Persamaan
Diferensial Biasa
Dr. Noverina Alfiany
Department of Mathematics and Data Science
OUTLINE
02 03 Next
Pendahuluan PDB Definisi dan Klasifikasi PDB
Metode
Penyelesaian PDB
01
Kontrak
Perkuliahan
Kontrak
Perkuliahan
Science is a Differential Equation.
Religion is a Boundary Condition –
Alan M. Turing
Kontrak Perkuliahan
• Perkuliahan dilaksanakan secara offline pada jadwal dan ruangan yang ada pada jadwal perkuliahan.
• Aturan keterlambatan:
1. Mahasiswa diharuskan hadir 5 menit sebelum dosen memasuki ruangan perkuliahan.
2. Jika mahasiswa 5≤𝑡𝑒𝑟𝑙𝑎𝑚𝑏𝑎𝑡≤15 maka mahasiswa diperbolehkan memasuki kelas apabila telah diberikan izin oleh dosen pengampu.
3. Jika mahasiswa 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑎𝑚𝑏𝑎𝑡>15 maka mahasiswa tidak diperbolehkan memasuki kelas dan dianggap tidak hadir pada hari tersebut.
• Mahasiwa dapat mengikuti Ujian Akhir Semester (UAS) jika kehadiran perkuliahan mahasiswa memenuhi minimal 75% dari total perkuliahan.
Kontrak Perkuliahan
• Jika pada jadwal perkuliahan tidak ada mahasiswa yang hadir dalam rentang waktu 15 menit sejak jadwal kelas, maka perkuliahan pada hari itu ditiadakan dan tidak ada jadwal pengganti.
• Mahasiswa yang berhalangan hadir karena sakit (harus ada keterangan sakit/surat pemberitahuan sakit) dan halangan lainnya harus menghubungi PIC kelas sebelum kelas dimulai.
• Hanya mahasiswa yang menghadiri dan mengikuti perkuliahan lebih dari 75 menit yang diperbolehkan mengisi absensi.
Kontrak Perkuliahan
• Mahasiswa tidak diizinkan untuk “memalsukan absen” perkuliahan atau plagiarisme absensi.
Jika mahasiswa terbukti melakukan plagiarism absensi, maka mahasiswa yang bersangkuta tidak diizinkan untuk mengikuti kembali semua kegiatan pembelajaran hingga mendapatkan surat izin dari Prodi S1 Matematika.
• Mahasiswa harus berpakaian sopan pada saat perkuliahan, Kuis, UTS, UAS, dan presentasi Tugas Besar.
• Informasi mengenai Kuis, Tugas, UTS, UAS, dan Tugas Besar (Projek) akan diupdate di iLearn.
• Pengumpulan berkas Kuis, Tugas, maupun ujian hanya diterima pada jadwal yang sudah diberikan dalam bentuk berkas hardcopy.
Kontrak Perkuliahan
• Dosen akan menunjuk satu mahasiswa sebagai PIC kelas di mana PIC kelas bertanggung jawab sebagai penghubung antara dosen pengampu mata kuliah dengan mahasiswa kelas.
• PIC kelas beserta semua mahasiswa kelas bertanggung jawab mempersiapkan proses perkuliahan, seperti membersihkan papan tulis dan menyalakan LCD proyektor sebelum dosen memasuki ruang kelas, serta memastikan perkuliahan berlangsung dengan tertib dan terkendali.
• Mahasiswa akan dibagi menjadi beberapa kelompok diskusi kelas, dengan satu orang mahasiswa menjadi PJ kelompok.
• Kelompok diharuskan melakukan diskusi minimal satu kali seminggu, hasil diskusi akan dibahas pada saat kelas tutorial berlangsung.
Kontrak Perkuliahan
• Kelompok diskusi kelas berkemungkinan berbeda dengan kelompok Tugas Besar (Projek).
• Mahasiswa yang mengganggu proses perkuliahan akan dikeluarkan dari kelas.
• Mahasiswa dilarang untuk melakukan plagiarisme, kecurangan, dan tindakan yang melanggar norma akademis perkuliahan lainnya pada Tugas, Kuis, UTS, UAS, dan Tugas Besaar. Tindakan pelanggaran akan dikenakan sanksi nilai E untuk mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa (PDB).
