000 keluarga. Dari survei tersebut, diperoleh data wilayah tersebut terdiri dari 1000 keluarga. Dari survei tersebut, diperoleh data bahwa

bahwa 600 600 keluarga keluarga merupakan merupakan pelanggan pelanggan toserba toserba ‘Serba’ ‘Serba’ dan dan 00 00 keluargakeluarga merupakan pelanggan toserba ‘!da’. "ada bulan itu, diketahui bahwa #

merupakan pelanggan toserba ‘!da’. "ada bulan itu, diketahui bahwa #

•

• Dari 600 keluarga pelanggan toserba ‘Serba’ diperoleh data bahwaDari 600 keluarga pelanggan toserba ‘Serba’ diperoleh data bahwa

0

00 0 kekelualuargrga a tettetap ap beberbrbelaelan$n$a a di di totoserserba ba ‘S‘Sererbaba’ ’ dadan n %0%00 0 lailainnnnyaya berbelan$a di toserba ‘!da’.

berbelan$a di toserba ‘!da’.

•

• Dari 00 keluarga pelanggan toserba ‘!da’ dinyatakan bahwa 1&0Dari 00 keluarga pelanggan toserba ‘!da’ dinyatakan bahwa 1&0 ke

keluluararga ga tettetap ap beberbrbelaelan$n$a a di di totoserserba ba ‘!‘!dada’. ’. SeSedadang ng %&%&0 0 lailainnnnyaya berbelan$a di toserba ‘Serba’.

berbelan$a di toserba ‘Serba’.

'itunglah # 'itunglah #

1.

1. (a(atrtrikiks ps prorobababibilitlitas as tratransnsisisi ui untntuk uk pepermrmasaasalalahahan n di di atatas)as)

%.

%. "r"robobababiliilitatas uns untutuk tok toko *ko *SeSerbrba+ da+ dan *an *!d!da+ pa+ padada bua bulalan ken ketitiga aga apapabibilala pada

pada bulan bulan pertama pertama keluarga keluarga tersebut tersebut memilih memilih untuk untuk berbelan$a berbelan$a di di tokotoko

*Serba+

.

. "r"robobababiliilitatas uns untutuk tok toko *ko *SeSerbrba+ da+ dan *an *!d!da+ pa+ padada bua bulalan ken ketitiga aga apapabibilala pada

pada bulan bulan pertama pertama keluarga keluarga tersebut tersebut memilih memilih untuk untuk berbelan$a berbelan$a di di tokotoko

*!da+

.

. -i-ilalai pri probobababililititas pas pelelananggggan dan dalalam kam keaeadadaan tan tetetapap))

&

&.. JuJummlalah h peperkrkiriraaaan n pepelalangnggagan n ddalalam am $a$angngka ka papann$a$anng g ununtutuk k mmasasiningg

masing toserba tersebut) masing toserba tersebut)

Jawab:

a.

a. /a/angngkakah h pepertartama ma yayang ng peperlrlu u didilalakukukakan n ununtutuk k memenynyeleelesaisaikan kan selselururuhuh pertanyaan

pertanyaan di di atas atas adalah adalah dengan dengan menentukan matrmenentukan matriks iks transisi transisi untuk menghitunguntuk menghitung nilai probabilitas

nilai probabilitas

•

• "r"robobababiliilitatas s bubulalan n pepertrtama ama *S*Serberba+ a+ dadan n bubulalan n kekedudua a *S*Sererbaba+ + 

00600  0.662

•

• "robabilitas bulan pertama *Serba+ dan bulan kedua *!da+  %00600"robabilitas bulan pertama *Serba+ dan bulan kedua *!da+  %00600

 0.

•

• "robabilitas bulan pertama *!da+ dan bulan kedua *Serba+  %&000"robabilitas bulan pertama *!da+ dan bulan kedua *Serba+  %&000

 0.6%&

•

• "robabilitas bulan pertama *!da+ dan bulan kedua *Serba+  1&000"robabilitas bulan pertama *!da+ dan bulan kedua *Serba+  1&000

 0.2&

Sehingga matriks transisi yang diperoleh adalah#

(2)

3eterangan#

4aris pertama kolom pertama # 4ulan pertama *Serba+, bulan kedua *Serba+

4aris pertama kolom kedua # 4ulan pertama *Serba+, bulan kedua *!da+

4aris kedua kolom pertama # 4ulan pertama *!da+, bulan kedua *Serba+

4aris kedua kolom kedua # 4ulan pertama *!da+, bulan kedua *!da+

b. !pabila pada bulan pertama, keluarga tersebut memilih untuk berbelan$a di toko *Serba+ artinya keluarga tersebut pasti memilih untuk berbelan$a di toko

*Serba+, $adi probabilitas keluarga tersebut datang ke toserba *Serba+ adalah 1, dan probabilitas keluarga tersebut datang ke toserba *!da+ adalah 0.

Sehingga matriks probabilitas untuk bulan pertama adalah 5 1 0

!pabila dilakukan perkalian antara matriks probabilitas pada bulan pertama dengan matriks transisi pada kasus ini maka akan diperoleh data#

"robabilitas pada bulan kedua yang diperoleh memiliki nilai yang sama dengan matriks transisi pada baris pertama. 7entu sa$a demikian, karena perhitungan yang dilakukan adalah matriks pada bulan pertama dengan matriks transisi yang dibentuk dari data probabilitas pada bulan kedua.

(3)

3emudian, untuk menghitung probabilitas pada bulan ketiga adalah dengan mengoperasikan perkalian matriks antara matriks probabilitas bulan kedua dengan matriks transisinya. Sehingga diperoleh#

Jadi diperoleh probabilitas bulan ketiga, apabila pada bulan pertama memilih di toko *Serba+, untuk toserba *Serba+ adalah 0.6&, dan toserba *!da+ adalah 0.2.

NB: Ingat bahwa jumlah probabilitasnya harus selalu satu (1)

8. !pabila pada bulan pertama, keluarga tersebut me milih untuk berbelan$a di toko

*!da+ artinya keluarga tersebut pasti memilih untuk berbelan$a di toko *!da+, $adi probabilitas keluarga tersebut datang ke toserba *!da+ adalah 1, dan probabilitas keluarga tersebut datang ke toserba *Serba+ adalah 0.

Sehingga matriks probabilitas untuk bulan pertama adalah# 51 0

!pabila dilakukan perkalian antara matriks probabilitas pada bulan pertama dengan matriks transisi pada kasus ini maka akan diperoleh data#

(4)

Sedangkan untuk probabilitas bulan ketiga#

Jadi diperoleh probabilitas bulan ketiga, apabila pada bulan pertama memilih di toko *!da+, untuk toserba *Serba+ adalah 0.6&1, dan toserba *!da+ adalah 0.9

d. (enghitung probabilitas keadaan tetap bisa dilakukan dengan melakukan operasi perhitungan persamaan sebagai berikut#

"ersamaan 1#

"ersamaan %#

3arena $umlah probabilitas adalah satu maka "ersamaan #

Dari ketiga persamaan tersebut, kita substitusikan sehingga nilai probabilitas S dan ! akan diperoleh. "robabilitas yang kita peroleh itulah yang merupakan probabilitas keadaan tetap.

Dari persamaan , maka bisa dikonversikan men$adi

(5)

Substitusikan ke persamaan 1#

Substitusikan hasil nilai S tersebut ke dalam persamaan %#

Jadi probabilitas keadaan tetap :steady state; nya adalah#

7oserba *Serba+  0.6&%

7oserba *!da+  0.<

e. Jumlah perkiraan pelanggan dalam $angka pan$ang bisa dihitung dengan mengalikan probabilitas keadaan tetap dengan $umlah total pelanggannya

7oserba *Serba+  0.6&% = 1000  6&% pelanggan 7oserba *!da+  0.< = 1000  < pelanggan