Kelengkapan Perkuliahan
Referensi
1. W. E. Boyce dan R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Edisi 12, John Wiley & Sons, 2021.
2. Sri Redjeki P, Metode Matematika, Diktat Kuliah ITB, 2009.
3. A. R. Putri, Draft Buku Ajar “Persamaan Diferensial Biasa (PDB)”, 2022.
Link perkuliahan
https://sci.ilearn.unand.ac.id/course/view.php?id=2753
Kelengkapan Perkuliahan
Jadwal perkuliahan dan tutorial
• Kamis, 10:10 - 12:40, RK.2
Mata kuliah prasyarat
• Kalkulus 1
• Kalkulus 2
• Aljabar Linier Elementer
Komponen Penilaian Perkuliahan
No. Komponen Penilaian Bobot Keterangan Pembagian Bobot
1 Tugas 10% 3 kali 2%
2 Kuis 2 kali
3 UTS 20% - -
4 UAS 20% - -
5 Tugas Besar (Projek) 50%
Diskusi Projek 10%
Presentasi Projek 20%
Luaran Projek 20%
Total Bobot 100%
Materi Perkuliahan
• Pengantar Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
• PDB Orde Satu
• PDB Orde Dua
• PDB Orde 𝑛
• Sistem Persamaan Diferensial
• Transformasi Laplace
Jadwal Perkuliahan
Mg Tanggal Materi Pembelajaran Kegiatan Penting Catatan
1 31 Agustus 2023 Pengantar Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
2 7 September 2023 PDB Orde Satu
3 14 September 2023 PDB Orde Dua
4 21 September 2023 PDB Homogen Tugas 1
5 28 September 2023 PDB Nonhomogen
6 5 Oktober 2023 PDB Orde 𝑛 Kuis 1
7 12 Oktober 2023 Sistem Persamaan Diferensial
8 - 9 16 - 27 Oktober 2023 Ujian Tengah Semester
10 2 November 2023 Metode Nilai Eigen Tugas 2
11 9 November 2023
12 16 November 2023 Sistem Persamaan Linier
13 23 November 2023 Tugas 3
14 30 November 2023
Transformasi Laplace
15 7 Desember 2023 Kuis 2
16 14 Desember 2023 Pengumpulan poster dan slide presentasi
tugas besar (projek) 17 - 19
2 - 12 Januari 2024 Ujian Akhir Semester
Presentasi Tugas Besar (Projek) Pengumpulan poster dan slide presentasi tugas besar (projek) berdasarkan perbaikan
pada saat presentasi
Pembagian Kelompok Diskusi Kelas
Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3
1 HASNAH SUKRI 1 SALSABILA AULIA PUTRI 1 RIFKA KHOIRUNNISA ARMAKO 2 YENI WULANDARI 2 TIARA ALIFIA SIBARANI 2 MUHAMMAD IBNU AL RIZKI 3 YESIKA AVIVAH 3 VHELLIN MARCSEL ENGLAFNEDIA 3 SISKA SAFITRI
4 DHIFI PUTRI ANDHINI 4 SALSA SABILLA 4 DINDA ZAHRA TSABITA
5 NANDA ARDANI HIDAYATULLAH 5 ZAHNIA RAHMAWATI 5 DIMAS DAMAR NUSANTORO
Kelompok 4 Kelompok 5 Kelompok 6
1 DITA PUTRI PATRESIA 1 HAYYUNI ZAHRA 1 LATHIFAH RUSMY HUSNA
2 PUTRI ALYA FERINA 2 YOLA RESNANDA PUTRI 2 SILFIA ANGGRAINI
3 HANIVA AULIA PUTRI 3 RIANDA SYIFA 3 AZIZA IKMALIA
4 SHIFA KAFKA NAFISA 4 RINI ZULKARMAN 4 MESTINAH NURHALIZAH
5 ALIF RESTU PUTRA 5 MUHAMMAD FATIHUL IHSAN 5 ZERA FALIH SANIYAH
Pendahuluan PDB
SECTION 1
Science is a Differential Equation.
Religion is a Boundary Condition –
Alan M. Turing
Perhatikan kejadian benda jatuh bebas berikut. Berdasarkan Hukum Newton II (HkN II)
𝐹 = 𝑚𝑎
di mana 𝑚 menyatakan massa benda dalam unit 𝑘𝑔, 𝑎 adalah percepatan jatuh benda dalam unit 𝑚Τ𝑠2, dan 𝐹 merupakan semua gaya yang bekerja pada benda dalam unit N. Percepatan jatuh benda dapat dinyatakan dengan
𝑎 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2
di mana 𝑣 menyatakan kecepatan jatuh benda dalam unit 𝑚Τ𝑠.
Contoh Kasus Persamaan Diferensial
Sehingga HkN II dapat dinyatakan dengan
𝐹 = 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 Selain itu, 𝐹 juga dapat dinyatakan sebagai
𝐹 = 𝑚𝑔 − 𝛾𝑣
di mana 𝑔 menyatakan percepatan gravitasi dengan nilai 9,8 Τ𝑚 𝑠2 dan konstanta 𝛾 merupakan koefisien tarik benda yang dipengaruhi oleh gaya gesek benda dengan udara. Diasumsikan 𝛾 berbanding lurus dengan kecepatan jatuh benda.
Contoh Kasus Persamaan Diferensial
Asumsi:
1. Gaya gesek diabaikan di mana 𝛾 ≈ 0.
2. Solusi yang diinginkan adalah posisi benda pada waktu 𝑡, yang dinotasikan dengan 𝑥 𝑡 .
3. Posisi awal benda pada saat jatuh bebas atau pada saat 𝑡 = 0 dinyatakan dengan 𝑥 0 = 0.
4. Posisi akhir benda pada saat menumbuk tanah atau pada saat 𝑡𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 dinyatakan dengan 𝑥 𝑡𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 = ℎ0.
5. Benda jatuh bebas di mana 𝑣 0 = 𝑣0.
Contoh Kasus Persamaan Diferensial
Persamaan HkN II dapat dinyatakan dengan 𝑚 𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 = 𝑚𝑔 − 𝛾𝑣 𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 = 𝑔 − 𝛾𝑣 𝑚
Persamaan di atas disebut dengan persamaan gerak benda jatuh bebas. Dengan asumsi yang diberikan, persamaan tersebut menjadi
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 = 𝑔
Persamaan Gerak Jatuh Bebas
Sehingga
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝑔𝑡
dan solusi persamaan gerak jatuh bebas yang diperoleh adalah 𝑥 𝑡 = 1
2 𝑔𝑡2
Solusi Persamaan Gerak Jatuh Bebas
Contoh Kasus Persamaan Diferensial
Misalkan suatu benda dengan massa 𝑚 = 10 𝑘𝑔 jatuh bebas dengan percepatan gravitasi 𝑔 = 9,8 Τ𝑚 𝑠2. Jika besarnya koefisien gesek benda dengan udara 𝛾 = 2 𝑘𝑔Τ𝑠 maka tentukan persamaan gerak jatuhnya benda tersebut.
Solusi Persamaan Gerak Jatuh Bebas
Perhatikan bahwa, nilai 𝑡𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 pada saat benda menumbuk tanah, atau dengan diketahui 𝑥 𝑡𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 = ℎ0 adalah
𝑡𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 = 2ℎ0 𝑔
dan kecepatan jatuh benda pada saat 𝑡𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 adalah 𝑣 𝑡𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 = 2𝑔ℎ0
Persamaan Laju Obat
Di bidang Farmakologi, diketahui bahwa obat-obatan yang masuk ke dalam tubuh akan hilang dengan asumsi berikut ini:
• Jika 𝑦 𝑡 menyatakan banyaknya obat yang ada di dalam tubuh seseorang pada waktu 𝑡, maka laju perubahan 𝑦 𝑡 akan berbanding lurus dengan banyaknya obat. Sehingga 𝑦 𝑡 memenuhi persamaan:
𝑑𝑦
𝑑𝑡 = −𝑘𝑦
di mana 𝑘 > 0 menyatakan konstanta perbandingan, dan tanda negatif menyatakan bahwa nilai 𝑦 𝑡 akan berkurang seiring bertambahnya 𝑡.
Persamaan Gerak Pegas
Permasalahan gerak pegas dapat dinyatakan dalam persamaan 𝑚 𝑑2𝑦
𝑑𝑡2 + 𝑎 𝑑𝑦
𝑑𝑡 + 𝑘𝑦 = 𝐹 𝑡
di mana 𝑦 𝑡 menyatakan perpindahan (peregangan) pegas dalam unit 𝑚, massa pegas dalam unit 𝑘𝑔 dinotasikan oleh 𝑚, konstanta 𝑎 adalah konstanta redam pegas dalam unit 𝑘𝑔Τ𝑠, konstanta 𝑘 merupakan konstanta pegas dalam unit 𝑘𝑔ൗ𝑠2, dan fungsi penggerak 𝐹 𝑡 menyatakan semua gaya yang mempengaruhi gerak pegas dalam unit 𝑁.
Persamaan Sistem Prey-Predator
Diketahui sistem persaman
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 2𝑅 − 3𝑅𝐹 𝑑𝐹
𝑑𝑡 = −4𝐹 + 5𝑅𝐹
yang dikenal dengan sistem persamaan Prey-Predator. Variabel 𝑅 menyatakan jumlah kelinci dalam suatu populasi, sedangkan jumlah rubah dalam suatu populasi dinotasikan dengan variabel 𝐹. Sistem di atas menyatakan hubungan mangsa (kelinci) dengan pemangsa (rubah).
Persamaan Sistem Prey-Predator
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 2𝑅 − 3𝑅𝐹 𝑑𝐹
𝑑𝑡 = −4𝐹 + 5𝑅𝐹
• Suku suku RF dalam kedua persamaan dapat diartikan sebagai “suku interaksi“ artinya kedua faktor diperlukan untuk memberikan pengaruh pada sistem persaman tersebut.
• Koefisien variabel 𝑅 adalah +2. Jika tidak terdapat suku 𝑅𝐹 dalam persamaan tersebut, maka 𝑅 akan meningkat tanpa batas. Koefisien -3 dari 𝑅𝐹 memiliki dampak negatif pada populasi kelinci.
Persamaan Sistem Prey-Predator
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 2𝑅 − 3𝑅𝐹 𝑑𝐹
𝑑𝑡 = −4𝐹 + 5𝑅𝐹
• Variabel 𝐹 dikalikan dengan -4, menandakan bahwa populasi rubah akan berkurang jika tidak berinteraksi dengan kelinci. Koefisien positif pada 𝑅𝐹 menunjukkan dampak positif pada populasi rubah.
Definisi dan Klasifikasi
SECTION 2
Science is a Differential Equation.
Religion is a Boundary Condition –
Alan M. Turing
Definisi Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial (PD) merupakan suatu persamaan yang memuat variabel tak bebas, turunannya, atau perkalian antara keduanya, yang bergantung pada variabel bebasnya. Atau dengan kata lain PD merupakan suatu persamaan yang memuat turunan satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui.
Klasifikasi Persamaan Diferensial
1. PD Biasa (PDB)
PDB merupakan suatu persamaan yang memuat fungsi yang bergantung hanya pada satu variabel bebas. Bentuk umum PDB
𝐹 = 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 𝑛 = 𝑘
Contoh:
• 𝑦′ = 5𝑥 + 3
• 𝑑𝑦
𝑑𝑡 − cos 𝑡 = 0
Klasifikasi Persamaan Diferensial
2. PD Parsial (PDP)
PDP merupakan suatu persamaan yang memuat fungsi yang bergantung pada lebih dari satu variabel bebas. Bentuk umum PDP
𝐹 = 𝑥, … , 𝑡, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 𝑛 = 𝑘
Contoh:
• 𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 0
• 𝜕𝑢
𝜕𝑡 = 𝑘 𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
Istilah dalam Persamaan Diferensial
1. Orde
Orde pada suatu PD merupakan turunan tertinggi yang ada pada PD tersebut.
Contoh:
• 𝑦′′ = 5𝑥 + 3
• 𝑑𝑦
𝑑𝑡 − cos 𝑡 = 0
• 𝑦′′′ − 𝑦𝑦′′ − 𝑒𝑥 = 0
Istilah dalam Persamaan Diferensial
2. Kelinieran
Suatu PD dikatakan linier jika variabel tak bebas dan turunannya merupakan fungsi linier dan tidak ada perkalian antara variabel tak bebas dengan turunannya. Sedangkan suatu PD dikatakan tidak linier jika salah satu syarat liniernya tidak terpenuhi.
Contoh:
• 𝑦′ = 5𝑥 + 3
• 𝑦′′′ − 𝑦𝑦′′ − 𝑦𝑒𝑥 = 0
Istilah dalam Persamaan Diferensial
3. Kehomogenan
Suatu PD dikatakan PD homogen jika tidak terdapat suku bukan nol yang merupakan fungsi terhadap variabel bebas saja. Sedangkan suatu PD dikatakan nonhomogen jika terdapat suku bukan nol yang merupakan fungsi terhadap variabel bebas saja.
Contoh:
• 𝑦′ = 5𝑥 + 3
• 𝑑𝑦
𝑑𝑡 − cos 𝑡 = 0
Istilah dalam Persamaan Diferensial
4. Solusi
Solusi dari suatu PD adalah semua fungsi yang memenuhi PD tersebut. Misalkan 𝑦 = 𝑓 𝑥 memenuhi PD 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, maka fungsi 𝑓 𝑥 merupakan solusi. Solusi terdiri dari:
a) Solusi umum dari suatu PD merupakan bentuk umum dari solusi PD tersebut;
b) Solusi yang dieroleh dengan menambahkan syarat awal atau syarat batas disebut dengan solusi khusus dari PD.
Soal Latihan
1. Problems sub chapter 1.3 halaman 23 nomor 1 – 4.
2. Problems sub chapter 1.3 halaman 23 nomor 16 – 18.
Soal Latihan
1. Tentukan solusi dari 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 3. Tentukan jenis solusi yang diperoleh.
2. Tentukan solusi dari 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑥𝑦12, dan tentukan jenis solusi yang diperoleh.
3. Tentukan solusi dari 𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 8
100 𝑦 jika 𝑦 0 = 5000. tentukan jenis solusi yang diperoleh.
